Ценообразование и хеджирование предоставления ликвидности в constant function market making

4.5/10

Джимми Риск, Шэнь-Нин Тун, Тай-Хо Ван · 3 марта 2026

Оригинал: Risk, J., Tung, S.-N., Wang, T.-H. «Pricing and Hedging for Liquidity Provision in Constant Function Market Making», 2026 — arxiv.org/abs/2603.01344 (PDF), лицензия CC BY 4.0.

Рисунки воспроизведены из оригинальной публикации. Перевод выполнен с указанием источника в соответствии с условиями лицензии CC BY 4.0.

Аннотация

Статья строит робастный математический каркас для Constant Function Market Makers (CFMM), переходя от анализа резервов токенов к системе координат «цена + внутренняя ликвидность». Установлена каноническая параметризация bonding curve, обеспечивающая размерную согласованность для разных торговых функций (Uniswap, Balancer); резервы активов и функции ценности линейно зависят от этой внутренней ликвидности. Линейная структура упрощает безарбитражное ценообразование, дельта-хеджирование и системный риск-менеджмент. Через формулу спэннинга Карра–Мадана impermanent loss (IL) характеризуется как взвешенная полоса ванильных опционов, задавая тонкую структуру подразумеваемой волатильности профилей ликвидности. Path-dependent анализ IL — через время последнего прохождения (last-passage time). Эмпирика пулов Uniswap v3 ETH/USDC и опционных рынков Deribit подтверждает улыбку волатильности, согласующуюся с динамикой криптоактивов, и валидирует каркас как инструмент оценки риск-нейтральной справедливой стоимости предоставления ликвидности.

Всё начинается с канонической параметризации bonding curve в CFMM.

1. Введение

DeFi [HRS+21, GM23, CJ21] изменил обмен активов через CFMM [AC20, ACD+24]. В отличие от книг лимитных заявок с дискретными ордерами, протоколы вроде Uniswap [AZR20, AZS+21, ASZ+23] и Balancer [MM19] используют детерминированную bonding curve: связь резервов токенов и курсов. Ликвидность доступна на непрерывном спектре цен ценой проскальзывания, заданного торговой функцией.

Роль LP радикально изменилась. Депонируя активы в смарт-контракт, LP по сути продают токены рынку по заранее заданному правилу [AEC23]. Позиция LP — сложный дериватив. Эквивалентность подчёркивают протоколы вроде Panoptic [LK22], использующие позиции Uniswap v3 как движок бессрочных опционов. С ростом сложности стратегий исследование смещается к оптимальному дизайну кривых: ранние AMM опирались на простые инварианты, сейчас нужны капиталоэффективные структуры под конкретные payoff.

Обзор литературы. LP как синтетические деривативы. Ранние работы реплицировали payoff Uniswap v2 портфелем опционов, затем — concentrated liquidity v3 [Cla20, Cla21]. Формализация — Angeris et al. [AEC23]: пространство допустимых payoff CFMM в терминах свойств торговой функции. IL всё чаще рассматривают как хеджируемый риск: Fukasawa et al. [FMW23] показывают, что в constant product IL идеально хеджируется взвешенным variance swap порядка $1/2$. Практические хеджи — стандартные путы и коллы против идиосинкразии concentrated liquidity [LLS25].

Ценообразование, хеджирование, подразумеваемая волатильность. Когда позиция LP — дериватив, возникает вопрос fair value. Недавние работы [BF24, BF25] задают безарбитражное ценообразование токенов ликвидности. Implied vol, извлечённая из потока комиссий, позволяет квантифицировать «цену ликвидности» в духе Блэка–Шоулза: мост между эндогенной генерацией комиссий и экзогенной волатильностью актива.

Динамика и параметризация. [TW24] даёт каноническую параметризацию CFMM через «профиль ликвидности». [RTW25] моделирует стохастическую динамику профилей. Это существенно для LVR: [SLG+25] представляет LVR как опцион с непрерывной рассрочкой — цена текущих издержек предоставления ликвидности против информированных арбитражёров.

