Optimal Design of Automated Market Makers on Decentralized Exchanges

6/10

Сюэ Дун Хэ, Чэнь Ян, Юйтянь Чжоу · 20 апреля 2024 (v1), обновление 5 августа 2026 (v4)

Department of Systems Engineering and Engineering Management, The Chinese University of Hong Kong. Соответствующий автор — Чэнь Ян.

Оригинал: He, X. D., Yang, C., Zhou, Y. «Optimal Design of Automated Market Makers on Decentralized Exchanges», 2024 — arxiv.org/abs/2404.13291 (PDF), лицензия CC BY 4.0.

Рисунки и таблицы воспроизведены из оригинальной публикации. Перевод выполнен с указанием источника в соответствии с условиями лицензии CC BY 4.0.

Ключевые слова: automated market maker, decentralized exchange, dynamic programming.

Аннотация

Автоматические маркетмейкеры — основной механизм DEX: участники торгуют напрямую через пул ликвидности и фиксированную ценовую функцию. LP кладёт активы в пул и зарабатывает комиссии с инвесторов. Мы строим модель оптимального предоставления ликвидности: риск-аверсный LP решает, какую долю богатства вложить в двух-активный пул на DEX, торговать на CEX и потреблять в нескольких периодах. Выведены оптимальная стратегия LP и оптимальный дизайн AMM, максимизирующий полезность LP. Оптимальная единичная комиссия растёт с волатильностью фундаментального обменного курса двух активов. Оптимальная ценовая функция выбирается так, чтобы аллокация активов в пуле была эффективной для LP.

1. Введение

DeFi привлекает внимание тем, что не опирается на центральный институт. DEX позволяют peer-to-peer обмен криптоактивов без посредника; коллапс FTX в ноябре 2022 это подчеркнул. В 2023 доля DEX в спотовом обороте относительно CEX в основном держалась в диапазоне 10–20%.

Доминирующий механизм DEX — AMM. В отличие от стакана на CEX цена сделки задаётся алгоритмом смарт-контракта: функцией ценообразования от резервов пула. LP кладут оба актива и получают комиссии. Они играют роль маркетмейкеров: больше ликвидности — дешевле торговать инвесторам; больше оборота — выше комиссии LP. Обзоры механики: Fabi and Prat (2023), Angeris et al. (2019, 2020) и §2.

Литература по AMM растёт (§1.1), но два вопроса остаются открытыми. Как спроектировать AMM, который стимулирует предоставление ликвидности? Как дизайн должен подстраиваться под распределения доходностей активов пула? Для двух-активного пула мы отвечаем каркасом из трёх блоков. Первый: оптимальная торговля инвесторов на DEX при ценах CEX. Инвесторы — арбитражёры (разница курсов DEX–CEX) и liquidity traders (гетерогенные убеждения о стоимости). Второй: динамическое предоставление ликвидности репрезентативным LP; доходность зависит от решений инвесторов и изменения стоимостей на CEX. LP также может держать безрисковый актив и те же бумаги на CEX. Решение — аллокация богатства между DEX, CEX и кэшем; цель — дисконтированная сумма ожидаемой полезности потребления на бесконечном горизонте. Третий: выбор единичной комиссии и ценовой функции, максимизирующий ценность LP.

Три вклада. Во-первых, предоставление ликвидности с тремя чертами сразу: (i) риск-аверсия LP, (ii) внешние инвестиционные возможности, (iii) динамика. Большинство работ предполагает риск-нейтральных LP. Активы пула — крипта с высокой волатильностью; депозит и вывод валидируются ончейн и не бывают высокочастотными, поэтому риск реален. Большинство моделей либо изолируют DEX от остальных инвестиций, либо неявно требуют, чтобы портфель на CEX совпадал с аллокацией пула. IL и LVR сравнивают пул со статическим или реплицирующим портфелем с теми же весами; см. Engel and Herlihy (2022), Angeris and Chitra (2020), Milionis et al. (2024b), Cartea et al. (2023c). На практике LP на CEX может держать любой портфель, а состав пула диктуется ценовой функцией и курсом, который следует за CEX. Аллокация в пуле может быть неэффективной относительно оптимума Мертона на одном CEX — это opportunity cost. Мы первые явно вводим эту стоимость и показываем, что она критична для дизайна AMM. Большинство работ — однопериодные; у нас много периодов.

Во-вторых, оптимальный дизайн единичной комиссии $f$ и ценовой функции. Численно: оптимальная $f$ растёт с волатильностью фундаментального обменного курса, но почти нечувствительна к средним и индивидуальным волатильностям активов при фиксированной волатильности курса. Интуиция: LP (i) берёт комиссии с liquidity traders, (ii) несёт убыток арбитражёрам (IL / LVR за вычетом комиссии), (iii) несёт opportunity cost. Комиссия слабо влияет на opportunity cost, но режет и оборот шумовых трейдеров, и убыток арбитражу. При росте волатильности курса миспрайсинг после шока больше — LP сильнее хочет отпугнуть арбитражёров, чем собрать комиссии, и поднимает $f$. Данные Binance + выбор fee-тиров Uniswap v3 согласуются с этим.

