Автоматический маркетмейкинг и loss-versus-rebalancing

4.5/10

Джейсон Милионис, Сиамак Моаллеми, Тим Рафгарден, Энтони Ли Чжан · Columbia CS / GSB, a16z Crypto, Chicago Booth · первая версия 31 июля 2022, эта — 27 мая 2024

Оригинал: Milionis, J., Moallemi, C. C., Roughgarden, T. and Zhang, A. L. «Automated Market Making and Loss-Versus-Rebalancing», 2022–2024 — arxiv.org/abs/2208.06046 (PDF).

Оригинал на arXiv по лицензии arXiv nonexclusive-distrib 1.0 (не Creative Commons); перевод для личной коллекции, не для публикации.

Ключевые слова: AMM; CFMM; Uniswap; LVR; impermanent loss; дельта-хедж; Блэк–Шоулз; арбитраж CEX–DEX.

Аннотация

Микроструктура AMM глазами LP. Центральный вклад — «формула Блэка–Шоулза для AMM». Главная издержка adverse selection — loss-versus-rebalancing (LVR, «левер»): stale-цены пула снимают информированные арбитражёры. Замкнутые выражения для любого AMM (не только CFMM). Модель количественно реалистична на Uniswap v2 WETH-USDC и показывает, как перепроектировать протокол, чтобы сократить или убить LVR.

1. Введение

CFMM (Uniswap [Adams et al., 2020, 2021]) победили на чейне: константное хранение и $O(1)$ матчинг вместо структур стакана. LOB плохо живёт на длинном хвосте неликвидных токенов — нужен активный MM; AMM кормится пассивными LP.

Как Блэк–Шоулз строит опцион из динамической торговли базовым, здесь реплицируют сделки AMM стратегией ребалансировки на CEX. LP систематически проигрывает ей — зазор и есть LVR. Источник: slippage. Пассивный пул торгует хуже рынка, когда цена двигается. Определение работает для любого достаточно гладкого AMM, не только CFMM. Мгновенный LVR зависит от двух вещей: вола базового и маржинальной ликвидности (наклон кривой спроса в текущей цене). На Uniswap v2 WETH-USDC модель близка к факту. Следствия: как мерить доходность LP и как резать LVR — а значит эффективную комиссию для тейкеров.

Два актива, AMM + бесконечно глубокий CEX. Цена — GBM со стохастической волой. Noise traders платят fees LP. Арбитражёры без комиссии держат цену AMM равной CEX. CFMM: $f(x,y)=L$. Ребалансировка держит ровно столько рискового, сколько пул, но торгует по CEX. Шорт ребалансировки — дельта-хедж LP. Без комиссий LP всегда хуже ребалансировки. Интуиция — снайпинг Budish et al. [2015]: публичная информация двигает fair, гонка отменить vs снять stale. AMM — котировщик, который обновляет цену только после сделки. Каждый тик CEX даёт arb «догнать» пул; LVR — сумма этих проскальзываний. Прибыль арбитражёров в модели равна LVR.

Как дельта-хеджированный колл — ставка «implied vs realized vol», лонг LP + шорт ребалансировки — ставка «fees $\gtrless$ LVR» (произведение волы и маржинальной ликвидности).

Эмпирика Uniswap v2 ETH-USDC: модельный LVR ≈ доход дельта-хеджированного LP. Хедж режет std до $1$–$6\%$ от нехеджированного: почти весь шум «сырого» P&L — рыночный риск ETH, его снимает шорт ребалансировки. Исследователю доходности LP смотреть хеджированный ряд: хватает ли fees и incentives, чтобы покрыть slippage. Данные: резервы пула, mint/burn, ряд CEX.

Связь с торговлей волой (Carr–Madan): payoff пула path-independent — шорт пакета европейских опционов (Clark, Fukasawa, Deng). Динамический эквивалент — продавать при росте, покупать при падении. Хеджированный LP — обобщённый variance swap, взвешенный маржинальной ликвидностью.

