DeFi и автоматический маркетмейкинг: предсказуемые потери и оптимальная ликвидность
Álvaro Cartea, Fayçal Drissi, Marcello Monga · Oxford-Man Institute of Quantitative Finance; Mathematical Institute, University of Oxford, Oxford, UK
Оригинал: Cartea, Á., Drissi, F. and Monga, M. «Decentralised Finance and Automated Market Making: Predictable Loss and Optimal Liquidity Provision», forthcoming in SIAM Journal on Financial Mathematics, arXiv v3, 13 июня 2024 — arxiv.org/abs/2309.08431 (PDF).
Рисунки воспроизведены из оригинальной публикации. Оригинал размещён под стандартной лицензией arXiv (non-exclusive distribution); перевод выполнен для личного ознакомления с указанием источника.
Ключевые слова: decentralised finance; automated market making; concentrated liquidity; algorithmic trading; market making; stochastic control; predictable loss; impermanent loss; signals.
Аннотация
Рынки constant product с концентрированной ликвидностью (CL) — самый популярный тип автоматических маркетмейкеров. В этой работе мы характеризуем непрерывную динамику богатства стратегических LP, которые динамически меняют диапазон предоставления ликвидности в CL-пулах. Богатство складывается из комиссионного дохода, стоимости активов в пуле и издержек ребалансировки. Далее выводится самофинансируемая замкнутая оптимальная стратегия предоставления ликвидности, где ширина диапазона определяется прибыльностью пула (комиссии минус gas), предсказуемыми потерями (PL) позиции LP и концентрационным риском — падением комиссий, когда маржинальный курс (аналог mid-price в стакане) выходит из диапазона LP. При стохастическом дрейфе курса показываем, как оптимально смещать (skew) диапазон, чтобы увеличить комиссии и извлечь выгоду из ожидаемых изменений курса. Наконец, на данных Uniswap v3 показываем, что в среднем LP торговали с существенным убытком, а out-of-sample производительность нашей стратегии превосходит историческую среднюю по пулу ETH/USDC.
1. Введение
На традиционных биржах ликвидность клирируется через лимитный стакан; в constant function markets (CFM) takers и providers взаимодействуют в пулах ликвидности. Сейчас доминируют constant product markets (CPM) с CL — Uniswap v3 (Adams et al., 2021). LP задают интервалы курсов (tick ranges), в которых депонируют активы; ликвидность становится контрагентом сделок LT, пока маржинальный курс пула лежит в диапазоне LP. Комиссии LT аккумулируются и выплачиваются при выводе; доля LP пропорциональна её ликвидности в каждом диапазоне.
Литература описывает потери LP, но не даёт инструментов для стратегического предоставления ликвидности. Мы изучаем стратегическое предоставление в CPM с CL: выводим непрерывную динамику богатства LP (стоимость позиции, комиссии, издержки репозиционирования). Ширина диапазона влияет на стоимость позиции: предсказуемые потери (PL) растут при сужении диапазона. PL — нехеджируемые потери от обесценивания активов в пуле и opportunity cost блокировки капитала (Cartea et al., 2023b); близки к loss-versus-rebalancing (LVR) Milionis et al. (2022). Комиссионный доход подчиняется tradeoff между шириной диапазона и волатильностью маржинального курса: CL повышает комиссии, пока курс в диапазоне, но усиливает концентрационный риск — прекращение сбора комиссий при выходе курса.
Выводим оптимальную динамическую стратегию: LP максимизирует ожидаемую полезность терминального богатства (комиссии плюс P&L маркетмейкинга). Стратегия управляет шириной и скью диапазона вокруг маржинального курса. Для log-utility — замкнутое решение, балансирующее PL и сбор комиссий. При росте волатильности PL растёт → стимул расширить диапазон; при экстремально высокой волатильности LP должна выйти из пула. При росте потенциальных комиссий стратегия балансирует концентрацию ликвидности в узком диапазоне и ограничение концентрационного риска расширением диапазона. При стохастическом дрейфе курса (прогнозный сигнал) диапазон смещается для захвата LT-потока и прибыли от ожидаемых изменений курса.