Ценовую функцию выбираем в классе constant geometric mean market makers (CGMMM) — однопараметрическое семейство, используемое на рынке. Параметр $\eta$ задаёт и аллокацию пула (opportunity cost), и проскальзывание (оборот шумовых vs убыток арбитражу). Доминирует opportunity cost: LP выбирает $\eta$, чтобы аллокация в пуле была эффективной. Результат сохраняется, даже если разрешить шорт на CEX: тогда LP шортит на CEX, чтобы фондировать позицию на DEX.

В-третьих, существование и единственность решения уравнения динамического программирования. Инвестиции LP происходят чаще, чем потребление; на бесконечном горизонте решение — неподвижная точка оператора. Похожие структуры у Keppo et al. (2021) и Dai et al. (2023). Оператор не сжимающий — используем теорию вогнутых операторов.

Дальше: §1.1 — литература; §2 — механика AMM; §3 — модель и теория; §4 — численный дизайн пула; §5 — заключение. Доказательства — в приложении оригинала. Смежные переводы: равновесное вознаграждение LP, комиссии в AMM, LVR через CI-опционы, тик за тиком.

1.1. Связанная литература

Однопериодная торговля участников близка к Capponi and Jia (2021), Hasbrouck et al. (2026), Lehar and Parlour (2025), Aoyagi (2022), Aoyagi and Ito (2024), но фокус другой. Capponi and Jia: риск-нейтральные LP кладут ликвидность тогда и только тогда, когда волатильность курса достаточно высока; оптимальная смесь линейной функции и CPMM максимизирует соцблагосостояние. Hasbrouck et al.: выше комиссия может увеличить ликвидность и оборот за счёт меньшего импакта. Lehar and Parlour: объём LP убывает по волатильности курса и растёт по неинформированной торговле; есть эмпирика. Aoyagi — конкуренция LP; Aoyagi and Ito — сосуществование CEX-стакана и DEX-AMM.

Почти никто не моделирует opportunity cost LP явно. Angeris et al. (2019) в симуляции позволяют LP любой портфель на CEX; мы формализуем понятие и решаем стратегию динамическим программированием. Evans et al. (2021) — LP, который трекает целевые веса: если цель — мертоновский портфель «только CEX», это как раз минимизация opportunity cost.

Комиссии: Hasbrouck et al. — ценность LP сначала растёт, потом падает по $f$. Оптимальных комиссий мало: Bergault et al. (2024) — непрерывное время, mean-variance, без явного убытка арбитражу и с динамической комиссией; у нас константная $f$ как в практике плюс убыток арбитражу и opportunity cost. Milionis et al. (2023a) — комиссии масштабируют убыток пропорционально доле прибыльных арбитражных сделок.

Кривизна ценовой функции задаёт slippage: выше slippage — меньше и комиссии с шумовых, и убыток арбитражу (Angeris et al. 2020; Capponi and Jia 2021; Fabi and Prat 2023). Дизайн функции: Capponi and Jia — смесь constant-sum и CPMM; Lipton and Sepp (2021) — симуляции; Goyal et al. (2023) — минимум неэффективности исполнения; Capponi and Chen (2024) — однопериодная полезность LP; Milionis et al. (2023b, 2024a) — кривые спроса; Adams et al. (2024) — auction-managed AMM. Аксиоматика: Schlegel et al. (2023), Frongillo et al. (2024).

Статическое LP: Chen et al. (2023); Uniswap v3 — Fan et al. (2022), Heimbach et al. (2022). Динамика на v3 без дизайна пула: Fan et al. (2023), Bar-On and Mansour (2023), Cartea et al. (2023a). Mean-field конкуренция LP: Bayraktar et al. (2024). Репликация вогнутых портфелей ценовой функцией: Angeris et al. (2023). Потребительская теория CFMM: Fabi and Prat (2023). RL-торговля на DEX: Sabate-Vidales and Šiška (2022). Несколько пулов: Fritsch (2021), Fritsch et al. (2022), Zhang et al. (2022). Динамические кривые: Krishnamachari et al. (2021), Port and Tiruviluamala (2022). Ликвидация на AMM: Cartea et al. (2024, 2023b). Верхняя граница комиссий в непрерывном времени: Cohen et al. (2023). Мультиактив: Angeris et al. (2022). Arithmetic pool: Cartea et al. (2023d). Olympus: Chitra et al. (2022).

2. Введение в AMM

AMM даёт непрерывную ликвидность через смарт-контракт. Маржинальный курс на DEX задаёт ценовая функция $F$ от резервов.

Два актива $A$ и $B$, резервы $y^A$, $y^B$. $D^i$ — объём актива $i$, изъятый из пула (отрицательное $D^i$ — депозит).

