Modeling Loss-Versus-Rebalancing in Automated Market Makers via Continuous-Installment Options

5/10

Сришт Фатех Сингх, Рейна Ке Син Ли, Сэмюэл Гаскин, Юньтао Ву, Джеффри Клинк, Панагиотис Михалопулос, Зиссис Пулос, Андреас Венерис · 6 августа 2025 (v1)

University of Toronto; York University.

Оригинал: Singh, S. F. et al. «Modeling Loss-Versus-Rebalancing in Automated Market Makers via Continuous-Installment Options», 2025 — arxiv.org/abs/2508.02971 (PDF), лицензия CC BY 4.0.

Рисунки и таблица воспроизведены из оригинальной публикации. Перевод выполнен с указанием источника в соответствии с условиями лицензии CC BY 4.0.

Аннотация

Позиция в constant-function AMM (CFAMM) моделируется как портфель экзотических опционов — бессрочных американских continuous-installment (CI). Репликация совпадает с дельтой AMM в каждый момент на бесконечном горизонте и учитывает, что LP может выйти в любой момент. Два теоретических результата: (a) adverse-selection стоимость AMM, loss-versus-rebalancing (LVR), аналитически совпадает с непрерывными funding fees (theta) ATM CI-опциона в реплицирующем портфеле; (b) частный случай даёт профиль дельты и границы ликвидности с почти постоянным LVR на произвольно длинном окне, с ограниченным остатком. Константная волатильность бессрочного опциона калибруется по терм-структуре implied vol; оценены ошибки калибровки и остаток LVR. Практический каркас: LP выбирает профиль и границы на заданное окно вперёд и ожидает почти постоянный, независящий от цены LVR.

1. Введение

Смарт-контрактные блокчейны (Ethereum, Solana) породили DeFi без доверенного посредника. AMM — ключевой слой: обмен токенов по алгоритмической цене. TVL выше 21 млрд USD, годовой оборот выше 2 трлн; десятки тысяч токенов и сотни приложений поверх.

Участники: трейдеры и LP. Пара обычно «рисковый актив + нумерар». LP — контрпартия: кладут оба токена заранее и после каждой сделки получают менее выгодный. Хедж — непрерывный ребаланс офчейн-портфеля (покупать актив при росте, продавать при падении). Хедж неточен, если AMM не место ценообразования: котировка пула отстаёт от CEX.

Даже проактивный LP несёт систематическую стоимость: арбитражёры быстрее восстанавливают цену пула к внешней. Мелкий, но постоянный перенос стоимости от LP к арбитражёрам в агрегате существенен — это LVR [16]. Скорость накопления растёт со крутизной кривой AMM и волатильностью актива.

Компенсация — торговые комиссии. LP сравнивает ожидаемый LVR с ожидаемыми комиссиями на выбранном окне. Instantaneous LVR и ретроспектива есть [16]; методов оценки будущего LVR мало.

Эта работа оценивает LVR для LP, который держит ликвидность сколь угодно долго и может выйти в любой момент. CFAMM моделируется как продажа континуума бессрочных американских путов по непрерывным страйкам. В отличие от ванили используются CI-опционы: держатель платит постоянный поток installment (funding fees), аналог time decay. Цена бессрочного CI не зависит от времени (при постоянных параметрах). Опора на [5].

Funding fees = LVR. При $q\to\infty$ (как ультракороткая ваниль) CI-пут сходится к hockey-stick $\max(K-S,0)$. Непрерывное распределение таких путов дельта-реплицирует произвольную позицию LP. Installment на страйке, равном споту, воспроизводит instantaneous LVR. Теоретически LP может держать опционный портфель дельта-нейтрально: стоимость time decay и есть LVR. Континуум на практике невоспроизводим — далее ошибка дискретной сетки страйков.

Постоянный будущий LVR. Обратная задача: позиция реплицирует оценку одного бессрочного CI-пута. Получается уникальный профиль ликвидности с почти постоянным instantaneous LVR, примерно равным funding fee. Отсюда для LP: границы и форма с предсказуемым плоским LVR; оценка adverse selection на горизонт; связь оптимального срока удержания с шириной диапазона; выбор пула по ожидаемым комиссиям.

Структура: §2 — обозначения и фон; §3 — литература; §4 — мотивация; §5 — декомпозиция; §6 — тождества funding–LVR; §7 — ошибка конечной сетки; §8 — калибровка vol и правила для LP; §9 — заключение. Смежные переводы: хеджирование LP в CFMM, условия IL, тик-за-тиком.

