Оптимальное исполнение и спекуляция с торговыми сигналами

8/10

Аннотация

Мы предлагаем модель ценового воздействия, в которой изменения цен порождаются исключительно потоком заявок на рынке. Стохастическое ценовое воздействие рыночных заявок и интенсивности прихода лимитных и рыночных заявок являются функциями процесса рыночной ликвидности, отражающего баланс спроса и предложения ликвидности. Лимитные и рыночные заявки взаимно возбуждают друг друга, так что ликвидность возвращается к среднему. Мы используем теорию Meyer-σ-полей для введения краткосрочного сигнального процесса, из которого трейдер узнаёт о надвигающихся изменениях потока заявок. Её сделки воздействуют на рынок через тот же механизм, что и другие заявки. С помощью новой версии СДУ типа Маркуса мы эффективно описываем тонкий тайминг рыночной динамики в моменты, когда её заявки совпадают с чужими. В этой постановке мы исследуем задачу оптимального исполнения и выводим уравнение Гамильтона–Якоби–Беллмана (HJB) для функции ценности трейдера. Уравнение HJB решается численно, и мы иллюстрируем, как трейдер использует сигналы для улучшения результативности задач исполнения и для реализации спекулятивных стратегий.

Ключевые слова: оптимальное исполнение, спекуляция, торговый сигнал, Meyer-σ-поле, стохастическое оптимальное управление, СДУ Маркуса.

1. Введение

В этой статье мы предлагаем редуцированную модель, где эволюция цен определяется потоком заявок на рынке. В нашей модели изменения цены актива вызываются потоком рыночных заявок, который моделируется как чисто скачкообразный процесс. Таким образом, нам не требуется экзогенная динамика для эволюции некоторой невозмущённой фундаментальной цены, как это обычно предполагается в стандартных моделях, включая Алмгрена и Крисса (2000) и Обижаеву и Ванга (2013). Здесь ценовое воздействие рыночной заявки зависит от ликвидности рынка, которая задаётся разностью между объёмом выставленных лимитных заявок и объёмом рыночных заявок и отмен. Когда эта разность высока, то есть когда рынок ликвиден, ценовое воздействие следующей рыночной заявки мало; когда разность мала, ценовое воздействие велико. Нашу модель можно рассматривать как модель перманентного ценового воздействия с конечной глубиной рынка, схожую с моделью Хубермана и Станцля (2004). Однако наша спецификация импакта зависит от ликвидности, и нам не нужна экзогенная фундаментальная цена.

Для простоты мы не различаем объёмы, выставленные на стороне bid или ask книги, — расширение модели, которое мы оставляем для будущих исследований. Это позволяет специфицировать «узость» (tightness) рынка постоянным спредом. Устойчивость (resilience) рынка улавливается тем, что интенсивности прихода рыночных заявок, отмен и лимитных заявок зависят от ликвидности на рынке: когда уровень ликвидности низок, интенсивность прихода дальнейших рыночных заявок мала, а интенсивность прихода лимитных заявок высока, и наоборот при высокой ликвидности; см. Картеа и др. (2020), где приведены эмпирические свидетельства этого эффекта на данных биржи Nasdaq. Как следствие, устойчивость — эндогенная черта нашей модели, в отличие от моделей типа Обижаевой и Ванга (2013), где устойчивость — экспоненциальная релаксация ценового воздействия к нулю.

Мы вводим трейдера, использующего рыночные заявки для завершения программы исполнения, чья цель — максимизировать ожидаемую полезность терминального богатства; ликвидность в книгу она не поставляет. Трейдер получает приватный сигнал о приходе чужих лимитных и рыночных заявок и использует его для исполнения информированных сделок до того, как другие заявки придут в книгу. Тонкие вопросы тайминга возникают, когда в ответ на сигнал трейдер превентивно отправляет заявки прямо перед приходом чужих заявок на рынок, имея при этом опцию торговать и после их прихода. В результате наша непрерывновременная рыночная динамика должна своевременно вмещать три одновременных скачковых шока. Для этого мы представляем новую систему СДУ типа Маркуса, с помощью которой вычисляем динамику портфельной стоимости трейдера. Система СДУ подчёркивает положительный эффект прихода ликвидности и раскрывает неблагоприятные эффекты ценового воздействия трейдера и транзакционных издержек. Интересно, что динамика богатства также показывает, как для трейдера с длинной позицией приход рыночных заявок на покупку выгоден, если их повышательное давление на рыночные цены не перевешивается их пагубным воздействием на рыночную ликвидность. Аналогичный эффект обнаруживается для коротких позиций и рыночных заявок на продажу.

Как упоминалось, рыночные заявки трейдера влияют на цену актива и ликвидность рынка так же, как внешние заявки других участников рынка. Из-за устойчивости книги в нашей модели заявки трейдера спровоцируют дополнительное предложение ликвидности — косвенное рыночное воздействие, которое может стимулировать схемы pump-and-dump. В таких случаях, чтобы обеспечить исправно работающий рынок, мы вводим механизм торговой паузы (trading halt), налагающий требование минимальной ликвидности для продолжения работы рынка, так что прибыльность схем pump-and-dump ограничена. Когда заявка, потребляющая ликвидность, исчерпывает её ниже требования минимальной ликвидности, торговля приостанавливается, и позиции исполняются на «аукционе», где цена случайно извлекается из гауссовского распределения.

На рынке с торговыми паузами задача оптимального исполнения трейдера корректно поставлена и функция ценности невырожденна. Задача оптимизации является задачей сингулярного стохастического управления при непрерывной торговле и приводит к задаче импульсного управления при торговле минимальным лотом. При некоторых предположениях регулярности мы доказываем непрерывность функции ценности. Это нетривиально, поскольку трейдеры могут столкнуться с резко различающимися эволюциями ликвидности даже при очень близкой начальной ликвидности — из-за скачков, соответствующих внешним заявкам. В результате потраекторной близости ожидать нельзя, и динамику ликвидности приходится контролировать аккуратно, что мы делаем через динамику СДУ Маркуса, которая оказывается замечательно удобным инструментом этого анализа устойчивости.

Мы применяем подход динамического программирования для вывода квазивариационного неравенства Гамильтона–Якоби–Беллмана (HJBQVI) как для непрерывной, так и для дискретной торговли. Как новшество, наше HJBQVI содержит двойной интеграл, «оседлавший» sup-оператор, который выдаёт оптимальную сигнальную сделку.

Математически информационный поток трейдера с сигналом моделируется как Meyer-σ-поле, см. Ленгларт (1980). Техника Meyer-σ-полей впервые была применена в стохастической оптимизации Эль Каруи (1981) в контексте оптимальной остановки. Банк и Бесслих (2020) применяют теорию Meyer-σ-полей в задаче сингулярного стохастического управления, решаемой инструментами выпуклого анализа. В задаче оптимального инвестирования Мертона Банк и Кёрбер (2022) используют Meyer-σ-поле для включения краткосрочного сигнала о скачках цены актива и решают задачу оптимального инвестирования методами динамического программирования.

Мы используем симуляции для изучения исполнительных стратегий трейдера. Трейдер использует сигналы о заявках, потребляющих ликвидность, для оптимизации моментов исполнения и торгового объёма. Конкретно, получив сигнал о неминуемом приходе заявки, потребляющей ликвидность, трейдер может отправить рыночную заявку до того, как внешняя заявка придёт и повлияет на цену. С расширением bid-ask спреда сигнал о поставке ликвидности становится нерелевантным для программы исполнения трейдера, поскольку нет стимула исполнять рыночную заявку до того, как ликвидность в книге вырастет и ценовое воздействие рыночных заявок снизится.

Для узкого bid-ask спреда мы находим, что трейдер использует сигнал о поставке ликвидности для запуска спекулятивных round-trip сделок при низкой ликвидности и завершает round trip после восстановления ликвидности, получив сигнал о заявке, потребляющей ликвидность.

Торговля на информации сигналов увеличивает среднее терминальное богатство, но увеличивает и дисперсию его распределения. Иными словами, чтобы извлечь ценность из сигнала, трейдер использует стратегии, увеличивающие ожидаемый выигрыш и увеличивающие риск финансовой результативности программы исполнения.

Существует широкая литература по информированной торговле. Важные основополагающие работы — Кайл (1985) и Бэк (1992). Более свежая работа об оптимальной торговле с рыночными сигналами — Картеа и Хаймунгал (2016), которые исследуют оптимальное исполнение с общим марковским сигналом и выводят оптимальные стратегии в замкнутой форме; см. также Касгрейна и Хаймунгала (2019), включающих латентные факторы. Аналогично, Леаль и Нойман (2019) и Нойман и Фосс (2022) изучают оптимальную торговлю с сигналами при транзиентном ценовом воздействии, а Белак и др. (2018) используют немарковские сигналы конечной вариации. Для маркетмейкера Картеа и Ванг (2020) показывают, как использовать сигнал о тренде цены актива в оптимальных стратегиях поставки ликвидности; аналогично Леаль и Мунжид (2017) изучают оптимальные стратегии маркетмейкера с сигналом о дисбалансе ликвидности. Позже Картеа и др. (2022) используют сигнатуры рынка для генерации сигналов, а Картеа и Санчес-Бетанкур (2022) изучают, как брокер поставляет ликвидность информированным и неинформированным трейдерам.

Черта, что рыночные заявки трейдера влияют на интенсивность прихода чужих лимитных и рыночных заявок так же, как внешние заявки, — новшество по сравнению с существующей литературой по стохастическому оптимальному управлению с процессами Хоукса. Например, Альфонси и Блан (2016) решают задачу оптимального исполнения в модифицированной версии модели Обижаевой и Ванга (2013), где внешний поток заявок моделируется процессом Хоукса, на который трейдер не влияет. Аналогично, Картеа и др. (2018) изучают каркас, где интенсивности исполнения управляемого потока лимитных заявок трейдера управляются внешним, неуправляемым процессом Хоукса. Работа Кайе и Мюле-Карбе (2014) предлагает модификацию модели Алмгрена и Крисса (2000), где прошлые заявки трейдера имеют самовозбуждающий эффект на ценовое воздействие. У Хорста и др. (2020) трейдер влияет на базовую интенсивность взаимно возбуждающей внешней динамики рыночных заявок, так что поток заявок трейдера влияет на процесс интенсивности иначе, чем внешний поток.

Остаток статьи организован следующим образом: раздел 2 представляет рыночную модель и вводит трейдера, получающего сигналы о потоке заявок. Раздел 3 исследует задачу оптимального инвестирования и исполнения на рынке с торговыми паузами и иллюстрирует результативность оптимальной стратегии с торговыми сигналами. Результаты и доказательства собраны в Приложении.

2. Модель

В этом разделе мы представляем модель цен акций, где инновации в ценах порождаются потоком рыночных заявок. Сначала мы вводим рыночную модель, где приход рыночных и лимитных заявок управляется маркированным пуассоновским точечным процессом. Интенсивность прихода заявок — функция ликвидности на рынке. В периоды высокой ликвидности рыночные заявки приходят чаще, а в периоды низкой ликвидности растёт интенсивность прихода лимитных заявок. Эта черта модели вводит устойчивость спроса и предложения ликвидности. Затем мы вводим стратегического трейдера, который получает сигналы о потоке заявок и исполняет рыночные заявки. В нашей модели все заявки, приходящие на рынок, — внешние или трейдера — оказывают одинаковый эффект на динамику ликвидности и цен.

2.1. Неуправляемая модель

Далее мы представляем модель ценовой динамики $(P_t)_{t\geq 0}$ одного актива, где изменения цены порождаются потоком рыночных заявок $(M_t)_{t\geq 0}$. Рыночная ликвидность $\lambda_t$ измеряет способность рынка исполнить входящую рыночную заявку в каждый момент времени $t \geq 0$. Изменение ликвидности — это разность между объёмом входящих лимитных заявок и их отмен $(L_t)_{t\geq 0}$ и объёмом входящих рыночных заявок. Для простоты мы предполагаем, что ликвидность стороны покупки и продажи одинакова. Итак, процесс ликвидности $(\lambda_t)_{t \geq 0}$ удовлетворяет динамике

Возможны многие спецификации потоков заявок $L$ и $M$. Как поддающуюся анализу возможность, мы позволяем им управляться маркированным пуассоновским точечным процессом и полагаем

и

Здесь $N$ — маркированный пуассоновский точечный процесс на $[0, \infty) \times E \times \mathbb{R}_+$ с компенсатором $dt \otimes \nu(de) \otimes dy$, где мы предполагаем $\nu(E) = 1$. Отображения $\eta, \rho \in L^1(\nu)$ определяют объём заявки, ассоциированной с маркой $e$, которую точечный процесс $N$ ставит в польском пространстве марок $E$, а $\nu(de)$ — вероятность этой марки. При $\rho(e) > 0$ выставляется новая лимитная заявка размера $\rho(e)$, а $\rho(e) < 0$ соответствует отмене лимитных заявок размера $|\rho(e)|$. Аналогично, $\eta(e) > 0$ соответствует рыночной заявке на покупку размера $\eta(e)$, а $\eta(e) < 0$ — рыночной заявке на продажу размера $|\eta(e)|$. Моделирование динамики лимитных и рыночных заявок одним и тем же маркированным пуассоновским точечным процессом позволяет специфицировать структуру зависимости между приходами заявок поддающимся анализу способом. Возможны и более сложные спецификации — для моментума потока заявок или внутридневных эффектов, — но они за рамками этой статьи. Стоит, однако, отметить, что выводимая ниже СДУ-динамика нашей модели полностью универсальна и способна вместить более сложные динамики потока заявок.