Стратегическое предоставление ликвидности. Capponi, Zhu [CZ25] оптимальной остановкой показывают стратегии, прибыльные относительно buy-and-hold даже после LVR. Это подсказывает: естественные координаты AMM — цена и внутренняя ликвидность, вместе диктующие дизайн bonding function.

Вклад. Статья развивает каркас [TW24]. Переход от резервов к координатам цена–ликвидность даёт: (1) внутреннюю ликвидность размерности $\sqrt{\mathrm{ETH}\times\mathrm{USDC}}$ для всех bonding functions — универсальная метрика глубины; (2) резервы и функции ценности линейны по профилю внутренней ликвидности; (3) упрощение безарбитражного ценообразования, дельта-хеджа и риск-менеджмента; (4) единое представление от constant product до concentrated liquidity; (5) оценку профилей через тонкую структуру implied vol и last-passage time. Пара цена–внутренняя ликвидность — естественная система координат для ценообразования и хеджирования bonding functions.

2. Внутренняя ликвидность и профиль ликвидности

Обычно CFMM задают bonding function $f$ и уровнем $f(x,y)=K$, где $K$ толкуют как «глубину». Мы утверждаем, что это размерно несогласовано между архитектурами, и предлагаем внутреннее определение, инвариантное к перепараметризации.

2.1. Размерно согласованная ликвидность

Для CPMM (Uniswap v2) уровень $xy=K$, и $K$ имеет размерность $\sqrt{\mathrm{ETH}\times\mathrm{USDC}}$. Для G3M (Balancer) $x^\alpha y^{1-\alpha}=K$, и $K$ несёт размерность $\mathrm{ETH}^\alpha\times\mathrm{USDC}^{1-\alpha}$. Одно и то же число $K$ означает разные физические величины. Локальная внутренняя ликвидность $\ell$ в состоянии резервов $(x,y)$ для гладкой кривой $f(x,y)=K$:

\[ \ell := \frac{-2(f_x f_y)^{3/2}}{f_{yy}f_x^2 - 2f_{xy}f_x f_y + f_{xx}f_y^2}. \tag{1} \]

Всегда получается размерность $\sqrt{\mathrm{ETH}\times\mathrm{USDC}}$, как у CPMM. Геометрически $\ell$ связана с кривизной bonding curve. Два свойства: локальность — в отличие от глобального $K$, $\ell(x,y)$ характеризует мгновенный ценовой импакт; инвариантность — не зависит от представления ($xy=K^2$ vs $\sqrt{xy}=K$).

Пример 2.1 (G3M). Для $f(x,y)=x^\alpha y^{1-\alpha}=K$ формула (1) даёт $\ell$, согласованную с CPMM при $\alpha=1/2$.

2.2. Каноническая параметризация

Теорема 2.2. Пусть $p=-f_y/f_x$ — мгновенный курс (цена $Y$ в единицах $X$). Тогда резервы восстанавливаются интегрированием

\[ \frac{dx}{dp} = -\frac{\ell}{2p^{3/2}},\qquad \frac{dy}{dp}=\frac{\ell}{2\sqrt{p}}. \tag{2} \]

Доказательство — дифференцирование неявной кривой и подстановка (1); интегрирование от границ ($p\to\infty$ для $x$, $p\to 0$ для $y$). Профиль внутренней ликвидности — распределение $\ell(p)$ по спектру цен $(0,\infty)$. Удобнее работать с

\[ L(q):=\frac{\ell(q)}{2q^{3/2}}. \tag{3} \]

Тогда

\[ x(p)=\int_p^\infty L(q)\,dq,\qquad y(p)=\int_0^p q L(q)\,dq. \tag{4} \]

$L(q)\,dq$ несёт размерность токена $X$, $q L(q)\,dq$ — токена $Y$. Инфинитезимальный импакт объёма $dx$:

\[ dp = -\frac{1}{L(p)}\,dx. \tag{5} \]

Выше плотность $L(p)$ — меньше slippage.

