Опционы на VIX в модели SABR

3.5/10

Дэн Пиржол, Линцзюн Чжу · Stevens Institute of Technology / Florida State University · 15 июля 2025 (arXiv v2: 31 июля 2025)

Оригинал: Pirjol, D. and Zhu, L. «VIX options in the SABR model», 2025 — arxiv.org/abs/2501.06398 (PDF).

Оригинал на arXiv по лицензии arXiv nonexclusive-distrib 1.0 (не Creative Commons); перевод для личной коллекции, не для публикации.

В каталоге позиция ошибочно названа «Liquidity Provisioning Strategies» и попала в раздел маркетмейкинга; статья про ценообразование VIX в SABR.

Ключевые слова: VIX-опционы; SABR; взрыв диффузии; тест Феллера; короткие экспирации; локальная вола.

Аннотация

Ценообразование опционов на VIX в SABR \[ dS_t=\sigma_t S_t^\beta\,dB_t,\qquad d\sigma_t=\omega\sigma_t\,dZ_t, \] где $B_t,Z_t$ коррелированы с $\rho\lt 0$ и $0\le\beta\lt 1$. VIX — риск-нейтральное условное ожидание интеграла по процессу волы $v_t=S_t^{\beta-1}\sigma_t$. Показано, что $v_t$ — единственное решение одномерной диффузии. По тесту Феллера $v_t$ взрывается за конечное время с ненулевой вероятностью. Следствие: фьючерсы и коллы на VIX бесконечны, путы — нулевые при любой экспирации. Лекарство: усечь drift и диффузию $v_t$, чтобы процесс не взрывался, и выписать короткосрочную асимптотику цен.

1. Введение

CBOE Volatility Index — ожидаемая вола S&P 500. Определение: \[ \mathrm{VIX}_T^2=\mathbb E\Bigl[-\frac2\tau\log\Bigl(\frac{S_{T+\tau}}{S_T}\Bigr)+\frac2\tau\int_T^{T+\tau}\frac{dS_t}{S_t}\Bigm|\mathcal F_T\Bigr], \] $\tau=30$ дней; на практике — из цен опционов SPX (VIX White Paper [10]).

Фьючерсы и опционы на $\mathrm{VIX}_T$ с несколькими экспирациями, кэш-сеттлмент. Ставки $r,q$. Если $S$ без скачков, \[ \frac{dS_t}{S_t}=v_t\,dB_t+(r-q)\,dt, \] то \[ \mathrm{VIX}_T^2=\mathbb E\Bigl[\frac1\tau\int_T^{T+\tau}v_t^2\,dt\Bigm|\mathcal F_T\Bigr], \quad F_V(T)=\mathbb E[\mathrm{VIX}_T], \] \[ C_V(K,T)=e^{-rT}\mathbb E[(\mathrm{VIX}_T-K)^+],\qquad P_V(K,T)=e^{-rT}\mathbb E[(K-\mathrm{VIX}_T)^+]. \]

Литература: диффузии дисперсии [14]; чистые прыжки [9]; квадратный корень с прыжками [30, 31]; модель 3/2 [18] и с прыжками [5]; martingale optimal transport для совместной калибровки SPX/VIX [19, 20]; плюс [1, 2, 16, 8, 33, 34, 12]. LSV: [17, 29], включая логнормальный SABR ($\beta=1$).

SABR [21]: \[ dS_t=S_t^\beta\sigma_t\,dB_t+(r-q)S_t\,dt,\qquad d\sigma_t=\omega\sigma_t\,dZ_t, \] $\rho\in[-1,1]$, $\omega\gt 0$, $\beta\in[0,1]$ задаёт backbone implied vol. Здесь $r=q=0$. Смотрят $0\le\beta\lt 1$: частный случай LSV [29], но $\eta(x)=x^{\beta-1}$ не удовлетворяет техническим условиям той работы. Интересно, переносятся ли результаты — да, но качественно поведение другое.

Практика: короткие асимптотики Hagan et al. [21], высшие порядки [22, 24], сходимость [26]; мартингальность при $\beta=1$ [28]; симуляция [4, 22]; точная симуляция $\beta=1$ и $\beta\lt 1$, $\rho=0$ [7]; CTMC-аппроксимация [13].

Вола процесса: $v_t=S_t^{\beta-1}\sigma_t$. LSV [29] восстанавливается $V_t=\sigma_t^2$, $\eta(x)=x^{\beta-1}$, $\mu(v)=\omega^2$, $\sigma(v)=2\omega$. При $0\le\beta\lt 1$ условия [29] ломаются. Ниже: взрыв $\mathrm{VIX}_T$ и усечение $v_t$, после которого фьючерсы и опционы конечны.

2. Процесс волатильности в SABR

В SABR (6) $\mathrm{VIX}_T^2$ — (8) с $v_t:=\sigma_t S_t^{\beta-1}$. Ито: одномерное СДУ (замечание [25], §8.3.2 — «effective log-normal volatility»).

