Price-Aware AMM: модели за пределами броуновских цен и статической ликвидности

5/10

Philippe Bergault · Université Paris Dauphine-PSL, Ceremade

Louis Bertucci · Institut Louis Bachelier

David Bouba, Julien Guilbert · Swaap Labs

Olivier Guéant · Université Paris 1 Panthéon-Sorbonne, Centre d’Economie de la Sorbonne

18 мая 2024 · arXiv v3

Оригинал: Bergault, P. et al. «Price-Aware Automated Market Makers: Models Beyond Brownian Prices and Static Liquidity» — arxiv.org/abs/2405.03496 (PDF, 21 стр.).

Оригинал на arXiv по лицензии arXiv nonexclusive-distrib 1.0; перевод для личной коллекции. В оригинале нет иллюстраций.

Ключевые слова: AMM, DeFi, стохастическое оптимальное управление, модель Heston–Bates, модель Stein–Stein, процессы Хоукса, марковски-модулированные процессы Пуассона.

Аннотация

В этой работе мы представляем набор моделей для price-aware automated market making — AMM-площадок, стремящихся оптимизировать свои котировки. Модели включают продвинутую динамику цен: стохастическую волатильность, прыжки и микроструктурные модели на базе процессов Хоукса. Дополнительно учитывается изменчивость спроса со стороны liquidity takers через модели на Hawkes-процессах или марковски-модулированных процессах Пуассона (MMPP). Каждая модель анализируется с акцентом на сложность численных методов, необходимых для вычисления оптимальных котировок.

1. Введение

Маркетмейкеры — люди и алгоритмы — ключевые участники финансовых рынков, готовые покупать и продавать ценные бумаги или валютные пары. Они снимают несовпадение заявок покупателей и продавцов, поданных асинхронно. Проблемы маркетмейкинга и микроэкономика этой деятельности изучаются с 1980-х с двух сторон: информационная асимметрия (Copeland and Galai [16]; Glosten and Milgrom [18]) и управление инвентарём (Ho and Stoll [23, 24]).

В литературе об информационной асимметрии bid-ask spread — прежде всего информационный феномен: даже риск-нейтральный маркетмейкер держит спред, чтобы пережить adverse selection со стороны информированных трейдеров. В инвентарной литературе спред — премия за риск удержания позиции при неопределённости будущих цен и потока сделок. Количественные модели максимизируют ожидаемый PnL маркетмейкера и держат инвентарь близко к нулю через стратегическое котирование.

После Avellaneda and Stoikov [1] (2008) — возрождения рамки Ho and Stoll — модели обогатились alpha-сигналами, разными размерами заявок, tiering клиентов, дилеммой internalization vs externalization, market impact, неопределённостью параметров и попытками учесть adverse selection ([2, 4, 8, 12, 14, 15, 19, 21]); расширились на мультиактивные постановки и численные методы ([3, 7, 8, 20, 22]). Эти модели работают на OTC-рынках (корпоративные облигации, FX). С ростом DeFi и AMM на крипторынках — альтернатив централизованным LOB — логично адаптировать их для оптимизации price-aware AMM.

Price-aware AMM — новое поколение DeFi. В отличие от классических CFMM, которые оставляют price discovery liquidity takers и арбитражёрам и пассивны в формировании цены, price-aware AMM используют текущие рыночные оценки для котирования. Ведущая работа — Bergault et al. [6]: введены efficient market making strategies. Там, однако, log-normal цены и статическая ликвидность — слабое приближение для многих криптопар. Наша цель — расширить [6], включив сложную динамику цен и динамическую ликвидность.

На маркетмейкинг-литературе цены обычно моделируют броуновским или геометрическим броуновским движением, иногда с дрейфом или стохастическим alpha. Исключения: Ornstein–Uhlenbeck для коинтегрированных активов [17]; стохастическая волатильность [27]. Мы исследуем влияние прыжков и стохастической волатильности на уравнения маркетмейкинга, фокусируясь на Heston–Bates [5] и Stein–Stein с прыжками [29]. Эти модели добавляют переменную состояния, но не исключают квадратичную аппроксимацию Гамильтониана из [7]; вместо Riccati-уравнений получаются нелинейные параболические PDE. Тот же приём применим к Hawkes-моделям цен из микроструктурной литературы.