2.3. Ценность профиля и репликация опционами

Mark-to-market ценность профиля $L$ в нумераре $Y$:

\[ V_L(p)=x(p)p+y(p)=\int_0^\infty \min\{p,q\}L(q)\,dq. \tag{6} \]

Поскольку $\min\{p,q\}=p-(p-q)^+$ — payoff покрытого колла со страйком $q$, $V_L$ — полоса взвешенных covered calls с весами $L(q)$.

Impermanent loss относительно buy-and-hold начальных резервов $(x(P_0),y(P_0))$:

\[ \mathrm{IL}(p\mid P_0,L)= V_L(P_0)+x(P_0)(p-P_0)-V_L(p). \]

Через формулу Карра–Мадана IL раскладывается в полосу ванильных путов (ниже $P_0$) и коллов (выше $P_0$) с плотностью $L(q)$ — уравнение (10) оригинала. Это задаёт fine-structure implied vol: каждому сегменту ликвидности можно приписать свою $\sigma(q)$.

Для concentrated liquidity Uniswap v3 на интервале $[p_a,p_b]$ с опорной $p_0$ payoff IL сводится к комбинации покрытых позиций и ванильных опционов на границах — явное выражение $u_0+u_{1/2}+u_1$ в оригинале, с. 8–9 (три режима: цена ниже диапазона, внутри, выше).

3. Ценообразование и хеджирование общих профилей

Линейность $V_L$ и IL по $L$ переносит риск-нейтральное ценообразование с ванильных опционов на произвольный профиль: достаточно проинтегрировать цены путов/коллов против $L$. Дельта, гамма, вега — те же интегралы от соответствующих греков. Систематический риск-менеджмент: шок профиля $L\mapsto L+\delta L$ линейно бьёт в ценность и греки.

3.2. Динамическое разложение: LVR

Нехеджируемая компонента IL — loss-versus-rebalancing [MMRZ22]. Формула Танаки по локальному времени $L^q_t(P)$ даёт

\[ \mathrm{IL}(P_t\mid P_0,L) = -\int_0^t \bigl(x(P_s)-x(P_0)\bigr)\,dP_s + \tfrac12\int_0^\infty L(q)\,L^q_t(P)\,dq. \tag{13} \]

Первый член — стоимость дельта-хеджа (изменение резерва $X$ относительно старта); второй — LVR как интеграл локального времени, взвешенный профилем. Для диффузии $d\langle P\rangle_t=\sigma^2(P_t)dt$ LVR становится $\int_0^t \tfrac12 L(P_s)\sigma^2(P_s)\,ds$ — непрерывная «рассрочка» за предоставление ликвидности против информированного потока. Связь с variance/gamma swaps: IL в constant product хеджируется взвешенным variance swap порядка $1/2$ [FMW23]; общая $L$ задаёт произвольные веса.

4. Ценообразование через last-passage time

Позиция CFMM «сбрасывается» при возврате цены к $P_0$: IL обнуляется. Это path-dependent свойство естественно кодируется временем последнего прохождения $\theta_t=\sup\{s\le t: P_s=P_0\}$. Распределение IL условно по $\theta_t$ сводится к распределению диффузии, стартующей из $P_0$ в момент $\theta_t$. Для GBM явные формулы через масштабную функцию дают ожидаемый P&L стратегии выхода при лог-пороге $\varepsilon$ (уравнение (25)):

\[ v(\varepsilon)=\mathbb{E}\bigl[e^{-r\tau_\varepsilon}\mathrm{IL}(P_{\tau_\varepsilon})+\text{накопленные комиссии}\bigr]. \]

При $\mu\ge r$ существует единственный максимизатор $\varepsilon^*>0$; при $\mu=r$ — явный $P_0 e^{\varepsilon^*}=y^{-1}(\varphi/r-y(P_0))$; при сильно отрицательном excess drift $v$ может монотонно расти к $\varphi/r$ (никогда не выходить).