На данных Uniswap v3 (пул ETH/USDC, 5 мая 2021 — 18 августа 2022) in-sample оцениваем параметры, out-of-sample тестируем стратегию. Исторически LP в среднем торговали с существенным убытком; out-of-sample наша стратегия значительно лучше среднего LP.
Связанные работы. Ранние AMM: Chiu and Koeppl (2019), Angeris et al. (2021), Capponi and Jia (2021), обзор Biais et al. (2023). Стратегическое предоставление: Heimbach et al. (2022), Cartea et al. (2023b), Milionis et al. (2023), Fukasawa et al. (2023), Lı et al. (2023). Ближе всего Fan et al. (2021, 2022) — фокус на комиссиях и аппроксимации. Дизайн AMM: Goyal et al. (2023), Lommers et al. (2023), Cartea et al. (2023c), Bergault et al. (2024), He et al. (2024). Связь с алгоритмическим маркетмейкингом: Ho and Stoll (1983), Avellaneda and Stoikov (2008), Cartea et al. (2014, 2017), Guéant (2017), Bergault et al. (2021), Drissi (2022); сигналы: Cartea et al. (2018), Cartea and Wang (2020), Bergault et al. (2022).
Структура: раздел 2 — CL-пулы; раздел 3 — динамика богатства LP; раздел 4 — модель и замкнутая оптимальная стратегия; раздел 5 — эмпирика Uniswap v3.
2. Constant function markets и концентрированная ликвидность
2.1. Constant function markets
Базовый актив $X$ и рискованный $Y$ (цена $Y$ в единицах $X$). Пул задаёт маржинальный курс $Z$. В CFM с комиссией $\tau$ торговая функция $f(q^X,q^Y)=\kappa^2$ связывает резервы до и после сделки; $q^X=\varphi_\kappa(q^Y)$ для убывающей level function $\varphi_\kappa$.
Курс исполнения $\tilde Z(\pm y)$ при объёме $\pm y$ задаётся уравнениями (1)–(2). При покупке LT $y$ актива $Y$ она платит $x=y\times\tilde Z(y)$ актива $X$:
\[ \tilde Z(y)=\frac{\varphi_\kappa(q^Y)-\varphi_\kappa(q^Y-y)}{(1-\tau)\,y}. \tag{1} \]При продаже $y$ актива $Y$ LT получает $x=y\times\tilde Z(-y)$:
\[ \tilde Z(-y)=\frac{\varphi_\kappa(q^Y)-\varphi_\kappa(q^Y+(1-\tau)y)}{y}. \tag{2} \]В CL-маркетах маржинальный курс $Z=-\varphi'_\kappa(q^Y)$ — цена бесконечно малой сделки при $\tau=0$. В Uniswap v2: $f=q^X q^Y$, $\varphi_\kappa(q^Y)=\kappa^2/q^Y$, $Z=q^X/q^Y$. Операции LP в CPM не двигают маржинальный курс: при депозите $(x,y)$ выполняется $Z=q^X/q^Y=(q^X+x)/(q^Y+y)$.
2.2. Рынки с концентрированной ликвидностью
LP задаёт диапазон курсов $(Z^\ell,Z^u]$ из конечного множества тиков $\{Z^1,\ldots,Z^N\}$; интервал $(Z^i,Z^{i+1}]$ — минимальный tick range (Drissi, 2023). Активы в $(Z^\ell,Z^u]$ поддерживают движение курса между $Z^\ell$ и $Z^u$. Количества $(x,y)$ LP удовлетворяют (3): при $Z\le Z^\ell$ — только $Y$; при $Z^\ell
Внутри tick range действуют формулы (1)–(2); общая глубина $\kappa$ — сумма $\tilde\kappa$ всех LP в диапазоне. Крупная LT-сделка может пересечь границу тика — два исполнения с разными $\kappa$.