Кроме цен, мы учитываем стохастическую ликвидность — отход от допущения постоянного потока liquidity takers при фиксированном спреде. Автокорреляция знаков сделок делает Hawkes-процессы естественным выбором ([25]), но они конфликтуют с квадратичной аппроксимацией Гамильтониана. Альтернатива — MMPP из [9].

Структура работы. Раздел 2 — общий каркас. Раздел 3 — модели цен (Heston–Bates, Stein–Stein, Hawkes, Z-Hawkes). Раздел 4 — стохастическая ликвидность (Hawkes и MMPP). Для каждой модели выводятся уравнения Гамilton–Jacobi–Bellman (HJB) и оптимальные markups.

**Таблица 1.** Сводка моделей: переменные состояния и численная сложность (после квадратичной аппроксимации Гамильтониана [7]).
Модель	Переменные состояния	Уравнение для \(\tilde\theta\)	Примечание
Log-normal [6]	\(y\)	Riccati ODE	базовый случай
Heston–Bates (§3.2)	\(y, \nu\)	2D PDE (треугольная)	SV + прыжки; быстрая неявная схема
Stein–Stein (§3.3)	\(y, \sigma\)	2D PDE	аналог §3.2 с \(\sigma\) вместо \(\nu\)
Hawkes (§3.4)	\(y, \bar\lambda\)	2D PDE, нелокальные члены	чистые прыжки; \(\bar\lambda\) наблюдаема или оценивается
Z-Hawkes (§3.5)	\(y, h, \xi\)	3D PDE, нелокальные	наиболее трудна numerically
Hawkes-ликвидность (§4.2)	\(y, \lambda^{0,1}, \lambda^{1,0}\)	3D+, без редукции	проклятие размерности; непрактична
MMPP (§4.3)	\(y, \lambda^{0,1}, \lambda^{1,0}\)	\(p^2\) × 2D PDE или ODE	дискретные \(\lambda\); рекомендуемая альтернатива

Замечание. Адаптация к AMM требует учёта бенчмарка Hodl и неотрицательности инвентаря резервов.

2. Общий каркас модели

Рассматриваем фильтрованное вероятностное пространство \((\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P}; \mathcal{F}=(\mathcal{F}_t)_{t\ge 0})\) с обычными условиями. AMM работает с двумя валютами: валюта 0 — учётная, валюта 1 — рисковая. \((S_t)_{t\in\mathbb{R}_+}\) — референсная цена (стоимость единицы валюты 1 в валюте 0), получаемая из off-chain feed или on-chain oracle.

Цель — найти efficient markups для LP в духе [6]: максимизировать ожидаемый excess PnL относительно бенчмарка Hodl при ограничении на дисперсию excess PnL. Hodl — PnL представительного LP между событиями предоставления/изъятия ликвидности по сравнению с простым удержанием монет вне пула. Для CFMM есть другие декомпозиции ([13], predictable loss; [26], loss-versus-rebalancing); для price-aware AMM релевантен Hodl.

2.1. Markups и динамика резервов

Размер сделок маркируется в учётной валюте; цена = референсный курс + markup (в валюте 0). Если LT продаёт \(z\) монет валюты 0 в момент \(t\), AMM предлагает \(z/S_t\) монет валюты 1 и запрашивает дополнительно \(z\delta^{0,1}(t,z)\) монет валюты 0 как markup. Симметрично при покупке \(z\) монет валюты 0: запрашивается \(z/S_t\) валюты 1, а из \(z\) монет валюты 0 \(z\delta^{1,0}(t,z)\) не передаётся LP.

Markups \((\delta^{0,1}, \delta^{1,0})\) принадлежат множеству \(\mathcal{A}\) предсказуемых \(\mathcal{P}\otimes\mathcal{B}(\mathbb{R}^*_+)\)-измеримых функций. Накопленные markups отделены от резервов пула в процессе \((X_t)\):

\[ dX_t = \int_{\mathbb{R}^*_+} z\delta^{0,1}(t,z)\,J^{0,1}(dt,dz) + \int_{\mathbb{R}^*_+} z\delta^{1,0}(t,z)\,J^{1,0}(dt,dz), \]