Ожидаемый P&L как функция лог-цены выхода
Рис. 1. Ожидаемый P&L $v(\varepsilon)$ из (25) как функция лог-цены выхода. Пример 4.2: $P_0=1$, $L(q)=e^{-|q-1|/10}$, $\sigma=10\%$, $\varphi=2\%$. Слева: $\mu=2\%$, $r=1\%$, $\varepsilon^*\approx 0.65$. Центр: $\mu=2\%$, $r=3\%$, $\varepsilon^*\approx 0.45$. Справа: $\mu=1\%$, $r=4\%$ — максимума нет, $v\to\varphi/r=0.5$ (никогда не выходить).

5. Данные и численная реализация

Эмпирика — профили Uniswap v3 ETH/USDC (тиры 5 bp и 30 bp) и поверхность опционов Deribit. IL-репликация (10) назначает implied vol сегментам $L(q)=\ell(q)/(2q^{3/2})$. Мультиразрешение: агрегирование тиков в $n\in\{1,3,6,12,N\}$ бинов, где $N$ — нативная дискретизация пула.

Процентные ставки (приложение A): $r$ — безрисковая нумерара (USD), $\delta$ — стейкинг/доходность базового актива (ETH), как иностранная ставка в FX; форвард $F_{0,T}=P_0 e^{(r-\delta)T}$. Эмпирически Deribit underlying_price может отличаться от спота — используем котируемый форвард.

IL вклад 30bp пула
Рис. 2. Вклад IL для пула 30 bp ETH/USDC (снимок 17 ноября 2025, репрезентативный expiry). Левый столбец — вклад IL (путы / коллы / ATM-стрэддл); остальные — одноразрешённые IV: Блэк–Шоулз и нормированный Башелье $\sigma_B/P_0$. Верх — zoom-in, низ — zoom-out. Зелёная пунктир — спот $P_0$, синяя — форвард $F$.
IL вклад 5bp пула
Рис. 3. То же для пула 5 bp: IL более «шумный» и сконцентрированный; BS IV на мелком масштабе более зубчатый.
Мультиразрешённая IV 30bp
Рис. 4. Мультиразрешённый overlay implied vol для пула 30 bp (17 ноября 2025). Столбцы — квартальные expiry; верх — $\sigma_{\mathrm{BS}}$, низ — $\bar\sigma_B=\sigma_B/P_0$. Кривые: $n\in\{1,3,6,12,N\}$.
Мультиразрешённая IV 5bp
Рис. 5. То же для пула 5 bp. Мелкомасштабные осцилляции видны при $n=N$; грубые агрегации ($n=6,12$) восстанавливают стабильную макро-улыбку/скью.

Четыре устойчивых эмпирических факта:

  1. Разделение масштабов. Макро-улыбка и скью видны уже на грубом разрешении и качественно стабильны при росте $n$.
  2. Микроструктурная концентрация. Высокочастотные «виггли» сидят на самом мелком разрешении — эффект малых бинов, а не крупных режимных сдвигов.
  3. Временна́я структура. Ближние expiry сильнее искривлены, дальние площе и в BS, и в Башелье.
  4. Сравнение тиров. Пул 5 bp имеет более тонкую нативную структуру при $n=N$, но на сопоставимом грубом разрешении ($n=12$) улыбки 5 bp и 30 bp близки. Это совпадает с более тесной концентрацией IL на Рис. 2–3, из-за которой инверсия малых бинов чувствительнее.

Дополнительно (оригинал, с. 26 и приложение): тир комиссий меняет структурную концентрацию ликвидности, но underlying экономический риск — свойство рынка, а не пула; уровни BS IV согласуются с поверхностью Deribit. Приложение повторяет overlay для снимков 27 октября – 1 декабря 2025 (Рис. 6–15 оригинала): картина устойчива по датам.

6. Заключение и обсуждение

Каноническая параметризация bonding curve (4) даёт удобный каркас для: риск-нейтрального ценообразования и греков (дельта, гамма, вега) ценности пула и IL; тонкой структуры implied vol дискретных сегментов ликвидности; обобщённого LVR как интеграла квадратичной вариации, взвешенного профилем; path-dependent анализа IL через last-passage time («сброс» позиции CFMM). Численные примеры на Uniswap v3 ETH/USDC и Deribit подтверждают улыбку, согласующуюся с криптодинамикой: тиры меняют концентрацию ликвидности, underlying риск остаётся рыночным.