Чтобы исключить одновременный приход лимитных и рыночных заявок (что было бы обременительно для учёта), мы предполагаем

Функции $f$ и $g$ задают, как ликвидность влияет на частоту выставления лимитных и рыночных заявок. Мы предполагаем, что

Липшицевость $f$ и $g$ даёт, в частности, что хоуксоподобная динамика ликвидности (1)–(3) имеет единственное решение; см. лемму A.1 в приложении. Монотонность вводит устойчивость поставки ликвидности. Действительно, она обеспечивает, что при снижении ликвидности будет приходить меньше рыночных заявок, а лимитные заявки будут приходить чаще — и наоборот при росте ликвидности, налагая некоторую степень самостабилизации баланса ликвидности $\lambda$.

Далее мы специфицируем ценовую динамику актива как

с $\Delta_t M = M_t - M_{t-}$, где $M$ — càdlàg-процесс, решающий динамику (3), и с функцией ценового воздействия $I(\cdot, \cdot)$, определённой как

где $\mathrm{sgn}(\cdot)$ — функция знака и $\int_0^{\Delta} = -\int_0^{|\Delta|}$ при $\Delta < 0$. Здесь функция $I(\Delta, \lambda)$ описывает ценовое воздействие рыночной заявки размера $\Delta \in \mathbb{R}$, приходящей при ликвидности рынка $\lambda$. Знак $I(\Delta, \lambda)$ определяется знаком $\Delta$: заявки на покупку повышают цену, заявки на продажу — понижают. Функция

чтобы рыночные заявки имели меньшее воздействие при высокой ликвидности. Аналогично, абсолютная величина функции $I$ растёт по размеру $|\Delta|$, потому что при прочих равных с ростом объёма рыночных заявок растёт и воздействие заявки на цену актива. Наконец, определение (7) делает ценовую динамику (6) согласованной при дроблении заявок, то есть $I(\Delta, \lambda) = I(\Delta_1, \lambda) + I(\Delta_2, \lambda - |\Delta_1|)$ для $\Delta_1 + \Delta_2 = \Delta$ с $\mathrm{sgn}(\Delta_1) = \mathrm{sgn}(\Delta_2)$. Фактически, доводя дробление заявок до предела, это наблюдение показывает, что эквивалентная спецификация ценовой динамики может быть дана в форме системы СДУ типа Маркуса (ср. Маркус (1980/81))

Замечание 2.1. Кратко поясним динамику СДУ типа Маркуса в (8). Символ $\diamond$ указывает, что в любой момент $t$ скачок драйверов (здесь $M$, его полной вариации $V_{[0,\cdot]}(M) = \int_0^{\cdot}|dM_t|$ и $L$) заставит скакнуть и систему (здесь $(\lambda, P)$). Скачок системы определяется конечной точкой при $s = 1$ «фиктивного» потока, который бежит в согласии с заданной динамикой по отдельной временной шкале $s \in [0,1]$ и стартует с доскачковых значений. В нашем примере этот поток задаётся как

Его решение легко находится:

и, вспоминая, что $\Delta_t L = 0$ всякий раз, когда $\Delta_t M \neq 0$ в силу (4), послескачковые значения становятся

в точном согласии с (1) и (6).

Наша модель демонстрирует прямую связь между волатильностью цен и рыночной ликвидностью, поскольку волатильность цен определяется интенсивностью прихода и размером изменений цены, а оба они зависят от ликвидности на рынке. Точнее, рыночная ликвидность влияет на интенсивность прихода рыночных заявок, то есть интенсивность прихода изменений цены, через динамику (3), и на размер изменений цены в (6) — через функцию ценового воздействия $I$ из (7). Например, когда ликвидность на рынке падает, интенсивность прихода рыночных заявок падает, а размер ценового воздействия рыночных заявок растёт. Следующая лемма делает эту связь между волатильностью и ликвидностью явной и формулирует условие эластичности, при котором волатильность цен убывает с рыночной ликвидностью; см. Пастора и Стамбо (2003) об эмпирических свидетельствах этой отрицательной связи между волатильностью цен и ликвидностью.

Лемма 2.2. Предсказуемая квадратическая вариация цены $P$ задаётся как

где

Функция в (10) строго убывает по $\lambda$ при условии эластичности

где $\mathcal{I}(\lambda) := \big( \int_E I(\eta(e), \lambda)^2 \nu(de) \big)^{1/2}$ — $L^2$-норма размера ценового воздействия рыночных заявок при уровне ликвидности $\lambda$.

Доказательство см. в Приложении A.

Условие эластичности сравнивает относительное изменение интенсивности прихода $g$ рыночных заявок с абсолютной величиной относительного изменения размера импакта рыночных заявок в $L^2$-норме. Таким образом, условие (11) говорит: когда ликвидность падает, ценовое воздействие растёт быстрее, чем падает интенсивность прихода рыночных заявок. Следовательно, волатильность цен растёт при низкой ликвидности, потому что рост ценового воздействия рыночных заявок при низкой ликвидности более чем компенсирует снижение интенсивности их прихода.

2.2. Управляемая модель с торговым сигналом

Далее мы вводим трейдера, следующего программе оптимального исполнения. Для простоты предполагаем, что трейдер отправляет рыночные заявки и не поставляет ликвидность на рынок.

Для описания информационной структуры трейдера введём (непрерывную справа) фильтрацию

порождённую точечным процессом $N$. Обычный информационный каркас предсказуемого информационного потока $\mathcal{P}(\mathbb{F})$ содержит только прошлую информацию о потоке заявок, и трейдер с информацией $\mathcal{P}(\mathbb{F})$ может торговать только после того, как приход внешних лимитных и рыночных заявок раскрыт. То есть она может лишь реагировать на рыночные события после того, как они произошли.

Напротив, в нашей постановке трейдер получает краткосрочный сигнал о неминуемых изменениях потока заявок. Она использует эту информацию, чтобы предвидеть скачки ликвидности и цен, и исполняет сигнальные сделки до прихода внешней заявки на рынок. Сигнал задаётся процессом

где $N$ — тот же маркированный пуассоновский точечный процесс, который управляет и внешними потоками заявок (2) и (3). Функция $z \in L^0(\nu(de) \otimes dy)$ определяет, что трейдер узнаёт о любой марке $(e, y)$, поставленной $N$, причём $z(e, y) = 0$ равнозначно отсутствию сигнала. Сигналы $\bar{z}$, отличные от нуля, будут получаться с частотой $\mu(d\bar{z}) := (\nu \otimes \mathrm{Leb}) \circ z^{-1}(d\bar{z})$, которую мы предполагаем σ-конечной мерой на $z(E \times \mathbb{R}_+) \setminus \{0\}$. Мы вводим Meyer-σ-поле (ср. Ленгларт, 1980, Def. 2)

добавляющее информацию $\sigma(Z)$ сигнала $Z$ к предсказуемой информации $\mathcal{P}(\mathbb{F})$. Именно это σ-поле будет формально описывать информационный поток, на основе которого инвестор выбирает стратегию.

Замечание 2.3. Ключевое конкурентное преимущество высокочастотных трейдеров — стратегии, использующие их преимущество в скорости и торговые сигналы, включая те, что используют информацию лимитного стакана для прогноза потока заявок, см. Льюис (2014). Другие сигналы спроектированы для предвидения крупных метазаявок, разбитых и маршрутизированных на разные биржи в слегка разные моменты времени. В нашем кейсе ниже мы рассматриваем сигнал о том, будет ли надвигающаяся следующая заявка поставлять или потреблять ликвидность.

Стратегия трейдера описывается процессом $(C_t)_{t \geq 0}$ локально ограниченной вариации, стартующим с $C_{0-} = 0$. Его изменения представляют изменения инвентаря трейдера, так что в любой момент $t$ чистое число проданных или купленных к этому моменту акций задаётся $C_t$. Мы предполагаем, что допустимые стратегии $C$ порождают равномерно ограниченные инвентари:

для некоторой константы $\bar{q} \in [0, \infty)$ (которой может быть, например, общее число акций в обращении). Сделки могут быть любого размера в $D = \mathbb{R}$ или — в согласии с рыночной практикой — кратны минимальному лоту $\delta > 0$, тогда $D = \{\ldots, -2\delta, -\delta, 0, \delta, 2\delta, \ldots\}$. Множество допустимых управлений — это

Заметим, что мы допускаем $C$ быть лишь làdlàg, поэтому в один и тот же момент $t \geq 0$ могут быть «левые скачки» $\Delta_t^l C := C_t - C_{t-}$ и «правые скачки» $\Delta_t^r C := C_{t+} - C_t$. Они соответствуют проактивным сигнальным сделкам и реактивным state-сделкам, которые мы вскоре введём.

Следующая лемма даёт представление стратегии трейдера и проясняет, как она использует сигнал $Z$; её доказательство дано в Приложении A.

Лемма 2.4. Процесс $C = (C_t)_{t \in [0,T]}$ является $\Lambda$-измеримым процессом локально ограниченной вариации тогда и только тогда, когда он допускает разложение

где $C^c$ — непрерывный адаптированный процесс локально ограниченной вариации, $\Delta^r C$ — адаптированный процесс ограниченной вариации, и где

почти наверное для некоторого предсказуемого, непрерывного справа чисто скачкового процесса $C^{l,p}$ ограниченной вариации и некоторого $\mathcal{P}(\mathbb{F}) \otimes \mathcal{B}(\mathbb{R})$-измеримого поля $\Gamma$, удовлетворяющего

Почти наверное предсказуемые левые скачки происходят только при отсутствии марок:

Таким образом, наблюдая сигнал $Z_t \neq 0$, трейдер отправляет заявку $\Delta_t^l C = \Gamma_t(Z_t)$ до того, как полная информация о внешних заявках станет известна всем участникам рынка и её эффект материализуется, то есть до того, как ликвидность и цены изменятся. Поэтому такую сделку мы называем сигнальной (signal-based). Напротив, правый скачок $\Delta_t^r C$ — действие трейдера после прихода внешней заявки на рынок. Он включает полную информацию о послешоковом состоянии рынка, то есть состоянии после прихода внешних заявок. Кроме того, $\Delta_t^r C$ может также представлять заявку, отправленную по собственной воле трейдера, обычно мотивированную состоянием её программы исполнения. Последнее относится и к предсказуемым левым сделкам $\Delta_t^{l,p} C$. Поэтому такие сделки мы называем state-сделками (state-based).

Замечание 2.5. В нашей модели управляемые заявки $\Delta_t^l C, \Delta_t^r C, dC_t^c$ влияют на рыночную ликвидность и с нею на интенсивность прихода внешних шоков так же, как внешние лимитные заявки, рыночные заявки и отмены. Это ключевое отличие нашей модели от предложенных в существующей литературе по стохастическому управлению с процессами Хоукса, см., например, Альфонси и Блана (2016), Картеа и др. (2018) и Хорста и др. (2020).

Введём теперь управляемую динамику процесса состояния

стартующего с $S_{0-}^C := (\lambda, q, p, x)$. Здесь $\lambda_t^C$ — текущий уровень рыночной ликвидности, $Q_t^C$ — текущий инвентарь трейдера, $P_t^C$ — текущая цена актива, а $X_t^C$ — денежный процесс трейдера, порождаемый её стратегией $C$.

Когда внешние рыночные и лимитные заявки не приходят и в стратегии трейдера нет скачков, процесс состояния удовлетворяет непрерывной динамике

где $\zeta \geq 0$ — полуспред, котируемый в книге.