где \(J^{0,1}\) и \(J^{1,0}\) — маркированные точечные процессы (AMM продаёт валюту 1 / продаёт валюту 0 соответственно). Динамика резервов:

\[ dq^0_t = \int_{\mathbb{R}^*_+} z\bigl(J^{0,1}(dt,dz) - J^{1,0}(dt,dz)\bigr), \qquad dq^1_t = \int_{\mathbb{R}^*_+} \frac{z}{S_t}\bigl(J^{1,0}(dt,dz) - J^{0,1}(dt,dz)\bigr). \]

2.2. Интенсивности и кривая спроса

Интенсивностные ядра \((\zeta^{0,1}_t(dz))\) и \((\zeta^{1,0}_t(dz))\):

\[ \zeta^{0,1}_t(dz) = \Lambda^{0,1}(t,z,\delta^{0,1}(t,z))\,\mathbf{1}_{\{q^1_{t-}\ge z/S_t\}}\,m(dz), \qquad \zeta^{1,0}_t(dz) = \Lambda^{1,0}(t,z,\delta^{1,0}(t,z))\,\mathbf{1}_{\{q^0_{t-}\ge z\}}\,m(dz), \]

где \(\Lambda^{i,j}\) убывают по \(\delta\) (классические допущения [8]); индикаторы отражают невозможность сделки при недостаточных резервах; \(m\) — мера на \(\mathbb{R}_+\) (Лебег или дискретная).

В OTC-литературе ([4], [8]) интенсивности логистического типа. При переменной ликвидности:

\[ \Lambda^{0,1}(t,z,\delta) = \lambda^{0,1}_t\,\varphi^{0,1}(z)\,f^{0,1}(z,\delta), \qquad \Lambda^{1,0}(t,z,\delta) = \lambda^{1,0}_t\,\varphi^{1,0}(z)\,f^{1,0}(z,\delta), \]

где \(\lambda^{0,1}_t, \lambda^{1,0}_t\) — «высота» кривой спроса; \(\varphi^{i,j}(z)\) — плотности размеров сделок; \(f^{i,j}(z,\delta) = 1/(1+e^{a^{i,j}(z)+b^{i,j}(z)\delta})\) — логистическая чувствительность к markup.

2.3. Excess PnL и целевая функция

Оценивая резерв валюты 1 по референсной цене, суммарная стоимость markups и резервов в \(T\): \(X_T + q^0_T + q^1_T S_T\). Excess PnL относительно Hodl:

\[ \Pi_T = X_T + (q^0_T - q^0_0) + (q^1_T - q^1_0)S_T = \int_0^T\!\!\int_{\mathbb{R}^*_+} z\delta^{0,1}(t,z)\,J^{0,1}(dt,dz) + \int_0^T\!\!\int_{\mathbb{R}^*_+} z\delta^{1,0}(t,z)\,J^{1,0}(dt,dz) + \int_0^T (q^1_t - q^1_0)\,dS_t. \tag{1} \]

Efficient strategies максимизируют \(\mathbb{E}[\Pi_T] - \frac{\gamma}{2}\mathrm{Var}[\Pi_T]\). Из-за временной несогласованности variance-term заменяем квадратичной вариацией ценового риска \(\int_0^T (q^1_t-q^1_0)^2\,d\langle S\rangle_t\) ([20], [4]). Доминирует риск цены; риск прихода сделок вторичен. После упрощения [6] (отбрасывание индикаторов резервов — оправдано при \(\gamma>0\), т.к. стратегия держит резервы близко к начальным) получаем задачи стохастического оптимального управления (\(\gamma\ge 0\)):

\[ \sup_{(\delta^{0,1},\delta^{1,0})\in\mathcal{A}} \mathbb{E}\Biggl[ \int_0^T\!\!\int_{\mathbb{R}^*_+} \bigl(z\delta^{0,1}\Lambda^{0,1} + z\delta^{1,0}\Lambda^{1,0}\bigr)\,m(dz)\,dt - \frac{\gamma}{2}\int_0^T (q^1_t - q^1_0)^2\,d\langle S\rangle_t \Biggr]. \tag{2} \]

Размерность задачи (2) определяется динамикой \((S_t)\) и \((\lambda^{0,1}_t, \lambda^{1,0}_t)\). Раздел 3 — цены; раздел 4 — ликвидность.