Пропорциональная комиссия $\tau$ распределяется между LP: если LP с глубиной $\tilde\kappa$ в диапазоне с общей глубиной $\kappa$, при комиссии $p$ от LT она получает
\[ \tilde p=\frac{\tilde\kappa}{\kappa}\,p\,\mathbf{1}_{Z^\ell3. Богатство поставщиков ликвидности в CL-пулах
Стратегический LP динамически отслеживает маржинальный курс $Z$. Позиция самофинансируется на $[0,T]$: LP выводит ликвидность, собирает комиссии, депонирует в новом диапазоне. Фильтрованное пространство $(\Omega,\mathcal F,\mathbb P;\mathbb F=(\mathcal F_t)_{t\in[0,T]})$.
Маржинальный курс
\[ dZ_t=\mu_t Z_t\,dt+\sigma Z_t\,dW_t, \tag{5} \]где $\sigma\ge 0$, $W$ — броуновское движение, независимое от càdlàg-дрейфа $\mu$ с конечным четвёртым моментом. LP наблюдает $\mu$ и использует его для оптимизации.
LP с начальным богатством $\tilde x_0$ (в $X$) депонирует $(x_0,y_0)$ в $(Z_0^\ell,Z_0^u)$ с глубиной $\tilde\kappa_0$, $\tilde x_0=x_0+y_0 Z_0$. Богатство $\tilde x_t=\alpha_t+p_t+c_t$: $\alpha$ — стоимость позиции, $p$ — комиссии, $c$ — издержки ребалансировки.
3.1. Стоимость позиции
LP управляет $\delta_t^\ell$, $\delta_t^u$, задающими границы через (6):
\[ (Z_t^u)^{1/2}=Z_t^{1/2}/(1-\delta_t^u/2),\qquad (Z_t^\ell)^{1/2}=Z_t^{1/2}(1-\delta_t^\ell/2). \tag{6} \]Спред позиции $\delta_t=\delta_t^u+\delta_t^\ell$ (7). Для малых спредов $(Z_t^u-Z_t^\ell)/Z_t\approx\delta_t$. Holdings (Cartea et al., 2023b):
\[ x_t=\frac{\delta_t^\ell}{\delta_t^\ell+\delta_t^u}\,\alpha_t,\qquad y_t=\frac{\delta_t^u}{Z_t(\delta_t^\ell+\delta_t^u)}\,\alpha_t. \tag{8} \]Динамика стоимости позиции (9):
\[ d\alpha_t=d\mathrm{PL}_t+\tilde x_t\,\frac{1}{\delta_t^\ell+\delta_t^u}(\mu_t\delta_t^u\,dt+\sigma\delta_t^u\,dW_t), \] \[ d\mathrm{PL}_t=-\frac{\sigma^2}{2}\int_0^t\frac{\tilde x_s}{\delta_s}\,ds \quad\text{(PL, предсказуемые потери)}. \tag{9} \]PL масштабируется с волатильностью; больший спред $\delta$ снижает PL. При $\mu_t\ge 0$ LP увеличивает ожидаемое богатство ростом $\delta^u$ (скью вправо), но растёт дисперсия $d\langle\alpha,\alpha\rangle_t=\tilde x_t^2\sigma^2(\delta_t^u/\delta_t)^2 dt$. При $\mu\le 0$ — скью влево ($\delta^\ell$).
3.2. Комиссионный доход
3.2.1. Ставка комиссии пула
Модель раздела 4 использует мгновенную ставку комиссии пула $\pi$ — прибыльность пула (аналог интенсивности рыночных заявок в LOB), в отличие от фиксированной $\tau$ на сделку. На данных Uniswap v3 (приложение A, табл. A.4):
\[ \pi_t=0{,}05\%\cdot\frac{V_t}{2\kappa Z_t^{1/2}}, \]где $V_t$ — объём LT за предыдущий день, $2\kappa Z_t^{1/2}$ — размер пула в $X$. $\pi$ стохастична и mean-reverting; слабо коррелирована с $Z$ (табл. 1). В разделе 4 — CIR-динамика для $\pi$.