Далее опишем, как состояние меняется при скачках потока заявок. Скачок может возникнуть, например, из заявки размера $\Delta > 0$, отправленной трейдером. Тогда цена актива меняется на $I(\Delta, \lambda)$, где $\lambda$ — уровень ликвидности перед сделкой, см. (6). Когда трейдер отправляет заявку размера $\Delta > 0$, ценовое воздействие её сделки влияет на её послесделочную денежную позицию нелинейно. Для описания удобно ввести функцию

отражающую импактные издержки сделки $\Delta$ при ликвидности $\lambda$. Итак, полные издержки покупки $\Delta \geq 0$ акций при предтранзакционной мид-цене $p$ равны $(p + \zeta)\Delta + \Xi(\Delta, \lambda)$; аналогично, выручка от продажи $\Delta \geq 0$ акций равна $(p - \zeta)\Delta - \Xi(\Delta, \lambda)$. Как и в определении $I$ в (7), функция $\Xi$ согласована с дроблением заявок, то есть $\Xi(\Delta, \lambda) = \Xi(\Delta_1, \lambda) + \Xi(\Delta_2, \lambda - |\Delta_1|)$ для $\Delta_1 + \Delta_2 = \Delta$ с $\mathrm{sgn}(\Delta_1) = \mathrm{sgn}(\Delta_2)$. Аналогично инфинитезимальной версии динамики цены и ликвидности (8), это дробление даёт описание в стиле СДУ Маркуса и для денежной позиции инвестора; ср. (22) ниже.

Наконец, точный тайминг прихода рыночных заявок, лимитных заявок и отмен важен и не взаимозаменяем. Причина в том, что разные заявки приходят при уровнях ликвидности $\lambda_{t-}^C$, $\lambda_{t-}^C - |\Gamma_t(Z_t)|$ и $\lambda_t^C := \lambda_{t-}^C - |\Gamma_t(Z_t)| - |\Delta_t M^C| + \Delta_t L^C$ соответственно, и потому воздействие на цену актива различается, как различается и эффект на денежный процесс трейдера. Объясним это пошагово; иллюстрация — на рисунке 1.

От предсделочного состояния $S_{t-}^C$ к послешоковому состоянию $S_t^C$. Предположим, что предсделочное состояние $s_- := S_{t-}^C$ есть

Надвигающиеся внешние лимитные и рыночные заявки в момент $t$ равны

Замечание 2.6. Уравнения (18) и (19) задают динамику входящих лимитных и рыночных заявок аналогично (2) и (3). Однако их частоты скачков теперь определяются ликвидностью $\lambda_{t-}^C$. Это ещё один канал, через который инвестор влияет на рыночную динамику: её рыночные заявки привлекут больше лимитных заявок — эффект, который может эксплуатироваться в схеме pump-and-dump.

Как выведено в лемме 2.4, при получении сигнала $Z_t$ трейдер торгует количество $\gamma := \Gamma_t(z)$. Без сигнала она всё равно может решить отправить предсказуемую заявку $\gamma := \Delta_t^{l,p} C$. В любом случае рыночная ликвидность обновляется до

а инвентарь трейдера становится

Из-за ценового воздействия цена меняется до

где рыночная заявка размера $\eta$ приходит при ликвидности $\lambda_- - |\gamma|$. Денежная позиция трейдера становится

Итак, мы определяем функцию обновления состояния $s$ как

чтобы записать послешоковое состояние как

От послешокового состояния $S_t^C$ к послесделочному состоянию $S_{t+}^C$. После того как реализованный внешний шок и послешоковое состояние $S_t^C$ становятся полностью известны трейдеру, она исполняет state-сделку $\Delta_t^r C$, и послесделочное состояние определяется как

где $s$ — как в (20).

Удобно иметь эквивалентное альтернативное описание указанной динамики состояния в форме СДУ-системы. Для этого можно использовать каркас Чевырева и др. (2024), вводящий фиктивный временной интервал $[0,1]$ в каждый момент скачка, чтобы задать «инструкцию», описывающую реакцию СДУ-системы на скачки. Наша идея — использовать этот фиктивный временной интервал для координации трёх скачков, которые могут повлиять на рынок в данный момент: (обычно) сигнальной сделки $dC_t^l$, либо лимитной заявки/отмены $dL_t^C$, либо экзогенной рыночной заявки $dM_t^C$ (вспомним (4)), и state-сделки $dC_t^{r,c} = dC_t^r + dC_t^c$ (к которой мы добавили непрерывную часть управления ради простоты и полноты; ср. также лемму 2.4).

Вспомним, что экзогенные заявки зависят только от доскачковой ликвидности $\lambda_{t-}^C$:

В согласии со спецификацией импакта при дроблении заявок мы позволяем фиктивному потоку в стиле Маркуса (ср. замечание 2.1) непрерывно вести ликвидность $\lambda^C$, позиции в акциях и деньгах $(X^C, Q^C)$ и цену $P^C$ этими шоками следующим образом:

Здесь оператор $\mathbin{\vec{+}}$ означает, что соединяемые им скачки должны быть пройдены в указанном порядке (где $0$ означает паузу) при следовании фиктивному потоку Маркуса, определяющему результирующие скачки; ср. замечание 2.1. Подразумевается, что первое из трёх $\vec{+}$-слагаемых обрабатывается на первой трети фиктивного временного интервала $[0,1]$, второе — на второй трети, а третье — на оставшейся трети. Таким образом ликвидность $\lambda^C$ воздействует на цены $P^C$ синхронно со всеми входящими заявками, тогда как внешние заявки не влияют на денежную и акционную позиции инвестора, что отражено паузами $\vec{+}\,0$ в середине драйверов и $X^C$, и $Q^C$. «Промежуточные» значения $\lambda_t^C, Q_t^C, X_t^C, P_t^C$ в момент $t$ (в отличие от их правых пределов в $t+$) получаются из этой динамики оцениванием динамики Маркуса, когда её фиктивный поток в момент $t$ прошёл две трети пути (то есть когда при времени $s = 2/3$ два из трёх скачковых вкладов в момент $t$ обработаны). Таким образом СДУ-система полностью описывает и динамику таких làdlàg-процессов.

Преимущества СДУ-описания подтверждаются следующим результатом, описывающим динамику реализуемой портфельной стоимости

где функция

корректирует mark-to-market или балансовую стоимость $x + qp$ денежной и акционной позиции агента $(x, q)$ на транзакционные издержки $\zeta|q|$ и импактные издержки $\Xi(q, \lambda)$, которые были бы понесены при ликвидации позиции по акциям при текущей ликвидности $\lambda$.

Предложение 2.7. Реализуемая портфельная стоимость $W^C$, ассоциированная со стратегией $C \in \mathcal{C}$, следует для $t \in [0,T]$ динамике

где мы используем обозначения $dM^C = dM^{C,+} - dM^{C,-}$ и $dQ^C = dQ^{C,+} - dQ^{C,-}$ для разложений Хана $M^C$ и $Q^C$.

Доказательство этого результата отложено в Приложение A.

Приведённый результат не зависит от нашего выбора динамики $L^C$ и $M^C$, а только от заданной выше рыночной механики. Поэтому следующие наблюдения верны в общем случае. Например, имеем $I(|Q^C|, \lambda^C) - |Q^C|\iota(\lambda^C) = \int_0^{|Q^C|} \big(\iota(\lambda^C - z) - \iota(\lambda^C)\big) dz \geq 0$, поскольку $\iota$ невозрастающая, и потому добавленная ликвидность («$dL^{C,+} > 0$») повышает реализуемую портфельную стоимость, а любая отмена («$dL^{C,-} > 0$») действует противоположно. По той же причине расширение существующей позиции (например, «$dQ^{C,+} > 0$» при $Q^C > 0$) тоже снижает реализуемую портфельную стоимость — эффект, усиливаемый спредом $\zeta$. Внешние заявки против позиции инвестора (например, «$dM^{C,+} > 0$» при $Q < 0$) штрафуют ликвидационную стоимость пропорционально ликвидационному ценовому воздействию $I(|Q^C|, \lambda^C)$. Только внешние рыночные заявки в направлении текущей позиции инвестора могут иметь как положительные, так и отрицательные последствия. Например, внешняя заявка на покупку «$dM^{C,+} > 0$» будет желанна для трейдера с длинной позицией $Q^C > 0$, но только если её благоприятное ценовое воздействие доминирует над её пагубным эффектом на рыночную ликвидность в смысле $2|Q^C|\iota(\lambda^C) > I(|Q^C|, \lambda^C) + 2\zeta$.

Приведённая динамика показывает, кроме того, что прямая рыночная манипуляция неприбыльна. В частности, немедленные round trips приведут к убытку. Отметим, что этот вывод не противоречит Хуберману и Станцлю (2004), поскольку они рассматривают факторы импакта, не зависящие от заявок трейдера.

Хотя заработать собственной торговлей напрямую нельзя, трейдер всё же может попытаться «обыграть систему» через своё кратко- и среднесрочное влияние на рыночную ликвидность. Это становится возможным благодаря нашему выбору динамики входящих лимитных и рыночных заявок (18) и (19): в этой спецификации частоты скачков внешних заявок определяются ликвидностью $\lambda^C$, на которую трейдер может влиять. Это косвенный канал влияния трейдера на рыночную динамику: выпущенные ею рыночные заявки привлекут больше лимитных заявок — эффект, который мог бы эксплуатироваться в схеме pump-and-dump; см. раздел 3.1 ниже для дальнейших соображений на этот счёт.

Как финальное наблюдение: влияние инвестора на ликвидность не позволяет ей напрямую спровоцировать или упредить надвигающиеся экзогенные заявки скачком $\lambda^C$. Причина в том, что динамика $L^C$ и $M^C$ управляется исключительно доскачковым уровнем ликвидности $\lambda_-^C$, который нельзя изменить ад-хок.

3. Задача оптимального инвестирования и исполнения

В этом разделе мы показываем, как трейдер, получающий приватный сигнал $Z$, исполняет позицию рыночными заявками на конечном горизонте $[0, T]$. Критерий результативности трейдера — ожидаемая полезность терминального богатства.

Самовозбуждающаяся природа нашей системы требует особой осторожности во избежание взрывов. Поэтому мы вводим нижнюю границу ликвидности, чтобы заявки, потребляющие ликвидность (то есть рыночные заявки и отмены лимитных заявок), были ограничены предложением ликвидности на рынке. Нижнюю границу ликвидности можно интерпретировать как порог, запускающий торговую паузу, налагаемую биржей для обеспечения исправно работающего рынка. Как мы показываем в главном результате этого раздела — теореме 3.2, — торговая пауза обеспечивает невырожденность функции ценности задачи оптимизации. Наконец, мы иллюстрируем рыночную модель с сигналами и демонстрируем результативность оптимальной стратегии.

3.1. Торговые паузы для достаточной рыночной ликвидности

На практике мы наблюдаем, что торговля акцией временно приостанавливается, если её ценовая динамика становится слишком волатильной или претерпевает резкое изменение сверх предопределённого уровня; см., например, Чена и др. (2023). Такой механизм называется (одноакционным) circuit breaker или, проще, торговой паузой. Согласно Кайлу (1988), назначение таких механизмов — в частности, снизить волатильность цен и защитить клиентов от неликвидных, беспорядочных рынков. Заметим, что в нашей редуцированной модели уровень ликвидности $\lambda$ можно рассматривать как меру качества рынка. Следовательно, торговая пауза срабатывает, когда заявка участника рынка позволяет качеству рынка ухудшиться за заданный порог $\underline{\lambda}$ — триггер ликвидности, то есть в момент

с $\inf \emptyset = +\infty$. В этом случае рыночная заявка или отмена лимитной заявки, снижающая ликвидность до уровня $\underline{\lambda}$, частично исполняется доступной на рынке ликвидностью $\lambda_t - \underline{\lambda}$, и торговля временно приостанавливается. Любые отправленные после этого заявки не могут быть исполнены и потому не влияют на процесс состояния.