Практики меряют impermanent loss против HODL начального бандла. Риск-нейтральное ожидание IL и LVR (и любого бенчмарка, торгующего по рынку) одно и то же. LVR уникален тем, что убивает квадратичную вариацию рыночного шума.

Дизайн: в конкуренции LP fees должны балансировать LVR (LVR $\propto$ variance → fee от волы; или окно «fees vs LVR»). Спекулятивно: оракул высокой частоты котирует почти рынок и LVR $\to 0$; или продажа права арбитража специальным кошелькам с возвратом LP (позже am-AMM).

2. AMM против CEX

CEX: KYC/AML, листинг, непрозрачный приоритет, депозиты. AMM — смарт-контракт-кошелёк, атомарный своп, нет кредитного риска, код публичен (Uniswap v2 < 1000 строк) и после деплоя неизменяем. LP вносит долю, fees пропорциональны, вывод — уже другие количества. Экономика LP — тема статьи.

3. Модель

Риск-нейтральная мера $\mathbb Q$, безрисковая ставка $0$. Рисковый $x$, нумерар $y$. CEX бесконечно глубок, без комиссий, \[ \frac{dP_t}{P_t}=\sigma_t\,dB_t^{\mathbb Q}. \] Пул: резервы $(x,y)$, feasible $C=\{f(x,y)=L\}$. Агент может перейти в любую точку $C$, внеся разницу. Пример: $\sqrt{xy}=L$. LP не mint/burn в динамике (кроме эмпирики, где mint/burn вычитают).

Pool value $V(P)$ — mark-to-market при цене $P$ (оптимизация (1) в оригинале: $x^*(P), y^*(P)$). Лемма 1. $V\ge 0$, $V'(P)=x^*(P)\ge 0$, $V''(P)=x^{*\prime}(P)\le 0$ — $V$ вогнута.

Ребалансировка $R_t=V_0+\int_0^t x^*(P_s)\,dP_s$ торгует те же $\Delta x$ по CEX.

4. Loss-versus-rebalancing

\[ V_t-V_0=(R_t-V_0)-\mathrm{LVR}_t,\qquad \mathrm{LVR}_t\triangleq R_t-V_t. \] Это P&L дельта-хеджированного LP без fees.

Теорема 1. Для всех $t\ge 0$ \[ \mathrm{LVR}_t=\int_0^t \ell(\sigma_s,P_s)\,ds,\qquad \ell(\sigma,P)\triangleq -\frac{\sigma^2 P^2}{2}\,x^{*\prime}(P)\ge 0. \] (В тексте знак через $|x^{*\prime}|$: $\ell=\sigma^2 P^2 |x^{*\prime}|/2$.) LVR неотрицателен, неубывающий, предсказуемый. Кумулятивная прибыль ребалансирующих арбитражёров равна $\mathrm{LVR}_t$.

Сравнительная статика: больше $\sigma$ — больше ход цены; больше маржинальной ликвидности $|x^{*\prime}(P)|$ — пул агрессивнее отвечает. Для CFMM $|x^{*\prime}|$ — кривизна bonding curve: «плоская» кривая → больше LVR. Два инварианта с одной локальной выпуклостью в каждой цене имеют один LVR. Доказательство — прил. A; интуиция рис. 2: arb двигает пул A→B, ребалансировка продаёт то же $dx$ по $P+dP$ и оказывается в $B^*$ выше $B$ — зазор и есть LVR.

Лонг LP + шорт ребалансировки в первом порядке нейтрален к направлению: ставка fees vs LVR.

5. Примеры

G3M / Balancer $f=x^\theta y^{1-\theta}$. Тогда $\ell(\sigma,P)/V(P)=\sigma^2\theta(1-\theta)/2$ — константа по цене. Максимум при $\theta=1/2$, ноль при $\theta\to 0,1$. С оговоркой это единственные CFMM с постоянным нормированным LVR (прил. B.2).

Uniswap v2 ($\theta=1/2$): $V(P)=2L\sqrt{P}$, \[ \frac{\ell(\sigma,P)}{V(P)}=\frac{\sigma^2}{8}. \] Дневная $\sigma=5\%$ → около $3{,}125$ bps пула в день на LVR.