| $\Delta t=1$ мин | 5 мин | 1 ч | 1 день | |
|---|---|---|---|---|
| Корреляция | −2,1% | −2,4% | −2,6% | −10,9% |
| p-value (two-tailed) | 2,0% | 8,9% | 8,2% | 16,7% |
| $R^2$ | 0,01% | 1,1% | 2,9% | 5,0% |
3.2.2. Спред и концентрационный риск
Рост спреда снижает глубину $\tilde\kappa$ позиции (рис. 2) и потенциальный комиссионный доход ($\propto \tilde\kappa/\kappa$), но узкие диапазоны усиливают концентрационный риск — курс $Z$ быстрее выходит из диапазона. Непрерывная версия (4) при условии, что курс в диапазоне, с концентрационным штрафом:
\[ dp_t=\frac{4}{\delta_t^\ell+\delta_t^u}\,\pi_t\,\tilde x_t\,dt-\gamma\left(\frac{1}{\delta_t^\ell+\delta_t^u}\right)^2\tilde x_t\,dt, \tag{12} \]где $\gamma>0$ — параметр концентрационной «стоимости», растущий при сужении спреда.
На данных ETH/USDC для частот ребалансировки $m=1$ и $5$ минут оцениваем средний реализованный комиссионный доход $\bar p_{\delta,m}$ при $\tilde x=1$. Регрессия $\delta^2\bar p_{\delta,m}=4\pi m\,\delta-\gamma m$ даёт $\gamma$ (рис. 3). Узкие диапазоны снижают комиссии из-за концентрационного риска; квадратичная аппроксимация (12) хорошо описывает форму дохода.
3.2.3. Дрейф и асимметрия
Дрейф $\mu$ — ожидаемые изменения курса (прогнозный сигнал). Асимметрия позиции (13): $\rho_t=\delta_t^u/(\delta_t^u+\delta_t^\ell)=\delta_t^u/\delta_t$. В модели (14):
\[ \rho_t=\rho(\delta_t,\mu_t)=\frac12+\frac{\mu_t}{2\delta_t}=\frac12+\frac{\mu_t}{\delta_t^u+\delta_t^\ell}. \tag{14} \]При $\mu=0$ — симметричная позиция ($\rho=1/2$); при $\mu>0$ — скью вправо; при $\mu<0$ — скью влево.
Данные Uniswap v3 подтверждают: при положительном дрейфе $\rho^\star>0{,}5$, при отрицательном — $\rho^\star<0{,}5$; узкие диапазоны требуют большей асимметрии. В разделе 4 LP фиксирует $\rho$ по (14) и оптимизирует только спред $\delta$.
3.3. Издержки ребалансировки и gas
Репозиционирование меняет holdings (8) → LP торгует активами в пуле или на внешней площадке. Издержки пропорциональны $y_t$ (Fan et al., 2021, 2022):
\[ c_t=-\zeta\,y_t Z_t=-\zeta\,\frac{\delta_t^u}{\delta_t^\ell+\delta_t^u}\,\tilde x_t,\quad c_0=0, \tag{15} \]$\zeta>0$ — постоянная исполнения. Gas — плоская плата блокчейну, масштабируется с частотой транзакций; в непрерывной модели не входит в оптимизацию, но критична при реализации (Lı et al., 2023).