2. Фон

2.1. Обозначения

Токен 0 — рисковый (BTC, ETH), токен 1 — стейбл (USDC). $S_t$ — спот токена 0 в единицах токена 1, GBM на $(\Omega,\mathcal{F},\{\mathcal{F}_t\},\mathbb{Q})$:

\[ \frac{dS_t}{S_t}=r\,dt+\sigma\,dB_t^\mathbb{Q}, \tag{1} \]

постоянные $r$ и $\sigma\gt 0$. AMM — вторичный рынок; $S_t$ задаёт первичный (CEX).

2.2. CFAMM

Резервы $(x,y)$ сохраняют инвариант $F(x,y)=k$. Для CPAMM (Uniswap v2) $F=\sqrt{xy}$, маргинальная цена $S=y/x$, резервы $x=k/\sqrt{S}$, $y=k\sqrt{S}$ (рис. 1a). Концентрированная ликвидность (Uniswap v3) — инвариант $k$ в полосе $[a,b]$: только токен 0 при $S\ge b$, только токен 1 при $S\le a$, внутри

\[ x=k\frac{\sqrt{b}-\sqrt{S}}{\sqrt{Sb}},\qquad y=k\bigl(\sqrt{S}-\sqrt{a}\bigr). \tag{2} \]

Стоимость в токене 1:

\[ V(S)=k\bigl(\sqrt{S}-\sqrt{a}\bigr)+kS\frac{\sqrt{b}-\sqrt{S}}{\sqrt{Sb}},\qquad S\in[a,b]. \tag{3} \]

Дельта $X(S):=V'(S)$, гамма $\Gamma(S):=V''(S)=X'(S)\le 0$ на $(a,b)$. На рис. 1b обе величины по модулю убывают с ценой: выше цена — больше нумерара.

Инвариант CPAMM и профили V, дельты, гаммы концентрированной позиции
Рис. 1. (a) Инвариант $xy=k$ и касательная-цена. (b) $V(S)$, масштабированные $X(S)$ и $\Gamma(S)$ для полосы $[50,200]$, $k=1$.

2.2.1. LVR

Непрерывно ребалансируемый self-financing дельта-хедж держит $X(S_t)$ единиц токена 0, $dW_t=X(S_t)\,dS_t$. Разность

\[ \mathrm{LVR}_t:=V(S_t)-W_t \tag{5} \]

— adverse-selection относительно хеджированного трейдера. Instantaneous LVR квадратичен по споту и vol, линеен по гамме [16]:

\[ d\mathrm{LVR}_t=\tfrac12\sigma^2 S_t^2\Gamma(S_t)\,dt=\tfrac12\sigma^2 S_t^2 X'(S_t)\,dt. \tag{6} \]

2.3. Бессрочные американские CI-опционы

Бессрочный американский CI-пут не истекает; держатель платит постоянный поток $q\gt rK$ в год. В любой момент можно перестать платить: исполнить $\max(K-S,0)$ или бросить. Дивиденды токена 0 — ноль.

$P_q(S;K)$ — дисконтированная цена. $S_\ell$ — нижняя граница (ниже — payoff), $S_u$ — верхняя (выше — ноль), рис. 2a. В continuation $S_\ell\lt S\lt S_u$ — неоднородное ODE Блэка–Шоулза:

\[ \tfrac12\sigma^2 S^2\partial_{SS}P_q+rS\partial_S P_q-r P_q=q. \tag{7} \]

Границы эндогенны из value-matching и delta-matching: $P_q(S_\ell)=K-S_\ell$, $\partial_S P_q(S_\ell)=-1$, $P_q(S_u)=0$, $\partial_S P_q(S_u)=0$.

Профиль бессрочного CI-пута и зависимость от ставки q
Рис. 2. Бессрочный CI-пут, $K=100$, $\sigma=0.25$. (a) Границы $S_\ell$, $S_u$ при $q=2$. (b) Рост $q$ прижимает цену к payoff. $r=0.01$, всё годовое.