2.1. Торговля на DEX

Инвестор хочет получить $D^B \gt 0$ актива $B$. Он кладёт $-D^A \gt 0$ актива $A$ (без комиссии), где $D^A$ определяется

\[ F(y^A - D^A,\, y^B - D^B) = F(y^A, y^B). \tag{1} \]

Самый популярный тип — CPMM $F(y^A,y^B)=y^A y^B$ (Uniswap, больше половины оборота DEX). CGMMM (Balancer):

\[ F(y^A, y^B) = (y^A)^\eta (y^B)^{1-\eta}, \qquad \eta \in (0,1). \tag{2} \]

$\eta=1/2$ сводит CGMMM к CPMM. Обзоры: Xu et al. (2023), Mohan (2022), Angeris and Chitra (2020).

Комиссия: чтобы получить $D^B$, инвестор кладёт $-(1+f)D^A$. После сделки резервы

\[ y^A - (1+f\,\mathbf{1}_{D^A \lt 0})D^A,\qquad y^B - (1+f\,\mathbf{1}_{D^B \lt 0})D^B. \tag{3} \]

Значение $F$ после сделки растёт из-за комиссии. Как в Uniswap V2, комиссии оседают в пуле; в Uniswap v3 (Lehar and Parlour 2025; Milionis et al. 2024b) их часто платят LP напрямую и $F$ не меняют.

2.2. Предоставление ликвидности

LP кладёт или забирает оба актива. Доходность определяется изменением резервов из-за сделок инвесторов и изменением фундаментальных стоимостей. На Uniswap депозит/вывод сохраняет отношение резервов: $D^A/D^B = y^A/y^B$.

LP и инвесторы взаимно нужны: ликвидность тянет оборот, оборот кормит комиссии. Отсюда вопрос дизайна $f$ и $F$.

3. Модель и основные результаты

3.1. Рынок

Рисковые $A$, $B$ и безрисковый актив. Рисковые торгуются и на DEX (правило AMM), и на CEX. Как у Hasbrouck et al. (2026), CEX котирует фундаментальные стоимости.

Участники: репрезентативный LP, liquidity traders и арбитражёры. LP аллоцирует богатство в $A$ и $B$ на CEX и DEX и получает межвременную полезность потребления. Инвесторы максимизируют прибыль обменом одного рискового актива на другой с учётом комиссии. Арбитражёры и LP знают истинный курс CEX; liquidity traders торгуют по зашумлённым убеждениям. Liquidity traders стандартны в литературе AMM (Milionis et al. 2024b; Capponi and Jia 2021; Hasbrouck et al. 2026; Lehar and Parlour 2025).

Пять шагов периода k+1: депозит LP, приход liquidity traders, арбитраж до шока, ценовой шок, арбитраж после шока
Рис. 1. Таймлайн торговли в $(k+1)$-м периоде. $y^i$ — резерв на DEX, $p^i$ — фундаментал на CEX, $i\in\{A,B\}$. Моменты $(k,j)$ — сразу после шагов 1, 2, 3 и 5.

Дискретное время, бесконечный горизонт, пять шагов за период (рис. 1). Увидев $y_k^i$ и $p_k^i$, LP в шаге 1 меняет депозит до $y_{(k,0)}^i$. Шаг 2: liquidity traders приходят с вероятностью $\alpha$ (бернуллиева $\xi_{k+1}$), резервы $y_{(k,1)}^i$. Шаг 3: арбитражёры закрывают разрыв DEX–CEX, $y_{(k,2)}^i$. Шаг 4: шок фундаментала на CEX,

\[ R_{k+1}^i := p_{k+1}^i / p_k^i, \qquad i=A,B. \tag{4} \]

Шаг 5: повторный арбитраж, $y_{(k,3)}^i$. Шаги 3 и 5 — reversion и rebalancing arbitrage у Milionis et al. (2024b).

Предположение 3.1 (ценовая формула). $F:(0,\infty)\times(0,\infty)\to\mathbb{R}$ удовлетворяет:

  1. $F$ непрерывно дифференцируема, $F_x(x,y)\gt 0$, $F_y(x,y)\gt 0$ для всех $x,y\gt 0$.
  2. $F_x(x,y)/F_y(x,y)=G(x/y)$ для непрерывно дифференцируемой $G$ на $(0,\infty)$ с $G'(z)\lt 0$, $\lim_{z\downarrow 0}G(z)=\infty$, $\lim_{z\uparrow\infty}G(z)=0$.
  3. Если $F(x,y)=F(x',y')$, то $F(cx,cy)=F(cx',cy')$ для всех $c\gt 0$.

(i) гарантирует, что за любой малый неотрицательный $D^A$ есть единственный $D^B\le 0$, и инвестор может купить любой объём одного актива, пока не опустошит пул. Маржинальный курс покупки $A$ есть $F_x/F_y$. (ii) курс зависит от резервов только через отношение $y^A/y^B$, строго убывает по нему и пробегает $(0,\infty)$. (iii) гомогенность: сделка в большом пуле дробится на одинаковые мини-пулы — отсюда пропорциональность оптимального объёма резервам (предл. 3.1).

CGMMM (2) удовлетворяет предположению 3.1 с

\[ G(z) = \frac{\eta}{(1-\eta)z}, \qquad z\gt 0. \tag{5} \]

Строго возрастающая гладкая замена $g\circ F$ не меняет курс.