Лемма 2.1. \[ \frac{dv_t}{v_t}=\sigma_V(v_t)\,dW_t+\mu_V(v_t)\,dt, \] \[ \sigma_V(v)=\sqrt{\omega^2+(\beta-1)^2 v^2+2\rho(\beta-1)\omega v},\qquad \mu_V(v)=v(\beta-1)\Bigl[\tfrac12(\beta-2)v+\rho\omega\Bigr]. \] $W$ — другой броуновский (характеризация Леви из $\omega\,dZ+(\beta-1)v\,dB$). Доказательство — прямое Ито.

При $0\le\beta\lt 1$, $\rho\lt 0$ СДУ (10) имеет единственное решение (§2.1). В §2.4: $\mathbb P(\tau_\infty\lt\infty)\gt 0$, $\tau_\infty=\sup\{t:v_t\lt\infty\}$. Тогда $\mathrm{VIX}_T=\infty$ п.н., $F_V$ и коллы бесконечны, путы нули. §3 — модификация без этого.

2.1. Существование и единственность

Условная на $\sigma_t$ SABR с $\beta\lt 1$ — CEV / квадратный Бессель [27, 11, 3], поэтому лемма 2.1 уже даёт существование. Перепись: \[ dv_t=(\alpha v_t^3+\delta v_t^2)\,dt+v_t\sigma_V(v_t)\,dW_t, \quad \alpha=\tfrac12(1-\beta)(2-\beta),\quad \delta=-(1-\beta)\rho\omega. \]

Предположение 2.1. $0\le\beta\lt 1$ и $-1\lt\rho\lt 0$. Тогда $\alpha,\delta\gt 0$ и $\sigma_V(v)\gt 0$. Drift и вола не сублинейны — теорема 2.9 Karatzas–Shreve не подходит; нужна 5.15 (слабая единственность до взрыва).

Условия (ND) $\sigma^2(x)\gt 0$ на $(0,\infty)$ и (LI) локальная интегрируемость $|b|/\sigma^2$ выполнены.

Теорема 2.1 (K&S 5.15). Если $\sigma^{-2}$ локально интегрируема на $[0,\infty)$ и (ND)+(LI), слабое решение до взрыва существует и единственно по закону.

2.2. Натуральная шкала

Scale function $p(x)=\int_c^x \exp(-2\int_c^\xi b/\sigma^2)\,d\xi$. Тогда $Y_t=p(X_t)$ без дрейфа, $dY_t=\bar\sigma(Y_t)\,dW_t$. $F(x;c)=\int_c^x (\alpha y+\delta)/\sigma_V^2(y)\,dy$; при $c=0$ замкнутая форма через $\log R(x)$ и $\arctan$, $R(x)=\sigma_V^2(x)$, $\bar\omega=\omega|\rho|$, $\rho_\perp=\sqrt{1-\rho^2}$. Границы $e^{-2F(x)}$: степень $\omega^2/R(x)$ с константой $\kappa=\exp(\frac\pi2\frac{\beta}{1-\beta}\frac{|\rho|}{\rho_\perp})\gt 1$.

Предложение 2.1. При предположении 2.1 и $c=0$: (i) $p(0)=0$, $p$ возрастает, $p_\infty=\lim_{x\to\infty}p(x)\lt\infty$; (ii) $p(x)=p_\infty-c_1 x^{-1/(1-\beta)}+o(\cdot)$, $c_1\gt 0$; (iii) $q(y)\sim(c_1/(p_\infty-y))^{1-\beta}$ при $y\to p_\infty$. Доказательство — приложение.

Замечания: сдвиг $c$ даёт $p(x;c)=e^{-2F(c)}(p(x)-p(c))$. В натуральной шкале $\bar\sigma(y)=\omega y+O(y^2)$ у нуля и $\bar\sigma(y)\sim(p_\infty-y)^\beta$ у $p_\infty$. $Y_t\in[0,p_\infty]$ не взрывается; $v_t$ взрывается в момент попадания $Y$ в $p_\infty$.

2.3. Границы

$y=0$ — natural, как у GBM. $y=p_\infty$ как ноль CEV [27]: при $\beta\in(0,1/2)$ regular (нужно доп. условие: поглощение или отражение); при $\beta\in[1/2,1)$ exit, единственное фундаментальное решение с поглощением.

2.4. Тест Феллера

$p_\infty=\infty$ достаточно для отсутствия взрыва. Здесь $p_\infty\lt\infty$ — необходимое, но не достаточное. Тест Феллера [15]: взрыв есть.

Предложение 2.2. Процесс $v_t$ в (10) взрывается за конечное время с ненулевой вероятностью. (Эвристика — [25], §8.5.)

Замечание 2.3. $\mathbb E[(v_t)^p]=\infty$ для всех $p\gt 0$, в частности $\mathbb E[v_t]=\infty$.

Предложение 2.3. При $\beta\lt 1$ цена $S_t$ — истинный мартингал, $\mathbb E[S_t]=S_0$. (Через вспомогательный процесс Sin [32]; эвристика [25], §8.5.)