4. Оптимальное предоставление ликвидности в CL-пулах
4.1. Постановка задачи
Фильтрация от $(Z,\mu,\pi)$. Богатство (16) из (9), (12), (15) при $\zeta=0$:
\[ d\tilde x_t=\tilde x_t\left[\frac{4\pi_t-\frac{\sigma^2}{2\delta_t}-\gamma\left(\frac{1}{\delta_t}\right)^2}{\delta_t}\,dt+\mu_t\rho(\delta_t,\mu_t)\,dt+\sigma\rho(\delta_t,\mu_t)\,dW_t\right]. \tag{16} \]Ставка комиссии пула — CIR-type относительно порога прибыльности $\eta$:
\[ d(\pi_t-\eta_t)=\Gamma(\bar\pi+\eta_t-\pi_t)\,dt+\psi\sqrt{\pi_t-\eta_t}\,dB_t, \tag{17} \]Допущение 1. Порог (18): $\eta_t=\frac{\sigma^2\mu_t}{8}-\frac{\mu_t}{4}(\mu_t-\frac{\sigma^2}{2}+\frac{\varepsilon}{4})$. Условие прибыльности (19):
\[ \pi_t-\eta_t\ge 0 \;\Longrightarrow\; 4\pi_t-\frac{\sigma^2}{2}+\mu_t\left(\mu_t-\frac{\sigma^2}{2}\right)\ge\varepsilon>0. \tag{19} \]Допустимые стратегии $\mathcal A_t$: $\delta$ адаптирован к $\mathbb F$, $\int_t^T\delta_s^{-4}\,ds<\infty$ a.s. Критерий LP: $u=\sup_{\delta\in\mathcal A}\mathbb E[U(\tilde x_T^\delta)]$ (21).
4.2. Оптимальная стратегия
Пропозиция 1. При $\rho$ из (14) и $U(x)=\log x$ функция ценности (22) решает HJB (доказательство — приложение B.1).
Теорема 1. При допущении 1, $\rho$ из (14) и log-utility оптимальный спред
\[ \delta_s^\star=\frac{2\gamma+\mu_s^2\sigma^2}{4(\pi_s-\eta_s)+\varepsilon}=\frac{2\gamma+\mu_s^2\sigma^2}{4\pi_s-\sigma^2+2\mu_s\left(\mu_s-\frac{\sigma^2}{2}\right)+4\varepsilon}. \tag{23} \]4.3. Обсуждение: прибыльность, PL и концентрационный риск
При $\mu=0$ из (23): $\delta_t^\star=\frac{4\gamma}{8\pi_t-\sigma^2}$ (24). Условие (25): $4\pi_t-\sigma^2/2\ge\varepsilon>0$. Минимальная скорость обесценивания от PL — $\sigma^2/8$ (максимальный диапазон, эквивалент CPM без CL); при спреде одного тика — максимум $\sigma^2/(2\delta^{\mathrm{tick}})$.
Правило для LP: при $\mu=0$ сравнивать прибыльность пула с $\sigma^2/8$. Условие (26): $\pi-\gamma/8\ge\sigma^2/8$. $\delta^\star>4$ — нежизнеспособность LP-активности.
$\gamma$ линейно масштабирует спред. Высокая $\pi$ тянет к узкому диапазону; рост $\sigma$ расширяет диапазон. Оптимальный спред не зависит от $T$ — нет штрафа за инвентарь $Y$ (в отличие от LOB-моделей).
4.4. Обсуждение: дрейф и скью
Концы оптимального спреда при ненулевом $\mu$ (27): $\delta_t^{u\star}=\delta_t^{\mathrm{base}}+\mu_t$, $\delta_t^{\ell\star}=\delta_t^{\mathrm{base}}-\mu_t$, где $\delta_t^{\mathrm{base}}$ — знаменатель из (23). Условие (31): $2|\mu|\le\delta\le 4-2|\mu|$ — при $|\mu|>1$ LP выходит. $\partial\delta^{\ell\star}/\partial\sigma=\partial\delta^{u\star}/\partial\sigma>0$ при $\mu\in[-1,1]$.
5. Производительность стратегии
5.1. Методология
Данные Uniswap v3, 1 января — 18 августа 2022. Дискретизация: шаг 1 минута. In-sample $[t_i-1\,\text{день},t_i]$: $\sigma$ — st. откл. 1-мин log-доходностей $\times\sqrt{1440}$; $\pi_t$ — комиссии / размер пула; $\gamma=5\times10^{-7}$; $\mu=0$, $\rho=0{,}5$. Out-of-sample: $\alpha$ по (9), комиссии по (4). Издержки исполнения — Cartea et al. (2022). 331 858 операций LP.