3.1.1. Обсуждение постановки

Цены CEX = фундаментал: LP не спекулирует на расхождении CEX и «истины»; фокус на комиссиях vs IL и на дизайне. Различие арбитражёров и liquidity traders — мотив, не доступ к данным: первые торгуют спред DEX–CEX, вторые — неарбитражный поток (потребность в ликвидности, ребаланс, ончейн-предпочтение). Это стандарт микроструктуры (Kyle 1985) и AMM (Capponi and Jia 2021). Без шумовых трейдеров шоки дают только убыток арбитражу и нулевые комиссии — LP не станет предоставлять ликвидность.

Комиссии CEX и газ опущены, как в классическом портфеле: спот Binance ~10 б.п., газ не масштабируется с долларовым размером. Имеет смысл, если период не слишком короткий. Комиссия DEX — не издержка LP, а платёж инвесторов LP; без неё LP не идёт в пул.

Предположение 3.1 — для трактабельности; ему удовлетворяет CGMMM и гомотетические функции $\bigl(\theta (y^A)^\rho + (1-\theta)(y^B)^\rho\bigr)^{1/\rho}$. Функции вне класса тоже изучают (Cartea et al. 2023d; Schlegel et al. 2023; Frongillo et al. 2024).

3.2. Задача инвесторов

Инвесторы (шаги 2, 3, 5) максимизируют прибыль при убеждениях $a$, $b$ о стоимостях $A$ и $B$ (Evans et al. 2021; Capponi and Jia 2021):

\[ \max_{D^A,D^B}\; a(1+f\,\mathbf{1}_{D^A\lt 0})D^A + b(1+f\,\mathbf{1}_{D^B\lt 0})D^B \]

при $F(y^A,y^B)=F(y^A-D^A,y^B-D^B)$, $y^A-D^A\gt 0$, $y^B-D^B\gt 0$. (6)

Предложение 3.1. Пусть выполнено предположение 3.1.

(i) Пусть $G^{-1}$ — обратная к $G$, зафиксируем $\alpha\gt 0$, $\beta\gt 0$. Если $G(\beta)/\alpha \lt 1/(1+f)$, система

\[ \frac{1-d^A}{1-d^B} = \frac{1}{\beta}\, G^{-1}\!\bigl(\alpha/(1+f)\bigr), \qquad F\bigl(\beta(1-d^A),\,1-d^B\bigr)=F(\beta,1) \]

имеет единственное решение $d^A\in(0,1)$, $d^B\lt 0$. Если $G(\beta)/\alpha \gt 1+f$ — аналогичная система с $\alpha(1+f)$ и $d^A\lt 0$, $d^B\in(0,1)$. Решение обозначаем $(\phi^A(\alpha,\beta),\phi^B(\alpha,\beta))$; в коридоре $G(\beta)/\alpha\in[1/(1+f),\,1+f]$ полагаем $(0,0)$. Вне коридора $\phi^A$ строго возрастает, $\phi^B$ строго убывает по $\alpha$ и $\beta$.

(ii) Для любых $y^A,y^B,a,b\gt 0$ задача (6) имеет единственное решение $\hat D^i = \phi^i(a/b,\, y^A/y^B)\, y^i$.

Оптимальный объём пропорционален предторговым резервам; пропорция зависит от убеждения и резервов только через отношения $a/b$ и $y^A/y^B$. Нет сделки, когда маржинальный курс AMM близок к убеждению относительно $f$. Постторговые резервы

\[ y^i - (1+f\,\mathbf{1}_{\hat D^i \lt 0})\hat D^i = \varphi^i(a/b,\, y^A/y^B)\, y^i, \tag{8} \] \[ \varphi^i(\alpha,\beta) := 1 - (1+f\,\mathbf{1}_{\phi^i(\alpha,\beta)\lt 0})\phi^i(\alpha,\beta). \tag{9} \]

3.3. Задача LP

Валовая доходность позиции DEX за период раскладывается в четыре множителя (18): изменение стоимости пула от сделок liquidity traders (шаг 2), арбитража до шока (шаг 3), ценового шока (шаг 4) и арбитража после шока (шаг 5). Явные выражения через $\varphi^i$ и $R^i$ — формулы (19)–(20) оригинала.

Действия LP в духе Мертона (1969, 1971): потребление, DEX (ликвидность), CEX и безрисковый актив. Ребаланс каждый период, потребление каждые $N\ge 1$ периодов: в моменты $jN$ доля $c_{jN}$ богатства потребляется, иначе $c_k=0$.

Предположение 3.2 (протокол депозита/вывода). LP кладёт и забирает активы, сохраняя маржинальный курс. Вместе с 3.1-(ii) это даёт $y_k^A/y_k^B = y_{(k,0)}^A/y_{(k,0)}^B$: на DEX LP выбирает только долю постпотребления $\omega_k^M$.

На CEX — доли $\omega_k^A$, $\omega_k^B$; остаток — безрисковый. Без коротких продаж и плеча множество портфелей — симплекс $\Omega$ (24): неотрицательные веса, сумма $\le 1$. Полезность CRRA с $\gamma$; дисконт $\delta$; безрисковая валовая ставка $R_f$. Цель — максимум дисконтированной суммы ожидаемой полезности потребления.