Замечание 3.1. Кратко прокомментируем, как наш стилизованный механизм торговой паузы соотносится с используемыми на биржах вроде NYSE или Nasdaq для предотвращения чрезмерных рыночных движений. На момент написания торговля акцией на Nasdaq приостанавливается, когда за пять минут её цена сдвигается более чем на 10%. Лемма 2.2 показывает, как волатильность связана с нашим процессом рыночной ликвидности $\lambda$, и проясняет, как наш ликвидностный триггер использует границу на волатильность для укрощения рыночных флуктуаций. Более того, исправная работа рынка требует здорового объёма ликвидности, и ценовой триггер Nasdaq тоже можно рассматривать как прокси-индикатор ситуации с плохими уровнями ликвидности. В нашей редуцированной модели такое тяжёлое рыночное состояние может быть напрямую связано с процессом ликвидности $\lambda^C$, так что момент прохода вроде $\tau^C$ — естественное время приостановки торговли. Разумеется, построить этот индикатор ликвидности из реальных рыночных данных сложно (например: какие уровни лимитного стакана использовать? как учесть разницу ликвидности на стороне bid и ask?), и потому правило ценовой полосы Nasdaq можно рассматривать как более легко реализуемый заменитель ликвидностно-ориентированного триггера пауз вроде нашего. Кроме того, хотя наши ликвидностные паузы не ориентированы напрямую на цену, они часто будут совпадать с большими изменениями цены, пробивающими ценовую полосу. Заметим также, что мониторинг скользящего пятиминутного ценового окна ведёт к зависимости от пути, что серьёзно усложняет любую задачу управления в этом контексте, делая процесс состояния бесконечномерным. Наш выбор ликвидностного триггера торговых пауз, таким образом, ещё и значительно улучшает математическую разрешимость.

Чтобы формализовать динамику процесса состояния с торговой паузой, обозначим его

Ясно, что пока торговая пауза не сработала, процессы состояния на рынке с паузой и без совпадают:

Когда торговая пауза срабатывает в момент $\tau^C \leq T$, мы действуем аналогично разделу 2.2 и полагаем

где $\tilde{s}$ — соответственно скорректированная функция обновления состояния, урезающая заявки, когда они запускают торговую паузу. Конкретно, урезание выполняется функцией

и, следовательно,

с

Торговля приостанавливается, когда рыночная ликвидность становится слишком низкой, поэтому

Для полноты определим и внешний поток рыночных заявок $\tilde{M}_t^C$ на рынке с торговой паузой как

и аналогично для поставляющих ликвидность лимитных заявок

и отмен

Поток заявок заморожен после $\tau^C$, а в момент $\tau^C$ функция $\Upsilon$ в (28) и (30) и индикатор в (29) обеспечивают приостановку торговли после исчерпания ликвидности за $\underline{\lambda}$.

Наконец, зафиксируем, что $(\lambda^C, \tilde{\lambda}^C, \tilde{Q}^C, \tilde{X}^C, \tilde{P}^C, \tilde{L}^C, \tilde{M}^C)$ совместно решают СДУ-систему:

И здесь «промежуточные» значения $\lambda_t^C, \tilde{\lambda}_t^C, \tilde{Q}_t^C, \tilde{X}_t^C, \tilde{P}_t^C$ в момент $t$ (в отличие от $t+$) получаются из этой динамики рассмотрением динамики Маркуса в момент, когда её фиктивный поток в $t$ прошёл две трети пути (то есть когда, в обозначениях замечания 2.1, при фиктивном времени $s = 2/3$ два из трёх скачковых вкладов в момент $t$ обработаны).

В терминальный момент $T$ любой оставшийся инвентарь $\tilde{Q}_{T+}^C$ должен быть ликвидирован. Если торговля была приостановлена или будет приостановлена во время этой ликвидации, новая мид-цена, от которой исполняется оставшаяся ликвидация с ценовым воздействием как прежде, определяется аукционом. Для простоты мы предполагаем, что эта новая мид-цена отклоняется от мид-цены до паузы на шок

Например, подойдёт любой центрированный независимый гауссовский $Y$. В результате терминальное богатство нашего трейдера равно

Здесь функция $w$ из (25) даёт скорректированную на издержки ликвидационную стоимость позиции инвестора. $Y$-член корректирует её дальше, учитывая часть позиции инвестора, идущую в аукцион и потому дополнительно подверженную шоку мид-цены $Y$. Эта часть задаётся функцией

Действительно, если при уровне ликвидности $\lambda$ должна быть исполнена сделка размера $q$, это возможно без запуска паузы только если $|q|$ не превышает доступную ликвидность $(\lambda - \underline{\lambda})^+$. Иначе эта доступная ликвидность исчерпывается, и остатки заявки $r(q, \lambda)$ идут на аукцион.

3.2. Задача максимизации полезности

Рассмотрим трейдера, максимизирующего ожидаемую полезность терминального богатства на торговом горизонте $[0, T]$, как задано критерием результативности

где $\tilde{W}_{T+}^C$ в (32) задаёт терминальное богатство инвестора, а $\alpha > 0$ измеряет её (постоянное) абсолютное неприятие риска.

Для непрерывности результирующей функции ценности трейдер может в любой момент забрать оставшуюся ликвидность без запуска торговой паузы и торговать ровно до экстремальных уровней инвентаря $-\bar{q}$ и $\bar{q}$. Очевидно, это не проблема, когда допустим любой размер заявки, но при торговле лотами размера $\delta$ это может быть невозможно. Поэтому мы полагаем

и определяем множество допустимых стратегий при старте с ликвидностью $\lambda$ и позицией $q$ как

Теперь функцию ценности можно определить как

Теорема 3.2 (Регулярность функции ценности). Функция ценности $v$ из (33) нашей задачи максимизации полезности с торговой паузой имеет мультипликативную структуру

где $v_0 = v(\cdot, \cdot, \cdot, 0, 0)$ — функция ценности для начальных данных $x = 0$, $p = 0$. Более того, она невырожденна в том смысле, что строго меньше $U(+\infty) = 0$.

Пусть распределения отмен $\nu \circ (\rho^-)^{-1}$ и внешних рыночных заявок $\nu \circ |\eta|^{-1}$ имеют атом разве что в 0 и оба обладают конечным вторым моментом. Предположим вдобавок, что выставление рыночных заявок контролируемо в смысле конечности их максимальной интенсивности прихода, то есть $g(\infty) < \infty$. Наконец, пусть размер лимитных заявок контролируем в смысле

Тогда функция ценности $v = v(T, \lambda, q, p, x)$ непрерывна на $[0, \infty) \times [\underline{\lambda}, \infty) \times [-\bar{q}, \bar{q}] \times \mathbb{R}^2$.

Доказательство этого результата мы откладываем в Приложение B. Стандартными аргументами в нашей постановке следовать нельзя, потому что внешний поток заявок, по крайней мере потраекторно, не зависит непрерывно от управления: например, малые различия уровней ликвидности могут позволить внешним заявкам повлиять на одну стратегию, но не на другую, имеющую почти тот же уровень ликвидности. Это может дальше расширить разрыв в ликвидности между этими стратегиями, всё сильнее затрудняя одной из них, например, копировать сделки другой и делать это в схожих рыночных условиях и, значит, со схожей прибыльностью. По причинам такого рода соответствующий анализ довольно сложен и требует аккуратности; см. в особенности лемму B.2 ниже.

Кратко прокомментируем дополнительные предположения, нужные для нашего результата о непрерывности функции ценности. Непрерывность распределений размеров отмен и рыночных заявок нужна потому, что при атоме, скажем, в 1 лот трейдер с ликвидностью $\underline{\lambda} + 1$ не рискует увидеть паузу, спровоцированную внешней заявкой, тогда как при ликвидности чуть ниже этого уровня частота такого сбоя строго положительна. Предположения об интегрируемости и частоте внешнего потока заявок практически малозначимы и сделаны по техническим причинам, поскольку нам нужно ограничить флуктуации потока заявок; см. в особенности доказательство следствия B.4.

В разделе 4 мы показываем, как стандартными техниками динамического программирования и теории уравнений Гамильтона–Якоби–Беллмана (HJB) получить численные аппроксимации решений задачи трейдера, которые мы описываем в следующем подразделе.

3.3. Результативность сигнальных торговых стратегий

Далее мы сообщаем результаты численной схемы решения редуцированного по размерности HJB (45) из подраздела 4.1 и иллюстрируем сигнальную стратегию трейдера в задаче оптимального приобретения — подраздел 4.2 даёт детали использованной численной схемы.

В нашем бенчмарке трейдер получает с вероятностью $\hat{p}$ приватный сигнал о лимитных заявках, рыночных заявках и отменах лимитных заявок. По сравнению с трейдером без сигнала, трейдер с сигналом оптимизирует времена исполнения и торговые объёмы, дробя родительскую заявку на меньшее число более крупных дочерних заявок, чем у трейдера без сигнала. Она исполняет свои заявки, когда приходит сигнал о заявке, потребляющей ликвидность. Сигналы о поставке ликвидности нерелевантны для программы исполнения несклонного к риску трейдера, поскольку нет стимула исполнять до того, как поставляющая ликвидность заявка увеличит ликвидность в книге и ценовое воздействие рыночных заявок снизится.

Спекулятивные сделки в бенчмарке неприбыльны из-за размера bid-ask спреда. Когда же bid-ask спред узок, спекуляция на сигналах прибыльнее, и трейдер обычно инициирует спекулятивные сделки, получив сигнал о поставке ликвидности при низком уровне ликвидности. Подождав улучшения ликвидности и снижения издержек ценового воздействия, она разворачивает спекулятивную позицию, получив сигнал о неминуемом приходе заявки, потребляющей ликвидность.

Спецификация параметров — бенчмарк. В симуляциях мы рассматриваем шесть типов внешних рыночных заявок: заявки на покупку одного, двух и трёх лотов и заявки на продажу одного, двух и трёх лотов. Аналогично, лимитные заявки и их отмены имеют размер один, два и три лота. Мы выбираем интенсивности прихода $f$ и $g$ как

где $\theta_f = 40$, $\theta_g = 20$ и $\kappa_f = \kappa_g = 0.01$; то есть при ликвидности $\lambda$ на уровне 0 рынок ожидает получить 20 внешних рыночных заявок, 30 лимитных заявок и 10 отмен лимитных заявок на торговом горизонте длины $T = 1$.

Функция ценового воздействия задаётся как

где $\theta_\iota = 0.01$ и $\kappa_\iota = -0.0002$.

По численным причинам мы вводим верхнюю границу $\bar{\lambda}$ для параметра ликвидности $\lambda$, получая ограниченную область $[\underline{\lambda}, \bar{\lambda}]$ для $\lambda$, где $\underline{\lambda}$ — нижняя граница из механизма торговой паузы (27). Мы ставим нижнюю границу $\underline{\lambda} = -40$ и верхнюю $\bar{\lambda} = 40$, так что $\iota(\lambda) \geq 0$ для всех $\lambda \in [\underline{\lambda}, \bar{\lambda}]$. Кроме того, мы рассматриваем инвентарь $q$ в ограниченной области $[-\bar{q}, \bar{q}]$ с $\bar{q} := 10$.

С этими значениями параметров условие эластичности (11) выполняется. Точнее, для данной спецификации $\iota$ из (37) знаменатель $-\frac{\partial_\lambda \mathcal{I}^2(\lambda)}{\mathcal{I}^2(\lambda)}$ в условии эластичности (11) лежит в диапазоне $\approx [0.022, 0.177]$ для $\lambda \in [-40, 40]$. Отсюда условие (11) требует $\kappa_f = \frac{\partial_\lambda g(\lambda)}{g(\lambda)} < 0.022$, что даёт верхнюю границу для этой экспоненциальной интенсивности прихода рыночных заявок.

Независимая аукционная надбавка $Y$ к мид-цене в (32) распределена $\mathcal{N}(0, \sigma^2)$ с $\sigma = 0.3$. Bid-ask спред установлен в один цент, то есть $2\zeta = 0.01$. Наконец, неприятие риска трейдера $\alpha = 0.1$.

Дизайн сигнала. Сигнал задаётся переменной $Z_t$. Значение $Z_t = 1$ сигнализирует о входящей лимитной заявке, а значение $Z_t = -1$ — о потреблении ликвидности, то есть входящей рыночной заявке или отмене лимитной заявки. С фиксированной вероятностью $\hat{p} \in [0, 1]$ сигнал предупреждает трейдера о неминуемой заявке, и потому внешняя заявка с шансом $1 - \hat{p}$ застаёт трейдера врасплох. Таким образом, сигнал информирует трейдера о знаке неминуемого изменения ликвидности, но не даёт никакой информации о размере заявки: трейдер предвидит направление, но не величину изменений ликвидности. В частности, при сигнале $Z_t = -1$ о потреблении ликвидности трейдер не знает, будет ли выставлена рыночная заявка на покупку, рыночная заявка на продажу или отмена лимитной заявки.

Заметим, что определение (12) допускает огромное разнообразие мыслимых сигналов, и указанная спецификация выбрана для упрощения реализации.