Замкнутая форма [5]: $P_q=\alpha_p S+\beta_p S^{\gamma_p}+q/r$, дельта $X_q=\alpha_p+\beta_p\gamma_p S^{\gamma_p-1}$; границы $S_\ell$, $S_u$ — формулы (11)–(12) оригинала (коэффициенты в приложении A PDF). В PDE нет производной по времени: цена CI не зависит от времени. Аналог экспирации — ставка $q$: большая $q$ как короткий опцион. $S_\ell$ — оптимальное исполнение, $S_u$ — drop. Продавец получает funding, пока спот в continuation.

IL vs hold: статическая репликация европейцами и variance swaps [9, 12], динамическая [14]. Сравнение с buy-and-hold не ловит adverse selection. LVR формализован Milionis et al. [16]: instantaneous и исторический LVR, без форварда. Maire and Wunsch [15] хеджируют стоимость позиции, не IL, статикой плюс фьючерс. Clark [6, 7] — терминальная стоимость CPAMM европейцами на конечном горизонте. Здесь — бессрочный горизонт и путь-зависимый форвардный LVR через CI-путы, без динамического хеджа ванили.

4. Мотивация

Профиль $V(S)$ концентрированной позиции (рис. 1b) похож на кэш плюс короткие путы: плоско на одном крыле, линейно на другом, гладкая кривая в середине (рис. 3a). Различия: ванильный пут теряет стоимость со временем, CI и AMM — нет (рис. 3b–c). Бессрочный CI даёт time-invariant репликацию.

Сравнение стоимости CPAMM и портфеля коротких путов
Рис. 3. CPAMM vs портфель коротких путов ($K=100$, $r=5\%$, $\sigma=50\%$) плюс кэш. Визуальное сходство и расхождение по времени.

5. Моделирование CFAMM через CI-опционы

Портфель с той же дельтой, что $X(S)$ CFAMM: распределение бессрочных американских CI-путов в пределе $q\to\infty$ по континууму страйков. Границы схлопываются к $K$, оценка $\to\max(K-S,0)$, дельта $\to$ ступеньке — можно реплицировать гладкий payoff.

Лемма 1. При $q\to\infty$ обе границы CI-пута сходятся к $K$, дельта $X_q(S;K)$ становится $-1_{\{S\lt K\}}$.

Теорема 2. Пусть $V:\mathbb{R}_{>0}\to\mathbb{R}$ дважды непрерывно дифференцируема, $V'\in L^1$, ограниченной вариации, $\lim_{S\to\infty}V'(S)=0$. Веса $w(K):=V''(K)$,

\[ \Pi_q(S)=\int_0^\infty w(K)P_q(S;K)\,dK,\qquad \Pi(S)=\lim_{q\to\infty}\Pi_q(S). \]

Тогда $\Pi(S)-V(S)$ дельта-нейтрален.

Бессрочная CFAMM-позиция, которую владелец может закрыть когда угодно, моделируется распределением CI-путов с очень большим $q$. На практике — дискретная сетка и конечное $q$; ошибка — §7. Следствие: instantaneous LVR связан с funding fees «активированных» страйков около спота.

6. LVR как funding fees

$\Pi$ дельта-реплицирует CFAMM, но короткий опционный портфель платит продавцу непрерывный funding — от активных CI-путов со страйком около спота. Эти fees, которых нет у AMM, и есть LVR LP.

Лемма 3. $\lim_{q\to\infty} q\bigl(S_u(q;K)-S_\ell(q;K)\bigr)=\sigma^2 K^2/2$.

Лемма 4. Фиксируем $q\gt 0$ и $[a,b]$. Страйки рекурсивно: $S_\ell(q;K_1)=a$, $S_\ell(q;K_{i+1})=S_u(q;K_i)$, $S_u(q;K_{N})=b$. Веса $w_i=\int_{S_\ell}^{S_u}w=X(S_u)-X(S_\ell)$, сумма весов $-1$. Пусть $K_j$ — активированный страйк, $S_\ell(K_j)\le S_t\le S_u(K_j)$. Дискретный портфель сходится точечно к $\Pi(S)$, и $\lim_{q\to\infty} w_j q=\frac12\sigma^2 S^2 X'(S)$.

Funding портфеля — $w_j q$. При большом $q$ леммы 3–4 дают сходимость к instantaneous LVR.

Теорема 5 (Funding fee = LVR). Пусть $d\mathrm{LVR}_t$ — мгновенное изменение LVR CFAMM, $d\mathrm{Fee}_t$ — мгновенный funding доход дельта-реплицирующего портфеля $\Pi$. Тогда $d\mathrm{Fee}_t=d\mathrm{LVR}_t$ и $\mathrm{Fee}|_0^T=\mathrm{LVR}|_0^T$ для всех $T\gt 0$.