Состояния: отношение маржинального курса DEX к фундаментальному и отношение резервов. При CGMMM достаточно первого: после арбитража оно лежит в $[1/(1+f),\,1+f]$. Предположения 3.3–3.4 (i.i.d. доходности с конечными моментами; $\delta \bar R^{1-\gamma}\lt 1$ при $\gamma\neq 1$) обеспечивают корректность ДП.

Теорема 3.2. При предположениях 3.1–3.4:

(i) Если $\gamma=1$, композиция операторов $\hat T_0 T_1\cdots T_{N-1}$ — сжатие на пространстве функций состояний и имеет единственную неподвижную точку $v_0^*$. Оптимальное потребление $c_0^*=1-\delta^N$; инвестиция максимизирует однопериодную ожидаемую полезность доходности (миопическая политика).

(ii) Если $\gamma\neq 1$, композиция $\hat S_0 S_1\cdots S_{N-1}$ имеет единственную неподвижную точку; value iteration сходится экспоненциально. Потребление и портфель зависят от continuation value следующего периода (не миопия). Оптимизация на каждом шаге — вогнутый max или выпуклый min; замкнутых формул нет, как и в дискретном Мертоне (Bertsekas 1976).

Для CGMMM $\phi^A,\phi^B$ выражаются через $\eta/((1-\eta)\alpha\beta)$. Нетрейдинговый коридор арбитражёров — когда отношение маржинального курса DEX к курсу CEX лежит в $[1/(1+f),1+f]$.

4. Оптимальный дизайн AMM для CGMMM

4.1. Калибровка

Период — день. Доходности $A$, $B$ — логнормальные i.i.d. Параметры по умолчанию — табл. 1: типичная пара из 110 пулов Uniswap v3, оценки по Binance. $\sigma_I=0.02$ — дисперсия убеждений liquidity traders вокруг курса CEX; $\alpha=0.5$ — вероятность их прихода. В §4.4.3 проверяется робастность по $\sigma_I$ и $\alpha$.

Таблица 1. Параметры по умолчанию.
РынокLPAMM
$\delta$$R_f$$\mu_A$$\mu_B$$\sigma_A$$\sigma_B$$\rho$$\alpha$$\sigma_I$$N$$\gamma$$\eta$$f$
0.998$1+0.002\%$0.05%0.038%1.99%1.52%0.86420.52%320.50.5%

4.2. Opportunity cost и slippage

Opportunity cost. Маржинальный курс DEX $\eta y^B/((1-\eta)y^A)$ арбитражёры держат близко к $p^A/p^B$, поэтому долларовое отношение в пуле

\[ \frac{y^A p^A}{y^B p^B} \approx \frac{\eta}{1-\eta}. \tag{45} \]

Эффективное отношение $\hat\omega^A/\hat\omega^B$ — оптимум однопериодной CRRA-задачи «только CEX» (46). Opportunity cost возникает, когда $\eta/(1-\eta)$ отличается от $\hat\omega^A/\hat\omega^B$.

Slippage. Относительное проскальзывание покупки $D^A\gt 0$ актива $A$ строго растёт по размеру $D^A/y^A$ и по $\eta$; для $B$ — растёт по размеру и убывает по $\eta$. Выше slippage — дороже и шумовым, и арбитражёрам: меньше комиссий и меньше убытка арбитражу при фиксированных резервах.

Комиссии vs убыток арбитражу. До арбитража отношение курсов в коридоре платы. После шока $R^A,R^B$ арбитражёры торгуют, если новый курс выходит из $[1/(1+f),1+f]$. Убыток LP к арбитражёрам (IL при оценке по CEX) аппроксимируется Тейлором: квадратичен по шоку обменного курса $\tilde R$ и пропорционален $\eta(1-\eta)$. Волатильность фундаментального курса

\[ \sigma := \sqrt{\sigma_A^2 + \sigma_B^2 - 2\rho\sigma_A\sigma_B}. \]

4.3. Оптимальная инвестиционная стратегия LP

ДП решается value iteration. Без займа и шорта. При CGMMM состояние — отношение маржинального курса DEX к фундаменталу, всегда в $[1/(1+f),1+f]$.

Оптимальные веса DEX и активов A, B на CEX как функция отношения курсов
Рис. 2. Оптимальная доля инвестиций LP на DEX (сплошная), в актив $A$ на CEX (пунктир) и в $B$ на CEX (штрихпунктир) против отношения маржинального курса DEX к фундаментальному. CGMMM, $\eta=1/2$, ограничение (24), остальные параметры — табл. 1.

Доля на DEX выше, когда отношение курсов ближе к 1: меньше арбитража после шока. На CEX в базовой калибровке позиция концентрируется в $A$: у $A$ выше средняя доходность, активы сильно коррелированы, пул уже даёт экспозицию к обоим, шорт запрещён — $B$ на CEX не держат. Это угловое решение калибровки, не общий прогноз; при других $(\mu,\sigma)$ LP может брать $B$ (рис. 3).