Формальная спецификация модели раздела 3.3. Здесь мы следуем обозначениям раздела 2. Для простоты разбираем только бенчмарк; спецификация остальных постановок аналогична.

Во-первых, пространство марок задано как $E = \{-3,-2,-1,1,2,3\} \times \{-3,-2,-1,1,2,3\} \times \{-1,1\}$. Компоненты $e_1$ и $e_2$ марки $e = (e_1, e_2, e_3) \in E$ описывают объём возможной рыночной и лимитной заявки соответственно; компонента $e_3$ решает, какая из этих двух возможностей материализуется. Отображения $\eta$ и $\rho$ таковы:

Модель управляется однородным пуассоновским точечным процессом $N(dt, de, dy)$ с компенсатором $dt \otimes \nu(de) \otimes dy$. Здесь $\nu(de) = P^1(de_1) \otimes P^2(de_2) \otimes P^3(de_3)$, где $P^1$ — распределение марки, определяющей размер рыночной заявки, $P^2$ — распределение марки, определяющей размер лимитной заявки, а $P^3$ — бросок монеты, решающий, придёт в книгу рыночная или лимитная заявка. В нашем кейсе используются спецификации

Здесь, поскольку интенсивности прихода рыночных и лимитных заявок делятся пополам броском монеты, мы удваиваем $f$ и $g$ из (36), то есть берём $\hat{f} = 2f$ и $\hat{g} = 2g$, чтобы в ожидании рынок по-прежнему получал 20 внешних рыночных заявок, 30 лимитных заявок и 10 отмен лимитных заявок на торговом горизонте $[0, 1]$.

Сигнальный процесс $Z$:

Мы дезинтегрируем для $z = z(e, y) \in \{-1, 1\} \times \mathbb{R}_+$ скачковую меру

в

где мы обобщённо обозначаем $z = (z_1, y)$.

Функция ценности и эквивалент определённости. Мы реализуем численную схему из подраздела 4.2 для решения HJB (45). Рисунок 2 показывает функцию ценности $v$ из (33) для $p = x = 0$ и вероятности получения сигнала $\hat{p} = 0.2$. Функция ценности симметрична относительно $q = 0$ ввиду симметрии (7) и (17) по заявкам на покупку и продажу. Следовательно, ожидаемая полезность терминального богатства программы приобретения и ликвидации одинакова — при прочих равных.

Более того, функция ценности растёт по ликвидности $\lambda$, потому что издержки исполнения падают с ростом ликвидности на рынке. Когда ликвидность приближается к триггеру $\underline{\lambda}$, функция ценности наиболее крута из-за дополнительного риска попасть в аукцион через торговую паузу. Аналогично, функция ценности особенно крута при больших значениях $|q|$, потому что крупная программа исполнения связана с большим риском изменений цены и ликвидности.

Рисунок 3 иллюстрирует сигнальный эквивалент определённости функции ценности при вероятности получения сигнала $\hat{p} = 0.2$. Он соответствует дополнительному объёму начального богатства, который нужен трейдеру без сигнала, чтобы достичь той же ожидаемой полезности, что и в случае с сигналом, то есть эквивалент определённости $CE$ таков, что

Переставляя (38), запишем

Эквивалент определённости симметричен по $q$ и не зависит от $p$ или $x$. Более того, сигнал ценнее всего при больших значениях инвентаря, длинного или короткого. Максимум, который трейдер может извлечь из информации сигнала, — до четырёх центов, что соответствует четырём bid-ask спредам, см. рисунок 3.

Эквивалент определённости убывает по компоненте ликвидности $\lambda$: с падением ликвидности времена исполнения становятся релевантнее, потому что ценовое воздействие обходится дороже. Кроме того, эквивалент определённости слегка растёт к триггеру ликвидности $\underline{\lambda} = -40$. Здесь сигнал предупреждает трейдера о потенциальном достижении нижней границы $\underline{\lambda}$ и снижает риск исполнения финальной сделки на аукционе. При ликвидности больше двадцати эквивалент определённости равен нулю: сигнал не добавляет никакой ценности, потому что и с сигналом, и без него трейдер немедленно завершит программу исполнения.

Бенчмарк — сигнал оптимизирует времена исполнения и торговый объём. В бенчмарке со спредом 0.01 мы смотрим на задачу оптимального приобретения, где трейдер приобретает восемь лотов актива на горизонте $[0, T]$, так что начальный инвентарь $q = -8$. Трейдер может покупать и продавать любое кратное лота и может исполнять спекулятивные сделки, торгуя в сторону от цели покупки лишь восьми лотов за торговое окно.

Когда приватного сигнала нет, трейдер отправляет дочерние заявки размером не более двух лотов при достаточно высокой ликвидности, см. рисунок 4. Когда же трейдер получает приватные сигналы, она синхронизирует свои исполнения с сигналами о заявках, потребляющих ликвидность, и оптимизирует торговый объём своих сделок, см. рисунок 5 (симуляция с тем же зерном, что и для результатов рисунка 4). Здесь она исполняет программу приобретения, отправляя две дочерние заявки размером три и пять лотов при получении сигнала о потреблении ликвидности, когда уровень ликвидности высок. Когда ликвидность низка в течение $t \in [0.15, 0.7]$, трейдер не действует по сигналу и предпочитает ждать роста ликвидности. Отметим, что в её программе исполнения релевантны только сигналы о заявках, потребляющих ликвидность.

Больше сигналов — меньше издержки исполнения и рискованнее стратегии. Рисунок 6 иллюстрирует результативность сигнальных стратегий в зависимости от вероятности получения сигнала. Рисунок 6 (слева) показывает распределение терминального богатства для разных вероятностей получения сигнала в сравнении с распределением без сигнала. С ростом вероятности получения сигнала плотности сдвигаются вправо: сигнал увеличивает ожидаемое терминальное богатство за счёт оптимизации исполнения. С другой стороны, с ростом вероятности получения сигнала растёт и дисперсия терминального богатства, потому что трейдер берёт больше рисков благодаря дополнительной информации приватного сигнала. Точнее, зная, что о шоках ликвидности она будет проинформирована сигналом, трейдер дольше ждёт восстановления ликвидности после шоков перед торговлей, чтобы минимизировать издержки ценового воздействия. Но это связано с большим риском, поскольку несигнализированные внешние заявки всё равно могут приходить, что увеличивает дисперсию терминального богатства трейдера.

Чтобы квантифицировать ценность приватного сигнала $Z$, введём Signal-Sharpe-ratio (SSR)

где

и

Здесь $\tilde{W}_{T+}^j(Z)$ и соответственно $\tilde{W}_{T+}^j(0)$ обозначают терминальное богатство сценария $j \in \{1, \ldots, n_{sim}\}$ с сигналом $Z$ и без сигнала. Точнее, SSR — это избыточная доходность $\bar{W}(Z) - \bar{W}(0)$ трейдера с сигналом $Z$ относительно трейдера без сигнала, взвешенная риском $\sigma(Z)$ трейдера с сигналом $Z$.

Рисунок 6 (справа) показывает SSR как функцию вероятности $\hat{p}$ получения сигнала. SSR растёт до $\hat{p} = 0.2$ и медленно убывает после, потому что рост дисперсии доминирует над ростом ожидаемого терминального богатства, что ведёт к немонотонности на рисунке 6 (слева). Заметим, что средне-дисперсионная оптимизация не является целью трейдера, максимизирующего ожидаемую полезность терминального богатства; см. (33).

Сигнал ценнее для спекуляции при сужении bid-ask спреда. Далее рассмотрим bid-ask спред размера 0.002, то есть одну пятую бенчмаркового. В этом случае сигнал стимулирует спекулятивные сделки, потому что при прочих равных издержки исполнения round-trip сделок ниже.

Спекулятивные round-trip сделки начинаются после получения сигнала о поставке ликвидности, то есть когда трейдер знает через сигнал, что спекуляцию можно будет развернуть при лучшей ликвидности, см. рисунок 7. Спровоцировав поставку ликвидности собственной рыночной заявкой, трейдер ждёт прихода ликвидности на рынок, чтобы развернуть спекулятивную позицию при лучшей ликвидности по получении сигнала о заявке, потребляющей ликвидность.

Далее мы изучаем число траекторий со спекулятивными сделками среди $n_{sim} = 100{,}000$ симулированных траекторий с bid-ask спредом 0.01 и 0.002 в сценарии приобретения ($q = -8$) и чистой спекуляции ($q = 0$), где траектории для широкого и узкого спредов симулированы с одним зерном.¹

Когда спред широк, то есть равен 0.01, спекуляции нет, потому что round-trip сделки слишком дороги. С другой стороны, когда спред узок, то есть равен 0.002, спекуляция есть примерно в 22% траекторий в задаче приобретения ($q = -8$) и примерно в 11% траекторий в сценарии чистой спекуляции ($q = 0$). В примере с исполнением спекулятивных траекторий больше, потому что исполнение сделок трейдера провоцирует поставку ликвидности, и спекулятивные сделки становятся прибыльными. Особенно когда трейдер выторговывает позицию близко к нулю очень рано в торговом окне, то есть завершает задачу приобретения рано, оставшийся горизонт достаточно длинен, чтобы спекулятивный round trip, стартующий вблизи нуля, был прибыльным; и наоборот, если трейдер завершает приобретение позже. Наконец, без сигнала спекуляции нет и при широком, и при узком bid-ask спреде.

¹ Мы говорим, что траектория содержит спекулятивную сделку, если трейдер торгует в сторону от цели покупки восьми лотов на горизонте $[0,1]$, торгуя и рыночными заявками на покупку, и на продажу.

Рисунок 8 показывает распределение терминального богатства в задаче оптимального приобретения $q = -8$, когда трейдер получает приватный сигнал с вероятностью $\hat{p} = 0.2$, а bid-ask спред равен 0.01 и 0.002. При узком спреде терминальное богатство в среднем выше, потому что трейдер платит меньше спреда и зарабатывает на спекулятивных сделках. Терминальное богатство растёт сильнее всего в интервале $[-801, -800.5]$, см. рисунок 8, потому что низкие уровни ликвидности, дающие меньшие значения терминального богатства при спреде 0.01 из-за издержек ценового воздействия, могут вести к прибыльным round trips при спреде 0.002. Аналогично, дисперсия терминального богатства снижается, потому что в целом трейдер исполняет больше заявок для приведения инвентаря к нулю и отклоняется от этой цели лишь примерно в 22% случаев.

Аналогично, рисунок 9 иллюстрирует эквивалент определённости (39) для спреда 0.002 минус эквивалент определённости (39) для спреда 0.01. Эквивалент определённости улучшается при низкой ликвидности и когда инвентарь трейдера близок к нулю — именно тогда исполняются спекулятивные сделки.

Сигнал о заявках, потребляющих ликвидность, против сигнала о заявках, поставляющих ликвидность. Наконец, сравним результативность стратегии трейдера, получающего сигнал о приходе потребляющих ликвидность заявок, со стратегией трейдера, получающего сигнал о приходе поставки ликвидности.

Трейдер с сигналом о потреблении ликвидности использует его для оптимизации времён исполнения и торговых объёмов, что увеличивает терминальное богатство и его дисперсию, см. рисунок 10. Тогда как, аналогично рисунку 5, трейдер не использует сигнал о поставке ликвидности для своего исполнения, и её терминальное богатство совпадает с богатством трейдера, не получающего сигнала; см. рисунок 10.

4. Уравнение Гамильтона–Якоби–Беллмана и его численное решение

В этом разделе мы представляем вывод HJB и численную схему, использованную для иллюстраций предыдущего раздела.

4.1. Уравнение Гамильтона–Якоби–Беллмана

Далее мы выводим уравнение HJB, которому удовлетворяет функция ценности $v$ из (33). В частности, мы исследуем, при каких условиях процесс ценности $V_t^C := v(\bar{T} - t, \tilde{S}_{t+}^C)$, $t \in [0, \bar{T}]$, с произвольным, но фиксированным горизонтом $\bar{T}$, обладает супермартингальной динамикой для каждого допустимого $C \in \tilde{\mathcal{C}}(\lambda, q)$ и мартингальной динамикой для некоторой стратегии $C^* \in \tilde{\mathcal{C}}(\lambda, q)$ (которая тогда будет оптимальной).

Принимаем обозначения представления $C$ из леммы 2.4 и предполагаем, что функция ценности $v = v(T, \lambda, q, p, x)$ достаточно гладка для применения формулы Ито. Тогда, хотя бы формально, для $0 \leq t \leq \tau^C \wedge \bar{T}$ динамика $V^C$ записывается как

где мы использовали, что предсказуемые левые скачки $\Delta_t^{l,p} C$ не могут совпадать с моментами марок; ср. (16).