Uniswap v3 range $[P_a,P_b)$: мгновенный $\ell$ как у v2 на той же $L$, но $V(P)$ меньше. При $P_a,P_b\to P$ отношение $\ell/V\to\infty$ — концентрированная ликвидность жрёт LVR на доллар резервов.

6. Эмпирика Uniswap v2 WETH-USDC

Август 2021 — август 2022. Реализованная дневная вола с минуток Binance (сэмпл 60 мин) гуляет в разы (рис. 3). Средняя стоимость пула 209 млн USD, диапазон 90–310 млн (рис. 4).

Сырой P&L пула: годовая $-6{,}20\%$, Шарп $-0{,}15$ — в основном риск ETH (половина пула). Хеджированный P&L (минус ребалансировка) гораздо спокойнее; std $1$–$6\%$ от нехеджированного, Шарп растёт с частотой рехеджа. В этом окне хедж ещё и в плюсе (не общее правило). Гипотетический мелкий LP без газа: Шарп $1{,}75$–$23{,}33$ в зависимости от горизонта рехеджа (табл. 1; без издержек CEX).

Рис. 6: fees − LVR модели vs фактический хеджированный P&L — разность стационарна; чаще рехедж — меньше зазор (непрерывная аппроксимация). Для этой пары 4 часа почти как 1 мин. Нужны только резервы, mint/burn и CEX-цена. Издержки рехеджа (спред, borrow) в цифрах не вычтены.

7. Опционы и вола

Payoff $V(P_T)$ path-independent → шорт европейцев. Без fees пул в нуле при $P_T=P_0$ и в минусе иначе — вогнутость $V$. Больше волы / больше маржинальной ликвидности = дороже пакет опционов = больше LVR. Лонг LP + лонг реплицирующих опционов = fee swap на $[0,T]$.

Динамика: шорт стреддлов/стренглов = продавать на росте, покупать на падении = $x^*(\cdot)$ невозрастающая. Хеджированный LP $\approx$ variance swap с весом маржинальной ликвидности (Carr–Lee).

8. Другие бенчмарки и IL

Любой admissible бенчмарк $\bar x_t$ с тем же стартом, торгующий по CEX: $\mathrm{LVB}_t=\bar R_t-V_t$.

Следствие 1. \[ \mathrm{LVB}_t=\mathrm{LVR}_t+\int_0^t[\bar x_s-x^*(P_s)]\,dP_s, \quad \mathbb E_{\mathbb Q}[\mathrm{LVB}_t]=\mathbb E_{\mathbb Q}[\mathrm{LVR}_t], \] квадратичная вариация LVB $\ge 0=[LVR]$. Ребалансировка — единственный бенчмарк с нулевой QV зазора. HODL (IL) = LVR плюс рыночный шум. Для статистики LP смотреть LVR/хедж, не IL.

9. Дизайн

Конкурентные LP: fees $\approx$ LVR. Fee $\propto\sigma^2$; или backward-looking окно. Оракул → котировки у рынка, LVR $\to 0$. Продажа права arb (am-AMM). Две кривые с одной локальной маржинальной ликвидностью неотличимы по мгновенному LVR; «универсальный» v3 в инфинитезимале то же, если $|x^{*\prime}|$ совпадает. Стейблкоин-пары могут хотеть $|x^{*\prime}|(P)$ иначе.

10. Заключение

LVR — зазор LP vs ребалансировка по рынку: stale quotes, прибыль arb. Растёт с волой и маржинальной ликвидностью. Дельта-хедж прибылен, если fees > LVR. Формулы бьют данные. Метрика потерь и рычаг перепроектирования AMM — чтобы тейкерам не приходилось оплачивать чужой снайпинг.

Литература

Перевод: §§1–10, теорема 1, лемма 1, следствие 1. Доказательства — в PDF. · arXiv:2208.06046 · лицензия arXiv nonexclusive-distrib 1.0