Ожидаемые оптимальные веса DEX и CEX против muA, muB, sigmaA, sigmaB
Рис. 3. Ожидаемые оптимальные доли (стационарное распределение состояния) против $\mu_A$, $\mu_B$, $\sigma_A$, $\sigma_B$. CGMMM, ограничение (24), табл. 1. Диапазоны параметров — min–max по 110 пулам Uniswap v3 / Binance.

При фиксированном $\eta=1/2$ и слишком малом или большом $\mu_A$ opportunity cost велик (эффективное отношение уезжает от $\eta/(1-\eta)$), и убыток арбитражу тоже велик. DEX привлекателен при промежуточных $\mu$. Аналогично для $\mu_B$. Волатильность курса $\sigma$ убывает по $\sigma_A$ до $\rho\sigma_B=1.314\%$ и растёт после: убыток арбитражу и opportunity cost сначала падают, потом растут — LP идёт в DEX только при промежуточных $\sigma_A$ (нижние панели рис. 3).

Ожидаемая оптимальная полезность LP против комиссии f и параметра eta
Рис. 4. Ожидаемая оптимальная полезность LP против единичной комиссии $f$ (слева) и параметра ценовой функции $\eta$ (справа). CGMMM, без займа и шорта, табл. 1.

4.4. Оптимальные комиссия и ценовая функция

Рис. 4: полезность колоколообразна по $f$ — комиссия за сделку и защита от арбитража vs падение числа шумовых сделок. По $\eta$ пик в середине $(0,1)$: net комиссия−арбитраж максимален около $1/2$, opportunity cost растёт у краёв $0$ и $1$.

4.4.1. Оптимальная единичная комиссия

Оптимальная комиссия f против muA, muB, sigmaA, sigmaB и при фиксированной волатильности курса
Рис. 5. Оптимальная $f$, максимизирующая полезность LP, против $\mu_A$, $\mu_B$, $\sigma_A$, $\sigma_B$, затем $\sigma_A$ и $\sigma_B$ при фиксированной $\sigma=\sqrt{\sigma_A^2+\sigma_B^2-2\rho\sigma_A\sigma_B}$. CGMMM, $\eta=1/2$, без шорта, табл. 1.

Оптимальная $f$ почти не зависит от $\mu_A$, $\mu_B$. Растёт по $\sigma_A$ (в калибровке $\sigma$ растёт по $\sigma_A$ при $\sigma_A\ge\rho\sigma_B$) и падает по $\sigma_B$ (пока $\sigma_B\le\rho\sigma_A$). При фиксированной $\sigma$ комиссия нечувствительна к индивидуальным волатильностям. Итог: $f$ зависит от доходностей только через волатильность фундаментального обменного курса.

4.4.2. Оптимальная ценовая функция

Оптимальная eta против muA, muB, sigmaA, sigmaB
Рис. 6. Оптимальная $\eta$, максимизирующая полезность LP, против $\mu_A$, $\mu_B$, $\sigma_A$, $\sigma_B$. CGMMM, без шорта, табл. 1.

Без opportunity cost LP выбрал бы $\eta=1/2$ (максимум net комиссии−арбитраж). С opportunity cost — компромисс: $\eta/(1-\eta)$ ближе к эффективному отношению. Эффективное отношение растёт по $\mu_A$, поэтому оптимальная $\eta$ тоже растёт по $\mu_A$; остальные панели рис. 6 — аналогично.

Ожидаемые веса при оптимальной eta против параметров доходности
Рис. 7. Ожидаемые оптимальные доли при $\eta$, выбранной оптимально для каждого значения параметра. Сравнение с рис. 3 ($\eta=1/2$): свобода выбрать $\eta$ увеличивает инвестиции на DEX.

4.4.3. Эффект $\sigma_I$ и $\alpha$

Выводы по $f$ и $\eta$ устойчивы: (i) оптимальная $f$ слабо зависит от $\mu$ и индивидуальных $\sigma$ при фиксированной $\sigma$; (ii) opportunity cost доминирует выбор $\eta$. Кроме того, оптимальная $f$ убывает по $\alpha$ и растёт по $\sigma_I$. Пусть $H(f)$ — ожидаемая комиссия на одно прибытие шумового трейдера, $L(f)$ — ожидаемый убыток арбитражу; net $=\eta(1-\eta)\bigl(\alpha H(f)-L(f)\bigr)$. Оптимум из $\alpha H'(f)=L'(f)$ (оба отрицательны). Больше $\alpha$ — $H'$ более отрицательна — меньшая $f$. Больше $\sigma_I$ — больше гетерогенность убеждений — больше инкрементальных комиссий от повышения $f$ — большая $f$. Большие $\alpha$ или $\sigma_I$ двигают оптимальную $\eta$ к $0.5$: net AMM начинает доминировать opportunity cost.