CI-опцион идеально дельта-хеджируется непрерывно ребалансируемым BS-портфелем [5]. При росте $q$ дельта хеджа сходится к CFAMM, но AMM не платит funding stream — расхождение и есть недополученный CI funding. Равенство из замкнутых формул и self-financing, без лишних гипотез. Следствия: implied CI-ставки дают realtime и форвардную оценку LVR; можно строить профили с почти path-independent LVR; рынок CI-опционов позволил бы статически дельта-хеджировать CFAMM при постоянной IV.

6.1. CFAMM, реплицирующий единичный CI-пут

Полоса $[a,b]$ с $X(S)\equiv X_q(S;K_*)$ на $[a,b]$, $a=S_\ell(q,K_*)$, $b=S_u(q,K_*)$.

Теорема 6. Instantaneous LVR этой позиции приближённо равен funding fees единичного пута: существует $\epsilon(t)$ с $|\epsilon(t)|\le rK_*$ такое, что $d\mathrm{LVR}_t=q\,dt+\epsilon(t)\,dt$.

Почти плоский, path-independent, vol-independent LVR. Границы $a,b$ неявно зависят от $\sigma$ через $X_q$. Остаток ограничен; относительная величина — §8. Нужна оценка будущей vol по терм-структуре IV.

7. Ошибка дискретной репликации

Два драйвера: конечное $q$ и шаг сетки $\Delta K$. Цель — концентрированный AMM с аналитической дельтой $X(S)=L(1/\sqrt{S}-1/\sqrt{b})$ на $[a,b]=[80,125]$, нормировка $X(a)=1$, $X(b)=0$. Веса $w_i=X(K_{i+1})-X(K_i)$. Ошибка $\varepsilon=X-X_{\mathrm{strip}}$ на сетке из 2000 точек; max abs и RMSE. Свип $(q,\Delta K)\in\{8,\ldots,4000\}\times\{0.25,0.5,1,2,4\}$.

Ошибка дельта-репликации vs q и шаг страйка
Рис. 4. Лог max-abs и RMSE ошибки дельта-репликации vs installment $q$ при разных шагах страйка; справа — типичная кривая дельты ($q=250$, $\Delta K=2$) против цели CPAMM.

Обе ошибки растут с шагом страйка. С ростом $q$ в целом падают, кроме крупного $\Delta K\in\{1,2,4\}$ при $q\ge 128$ (RMSE растёт). Обе ниже $10^{-3}$: крупный $q$ крутит дельту пута, мелкий $\Delta K$ лучше ловит непрерывные веса. Компромисс капитала (большой $q$) и операционных издержек сетки — по требованиям точности LP.

8. Калибровка волатильности бессрочного CI-пута

Бессрочный опцион требует одно $\sigma$; рынок даёт терм-структуру IV. Эффективный горизонт — распределение first-exit time $\tau$ из continuation (рис. 5). По ATM IV ETH строится распределение $\sigma^2$ (рис. 6); MAD/RMSE калибровки $\sigma_{\mathrm{eff}}$ методом неподвижной точки — рис. 7. Если улыбка линейна по $\log(K/S)$ с малым наклоном, ошибка мала.

Распределение времени первого выхода из continuation
Рис. 5. Распределение first-exit $\tau$ для $r=2\%$, $\sigma=67\%$, $K=100$, $q=5$.
Распределение sigma^2 по ATM IV ETH
Рис. 6. Распределение $\sigma^2$ для $r=2\%$, $\sigma=61\%$, $K=100$, $q=5$ по ATM IV ETH (7/30/90/180 дней).
MAD и RMSE калибровки эффективной волатильности
Рис. 7. MAD и RMSE для $r=5\%$, $K=100$, $q=40$; $\sigma_{\mathrm{eff}}$ из метода неподвижной точки.

Если полоса реплицирует дельту одного бессрочного CI-пута с оценкой $\sigma_{\mathrm{eff}}^2$, LP несёт предсказуемый LVR почти равный $q$: стохастический adverse selection становится фиксированной стоимостью в единицу времени.