Чтобы $V^C$ был супермартингалом для любого допустимого $C$, из последних двух строк видно, что должно выполняться

Заметим, что в случае $D(\lambda, q) = D = \mathbb{R}$ (когда допустима непрерывная торговля) это условие всё равно обеспечивает, что вклады членов $dC_t^c$ в $dV_t^C$ ведут к супермартингальной динамике. Действительно, при формальном дифференцировании $v(T, \tilde{s}(\Delta, 0, 0; s)) - v(T, s)$ сверху и снизу в $\Delta = 0$ условие влечёт, в частности, $\frac{\partial v}{\partial x}\zeta - \frac{\partial v}{\partial \lambda} \pm \big( \frac{\partial v}{\partial p}\iota(\lambda) - \frac{\partial v}{\partial x}p + \frac{\partial v}{\partial q} \big) \leq 0$. В результате сведённые подынтегральные выражения при $dC^{c,\pm}$ в (40) будут неположительными, как требуется.

Далее мы компенсируем $N$-интегралы, которые тогда дают локальные мартингалы и дрейфы, накапливающиеся со скоростями

Мы используем дезинтеграцию

с $\mu = (\nu \otimes \mathrm{Leb}) \circ z^{-1}$, чтобы переписать и оценить первый интеграл в (42): интеграл по $\{z(e,y) \neq 0\}$ переписывается как повторный интеграл по $\mu(d\bar{z})$ и $K(\bar{z}; de, dy)$, и оценивается сверху заменой сигнальной сделки $\Gamma_t(\bar{z})$ на супремум по $\gamma \in D(\tilde{\lambda}_{t-}^C, \tilde{Q}_{t-}^C)$ внутреннего интеграла по $K(\bar{z}; de, dy)$.

Наконец, собирая все $dt$-члены из динамики $dV_t^C$, получаем точную верхнюю границу

Для удовлетворения мартингального принципа оптимальности члены в (44) должны быть не больше нуля для любой допустимой стратегии $C \in \tilde{\mathcal{C}}(\lambda, q)$ и равны нулю для некоторой (оптимальной) стратегии $C^*$. Вместе с (41) мы получаем таким образом HJBQVI

для $(T, s) = (T, \lambda, q, p, x) \in [0, \infty) \times [\underline{\lambda}, \infty) \times [-\bar{q}, \bar{q}] \times \mathbb{R} \times \mathbb{R}$. Поскольку торговля приостанавливается, когда ликвидность падает ниже $\underline{\lambda}$, функция ценности при $\lambda < \underline{\lambda}$ равна

для $(T, q, p, x) \in [0, \infty) \times [-\bar{q}, \bar{q}] \times \mathbb{R} \times \mathbb{R}$, а начальное условие для $s = (\lambda, q, p, x) \in [\underline{\lambda}, \infty) \times [-\bar{q}, \bar{q}] \times \mathbb{R}^2$ при нулевом оставшемся времени $T = 0$ есть

Для снижения размерности уравнения HJB вспомним мультипликативную структуру (34) функции ценности. Для краткости обозначений введём

и запишем редуцированное HJB для $v_0(T, \lambda, q)$ с $(T, \lambda, q) \in [0, \infty) \times [\underline{\lambda}, \infty) \times [-\bar{q}, \bar{q}]$ при $\alpha > 0$ как

Для $\lambda < \underline{\lambda}$ функция $v_0(T, \lambda, q)$ принимает значение

а начальное условие для $(\lambda, q) \in \mathbb{R} \times [-\bar{q}, \bar{q}]$ при нулевом оставшемся времени —

Аналогично получается редуцированное HJB для $w$ при $\alpha = 0$. Предполагаемая оптимальная стратегия строится, как обычно, в форме обратной связи определением максимизатора в супремумах HJB (45).

4.2. Численная схема

Далее мы представляем численную конечно-разностную схему аппроксимации решения редуцированного по размерности уравнения HJB (45) при $\alpha > 0$; похожая схема выводится для $\alpha = 0$.

Сначала дискретизируем область определения функции ценности $[0, T] \times [\underline{\lambda}, \infty) \times [-\bar{q}, \bar{q}]$. Для временного измерения $T' \in [0, T]$ берём сетку $\mathcal{T}_{\delta T}$ на $[0, T]$ с шагом $\delta T > 0$, где $T = N_1 \delta T$ для некоторого $N_1 \in \mathbb{N}$. Для измерения ликвидности $\lambda \in [\underline{\lambda}, \infty)$ выбираем сетку $\mathcal{R}^{\lambda}_{\delta\lambda}$, дискретизирующую $[\underline{\lambda} - \delta\lambda, \bar{\lambda}]$ с шагом $\delta\lambda > 0$, где $\bar{\lambda} = \underline{\lambda} + N_2 \delta\lambda$ для некоторого $N_2 \in \mathbb{N}$ — удобно выбранный максимальный уровень ликвидности. Чтобы остаться в ограниченной области, мы полагаем $\lambda$ равным $\underline{\lambda} - \delta\lambda$ после приостановки торговли и определяем численную схему соответственно. Для уровней инвентаря $q \in \mathbb{R}$ вводим ограниченную сетку $\mathcal{R}^{\underline{Q},\bar{Q}}_{\delta q}$ на $[\underline{Q}, \bar{Q}]$ с шагом $\delta q > 0$, где $\underline{Q} = N_3 \delta q$ и $\bar{Q} = N_4 \delta q$ для некоторых констант $N_3, N_4 \in \mathbb{Z}$, $N_3 < N_4$ и $[\underline{Q}, \bar{Q}] \subseteq [-\bar{q}, \bar{q}]$. Чтобы инвентарь $q$ оставался внутри сетки $\mathcal{R}^{\underline{Q},\bar{Q}}_{\delta q}$, а $\lambda$ — выше $\underline{\lambda} - \delta\lambda$, определяем множество действий

Для распространения функции ценности удобно ввести следующий оператор, действующий на функции $h^{T'} : \mathcal{R}^{\lambda}_{\delta\lambda} \times \mathcal{R}^{\underline{Q},\bar{Q}}_{\delta q} \to \mathbb{R}$ с $T' \in \mathcal{T}_{\delta T}$:

где

описывает распространение при отсутствии сигнала, на который надо реагировать, и

— распространение, когда заявка $\gamma$ ставится при наблюдении сигнала $\bar{z}$. Для значений $\lambda \notin \mathcal{R}^{\lambda}_{\delta\lambda}$ мы линейно интерполируем:

Здесь $\lfloor\cdot\rfloor$ и $\lceil\cdot\rceil$ обозначают округление к ближайшему целому снизу и сверху. Аналогично определим

как оператор, обеспечивающий оптимальное исполнение state-сделок.

С этими обозначениями мы задаём следующую численную схему вычисления приближённого решения (45). Сначала инициализируем граничными значениями при нулевом оставшемся времени $T = 0$:

Далее, вычислив функцию ценности до горизонта $T'$, распространяем её на шаг дальше до $T' + \delta T$, вычисляя ценность возможности играть дополнительный период:

Затем это значение обновляется для учёта возможных state-сделок, давая следующий шаг:

при поддержании граничного условия

когда торговля приостанавливается.

Приложение A. Доказательства для раздела 2

Динамика модели допускает единственное решение.

Лемма A.1. При условии (5) системная динамика $(\lambda, L, M)$, заданная (1)–(3), допускает единственное решение.

Доказательство. Достаточно исключить, что взаимно возбуждающая динамика ведёт к взрывам. Для этого докажем, что ожидание полной вариации $V_{[0,t]}(\lambda)$ процесса ликвидности $(\lambda_s)$ на $[0, t]$ ограничено для каждого $t \in [0, T]$. Используем, что $f$ и $g$ имеют не более чем линейный рост, для оценки

Утверждение следует по неравенству Гронуолла. $\blacksquare$

Связь между волатильностью цен и ликвидностью рынка — доказательство леммы 2.2. Квадратическая вариация ценового процесса имеет динамику

Отсюда динамика её предсказуемого компенсатора совпадает с (9). Производная выражения в (10) по $\lambda$ отрицательна, если выполняется условие (11); это доказывает утверждение о монотонности. $\blacksquare$

Разложение $C$ — доказательство леммы 2.4. Легко видеть, что $C$ вида (14) $\Lambda$-измерим и имеет ограниченную полную вариацию.

Для доказательства обратного нужно показать, что левые скачки $C$ имеют вид (15) с $\Gamma$ и $C^{l,p}$, как описано в лемме. Без ограничения общности можно считать их все отрицательными, а их сумму $C^l$ — ограниченной. Тогда $C^l$ — $\Lambda$-супермартингал и, значит, разлагается в $C^l = M - A - B_-$ для некоторого локального $\Lambda$-мартингала $M$, некоторого предсказуемого неубывающего непрерывного справа $A$ с $A_0 = 0$ и некоторого $\Lambda$-измеримого неубывающего непрерывного справа чисто скачкового процесса $B$ с $B_0 = 0$; ср. Ленгларта (1980), теорема 4, с. 527. Локализацией $M$ — даже истинный мартингал, и по теореме о мартингальном представлении для пуассоновских точечных процессов существует $\mathcal{P} \otimes \mathcal{E} \otimes \mathcal{B}([0,T])$-измеримый $\xi \in L^1(\mathbb{P} \otimes ds \otimes \nu \otimes dy)$ такой, что

где мы принимаем обозначения раздела 4. Взятие $\Lambda$-проекции даёт

где $\hat{\xi}_t(0) := 0$ и $\hat{\xi}_t(\bar{z}) := \int_{\{z = \bar{z}\}} \xi_t(e, y)\, K(\bar{z}; de, dy)$ для $\bar{z} \in z(E \times [0, \infty)) \setminus \{0\}$, с $K$ как в (43). Поскольку $A$ предсказуем, а $N$ ставит марки только в $\mathbb{P}$-вполне недостижимые моменты остановки, скачки $\Delta A =: -\Delta C^{l,p}$ почти наверное не совпадают с моментами марок: $\{t \in [0,T] : \Delta_t A \neq 0\} \subset \{t \in [0,T] : N(\{t\} \times E \times [0, \infty)) = 0\}$. Следует, что $\Delta_t^l C = \Delta_t^l M - \Delta_t^l A - \Delta_t^l B_- = \hat{\xi}_t(Z_t) + \Delta_t C^{l,p} + 0$. Это и есть (15) с $\Gamma := \hat{\xi}$. $\blacksquare$

Динамика реализуемой портфельной стоимости — доказательство предложения 2.7. Мы используем, что динамика в стиле Маркуса (21), (22), (23), (24) для $\lambda^C, X^C, Q^C$ и $P^C$ управляется классическим исчислением, для вычисления динамики $W^C = X^C + Q^C P^C - \big(\zeta|Q^C| + \Xi(Q^C, \lambda^C)\big)$:

С учётом

находим

Разлагая

и аналогично разлагая $dM^C$-члены, приходим к

Перестановка членов даёт (26). $\blacksquare$

Приложение B. Регулярность функции ценности

Этот раздел даёт доказательство нашей теоремы регулярности 3.2 для функции ценности.

Полная активность заявок ограничена поставленной ликвидностью. Используя, что рыночные заявки и отмены исполняются лишь пока ликвидность остаётся больше $\underline{\lambda}$, оценим

с $\tilde{M}^C, \tilde{L}^{C,+}, \tilde{L}^{C,-}$ как в (28), (29) и (30). Переставляя (46), находим

Поскольку общая ликвидность, поставленная на рынке с минимальной ликвидностью $\underline{\lambda}$, может быть ограничена

мы находим, что полный объём рыночных заявок и отмен контролируется:

Мультипликативная структура и невырожденность функции ценности. По предложению 2.7,

Заметим, что ни $x$, ни $p$ не участвуют в приведённых интегралах или $Y$-члене. Поскольку $w(x, q, p, \lambda) = x + pq + w(0, q, 0, \lambda)$, структура экспоненциальной полезности позволяет отделить $x + pq$, и мы заключаем, что

то есть заявленную мультипликативную форму (34) функции ценности.

Как дальнейшее следствие приведённого представления богатства, мы можем использовать лимит позиции $\bar{q}$ из (13) и границу ликвидности $\underline{\lambda}$ для оценки

Поэтому с (47) получаем

Далее, ввиду (31), $Y$ центрирован и независим от $\mathcal{F}_T$, условное ожидание не меньше 1 по неравенству Йенсена, и потому

Поскольку эта граница не зависит от выбора $C \in \tilde{\mathcal{C}}(\lambda, q)$, функция ценности $v$ из (33) невырожденна.