4.4.4. Короткие продажи на CEX

Фьючерсы позволяют шортить крипту с маржой. Ограничение (51): шорт каждого актива до 100% богатства, суммарные вложения DEX+CEX $\le 200\%$ (заём до 100% по безрисковой):

\[ \Omega=\{\omega=(\omega^M,\omega^A,\omega^B)\mid \omega^A\ge -1,\;\omega^B\ge -1,\;\omega^M\ge 0,\;\omega^A+\omega^B+\omega^M\le 2\}. \tag{51} \]
Ожидаемые веса при разрешённом шорте на CEX, eta=1/2
Рис. 8. Ожидаемые оптимальные доли при $\eta=1/2$ и ограничении (51) (шорт на CEX разрешён). Сравнение с рис. 3: шорт увеличивает позицию на DEX.
Оптимальная eta при разрешённом шорте
Рис. 9. Оптимальная $\eta$ при разрешённом шорте на CEX. Зависимость от $(\mu,\sigma)$ качественно та же, что на рис. 6 без шорта.
Ожидаемые веса при оптимальной eta и разрешённом шорте
Рис. 10. Оптимальные доли при $\eta$, выбранной оптимально, и шорте на CEX. LP по-прежнему выбирает эффективную аллокацию пула и шортит на CEX, чтобы фондировать DEX.

Даже со шортом LP выбирает ценовую функцию ради эффективной аллокации в пуле, а не ради максимума net комиссии при $\eta=1/2$.

4.5. Эмпирическая проверка

Следствие §4.4.1: параметры доходностей влияют на оптимальную $f$ только через $\sigma$. 110 пулов Uniswap v3, цены Binance, 1 июля 2022 — 30 июня 2023. Uniswap v2 имеет фиксированную комиссию, поэтому нет кросс-секции fee-тиров; v3 даёт наблюдаемую вариацию. Модель формально про v2, v3 отличается concentrated liquidity, но локально предоставление ликвидности в диапазоне похоже на v2 — качественные следствия переносим осторожно.

Для пула $j$: fee-тир $f_j$, оценки $\sigma_{A,j}$, $\sigma_{B,j}$, $\rho_j$ по Binance, $\sigma_j=\sqrt{\sigma_{A,j}^2-2\rho_j\sigma_{A,j}\sigma_{B,j}+\sigma_{B,j}^2}$. Линейная регрессия $f$ на $\sigma$, $\rho$, $\sigma_B$ — табл. 2.

Таблица 2. Регрессия единичной комиссии $f$ по 110 пулам Uniswap v3: корреляция цен $\rho$, волатильность $B$ ($\sigma_B$), волатильность фундаментального курса $\sigma$.
Intercept$\rho$$\sigma_B$$\sigma$
коэффициент0.3454$-0.0040$$-3.2821$14.5096
$p$-value0.16020.98730.50540.0420

На 5% значимости $f$ положительно связана с $\sigma$ и не связана с $\rho$ и $\sigma_B$ — в согласии с моделью.

5. Заключение

Модель предоставления ликвидности LP на DEX: аллокация на DEX и CEX, потребление, шоки от liquidity traders и изменения фундаментала. Стохастическое управление, уравнение ДП, существование и единственность решения.

Численно существуют оптимальные $f$ и $\eta$ в классе CGMMM. Оптимальная комиссия зависит от распределений доходностей через волатильность фундаментального обменного курса: выше волатильность — выше $f$. Это подтверждается пулами Uniswap v3. Ценовую функцию LP выбирает так, чтобы минимизировать opportunity cost неэффективной аллокации в пуле.

Параметры рынка в модели константны: сравнительная статика говорит, как AMM должен реагировать на неожиданные устойчивые сдвиги условий. На практике волатильность не постоянна. Результат согласуется с эволюцией протоколов к переменным и динамическим комиссиям, но полный дизайн динамических $f$ и $F$ требует модели с меняющимся рынком и издержками внедрения, газом, governance и риском манипуляций — тема для следующей работы.