3. Efficient strategies при продвинутых моделях цен

3.1. Введение

Работа [6] вводит efficient price-aware strategies при постоянной ликвидности и log-normal ценах. Здесь \(\lambda^{0,1}=\lambda^{0,1}_t\) и \(\lambda^{1,0}=\lambda^{1,0}_t\) постоянны, но динамика цен обобщается. Для интеграции в оптимальное управление нужны марковские непрерывно-временные модели низкой размерности.

Из деривативной литературы: модель Heston (CIR для квадрата волатильности) и расширение Heston–Bates с прыжками (раздел 3.2); Stein–Stein с OU-волатильностью и прыжками в духе Schöbel–Zhu [28] (раздел 3.3). Из микроструктуры: простой марковский Hawkes (раздел 3.4) и Z-Hawkes [10] (раздел 3.5).

3.2. Heston–Bates: стохастическая волатильность и прыжки

3.2.1. Модель, HJB и оптимальные markups

Динамика цены:

\[ \begin{cases} dS_t = \mu S_t\,dt + \sqrt{\nu_t}\,S_t\,dW^S_t + S_t\displaystyle\int_\mathbb{R} \eta\,\bar{J}(dt,d\eta), \\[6pt] d\nu_t = k(\bar\nu - \nu_t)\,dt + \nu_t\,\xi\,dW^\nu_t, \end{cases} \]

где \(\mu\) — дрейф; \((\nu_t)\) — мгновенная дисперсия; \(\bar{J}\) — маркированный процесс с ядром \(\bar\lambda\,\zeta(d\eta)\), \(\int\eta\zeta(d\eta)=0\); \(k,\xi,\bar\nu>0\); \((W^S,W^\nu)\) — 2D BM с корреляцией \(\rho\).

Вводим \(Y_t = (q^1_t - q^1_0)S_t\). Тогда \((Y_t,\nu_t)\) — марковский процесс, и (2) переписывается с штрафом \(\frac{\gamma}{2}(\nu_t + \bar\lambda\bar\eta^2)Y_t^2\,dt\), где \(\bar\eta^2 = \int \eta^2\zeta(d\eta)\).

Функция ценности \(\theta(t,y,\nu)\) удовлетворяет HJB:

\[ \begin{aligned} 0 =\;& \partial_t\theta + \mu y(1+\partial_y\theta) - \tfrac{\gamma}{2}(\nu+\bar\lambda\bar\eta^2)y^2 + \tfrac{1}{2}\nu y^2\partial_{yy}\theta \\ &+ k(\bar\nu-\nu)\partial_\nu\theta + \tfrac{1}{2}\nu\xi^2\partial_{\nu\nu}\theta + \rho\nu y\xi\,\partial_{y\nu}\theta \\ &+ \bar\lambda\!\int_\mathbb{R}\!\bigl(\theta(t,y(1+\eta),\nu)-\theta(t,y,\nu)\bigr)\zeta(d\eta) \\ &+ \int_{\mathbb{R}^*_+}\!\Bigl[z\lambda^{0,1}\varphi^{0,1}(z)H^{0,1}\!\Bigl(z,\tfrac{\theta(t,y,\nu)-\theta(t,y-z,\nu)}{z}\Bigr) \\ &\qquad + z\lambda^{1,0}\varphi^{1,0}(z)H^{1,0}\!\Bigl(z,\tfrac{\theta(t,y,\nu)-\theta(t,y+z,\nu)}{z}\Bigr)\Bigr]m(dz), \\ &\theta(T,y,\nu)=0. \end{aligned} \tag{4} \]

Гамильтонианы: \[ H^{0,1}(z,p) = \sup_\delta f^{0,1}(z,\delta)(\delta-p), \qquad H^{1,0}(z,p) = \sup_\delta f^{1,0}(z,\delta)(\delta-p). \]

Оптимальные markups ([20]):

\[ \delta^{0,1*}(t,z) = \bar\delta^{0,1}\!\left(z,\,\frac{\theta(t,Y_{t-},\nu_t)-\theta(t,Y_{t-}-z,\nu_t)}{z}\right), \tag{5} \] \[ \delta^{1,0*}(t,z) = \bar\delta^{1,0}\!\left(z,\,\frac{\theta(t,Y_{t-},\nu_t)-\theta(t,Y_{t-}+z,\nu_t)}{z}\right), \tag{6} \]

где \(\bar\delta^{i,j}(z,p) = (f^{i,j})^{-1}(z,-\partial_p H^{i,j}(z,p))\).