5.2. Бенчмарк
Сравнение с реальными LP: пары «депозит — вывод» той же $\tilde\kappa$ (~66% операций, 5 156 LP). Средний P&L позиции −1,64%, комиссии +0,155%, итого ~−1,49% на операцию.
| Операций/LP | P&L позиции | Комиссии | Время | Спред | |
|---|---|---|---|---|---|
| Среднее | 11,5 | −1,64% | 0,155% | 6,1 дн. | 18,7% |
| St. откл. | 40,2 | 7,5% | 0,274% | 22,4 дн. | 43,2% |
5.3. Результаты
При нулевом gas основная масса ликвидности со спредом $\delta<1\%$ (рис. 10). Табл. 3 — 1-минутная производительность.
| P&L позиции | Комиссии | Итого | |
|---|---|---|---|
| Оптимальная стратегия | −0,015% (0,095%) | 0,0197% (0,005%) | +0,0047% (0,02%) |
| Рынок (LP) | −0,0024% (0,02%) | 0,0017% (0,005%) | −0,00067% (0,02%) |
| Buy-and-hold | n/a | n/a | −0,00016% (0,08%) |
Комиссии покрывают PL при нулевом gas. Стратегия улучшает итоговый P&L vs средний LP. Gas: ~84,8 USD/цикл → прибыльность при капитале ~$1{,}8\times10^6$.
6. Обсуждение допущений модели
- Непрерывная торговля vs дискретные блоки Ethereum (~13 с); sandwich-атаки (Capponi et al., 2023b).
- Ребалансировка — издержки $\propto y$; на практике зависят от изменения holdings.
- Gas — стохастичен; непрерывная стратегия требует крупного капитала.
- Концентрационные издержки — штраф $\propto 1/\delta^2$; калибровка $\gamma$ под частоту ребалансировки.
- Асимметрия — фиксированная связь (14); будущая работа — управление $\rho$.
- Динамика комиссий — $\pi$ не коррелирована с ценой.
- Условие прибыльности (19) — метрика для LP перед депозитом.
- Постоянная $\sigma$ — расширение на SV прямолинейно.
- Market impact LP на LT не моделируется.
6.1. Связанные работы
Fan et al. (2021, 2022) — CL, фокус на комиссиях, нейросетевые аппроксимации. Наша модель — замкнутые формулы, баланс комиссий, концентрационного риска, PL и ребалансировки плюс ценовые сигналы.
7. Заключение
Изучена динамика богатства LP в CPM с CL. PL обесценивает позицию → расширение диапазона; комиссии выше при узких диапазонах, но растёт концентрационный риск. Для log-utility — замкнутая стратегия с условием прибыльности: комиссии (net gas и концентрационных издержек) должны превышать PL. Эмпирика Uniswap v3: исторические LP в убытке; out-of-sample стратегия значительно лучше.
См. также: LVR, равновесное вознаграждение LP, price-aware AMM, CL с плечом.
Приложение A. Статистика пула Uniswap v3 ETH/USDC
Комиссия LT — 0,05%. Fee tiers Uniswap v3: 0,01%, 0,05%, 0,30%, 1%.
| LT | LP | |
|---|---|---|
| Число инструкций | 2 654 347 | 68 434 |
| Среднее в день | 4 720 | 471 |
| Объём USD | ≈ $262×10⁹ | ≈ $232×10⁹ |
| Средний дневной объём | $554 624 500 | $863 285 |
| Средний размер | $98 624 | $3 611 197 |
| Средняя частота | 13 с | 590 с |
Приложение B. Доказательства
B.1. Доказательство пропозиции 1
Ansatz для value function при log-utility: разделение $\log(\tilde x)$ и additivных слагаемых. HJB после подстановки $\delta^\star$ даёт систему PDE; $A=B=D=0$. Решение $C(t,\mu)=\mathbb E[\int_t^T e^{-2\Gamma(s-t)}8/(2\gamma+\mu_s^2\sigma^2)\,ds]$; аналогично $E$, $F$ — Feynman–Kac. Полная аргументация — оригинал, стр. 31–33.