В работе (кроме эмпирики) профили статичны. На практике $\ell$ наблюдается ончейн, но эволюционирует с блоками и активностью LP — отсюда статистическое и динамическое моделирование поверхностей ликвидности [RTW25]. Параметризация (4) — основа рыночных моделей, согласованных с механизмом CFMM. Двойственность обновлений: сделки двигают состояние вдоль кривой, добавления/выводы LP сдвигают саму кривую:

\[ \begin{aligned} dx_t &= \int_{P_t}^\infty dL_t(q)\,dq + d\Lambda^a_t - d\Lambda^b_t, \\ dy_t &= \int_0^{P_t} q\,dL_t(q)\,dq - P_t d\Lambda^a_t - d\Lambda^b_t, \\ dP_t &= -\frac{1}{L_t(P_t)}(d\Lambda^a_t-d\Lambda^b_t), \\ dL_t(q) &= \{A L_t(q)+h(t,q)\}\,dt, \end{aligned} \]

где $\Lambda^i$ — кумулятивные объёмы сделок, $A$ описывает диффузию ликвидности. Стохастическая трактовка $L$ — [LRTW26]. Полный анализ системы при шуме — будущая работа.

Благодарности. S.N.T. благодарит NSTC Тайваня, грант 114-2115-M-007-012-MY3. Авторы использовали Google Gemini 3 (Flash, 2 марта 2026) для правки грамматики; теоремы, доказательства и анализ — исключительно авторов.

Приложение A (ставки). $r$ — безрисковая нумерара; $\delta$ — доходность/стейкинг базового актива (как иностранная ставка в FX). Риск-нейтральный дрейф $r-\delta$; форвард $F_{0,T}=P_0 e^{(r-\delta)T}$. Дальнейшие приложения оригинала: численное обращение (Gauss–Legendre на $[a,b]\subset(0,\infty)$), дополнительные IV-overlay по датам (Рис. 6–15).

Литература

  1. Angeris, G. and Chitra, T. (2020). Improved price oracles: Constant function market makers. AFT.
  2. Angeris, G. et al. (2024). Implementing a CFMM. / related CFMM theory.
  3. Angeris, G., Evans, A. and Chitra, T. (2023). Replicating market makers. Digital Finance.
  4. Adams, H. et al. Uniswap v2 / v3 / v4 core (2020, 2021, 2023).
  5. Martinelli, F. and Mushegian, N. (2019). Balancer whitepaper.
  6. Clark, J. (2020, 2021). The replicating portfolio of a constant product market / concentrated liquidity.
  7. Fukasawa, M., Maire, B. and Rosenbaum, M. (2023). Model-free hedging of impermanent loss.
  8. Bichuch, M. and Feinstein, Z. (2024, 2025). Arbitrage-free pricing of liquidity tokens.
  9. Tung, S.-N. and Wang, T.-H. (2024). Canonical parameterization of CFMMs via liquidity profiles.
  10. Risk, J., Tung, S.-N. and Wang, T.-H. (2025). Stochastic dynamics of liquidity profiles.
  11. Milionis, J., Moallemi, C. C., Roughgarden, T. and Zhang, A. L. (2022). Automated market making and loss-versus-rebalancing.
  12. Capponi, A. and Zhu, B. (2025). Optimal exiting for liquidity provision in CFMMs.
  13. Lambert, G. and Kristensen, J. (2022). Panoptic: perpetual options on Uniswap v3.
  14. Hasbrouck, J., Rivera, T. and Saleh, F.; Capponi, Jia; Gudgeon et al. — обзоры DeFi/DEX.

Полный библиографический список — в оригинале. Оригинал: arXiv:2603.01344 · Risk, Tung, Wang · CC BY 4.0.