3.2.2. Численные методы

\(\theta\) решается численно (конечные разности, operator splitting, неявная схема; при \(|\rho|\approx 1\) — 9-точечный stencil). Альтернатива — квадратичная аппроксимация Гамильтониана [7]: \(H^{i,j}(z,p)\approx \alpha^{i,j}_0(z)+\alpha^{i,j}_1(z)p+\frac{1}{2}\alpha^{i,j}_2(z)p^2\) (Taylor около \(p=0\)). Тогда \(\tilde\theta(t,y,\nu) = -A(t,\nu)y^2 - B(t,\nu)y - C(t,\nu)\). Подстановка в (7) даёт треугольную систему PDE для \((A,B)\). Уравнение для \(A\):

\[ \begin{aligned} \partial_t A =\;& 2A^2 + (2\mu+\nu+\bar\lambda\bar\eta^2)A - \int z^2(\lambda^{0,1}\varphi^{0,1}\alpha^{0,1}_2+\lambda^{1,0}\varphi^{1,0}\alpha^{1,0}_2)m(dz) \\ &+ (2\rho\nu\xi+k(\bar\nu-\nu))\partial_\nu A + \tfrac{1}{2}\nu\xi^2\partial_{\nu\nu}A + \tfrac{\gamma}{2}(\nu+\bar\lambda\bar\eta^2), \\ A(T,\nu)=0.& \end{aligned} \]

Уравнение для \(B\) — линейное parabolic PDE с коэффициентами, зависящими от \(A\). Система (8) в оригинале. Система треугольная: сначала нелинейное PDE для \(A\), затем линейное для \(B\). Аппроксимированные markups:

\[ \tilde\delta^{0,1*}(t,z) = \bar\delta^{0,1}(z,A(t,\nu_t))(z-2Y_{t-}) - B(t,\nu_t), \tag{9} \] \[ \tilde\delta^{1,0*}(t,z) = \bar\delta^{1,0}(z,A(t,\nu_t))(z+2Y_{t-}) + B(t,\nu_t). \tag{10} \]

3.3. Stein–Stein с прыжками

3.3.1. Модель

Heston моделирует дисперсию через CIR; Stein–Stein — мгновенную волатильность через OU-процесс (расширение Schöbel–Zhu [28] с произвольной корреляцией и прыжками):

\[ \begin{cases} dS_t = \mu S_t\,dt + \sigma_t S_t\,dW^S_t + S_t\displaystyle\int_\mathbb{R} \eta\,\bar{J}(dt,d\eta), \\[6pt] d\sigma_t = k(\bar\sigma - \sigma_t)\,dt + \xi\,dW^\sigma_t. \end{cases} \]

\((Y_t,\sigma_t)\) марковский; HJB (12) аналогичен Heston–Bates с \(\sigma_t^2\) вместо \(\nu_t\). Оптимальные markups — (13)–(14); квадратичная аппроксимация даёт PDE-систему (16) и формулы (17)–(18) с \(\sigma_t\) вместо \(\nu_t\).

3.3.2. Численные методы

Структура уравнений зеркалит Heston–Bates; \(\sigma_t\) не наблюдаема напрямую — оценивается как \(\nu_t\) в SV-моделях. Неявная схема для треугольной PDE-системы после квадратичной аппроксимации.

3.4. Простой марковский Hawkes для цены

3.4.1. Модель

Чисто прыжковая динамика (нулевой дрейф):

\[ dS_t = S_t\int_\mathbb{R} \eta\,\bar{J}(dt,d\eta), \qquad d\bar\lambda_t = -\beta(\bar\lambda_t - \bar\lambda_\infty)\,dt + \beta n\int_\mathbb{R}\bar{J}(dt,d\eta), \]

где \(\bar\lambda_t\) — интенсивность прыжков, \(\beta>0\) — память, \(n\in(0,1)\) — доля эндогенных движений цены. \((Y_t,\bar\lambda_t)\) марковский. HJB (20) содержит нелокальный член по \(\bar\lambda\) при прыжках. Markups — (21)–(22).

3.4.2. Численные методы

Два подхода к \(\bar\lambda_t\): (i) эволюция от начального \(\bar\lambda_0\) как наблюдаемой переменной; (ii) статистическая оценка по истории цен. Квадратичная аппроксимация даёт PDE с нелокальными членами (24) — сложнее SV-моделей. Аппроксимированные markups — (25)–(26).

