Impermanent Loss Conditions: An Analysis of Decentralized Exchange Platforms

5/10

Маттиас Хафнер, Хельмут Дитль · 9 февраля 2024 (v3) · CfC St. Moritz Academic Research Track 2024

University of Zurich, Center for Cryptoeconomics и Swiss Economics; University of Zurich.

Оригинал: Hafner, M., Dietl, H. «Impermanent Loss Conditions: An Analysis of Decentralized Exchange Platforms», 2024 — arxiv.org/abs/2401.07689 (PDF), лицензия CC BY 4.0.

Рисунки и таблица воспроизведены из оригинальной публикации. Перевод выполнен с указанием источника в соответствии с условиями лицензии CC BY 4.0.

Аннотация

Децентрализованные биржи — массовые площадки для торговли криптоактивами. Самый распространённый тип работает через автоматических маркетмейкеров (AMM): трейдеры меняют активы, не ища встречную заявку, против резервов смарт-контракта. Резервы поставляют LP в обмен на комиссию. Статический анализ показывает, что даже небольшое изменение цены одного актива даёт убыток LP. Несмотря на успех AMM, часто утверждают, что LP в среднем теряют. Литература почти не учитывает динамику комиссий во времени. Мы исследуем непостоянные потери (impermanent loss, IL) в динамике методом Монте-Карло. Изменение цены само по себе не обязательно ведёт к убытку: не менее важны комиссии трейдеров и арбитражёров. Арбитраж-дружелюбная среда выгодна LP. Вывод для разработчиков AMM: стимулировать арбитраж, а не пытаться его запретить.

Ключевые слова: decentralized finance; decentralized exchanges; automated market makers; platform economics.

1. Введение

DEX нужны многим блокчейн-приложениям: доступ к сервисам и к криптоактивам без KYC, почти бесплатная композируемость с остальным DeFi. The Block Research: совокупный оборот DEX в 2021 превысил 1 000 млрд USD.

DEX работают без стакана. Трейдеры меняются не друг с другом, а с пулом ликвидности, который наполняют LP и за это получают комиссию. Цены выставляет AMM — формула или алгоритм, который гарантирует, что пул не опустеет ни по одному активу: если ETH в пуле USDC/ETH убывает, AMM поднимает цену ETH в USDC. Обычно это смарт-контракт.

Из-за автоматической подстройки суммарная стоимость активов в пуле может оказаться ниже, чем если бы LP просто держали их в кошельке. Разница — IL, описывается функцией прибыли LP. Практики считают IL главной проблемой; часть DEX обновила протоколы (Bancor Impermanent Loss Protection). Но рост и доля Uniswap — крупнейшего DEX, который проблему напрямую не «закрывал» — не говорят, что IL для LP самый важный фактор.

Рецензируемой литературы мало. Первые работы — Angeris et al. (2021): без комиссий прибыль LP отрицательно связана с изменением рыночных цен, AMM близко следит за референсной ценой. Evans (2021) обобщает. Рабочие бумаги: функции прибыли LP в CFMM (Angeris et al., 2022), приближённое хеджирование. Aigner and Dhaliwal (2021) — профиль риска LP и IL для Uniswap V2 в статике: IL — перевёрнутая U-функция относительного изменения цен. Labadie (2022) — IL растёт быстрее линейного и исчезает при возврате цены. Lehar and Parlour (2023) — IL как функция комиссий и adverse rebalancing; предложение ликвидности эндогенно определяется этим компромиссом.

Мы явно включаем накопленные комиссии трейдеров и арбитражёров в функцию прибыли LP. Агентная модель: меньше ограничений на взаимодействия. Симулируем LP, трейдеров и арбитражёров в разных сценариях на constant product AMM (Uniswap V2). Смежные переводы: арбитражная динамика цены, вознаграждение LP, хеджирование LP в CFMM.

2. Экономика децентрализованных бирж

DEX — трёхсторонняя платформа (рис. 1). LP поставляют активы в пул за комиссию. Пул из двух активов $A$ и $B$ (USDC и WETH). Трейдеры меняют один актив на другой, платя комиссию. Арбитражёры входят, когда курс $A/B$ на DEX расходится с другими рынками: если $B$ дороже относительно $A$ на другой площадке, покупают $B$ на DEX, отдавая $A$ плюс комиссию, и продают $B$ за $A$ снаружи — безрисковая прибыль.

Трёхсторонняя платформа DEX: LP, трейдеры, арбитражёры
Рис. 1. Взаимодействие участников DEX: LP, трейдеры и арбитражёры вокруг пула $A$ и $B$.