B.2. Доказательство теоремы 1
Классическое решение HJB и admissibility (23): $\delta_s^\star>0$ ⇒ $\int\delta^{-4}dt<\infty$. Верификационная теорема завершает доказательство.
Благодарности. Авторы благодарят Tarek Abou Zeid, Carol Alexander, Álvaro Arroyo, Sam Cohen, Mihai Cucuringu, Olivier Guéant, Anthony Ledford, Jonathan Plenk, Andre Rzym, Leandro Sánchez-Betancourt; Fintech Dauphine Chair (Mazars, Crédit Agricole CIB); участников семинаров Oxford, OMI, EWGCFM, QuantMinds, WBS Gillmore Centre, Oxford DeFi Research Group. FD — Oxford-Man Institute. MM — EPSRC CDT (EP/S023925/1).
Литература
- Adams, H. et al. (2021). Uniswap v3 core.
- Angeris, G. et al. (2021–2022). Analysis of Uniswap markets; curvature and market making.
- Avellaneda, M., Stoikov, S. (2008). High frequency trading in a limit order book. Quantitative Finance 8, 217–224.
- Bergault, P. et al. (2021–2024). Closed-form approximations; price-aware AMMs.
- Biais, B. et al. (2023). Advances in blockchain and crypto economics. Management Science 69, 6417–6426.
- Capponi, A., Jia, R. (2021). Adoption of blockchain-based DEX. arXiv:2103.08842.
- Capponi, A., Jia, R., Yu, S. (2023a). Price discovery on DEX. SSRN 4236993.
- Capponi, A. et al. (2023b). Paradox of just-in-time liquidity in DEX.
- Cartea, Á., Donnelly, R., Jaimungal, S. (2014–2018). Algorithmic trading; order book signals.
- Cartea, Á., Drissi, F., Monga, M. (2022). DeFi and AMM: Execution and speculation. SSRN 4144743.
- Cartea, Á., Drissi, F., Monga, M. (2023a). Execution and stat-arb with signals in multiple AMMs. ICDCSW 2023.
- Cartea, Á., Drissi, F., Monga, M. (2023b). Predictable losses in CFMs and CL markets. Applied Mathematical Finance 30, 69–93.
- Cartea, Á. et al. (2023c). AMM designs beyond constant functions. SSRN 4459177.
- Cartea, Á., Jaimungal, S., Penalva, J. (2015). Algorithmic and High-Frequency Trading. CUP.
- Cartea, Á., Wang, Y. (2020). Market making with alpha signals. Int. J. TAF 23, 2050016.
- Chiu, J., Koeppl, T.V. (2019). Blockchain-based settlement. RFS 32, 1716–1753.
- Donnelly, R. (2022). Optimal execution: A review. Applied Mathematical Finance 29, 181–212.
- Drissi, F. (2022–2023). Riccati equations; models of market liquidity.
- Fan, Z. et al. (2021–2022). Strategic liquidity provision in Uniswap v3.
- Fukasawa, M., Maire, B., Wunsch, M. (2023). Model-free hedging of IL. arXiv:2303.11118.
- Goyal, M. et al. (2023). Optimal design of CFMMs. EC 2023.
- Guéant, O. (2016–2017). Financial Mathematics of Market Liquidity; optimal market making.
- He, X.D., Yang, C., Zhou, Y. (2024). Liquidity pool design. arXiv:2404.13291.
- Heimbach, L. et al. (2022). Risks and returns of Uniswap v3 LPs.
- Ho, T.S., Stoll, H.R. (1983). Dynamics of dealer markets. Journal of Finance 38, 1053–1074.
- Lı, T. et al. (2023). Yield farming for liquidity provision.
- Lipton, A., Treccani, A. (2021). Blockchain and Distributed Ledgers. World Scientific.
- Lommers, K. et al. (2023). Stochastically dynamic AMMs.
- Milionis, J., Moallemi, C.C., Roughgarden, T. (2022–2023). AMM and LVR; fees and arbitrage.
Полный библиографический список — в оригинале (36 стр.). Оригинал: arXiv:2309.08431 · Cartea, Drissi, Monga · 2024.