Замечание. Степенные ядра Hawkes реалистичнее экспоненциальных, но не дают марковской постановки.

3.5. Расширение: квадратичные Z-Hawkes

3.5.1. Модель

По [10] — low-rank quadratic Hawkes для внутридневных эффектов (Zumbach effect). Интенсивность:

\[ \bar\lambda_t = \bar\lambda_\infty + h_t + \xi_t^2, \] \[ dh_t = -\kappa h_t\,dt + \kappa n_H\int_\mathbb{R}\bar{J}(dt,d\eta), \qquad d\xi_t = -\omega\xi_t\,dt + \sqrt{2n_Z\omega}\int_\mathbb{R}\mathrm{sign}(\eta)\,\bar{J}(dt,d\eta), \]

с \(\kappa,\omega,n_H,n_Z>0\), \(n_H+n_Z<1\). Тройка \((Y_t,h_t,\xi_t)\) марковская. HJB (28) — три пространственные переменные + нелокальные интегральные члены. Markups — (29)–(30).

3.5.2. Численные методы

Высокая размерность; квадратичная аппроксимация снижает её на 1, но PDE-система (32) остаётся с нелокальными членами. \(h_t,\xi_t\) можно трактовать как наблюдаемые (аналог \(\bar\lambda_t\)). Аппроксимированные markups — (33)–(34).

3.6. Итоги по моделям цен

Рассмотрены две SV-модели из деривативной литературы и две Hawkes-модели из микроструктуры. Оптимальные котировки price-aware AMM требуют решения PDE/HJB. После квадратичной аппроксимации Гамильтониана для первых трёх моделей — PDE с одной пространственной переменной (быстрые методы). Z-Hawkes — существенно сложнее для практики.

Price-aware AMM обслуживают широкий спектр криптопар; выбор модели зависит от пары: stablecoin/major crypto vs две независимые монеты vs высококоррелированные активы. Компромисс: простота модели vs реалистичность динамики — влияет и на вычислительную эффективность, и на качество управления риском.

4. Efficient strategies при переменной ликвидности

4.1. Введение

В академической литературе ликвидность на bid и offer часто постоянна — упрощение вредно при существенных колебаниях. На практике бывают периоды высокой и низкой ликвидности, дисбаланс покупателей и продавцов. Исключения: MRR-модель [11] (автокорреляция знаков сделок); [9] (MMPP).

Цели раздела: (i) Hawkes для ликвидности — естественно статистически, но проклятие размерности делает практическое использование проблематичным; (ii) MMPP — альтернатива без этой проблемы. Детерминированные внутридневные паттерны ликвидности включаются без роста сложности.

4.2. Hawkes-модели ликвидности и проклятие размерности

4.2.1. Модель

Вместо постоянных \(\lambda^{0,1}_t,\lambda^{1,0}_t\) предполагаем Hawkes-динамику, зависящую от сделок:

\[ d\lambda^{0,1}_t = -\kappa(\lambda^{0,1}_t - \lambda^{0,1}_\infty)\,dt + \kappa m\int_{\mathbb{R}} J^{0,1}(dt,dz), \] \[ d\lambda^{1,0}_t = -\kappa(\lambda^{1,0}_t - \lambda^{1,0}_\infty)\,dt + \kappa m\int_{\mathbb{R}} J^{1,0}(dt,dz), \]

\(\kappa>0\), \(0

4.2.2. Проклятие размерности

При GBM-ценах — 3 переменных состояния; с моделями раздела 3 — 4–5. Квадратичная аппроксимация Гамильтониана не снижает размерность: квадратичность \(\theta\) по \(y\) не даёт линейности в \(y\) при конечных разностях Hamiltonian-членов из-за одновременных прыжков \(y\) и \(\lambda\). Hawkes для ликвидности — хорошее статистическое описание, но непригоден для наших задач оптимального управления.

4.3. MMPP как разумная альтернатива

4.3.1. Модель

Чтобы разделить сделки и смену интенсивностей, используем MMPP [9]: \((\lambda^{0,1}_t,\lambda^{1,0}_t)\) — непрерывно-временная марковская цепь на конечном множестве \(\{\lambda_1,\ldots,\lambda_p\}\) (обычно \(p=2\) или \(3\): низкая/средняя/высокая ликвидность), переходы задаёт матрица скоростей \(Q\in\mathcal{M}_{p^2}\).