По резервам $R_A$, $R_B$ AMM назначает цену обмена. Если в пул отправляют $\Delta_A$ актива $A$, получают $\Delta_B$ актива $B$ по комиссии и цене AMM (и наоборот). Большинство AMM не дают пулу опустеть. Здесь — constant product, как Uniswap V2: первый и до сих пор самый распространённый тип. Есть другие формулы, особенно для стейблсвопов. Uniswap V3 тоже на constant product, но LP задаёт ценовой диапазон; эту опцию мы не моделируем.

\[ R_A \cdot R_B = k. \tag{1} \]

Без комиссий, обмен $B\to A$:

\[ (R_A-\Delta_A)(R_B+\Delta_B)=R_A R_B, \tag{2} \] \[ \Delta_A=\frac{R_A\Delta_B}{R_B+\Delta_B}. \tag{3} \]

Курс, предлагаемый пулом на актив $A$ ($\Delta_A=\varepsilon_{\mathrm{AMM}}\Delta_B$):

\[ \varepsilon_{\mathrm{AMM}}=\frac{\Delta_A}{\Delta_B}=\frac{R_A}{R_B+\Delta_B}. \tag{4} \]

Это убывающая функция $\Delta_B$: больший объём — хуже курс. Референсная цена $A$ в единицах $B$ — обратная величина:

\[ p_{\mathrm{AMM}}=\frac{1}{\varepsilon_A}=\frac{R_B+\Delta_B}{R_A}. \tag{5} \]

Пример: пул 50 единиц $A$ и 100 единиц $B$. Чтобы получить 10 единиц $A$, нужно отдать 25 единиц $B$. После сделки: 125 $B$ и 40 $A$, произведение то же: $100\cdot 50=125\cdot 40$.

Кривая постоянного произведения и сдвиг резервов при сделке
Рис. 2. Ценовая функция constant product AMM. Кривая $R_B=k/R_A$; сделка $\Delta_B\to\Delta_A$ двигает точку резервов вдоль инварианта.

Спотовая цена — наклон кривой:

\[ p_{\mathrm{AMM}}=-\frac{\partial R_B}{\partial R_A}=\frac{k}{R_A^2}=R_B/R_A. \tag{6--7} \]

Без комиссий Angeris et al. (2021): относительный выигрыш LP зависит только от рыночной цены

\[ \delta^{\mathrm{LP}}=\sqrt{p_m^T/p_m^1}. \tag{8} \]

IL относительно референсного портфеля (держать активы):

\[ \mathrm{IL}=\frac{W_1\delta^{\mathrm{LP}}}{W_1\delta^{\mathrm{Ref}}}-1=\frac{2\sqrt{p_m^T/p_m^1}}{1+p_m^T/p_m^1}-1. \tag{9} \]

Без комиссий любое изменение рыночной цены даёт IL. С комиссиями итоговый return зависит от взаимодействий с арбитражёрами и трейдерами — отсюда агентная модель.

3. Агентная модель

Симулируем взаимодействия рыночных цен, трейдеров, арбитражёров, LP и AMM пула WETH/USDC. Ончейн-данные Uniswap V2, май 2021 — май 2022. Трейдеры меняют WETH на USDC (и обратно). AMM обновляет курс по constant product. Если спот AMM расходится с рынком, арбитражёры торгуют против пула. В симуляции LP с пулом не взаимодействуют (не добавляют и не снимают ликвидность по ходу).

3.1. Общая процедура

Один цикл — один период; горизонт — год. Четыре блока: состояние, арбитражёр, трейдер, AMM. Арбитражёры проверяют возможность после каждого обновления состояния и после каждой сделки трейдера, поэтому блоки могут запускаться несколько раз за итерацию.

Блок-схема агентной модели
Рис. 3. Процесс агентной модели: обновление рыночной цены, проверка арбитража, сделка трейдера, обновление резервов AMM, повторная проверка арбитража.

3.2. Решения агентов

Начальная конфигурация. Мир заполняется репрезентативными трейдерами и арбитражёрами, рыночными ценами и резервами пула. Значения — Uniswap WETH/USDC (сделки, комиссии, размер пула) и Binance (рыночная цена) за 2021: 1,3 млн сделок за год (приложение A). MEV-сделки исключены: арбитраж моделируется эндогенно.

Состояние. Обновляются рыночные цены.

Арбитражёры. Считают спот Uniswap и сравнивают с рынком. В базовой симуляции почти идеальные условия: если расхождение больше комиссии плюс небольшие транзакционные издержки, арбитражёр торгует оптимальным объёмом. Без комиссий прибыль

\[ \pi=p_A\Delta_A-p_B\Delta_B. \tag{10} \]

Оптимальный объём $A$:

\[ \Delta_A^*=\bigl(R_A-\sqrt{(R_A R_B)/p_m}\bigr)^+, \tag{11} \]

где $(x)^+=\max\{x,0\}$. Вывод с комиссиями — в приложении D оригинала. Если спот $A$ на Uniswap выше рынка — торгуют в обратную сторону.