Таблица 1. Funding $q$, полоса CFAMM $(S_\ell,S_u)$ и остаток $rK$ при $r=0.05$ для желаемого среднего горизонта $\bar\tau$ и разных $\sigma_{\mathrm{eff}}$.
$\bar\tau$$\sigma_{\mathrm{eff}}$$q$ (токен1/год)$S_\ell$$S_u$Ширина$rK$ (% от $q$)
1д60%284%97%103%6%2%
1д80%380%96%104%8%1%
1д100%475%95%105%10%1%
1 нед60%106%92%109%17%5%
1 нед80%142%90%112%22%4%
1 нед100%178%87%115%28%3%
2 нед60%74%89%113%24%7%
2 нед80%99%86%118%32%5%
2 нед100%125%83%123%40%4%
1 мес60%49%85%120%35%10%
1 мес80%66%80%128%47%8%
1 мес100%84%76%136%60%6%
2 мес60%34%79%130%51%15%
2 мес80%46%74%142%69%11%
2 мес100%58%68%157%88%9%
Верхняя граница остатка rK как процент от q
Рис. 8. Верхняя граница остатка $rK$ как процент от $q$ для разных горизонтов и $\sigma_{\mathrm{eff}}$.

Обратно: по заданной полосе LP оценивает эффективный горизонт численным fixed-point. Вместе с §6 это каркас: выбрать полосу под желаемые $\tau(q)$ и LVR или оценить форвардный LVR для данной полосы.

9. Заключение

Концентрированная CFAMM-позиция раскладывается в континуум бессрочных американских CI-путов — первое замкнутое равенство между funding механикой этих опционов и LVR. Предел большого $q$ даёт точную дельта-репликацию; funding репликанта равен LVR LP. Time-invariant соответствие даёт форвардную оценку LVR и правила ширины/формы.

Дискретная ошибка: небольшая сетка конечных-$q$ путов реплицирует дельту с ошибкой $\lt 10^{-3}$. Если полоса реплицирует один бессрочный CI-пут, LVR $\approx q$: стохастический adverse selection становится фиксированной стоимостью. По IV-кривым LP калибрует форму, ширину и vol под горизонт и LVR — или наоборот.

Дальше: асимметричные полосы (не ATM) требуют поверхности vol, не только ATM-кривой; ончейн-рынок CI дал бы прямой хедж и IV; отказ от константной vol (Heston, Hull–White); издержки, проскальзывание, газ в равенстве funding–LVR.

Литература

  1. Adams, H. et al. (2020). Uniswap V2 Core.
  2. Adams, H. et al. (2021). Uniswap v3 Core Whitepaper.
  3. Black, F. and Scholes, M. (1973). The pricing of options and corporate liabilities. JPE 81(3).
  4. Buterin, V. (2013). Ethereum white paper.
  5. Ciurlia, P. and Caperdoni, C. (2009). A note on the pricing of perpetual continuous-installment options. MMEF 4(1). ↑
  6. Clark, J. (2020). The replicating portfolio of a constant product market. SSRN 3550601. ↑
  7. Clark, J. (2021). The replicating portfolio of a constant product market with bounded liquidity. SSRN 3898384. ↑
  8. DeFiLlama. DEX protocols.
  9. Deng, J., Zong, H. and Wang, Y. (2023). Static replication of impermanent loss for concentrated liquidity. OR Letters 51(3). ↑
  10. Dune Analytics. Total number of liquidity pools.
  11. Folland, G. B. (1999). Real analysis. Wiley.
  12. Fukasawa, M., Maire, B. and Wunsch, M. (2023). Weighted variance swaps hedge against IL. Quantitative Finance 23. ↑
  13. hagaetc. DEX metrics, Dune.
  14. Lipton, A., Lucic, V. and Sepp, A. (2024). Unified approach for hedging IL. arXiv:2407.05146. ↑
  15. Maire, B. and Wunsch, M. (2024). Market neutral liquidity provision. Ledger 9. ↑
  16. Milionis, J., Moallemi, C. C., Roughgarden, T. and Zhang, A. L. (2024). Automated market making and LVR. arXiv:2208.06046. ↑
  17. Yakovenko, A. (2018). Solana: A new architecture…
  18. Øksendal, B. (2000). Stochastic Differential Equations. 5th ed. Springer.

Перевод основного текста. Замкнутые формулы приложения A — в PDF. Оригинал: arXiv:2508.02971 · Singh et al. · CC BY 4.0.