При GBM-цене \((Y_t,\lambda^{0,1}_t,\lambda^{1,0}_t)\) снова марковский, но HJB (39) — система из \(p^2\) PDE по \((\lambda^{j_1},\lambda^{j_2})\) с дискретными интенсивностями: нет частных производных по \(\lambda\), только скачки между состояниями. Это система 2D integro-PDE (время и \(y\)) — размерность управляема; можно комбинировать с моделями цен из раздела 3. Markups — (40)–(41).

4.3.2. Численные методы

Решение (39) operator splitting + неявная схема на \(p^2\) прямоугольных сетках. Квадратичная аппроксимация Гамильтониана работает отлично: при log-normal ценах \(\tilde\theta(t,y,\lambda^{j_1},\lambda^{j_2})=-A(t,\lambda^{j_1},\lambda^{j_2})y^2-B(t,\lambda^{j_1},\lambda^{j_2})y-C(\cdot)\), и \((A,B)\) решают систему ODE (43):

\[ \begin{aligned} \partial_t A(t,\lambda^{j_1},\lambda^{j_2}) =\;& 2A^2 - \tfrac{\gamma}{2}\sigma^2 + \sum_{k_1,k_2} Q_{(j_1-1)p+j_2,(k_1-1)p+k_2}\,A(t,\lambda^{k_1},\lambda^{k_2}) \\ &- \int z^2\bigl(\lambda^{j_1}\varphi^{0,1}\alpha^{0,1}_2 - \lambda^{j_2}\varphi^{1,0}\alpha^{1,0}_2\bigr)m(dz), \\ \partial_t B =\;& \mu(1-B) + \sum Q\,B(\cdot) + 2A\int z(\lambda^{j_1}\varphi^{0,1}\alpha^{0,1}_1 - \lambda^{j_2}\varphi^{1,0}\alpha^{1,0}_1)m(dz) + \cdots \end{aligned} \]

Оценка текущего \((\lambda^{0,1},\lambda^{1,0})\) — см. [9]. Аппроксимированные markups:

\[ \tilde\delta^{0,1*}(t,z) = \bar\delta^{0,1}\!\bigl(z,A(t,\lambda^{0,1}_{t-},\lambda^{1,0}_{t-})\bigr)(z-2Y_{t-}) - B(t,\lambda^{0,1}_{t-},\lambda^{1,0}_{t-}), \tag{44} \] \[ \tilde\delta^{1,0*}(t,z) = \bar\delta^{1,0}\!\bigl(z,A(t,\lambda^{0,1}_{t-},\lambda^{1,0}_{t-})\bigr)(z+2Y_{t-}) + B(t,\lambda^{0,1}_{t-},\lambda^{1,0}_{t-}). \tag{45} \]

5. Заключение

Мы представили комплексный набор моделей для price-aware AMM, оптимизирующих котировки. Охват: стохастическая волатильность, прыжки цен, Hawkes-микроструктура; стохастическая ликвидность через Hawkes и MMPP. Продвинутые модели повышают вычислительные затраты — это ограничение практического применения. Hawkes-ликвидность статистически привлекательна, но непрактична из-за проклятия размерности; MMPP — рабочая альтернатива.

Выбор модели (цены и ликвидности) зависит от конкретной криптопары и лежит на разработчиках AMM. Нужен баланс между детализацией модели, вычислительной эффективностью и операционными ограничениями. Анализ в работе должен прояснить путь интеграции этих моделей в реальные price-aware AMM.

Благодарности. Авторы благодарят руководство Swaap Labs за поддержку; доклады на конференциях и семинарах; Álvaro Cartea и Fayçal Drissi за комментарии к ранней версии.

Финансирование. Исследование поддержано программой «Decentralized Finance and Automated Market Makers» Institut Europlace de Finance в партнёрстве со Swaap Labs. David Bouba и Julien Guilbert — команда Swaap Labs (участник DeFi-индустрии).

Данные. Данные в исследовании не использовались.