Литература

  1. Adams, A. et al. (2024). am-AMM: An auction-managed automated market maker. arXiv:2403.03367.
  2. Adams, H. et al. (2021). Uniswap v3 core.
  3. Almgren, R. and Chriss, N. (2001). Optimal execution of portfolio transactions. Journal of Risk 3.
  4. Angeris, G. and Chitra, T. (2020). Improved price oracles: Constant function market makers. AFT.
  5. Angeris, G. et al. (2019). An analysis of Uniswap markets. arXiv:1911.03380.
  6. Angeris, G., Chitra, T. and Evans, A. (2020). When does the tail wag the dog? arXiv:2012.08040.
  7. Angeris, G. et al. (2022). Constant function market makers: Multi-asset trades via convex optimization.
  8. Angeris, G., Evans, A. and Chitra, T. (2023). Replicating market makers. Digital Finance 5(2).
  9. Aoyagi, J. (2022). Liquidity provision by automated market makers. SSRN 3674178.
  10. Aoyagi, J. and Ito, Y. (2024). Coexisting exchange platforms. SSRN 3808755.
  11. Bar-On, Y. and Mansour, Y. (2023). Uniswap liquidity provision: An online learning approach. FC.
  12. Barbon, A. and Ranaldo, A. (2026). On the quality of cryptocurrency markets. Management Science.
  13. Bayraktar, E., Cohen, A. and Nellis, A. (2024). DEX specs: A mean field approach. arXiv:2404.09090.
  14. Bergault, P. et al. (2024). Automated market makers: Mean-variance analysis of LP’s payoffs. Digital Finance 6.
  15. Bertsekas, D. P. (1976). Dynamic programming and stochastic optimal control.
  16. Bertsekas, D. P. and Shreve, S. E. (1978). Stochastic Optimal Control: the Discrete Time Case.
  17. Capponi, A. and Chen, N. (2024). Optimal pricing functions on automated market makers.
  18. Capponi, A. and Jia, R. (2021). The adoption of blockchain-based decentralized exchanges. arXiv:2103.08842.
  19. Cartea, Á. et al. (2023a). Predictable loss and optimal liquidity provision. arXiv:2309.08431.
  20. Cartea, Á. et al. (2023b). Execution and statistical arbitrage with signals in multiple AMMs. ICDCSW.
  21. Cartea, Á. et al. (2023c). Predictable losses of liquidity provision in CFMs. Applied Mathematical Finance 30(2).
  22. Cartea, Á. et al. (2023d). Automated market makers designs beyond constant functions. SSRN 4459177.
  23. Cartea, Á., Drissi, F. and Monga, M. (2024). Execution and speculation. arXiv:2307.03499.
  24. Chen, T. et al. (2023). Liquidity provision and its information content. SSRN 4577268.
  25. Chitra, T. et al. (2022). DeFi liquidity management via optimal control: Ohm as a case study.
  26. Cohen, S. N. et al. (2023). Inefficiency of CFMs: hedging perspective. FC.
  27. Dai, M. et al. (2023). Leveraged ETFs with market closure and frictions. Management Science 69(4).
  28. Du, Y. (1990). Fixed points of increasing operators in ordered Banach spaces. Applicable Analysis 38.
  29. Engel, D. and Herlihy, M. (2022). Loss and slippage in networks of AMMs. Tokenomics.
  30. Evans, A., Angeris, G. and Chitra, T. (2021). Optimal fees for geometric mean market makers. FC Workshops.
  31. Fabi, M. and Prat, J. (2023). The economics of constant function market makers.
  32. Fan, Z. et al. (2022). Differential liquidity provision in Uniswap v3. ICAIF.
  33. Fan, Z. et al. (2023). Strategic liquidity provision in Uniswap v3. AFT.
  34. Fritsch, R. (2021). A note on optimal fees for CFMMs. CCS DeFi Workshop.
  35. Frongillo, R. et al. (2024). An axiomatic characterization of CFMMs. ITCS.
  36. Fritsch, R., Käser, S. and Wattenhofer, R. (2022). The economics of automated market makers. AFT.
  37. Goyal, M. et al. (2023). Finding the right curve: Optimal design of CFMMs. EC.
  38. Harris, T. E. (1960). The existence of stationary measures for certain Markov processes.
  39. Hasbrouck, J., Rivera, T. J. and Saleh, F. (2026). The need for fees at a DEX. Management Science.
  40. Heimbach, L. et al. (2022). Risks and returns of Uniswap v3 liquidity providers. AFT.
  41. Keppo, J., Reppen, A. M. and Soner, H. M. (2021). Discrete dividend payments in continuous time. MOR 46(3).
  42. Krishnamachari, B. et al. (2021). Dynamic curves for decentralized autonomous cryptocurrency exchanges.
  43. Kyle, A. S. (1985). Continuous auctions and insider trading. Econometrica 53(6).
  44. Lehar, A. and Parlour, C. (2025). Decentralized exchange: The Uniswap AMM. Journal of Finance 80(1).
  45. Lipton, A. and Sepp, A. (2021). Automated market-making for fiat currencies. arXiv:2109.12196.
  46. Merton, R. C. (1969). Lifetime portfolio selection under uncertainty. REStat 51(3).
  47. Merton, R. C. (1971). Optimum consumption and portfolio rules. JET 3.
  48. Milionis, J. et al. (2023a). AMM and arbitrage profits in the presence of fees. arXiv:2305.14604.
  49. Milionis, J. et al. (2023b). Complexity-approximation trade-offs in exchange mechanisms. FC.
  50. Milionis, J. et al. (2024a). A Myersonian framework for optimal liquidity provision. ITCS.
  51. Milionis, J. et al. (2024b). Automated market making and LVR. arXiv:2208.06046.
  52. Mohan, V. (2022). Automated market makers and decentralized exchanges: A DeFi primer. Financial Innovation 8.
  53. Port, A. and Tiruviluamala, N. (2022). Mixing constant sum and constant product market makers. arXiv:2203.12123.
  54. Sabate-Vidales, M. and Šiška, D. (2022). The case for variable fees in constant product markets. FC.
  55. Schlegel, J. C. et al. (2023). Axioms for constant function market makers. arXiv:2210.00048.
  56. Xu, J. et al. (2023). SoK: DEX with AMM protocols. ACM Computing Surveys 55(11).
  57. Zhang, H. et al. (2022). Economic analysis of DEX market with transaction fee mining.

Перевод основного текста. Доказательства приложения — в PDF. Оригинал: arXiv:2404.13291 · He, Yang, Zhou · CC BY 4.0.