Непрерывность функции ценности по горизонту. Сначала покажем, что наша функция ценности зависит от горизонта непрерывно и монотонно:

Лемма B.1. Для любого $T' \leq T$ имеем

для некоторой невозрастающей непрерывной функции $\tau : [0, \infty) \to (0, 1]$ с $\tau(0) = 1$.

Доказательство. Поскольку инвестор может ликвидироваться и ждать, пока доступное для инвестирования время истечёт, монотонность функции ценности по $T$ очевидна.

Для второго неравенства рассмотрим управление $C \in \tilde{\mathcal{C}}$ для горизонта $T$ и используем свойства $Y$ из (31), чтобы записать его ожидаемую полезность как

Аналогично (49) заключаем, что

Аналогично,

где в последней оценке мы использовали, что $L_Y'$ возрастает от $L_Y'(0) = 0$, потому что $Y$ центрирован с симметричной выпуклой кумулянтной производящей функцией $L_Y$; ср. (31).

С этими оценками из (51) получаем:

Приведённые интегралы по $N$ независимы от $\mathcal{F}_{T'}$. Поэтому их вклад можно вычислить отдельно, и по формуле Леви–Хинчина существует константа $\theta > 0$, такая что он имеет вид $\tau(T - T') = \exp(-\theta(T - T'))$. Ещё одним применением (51), но теперь для $T'$ вместо $T$, следует, что

Поскольку $C \in \tilde{\mathcal{C}}$ выбран произвольно, это даёт вторую оценку в (50). $\blacksquare$

Непрерывность функции ценности по начальному уровню ликвидности и инвентарю. Исследуем далее непрерывность $v$ по $(\lambda, q) \in [\underline{\lambda}, \infty) \times [-\bar{q}, \bar{q}]$. По мультипликативной структуре функции ценности (34) достаточно сделать это для $v_0$, то есть для $x = 0$, $p = 0$.

Наша задача — построить из данной стратегии $C \in \tilde{\mathcal{C}}(\lambda, q)$ стратегию $C'$, допустимую при старте из $(\lambda', q') \in [\underline{\lambda}, \infty) \times [-\bar{q}, \bar{q}]$, которая работает почти так же хорошо, как $C$. Как мы покажем, такую $C'$ можно получить, исполняя те же заявки, что $C$, — по крайней мере в возможной степени, то есть не нарушая ограничения на инвентарь и используя только доступную ликвидность. До приостановки $C$ в момент $\tau^C$ (ср. (27)) эта стратегия формально описывается решением СДУ-системы

Действительно, имеем

Заметим, что на $[0, \tau^{C'}) \cap [0, T]$ ликвидность $\lambda^{C'}$ может упасть ниже $\underline{\lambda}$ только из-за экзогенной заявки. Если, во-первых, $\tau^C \leq T$, пауза для $C$ может быть спровоцирована по трём причинам. Если она вызвана сделкой левого скачка ($\Delta^l C > 0$), то $C'$ ликвидирует свою текущую позицию в этот момент, возможно спровоцировав паузу в процессе, и после прекращает работу. Если, во-вторых, паузу $C$ спровоцировала внешняя заявка, не остановившая $C'$, последняя всё же копирует, в допустимой ограничениями ликвидности и позиции степени, любую предшествующую сделку левого скачка, даёт внешним заявкам подействовать, но затем «закрывает лавочку», ликвидируя позицию state-сделкой, — опять же возможно спровоцировав паузу сама. Наконец, если, в-третьих, паузу спровоцировала state-сделка $C$, то $C'$ прекращает операции после финальной ликвидирующей state-сделки, которой снова позволено спровоцировать паузу.

С построенной так $C'$ динамика $\lambda^{C'}$ записывается как

в согласии с динамикой (21) для $\lambda^C$. В частности, как и $\lambda^C$, ликвидность $\lambda^{C'}$ может упасть ниже $\underline{\lambda}$, но, за исключением возможной финальной state-сделки $C'$ в момент $\tau^C$, эта пауза может быть вызвана только внешними заявками из $\tilde{L}'$ и $\tilde{M}'$. Эти два процесса, как и $\tilde{Q}'$, в свою очередь не будут двигаться при $\lambda_-^{C'} < \underline{\lambda}$, то есть сразу после того, как $C'$ спровоцировала сигнал торговой паузы. Динамика $\tilde{Q}', \tilde{L}'$ и $\tilde{M}'$ таким образом тоже останавливается. В результате вся эта динамика согласуется с динамикой раздела 3.1 в смысле $\tilde{L}' = \tilde{L}^{C'}$, $\tilde{M}' = \tilde{M}^{C'}$, $\tilde{Q}' = \tilde{Q}^{C'}$.

Лемма B.2. Пусть $\rho, \eta \in L^2(\nu)$ и $g(\infty) < \infty$. Существует константа $c$ со свойствами (i), (ii) и (iii) ниже, не зависящая ни от $(\lambda, q), (\lambda', q') \in [\underline{\lambda}, \bar{\lambda}] \times [-\bar{q}, \bar{q}]$, ни от выбора $C \in \tilde{\mathcal{C}}(\lambda, q)$, при условии что

(i) Пока она не наткнётся на торговую паузу, реализуемое богатство стратегии $C'$ остаётся близким к богатству $C$ в смысле

где

обозначает кумулятивный объём внешних заявок, влияющий на торговую среду только одной из стратегий.

(ii) В ожидании эксклюзивный объём заявок $V^{C,C'}$ контролируется в смысле

и

(iii) Вероятность ранней паузы для $C'$ равна

где $w_{\rho^- + |\eta|}$ — вогнутая оболочка модуля непрерывности для $\nu(\rho^- + |\eta| > \cdot)$ на $(0, \infty)$.

Замечание B.3. Предшествующая лемма устанавливает точный контроль того, насколько близко построенная выше $C'$ отслеживает $C$. Свойство (52) нарушается только явно субоптимальными стратегиями, не представляющими интереса для функции ценности; ср. также доказательство следствия B.4.

Доказательство. Для краткости обозначений введём $\tau := \tau^C$, $\tau' := \tau^{C'}$, $\tilde{\lambda} := \tilde{\lambda}^C$, $\tilde{\lambda}' := \tilde{\lambda}^{C'}$, $\tilde{W} := \tilde{W}_+^C$, $\tilde{W}' := \tilde{W}_+^{C'}$, а также $\tilde{Q} := \tilde{Q}^C$, $\tilde{L} := \tilde{L}^C$, $\tilde{M} := \tilde{M}^C$.

Ключевое наблюдение: на $[0, \tau' \wedge T]$ расстояние $|\tilde{Q} - \tilde{Q}'| + |\tilde{\lambda} - \tilde{\lambda}'|$ может расти, только когда внешняя заявка влияет лишь на одну из стратегий в смысле роста $V := V^{C,C'}$. Действительно, обозначая $d\hat{Q} := d\tilde{Q} - d\tilde{Q}'$ дополнительные сделки $C$ сверх $C'$ и аналогично $d\hat{L}, d\hat{M}$ — разности потоков заявок для $C$ и $C'$, вычисляем

До момента $\tau \wedge \tau'$ дополнительная покупка $C$, за которой $C'$ не может последовать («$d\hat{Q}^+ > 0$»), возможна только при $\tilde{Q}' = \bar{q}$ или при $\tilde{\lambda}' = \underline{\lambda}$. Поэтому подынтегральное выражение при $d\hat{Q}^+$ в предыдущем выражении будет $-1$ или даже $-2$ в такой момент. Аналогично, продажа, эксклюзивная для $C$ («$d\hat{Q}^- > 0$»), возможна только при $\tilde{Q}' = -\bar{q}$ или при $\tilde{\lambda}' = \underline{\lambda}$, и тогда подынтегральное выражение при $d\hat{Q}^-$ будет $-1$ или $-2$. В результате заявки от $C$ или $C'$ могут только уменьшать расстояние $|\tilde{Q} - \tilde{Q}'| + |\tilde{\lambda} - \tilde{\lambda}'|$, а растёт это расстояние не более чем на $dV = |d\hat{L}| + |d\hat{M}|$. Следует, что

Заметим, что мы можем включить $\tau \wedge \tau' \wedge T$ в (56), поскольку по (52) и по построению $C'$ обе стратегии $C$ и $C'$ будут разворачивать позицию в этот момент, если $\tau \leq \tau' \wedge T$. В случае $\tau' < \tau \wedge T$ отметим, что это может произойти только из-за внешних заявок, и потому (56) выполняется в этот момент, поскольку его левая часть не меняется, а правая может только расти. Более того, мы можем использовать указанное sgn-наблюдение для оценки избыточного объёма сделок $C$ сверх сделок $C'$:

(i) Далее обозначаем через $c$ обобщённую константу, которая может расти от строки к строке, но никогда не зависит от $\lambda, \lambda', q, q', C, C'$. Пусть $c$ — совместная константа Липшица для $w(T, 0, \cdot, 0, \cdot)$, $r$ и функций

Представляя и $\tilde{W}$, и $\tilde{W}'$ как в (48), запишем разность $\tilde{W} - \tilde{W}'$ через разность начальных значений $w$, разности $a$-интегралов по общим и эксклюзивным лимитным заявкам, разности $b^\pm$-интегралов по общим и эксклюзивным рыночным заявкам, разности $dQ^\pm$-интегралов по общим и эксклюзивным сделкам, разность спредовых издержек $\zeta\big( (V_{[0,\cdot]}(C) + |\tilde{Q}|) - (V_{[0,\cdot]}(C') + |\tilde{Q}'|) \big)$ и разность $Y$-членов $Y\big( r(\tilde{Q}, \tilde{\lambda}) - r(\tilde{Q}', \tilde{\lambda}') \big)$. Отметим: в отличие от (48), здесь мы предпочитаем выразить разность спредовых издержек через разность вариаций позиции и разность терминальных позиций к ликвидации. Первая равна $\int_0^{\cdot} \diamond|d\hat{Q}|$ и потому контролируется (57); вторая контролируется (56). Оба контроля нужной формы.

Поскольку $c$ — константа Липшица для функции $w(T, 0, \cdot, 0, \cdot)$, первый член даёт вклад не более

Функция $r$ тоже липшицева с этой константой, и потому последний член даёт вклад не более $|Y| c\big( |\tilde{Q} - \tilde{Q}'| + |\tilde{\lambda} - \tilde{\lambda}'| \big)$, что по (56) не превышает

Фактически аналогично можно поступить и с остальными членами. Когда лимитная заявка или отмена влияет на среду и $C$, и $C'$, интеграторы $a$-членов совпадают, и абсолютная величина чистого вклада оказывается не более $c(|\tilde{Q} - \tilde{Q}'| + |\tilde{\lambda} - \tilde{\lambda}'|)$, проинтегрированного по $dL^{C}$. Используя (56) так же, как для $Y$-члена, это даёт вклад не более $c(|q - q'| + |\lambda - \lambda'| + V)$, проинтегрированного по общим лимитным заявкам и отменам $d\tilde{L}^C$. Аналогично для общих рыночных заявок на покупку и продажу с $b^\pm$-членами. При агрегировании получаем вклад от неэксклюзивных внешних заявок не более

Когда рыночная заявка на покупку или продажу влияет только на одну из сред, результирующее абсолютное изменение реализуемого богатства из-за $b^\pm$-интегралов не превышает её объёма, умноженного на $\max|b^\pm| \leq 2\bar{q}\iota(\underline{\lambda})$. Аналогично, из $a$-интегралов мы собираем не более эксклюзивного объёма, умноженного на $\max|a| \leq \bar{q}\iota(\underline{\lambda})$. Все эти вклады агрегируются в не более чем кратное

Так же можно обработать и $dQ^\pm$-интегралы: для общих сделок $C$ и $C'$ можно свести подынтегральные выражения, собирая вклад не более

Вклады, когда торгует только $C$, а $C'$ вынуждена пауза, ограничены $2\bar{q}\iota(\underline{\lambda})$, умноженным на агрегированный дополнительный объём покупок или продаж $\int_0^{\cdot} \diamond|d\hat{Q}|$, который $C$ делает сверх $C'$. Ввиду (57) мы получаем от этих эксклюзивных для $C$ заявок вклад не более

Складывая оценки вкладов (58), (59), (60), (61), (62), (63) со спредовыми издержками, контролируемыми (57) и (56), находим, что

на $[0, \tau \wedge \tau' \wedge T]$. Ввиду (47) указанные члены полной вариации совместно доминируются $c(\lambda \vee \lambda' - \underline{\lambda} + \bar{L}^+)$. Наконец, вновь заменяя $c$ на большую константу, по-прежнему не зависящую от начальных данных и от $C$ и $C'$, приходим к (53) на $[0, \tau \wedge \tau' \wedge T]$. Поскольку в случае $\tau \leq \tau' \wedge T$ обе $C$ и $C'$ разворачивают позицию в этот момент, их реализуемые портфельные стоимости не меняются (ср. также (26)) и остаются столь же близкими, как и раньше. Поскольку $C'$ тоже прекратит торговать после $\tau$, (53) распространяется на $[0, \tau' \wedge T]$ в любом случае.