3. Усечённая вола и цены VIX

Предложение 2.2: $F_V$ и коллы бесконечны, путы нули при любом $T,K\gt 0$. SABR с $\beta\lt 1$ для этих продуктов бесполезен. При $\beta=1$ всё конечно ([17, 29]).

Усечение drift и диффузии: \[ \frac{dv_t}{v_t}=\hat\sigma_V(v_t)\,dW_t+\hat\mu_V(v_t)\,dt, \] \[ \hat\sigma_V(v)=\min(a,\sigma_V(v)), \] $\hat\mu_V$ — clip $\mu_V$ в $[-b,b]$. При предположении 2.1 $\sigma_V$ растёт по $v$; берут $a\gt\sigma_V(0)=\omega$, так что $\hat\sigma_V=\sigma_V$ до порога $\hat v$ и $a$ после.

Предложение 3.1. Для любых $\tau,T\gt 0$ \[ v_T e^{-b\tau}\le\mathrm{VIX}_T\le v_T e^{b\tau+\frac12 a^2\tau}. \] Следствие: $|\mathrm{VIX}_T-v_T|=O(\tau)$ п.н. при $\tau\to 0$. Дальше — короткие асимптотики OTM европейцев в локальной воле [6].

Форвард $F_V(T)$ при $\tau\to 0$ есть $\mathbb E[v_T]$: без усечения бесконечен; с усечением $F_V(T,a):=\mathbb E[v_T]$ конечен и зависит от $a$.

Предложение 3.2. $\lim_{T\to 0}F_V(T,a)=v_0$. Оценка: $v_0 e^{-bT}\le F_V(T,a)\le v_0 e^{bT}$.

При малых $T$ OTM-колл имеет $K\gt v_0$, OTM-пут — $K\lt v_0$.

Теорема 3.1. В усечённой модели \[ \lim_{\tau,T\to 0}T\log C_V(K,T)=-J_V(K)\quad(K\gt v_0), \qquad \lim_{\tau,T\to 0}T\log P_V(K,T)=-J_V(K)\quad(K\lt v_0), \] \[ J_V(K)=\frac12\Bigl(\int_{v_0}^K\frac{dz}{z\hat\sigma_V(z)}\Bigr)^2. \] Кусочно: интеграл по $\sigma_V$ до $\hat v$, затем $\log(K/\hat v)/a$, если страйк за капом.

Implied vol $\sigma_{\mathrm{VIX}}(K,T)$ — Black с форвардом $F_V(T,a)$. Если кап достаточно большой ($\hat v\gt K,v_0$): \[ \lim_{T\to 0}\sigma_{\mathrm{VIX}}(x)=\frac{\log(K/v_0)}{\int_{v_0}^K dz/(z\sigma_V(z))},\qquad x=\log(K/v_0). \] Интеграл в замкнутой форме через $\mathrm{arctanh}$. Разложение \[ \sigma_{\mathrm{VIX}}(x)=\sigma_{\mathrm{VIX}}(0)+s_{\mathrm{VIX}}x+\tfrac12\kappa_{\mathrm{VIX}}x^2+O(x^3): \] ATM-уровень $\sigma_V(v_0)$; \[ s_{\mathrm{VIX}}=v_0(\beta-1)\frac{\rho\omega+(\beta-1)v_0}{2\sigma_V(v_0)}; \] выпуклость $\kappa_{\mathrm{VIX}}$ — (50) в PDF. Совпадает с Prop. 6.2 в [29] при $\eta(x)=x^{\beta-1}$, хотя формально условия той теоремы не выполнены.

Замечание 3.1. При $\beta\lt 1$, $\rho\lt 0$ наклон VIX-улыбки положительный — как на рынке (улыбка вверх). Выпуклость тоже положительная — а рынок вогнут. SABR как реалистичная модель VIX-улыбки этим дискредитируется.

Численный пример. $\omega=1$, $v_0=0{,}1$, $a=2$, $b=1$. Эйлер, 100 шагов, 100k путей, $T=0{,}1$. Порог $\hat v$: 2,336 ($\rho=-0{,}7$), 3,464 ($0$), 5,136 ($+0{,}7$) — далеко от спота. Форвард MC: $0{,}1003$, $0{,}1001$, $0{,}0998$ ($\pm 0{,}0001$) ≈ $v_0$. Рис. 3.1: красные точки MC vs чёрная короткая асимптотика (45) — согласие в пределах ошибки. При $\rho\lt 0$ улыбка растёт (как рынок) и выпукла (не как рынок). Точной калибровки к рынку VIX, скорее всего, нет; как грубое приближение — да. Детальная эмпирика LSV с логнормальной волой — на будущее.

Благодарности: анонимный рецензент, Martin Forde, Alan Lewis. Чжу: NSF DMS-2053454, DMS-2208303.

Литература

Перевод: §§1–3, лемма 2.1, теорема 2.1 / 3.1, предложения 2.1–2.3 и 3.1–3.2. Доказательства — в PDF. · arXiv:2501.06398 · лицензия arXiv nonexclusive-distrib 1.0