AMM. Сделка запускает constant product $R_A R_B=k$: сколько отдать взамен и сколько забрать комиссией. Из-за накопленных комиссий константа $k$ обновляется к следующей сделке.

Трейдеры. Ордер по историческим объёмам Uniswap WETH/USDC. После сделки трейдера — ещё один раунд арбитража.

3.3. Эксперименты

Четыре эксперимента: проверка стандартных гипотез (оборот и размер пула), влияние роста цены ETH, влияние транзакционных издержек арбитражёров (прокси конкуренции).

Торговая активность. Больше оборот — больше накопленных комиссий — выше прибыль LP. Объём режем, оставляя каждую $n$-ю сделку.

Ликвидность. Чем больше пул, тем меньше отношение комиссий к вложенному капиталу. Увеличиваем начальные резервы WETH/USDC.

Рост. Без комиссий тренд цены даёт IL. Генерируем цену геометрическим броуновским движением с разными ожидаемыми темпами $g$, объёмы сделок масштабируем, чтобы оборот не менялся:

\[ p_t=p_{t-1}\exp\bigl((g-0.5\sigma^2)\Delta t+\sigma\sqrt{\Delta t}\,z_t\bigr). \tag{12} \]

Издержки арбитражёров. Расхожее мнение: высокая арбитражная активность вредит LP. Milionis et al. (2023): любая арбитражная прибыль — убыток LP. Арбитражёр торгует, когда спот отклоняется больше суммы комиссии и издержек $\tau$:

\[ p_m \gt p_{\mathrm{AMM}}\cdot \frac{1}{1-\mathrm{fees}-\tau}. \tag{13} \]

4. Результаты и обсуждение

4.1. Стандартные результаты

Базовый сценарий — приложение A. Воспроизводим известное: рост оборота или уменьшение ликвидности повышает прибыльность LP. Больше сделок — больше накопленных комиссий. Больше пул — те же комиссии размазываются на больший капитал.

4.2. Изменения рыночной цены

Без комиссий. Базовый сценарий, все комиссии и издержки обнулены. Годовой тренд ETH от $-90\%$ (с 2 765 до 277 USD) до $+90\%$ (до 5 254 USD). Воспроизводится классическая «улыбка» IL (рис. 4) — в согласии со статикой.

Относительная прибыль LP без комиссий против тренда ETH
Рис. 4. Относительная годовая прибыль LP без комиссий при разных рыночных трендах. Синее — симуляция, красное — теоретический бенчмарк без комиссий.

С комиссиями. Те же тренды при положительных торговых комиссиях (рис. 5). LP в плюсе относительно стратегии «держать», пока цена не падает больше чем на 75% и не растёт больше чем на 300% за год. Значимый эффект тренда — только при исключительно сильных движениях.

Относительная прибыль LP с комиссиями против тренда ETH
Рис. 5. Относительная годовая прибыль LP с комиссиями. Синие точки сдвинуты вверх относительно красного бенчмарка без комиссий.

Два эффекта: сделки арбитражёров меняют состав пула — «rebalancing losses»; трейдеры и арбитражёры платят комиссию — «fee gains». Нетто зависит от того, что больше. Сам fee-эффект сильно зависит от отношения оборот/ликвидность. В базовой модели это около $2/100$ (250 млн USDC / 11,9 млрд USDC оборота): ребалансировка перевешивает комиссии только при экстремальных движениях цены.

4.3. Транзакционные издержки арбитражёров

Принято считать, что высокая арбитражная активность бьёт по LP. Но арбитражёры тоже платят комиссию. Варьируем барьер входа $\tau$ от 0 до 5% (рис. 6).

Прибыль LP против транзакционных издержек арбитражёров
Рис. 6. Относительная годовая прибыль LP при разных транзакционных издержках арбитражёров. Синие точки — прогоны, линия — среднее.

Результат неожиданный: чем выше издержки арбитражёров, тем ниже прибыль LP. То есть более активный арбитраж увеличивает прибыль LP — против популярного убеждения. Rebalancing losses не зависят от числа арбитражных сделок и во времени постоянны, как в (8). Fee gains растут с активностью. Поэтому больше арбитража — больше прибыль LP. В статике комиссии арбитражёров часто игнорируют или моделируют одной сделкой; в динамике они существенны.

5. Заключение

Мы моделируем динамические взаимодействия LP, трейдеров и арбитражёров и явно включаем накопленные комиссии в функцию прибыли LP. Агентная симуляция constant product AMM.