Литература

[1] Avellaneda, M. and Stoikov, S. (2008). High-frequency trading in a limit order book. Quantitative Finance, 8(3), 217–224.
[2] Barzykin, A., Bergault, P. and Guéant, O. (2023). Algorithmic market making in dealer markets with hedging and market impact. Mathematical Finance, 33(1), 41–79.
[3] Barzykin, A., Bergault, P. and Guéant, O. (2023). Dealing with multi-currency inventory risk in FX cash markets. Risk Magazine, March.
[4] Barzykin, A., Bergault, P. and Guéant, O. (2022). Market-making by a foreign exchange dealer. Risk Magazine, September.
[5] Bates, D. S. (1996). Jumps and stochastic volatility: Exchange rate processes implicit in deutsche mark options. Review of Financial Studies, 9(1), 69–107.
[6] Bergault, P., Bertucci, L., Bouba, D. and Guéant, O. (2023). Automated market makers: Mean-variance analysis of LPs payoffs and design of pricing functions. Digital Finance.
[7] Bergault, P., Evangelista, D., Guéant, O. and Vieira, D. (2021). Closed-form approximations in multi-asset market making. Applied Mathematical Finance, 28(2), 101–142.
[8] Bergault, P. and Guéant, O. (2021). Size matters for OTC market makers. Mathematical Finance, 31(1), 279–322.
[9] Bergault, P. and Guéant, O. (2023). Modeling liquidity in corporate bond markets. arXiv:2309.04216.
[10] Blanc, P., Donier, J. and Bouchaud, J.-P. (2017). Quadratic Hawkes processes for financial prices. Quantitative Finance, 17(2), 171–188.
[11] Bouchaud, J.-P. et al. (2018). Trades, quotes and prices. Cambridge University Press.
[12] Cartea, Á., Donnelly, R. and Jaimungal, S. (2017). Algorithmic trading with model uncertainty. SIAM J. Financial Mathematics, 8(1), 635–671.
[13] Cartea, Á., Drissi, F. and Monga, M. (2023). Predictable losses of liquidity provision in CFMMs. Applied Mathematical Finance, 30(2), 69–93.
[14] Cartea, Á., Jaimungal, S. and Penalva, J. (2015). Algorithmic and high-frequency trading. CUP.
[15] Cartea, Á., Jaimungal, S. and Ricci, J. (2014). Buy low, sell high. SIAM J. Financial Mathematics, 5(1), 415–444.
[16] Copeland, T. E. and Galai, D. (1983). Information effects on the bid-ask spread. Journal of Finance, 38(5), 1457–1469.
[17] Drissi, F. (2022). Solvability of differential Riccati equations. Applied Mathematical Finance, 29(6), 457–493.
[18] Glosten, L. R. and Milgrom, P. R. (1985). Bid, ask and transaction prices. Journal of Financial Economics, 14(1), 71–100.
[19] Guéant, O. (2016). The Financial Mathematics of Market Liquidity. CRC Press.
[20] Guéant, O. (2017). Optimal market making. Applied Mathematical Finance, 24(2), 112–154.
[21] Guéant, O., Lehalle, C.-A. and Fernandez-Tapia, J. (2013). Dealing with the inventory risk. Mathematics and Financial Economics, 7, 477–507.
[22] Guéant, O. and Manziuk, I. (2019). Deep reinforcement learning for market making in corporate bonds. Applied Mathematical Finance, 26(5), 387–452.
[23] Ho, T. and Stoll, H. R. (1981). Optimal dealer pricing under transactions and return uncertainty. Journal of Financial Economics, 9(1), 47–73.
[24] Ho, T. and Stoll, H. R. (1983). The dynamics of dealer markets under competition. Journal of Finance, 38(4), 1053–1074.
[25] Jusselin, P. (2021). Optimal market making with persistent order flow. SIAM J. Financial Mathematics, 12(3), 1150–1200.
[26] Milionis, J. et al. (2022). Automated market making and loss-versus-rebalancing. arXiv:2208.06046.
[27] Rosenbaum, M. and Zhang, J. (2022). Multi-asset market making under the quadratic rough heston. arXiv:2212.10164.
[28] Schöbel, R. and Zhu, J. (1999). Stochastic volatility with an Ornstein-Uhlenbeck process. Review of Finance, 3(1), 23–46.
[29] Stein, E. M. and Stein, J. C. (1991). Stock price distributions with stochastic volatility. Review of Financial Studies, 4(4), 727–752.

Оригинал статьи: Bergault et al., «Price-Aware Automated Market Makers: Models Beyond Brownian Prices and Static Liquidity», arXiv:2405.03496