IL менее суровы, чем принято думать. Статика говорит, что уже небольшой рост цены даёт убыток; с накоплением комиссий изменение цены само по себе не обязательно ведёт к потерям. IL возникает, когда изменение цены постоянно, неожиданно и достаточно велико. Return LP положительно связан с торговыми комиссиями и отрицательно — с (постоянными) изменениями цены и объёмом ликвидности. В конкурентной среде предложение ликвидности определяется ожидаемыми изменениями цены и оборотом; IL — при неожиданных сдвигах этих величин, если накопленные комиссии не компенсируют убыток.

Размер IL уменьшается с интенсивностью конкуренции арбитражёров, потому что fee gains от них существенны. Разработчикам AMM стоит создавать арбитраж-дружелюбную среду с низкими транзакционными издержками, а не пытаться арбитраж запретить.

Приложения

A. Данные

Таблица 1. Исторические значения референсного датасета и начальные значения симуляции.
ПеременнаяИсторическоеНачальное в модели
Начальный размер пулаØ 240,6 млн USDC250 млн USDC
Оборот за год $Q$11,9 млрд USDC11,9 млрд (100%)
Рост рыночной цены $g$0%0%
Волатильность доходности $\sigma$1,21
Число сделок $N$1,31 млн1,31 млн
Горизонт $T$1 год1 год
Комиссия протокола0,3%0,3%

B–C. Constant product и комиссии

Обобщённая форма $\prod_i R_i^{w_i}=k$. Здесь два актива, равные веса, как Uniswap V2. С комиссией $\gamma=1-\mathrm{fee}$:

\[ (R_A-\Delta_A)(R_B+\gamma\Delta_B)=R_A R_B,\qquad \Delta_A=\frac{R_A\gamma\Delta_B}{R_B+\gamma\Delta_B}, \] \[ \varepsilon_{\mathrm{AMM}}=\frac{\gamma R_A}{R_B+\gamma\Delta_B},\qquad p_{\mathrm{AMM}}=\frac{R_B+\gamma\Delta_B}{\gamma R_A}. \]

Для бесконечно малых сделок $\varepsilon_{\mathrm{AMM}}=\gamma R_A/R_B$. Приложение D оригинала — оптимальный объём арбитражёра с комиссиями.

Литература

  1. The Block Research. DEFI Exchange (accessed 6 Oct 2022).
  2. Aigner, A. and Dhaliwal, G. (2021). UNISWAP: Impermanent Loss and Risk Profile of a Liquidity Provider. arXiv:2106.14404.
  3. Bancor. Bancor V3 Documentation.
  4. Angeris, G., Kao, H.-T., Chiang, R., Noyes, C. and Chitra, T. (2021). An analysis of Uniswap markets. Cryptoeconomic Systems 1.1.
  5. Angeris, G., Chitra, T. and Evans, A. (2022). When does the tail wag the dog? Curvature and market making. Cryptoeconomic Systems 2.1.
  6. Evans, A. (2021). Liquidity provider returns in geometric mean markets. Cryptoeconomic Systems 1.2.
  7. Clark, J. (2021). The replicating portfolio of a constant product market with bounded liquidity. SSRN 3898384.
  8. Fukasawa, M., Maire, B. and Wunsch, M. (2022). Weighted variance swaps hedge against impermanent loss. SSRN 4095029.
  9. Aigner, A. and Dhaliwal, G. (2021). см. [2].
  10. Labadie, M. (2022). Impermanent loss and slippage in AMMs with constant-product.
  11. Lehar, A. and Parlour, C. A. (2023). Decentralized exchange: The Uniswap automated market maker. SSRN.
  12. Egorov, M. (2019). StableSwap — efficient mechanism for stablecoin liquidity.
  13. Xu, J., Paruch, K., Cousaert, S. and Feng, Y. SoK: Decentralized exchanges with automated market makers.
  14. Zhang, Y., Chen, X. and Park, D. Formal specification of constant product ($x\times y=k$) market maker model.
  15. Krishnamachari, B., Feng, Q. and Grippo, E. Dynamic curves for decentralized autonomous cryptocurrency exchanges.
  16. Dune on-chain data (accessed 5 June 2022).
  17. Dune Ethereum address labels.
  18. Etherscan Ethereum address labels.
  19. Davison, M. (2014). Quantitative Finance. CRC Press.
  20. Milionis, J., Moallemi, C. C. and Roughgarden, T. (2023). Automated market making and arbitrage profits in the presence of fees. arXiv:2305.14604.

Перевод выполнен с сохранением структуры, формул и данных оригинала. Оригинал: arXiv:2401.07689 · Hafner, Dietl · CC BY 4.0.