(ii) Мы можем выразить $V$ через точечный процесс $N$ как

Взяв ожидание, мы можем перейти к компенсатору $dt \otimes \nu(de) \otimes dy$ и получить

Беря $c$ константой Липшица для $f$ и $g$ и используя (56), получаем

Наша оценка для $\mathbb{E}[V_{t \wedge \tau \wedge \tau'}]$ теперь следует (с модифицированной $c$, учитывающей указанный $\nu$-интеграл) из леммы Гронуолла.

Для получения границы на $\mathbb{E}[V_{t \wedge \tau \wedge \tau'}^2]^{1/2}$ снова рассмотрим (64) и используем лемму C.1, чтобы заключить, что для некоторой константы $c$, зависящей только от $g(\infty) \vee f(\underline{\lambda})$,

Отсюда снова можно продолжить липшицевой оценкой и использовать (56), чтобы прийти к

Применение (54) теперь позволяет заключить (55) переходом к большей константе $c$.

(iii) Обозначим через $\Gamma_s(z(e,y)), \Gamma'_s(z(e,y))$ сигнальные сделки соответственно $C$ и $C'$ из леммы 2.4. Заметим, что $\tau' < \tau \wedge T$ возможно только если в момент $\tau' = s$ точечный процесс $N(ds, de, dy)$ ставит марку $(e, y)$, дающую слишком крупную рыночную заявку или отмену, чтобы её покрыла ликвидность $R'_s(e, y) := \tilde{\lambda}'_{s-} - |\Gamma'_s(z(e,y))| - \underline{\lambda}$, оставшаяся после возможной сигнальной сделки $C'$, тогда как $C$ либо не подвержена этой заявке, либо её оставшаяся ликвидность $R_s(e, y) := \tilde{\lambda}_{s-} - |\Gamma_s(z(e,y))| - \underline{\lambda}$ достаточна для покрытия этой заявки без запуска паузы. Вспоминая, что $\rho(e)\eta(e) \equiv 0$, это означает, в частности, что марка $(e, y)$ должна попасть в одно из множеств марок

Заметим, что с $w$, обозначающим модуль непрерывности для $\nu(\rho^- + |\eta| > \cdot)$ на $(0, \infty)$, мы можем оценить для любого $y$-сечения $M_s^{1,y}$ множества $M_s^1$ его $\nu$-меру:

где для второй оценки мы использовали $|\Gamma'(z(e,y))| \leq |\Gamma(z(e,y))|$ (вспоминая, что $C'$ всегда торгует не больше, чем $C$). По той же причине можно оценить $dy$-меру $e$-сечений $M_s^{2,e}$ множества $M_s^2$:

где, как и раньше, $r = R_s(e,y) + \underline{\lambda}$, $r' = R'_s(e,y) + \underline{\lambda}$. Следует, что

где в предпоследнем шаге мы использовали (56), а в последнем — неравенство Йенсена для вогнутой оболочки $w_{\rho^- + |\eta|}$ модуля $w$. Утверждение (iii) теперь следует из оценки в (ii). $\blacksquare$

С этой леммой в руках мы можем установить главный результат этого параграфа:

Следствие B.4. Пусть $\nu(\rho^- + \eta > \cdot)$ непрерывна на $(0, \infty)$, $g(\infty) < \infty$ и $\eta, \rho \in L^2(\nu)$, причём $\rho^+$ вдобавок удовлетворяет условию экспоненциальной интегрируемости (35). Тогда $v_0(T, \cdot, \cdot) = v(T, \cdot, \cdot, 0, 0)$ непрерывна на $[\underline{\lambda}, \infty) \times [-\bar{q}, \bar{q}]$.

Доказательство. Выберем $\bar{\lambda} > \underline{\lambda}$. Начнём с доказательства оценки экспоненциального момента

Для этого снова рассмотрим представление терминального богатства (48) и заметим, что оно даёт нижнюю границу

С (47) и используя независимость $Y$ от $\mathcal{F}_T$ и его симметрию (см. (31)), мы получаем с границей инвентаря из (13) для любого порядка $c > 0$:

По формуле Леви–Хинчина правая часть конечна при условии (35). Поскольку приведённая оценка равномерна по $C \in \tilde{\mathcal{C}}(\lambda, q)$, а $w(0, \lambda, 0, q)$ ограничена снизу равномерно по $(\lambda, q) \in [\underline{\lambda}, \bar{\lambda}] \times [-\bar{q}, \bar{q}]$, эта оценка даёт (65).

Возьмём теперь $(\lambda, q), (\lambda', q') \in [\underline{\lambda}, \bar{\lambda}] \times [-\bar{q}, \bar{q}]$. Для любого $\epsilon > 0$ можно взять $\epsilon$-оптимальную $C \in \tilde{\mathcal{C}}(\lambda, q)$ и считать, что она провоцирует паузу, только сокращая свою экспозицию $|Q^C|$, то есть удовлетворяет (52). Действительно, провоцирование паузы при расширении экспозиции означает исполнение убыточного round trip из-за принудительного разворачивания любой оставшейся позиции после срабатывания паузы.

Теперь рассмотрим ассоциированную $C' \in \tilde{\mathcal{C}}(\lambda', q')$ из предыдущей леммы для оценки

где мы использовали вогнутость функции полезности $U$.

Обозначим далее через $c$ снова обобщённую константу, не зависящую от начальных данных, а также от $C$ или $C'$.

Заметим, что на $\{\tau^C \leq \tau^{C'} < T\}$ обе $C$ и $C'$ ликвидируют позиции одновременно и затем прекращают работу. Значит, $\tilde{W}_{T+}^C = \tilde{W}_{\tau^{C'}+}^C = \tilde{W}_{\tau^{C'}}^C$ и $\tilde{W}_{T+}^{C'} = \tilde{W}_{\tau^{C'}+}^{C'} = \tilde{W}_{\tau^{C'}}^{C'}$ на этом множестве. Используя это, применяя затем лемму B.2 (i) и неравенство Гёльдера, находим, что первое ожидание в (66) есть

где финальное неравенство следует из (65) и леммы B.2 (ii). Ясно, что существует $\delta(\epsilon) > 0$ такое, что для начальных данных из $[\underline{\lambda}, \bar{\lambda}] \times [-\bar{q}, \bar{q}]$ с $|\lambda - \lambda'| + |q - q'| =: \delta < \delta(\epsilon)$ приведённое выражение меньше $\epsilon$.

Снова по (65) полезности во втором ожидании в (66) принадлежат равномерно интегрируемому семейству случайных величин. Они интегрируются по множеству $\{\tau^{C'} < \tau^C \wedge T\}$, чья вероятность по лемме B.2 (iii) равномерно контролируется $c\big( w_{\rho^- + |\eta|}(\delta) + \delta + \delta^{1/2} \big)$, где снова $\delta = |\lambda - \lambda'| + |q - q'|$. Поэтому мы можем уменьшить $\delta(\epsilon) > 0$ ещё сильнее, причём способом, не зависящим от $(\lambda, q), (\lambda', q')$ или $C, C'$, так что для всех начальных данных с $|\lambda - \lambda'| + |q - q'| = \delta < \delta(\epsilon)$ второе ожидание в (66) меньше $\epsilon$.

Следует, что если $|\lambda - \lambda'| + |q - q'| < \delta(\epsilon)$, то

Обмен ролями $(\lambda, q)$ и $(\lambda', q')$ в приведённом рассуждении даёт $\delta(\epsilon) > 0$ такое, что

для всех $(\lambda, q), (\lambda', q') \in [\underline{\lambda}, \bar{\lambda}] \times [-\bar{q}, \bar{q}]$ с $|\lambda - \lambda'| + |q - q'| < \delta(\epsilon)$. Это доказывает непрерывность $v_0(T, \cdot, \cdot)$ на этой области. $\blacksquare$

Непрерывность функции ценности. Непрерывность функции ценности на $[\underline{\lambda}, \infty) \times [-\bar{q}, \bar{q}]$ следует из её мультипликативной структуры (34) и комбинации леммы B.1 со следствием B.4.

Приложение C. Моментная оценка для пуассоновских интегралов

Для доказательства непрерывности функции ценности мы использовали следующую моментную оценку интеграла предсказуемого зависящего от марки процесса по пуассоновскому точечному процессу. Мы приводим её здесь для полноты, поскольку не смогли найти результат такого рода в литературе.

Лемма C.1. На $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$ пусть $N = N(ds, de)$ — маркированный пуассоновский точечный процесс с конечной мерой интенсивности $ds \otimes \nu(de)$ и марками в $(E, \mathcal{E})$. Пусть $(\mathcal{F}_t)$ — фильтрация, к которой $N$ адаптирован в смысле $N([0,t] \times E') \in \mathcal{F}_t$ для любого $E' \in \mathcal{E}$, $t \geq 0$.

Тогда для $n = 0, 1, \ldots$ существует константа $c_n$, зависящая только от $T\nu(E)$, такая что для любого $\mathcal{P} \otimes \mathcal{E}$-измеримого $\alpha$ имеем

Доказательство. Поскольку утверждение очевидно верно для $n = 0$ с $c_0 := 1$, действуем индукцией. Достаточно рассмотреть $\alpha \in L^1(\mathbb{P} \otimes ds \otimes \nu(de))$. Для такого $\alpha$ компенсированный интеграл $\int_{[0,\cdot] \times E} |\alpha_s(e)|\, \bar{N}(ds, de)$ — мартингал. Это позволяет применить неравенство Буркхольдера–Дэвиса–Ганди и получить универсальную константу $b_n$ такую, что

где последняя оценка следует применением утверждаемого результата для $n' := n - 1$ к $\alpha' := |\alpha|^2$.

Кроме того, компенсирующий интеграл удовлетворяет

где последняя оценка следует из неравенства Гёльдера с $q = 2^n$, $1/p = 1 - 1/2^n$. По неравенству треугольника две предыдущие оценки дают

и мы заключаем (67) с $c_n := b_n c_{n-1}^{1/2} + (\nu(E)T)^{1 - 1/2^n}$. $\blacksquare$

Литература

1. A. Alfonsi and P. Blanc. Dynamic optimal execution in a mixed-market-impact Hawkes price model. Finance and Stochastics, 20:183–218, 2016.
2. R. Almgren and N. Chriss. Optimal execution of portfolio transactions. Journal of Risk, pages 5–39, 2000.
3. K. Back. Insider trading in continuous time. Review of Financial Studies, 5:387–409, 1992.
4. P. Bank and D. Besslich. Modelling information flows by Meyer-σ-fields in the singular stochastic control problem of irreversible investment. The Annals of Applied Probability, 2020.
5. P. Bank and L. Körber. Merton's optimal investment problem with jump signals. SIAM Journal on Financial Mathematics, 13(4):1302–1325, 2022.
6. C. Belak, J. Muhle-Karbe, and K. Ou. Liquidation in target zone models. 2018.
7. Á. Cartea and S. Jaimungal. Incorporating order-flow into optimal execution. Mathematics and Financial Economics, 10(3):339–364, 2016.
8. Á. Cartea and L. Sánchez-Betancourt. Brokers and informed traders: Dealing with toxic flow and extracting trading signals. 2022. SSRN 4265814.
9. Á. Cartea and Y. Wang. Market making with alpha signals. International Journal of Theoretical and Applied Finance, 23(2):2050016, 2020.
10. Á. Cartea, S. Jaimungal, and J. Ricci. Algorithmic trading, stochastic control, and mutually exciting processes. SIAM Review, 60(3):673–703, 2018.
11. Á. Cartea, S. Jaimungal, and Y. Wang. Spoofing and price manipulation in order-driven markets. Applied Mathematical Finance, 27(1-2):67–98, 2020.
12. Á. Cartea, I. P. Arribas, and L. Sánchez-Betancourt. Double-execution strategies using path signatures. SIAM Journal on Financial Mathematics, 13(4):1379–1417, 2022.
13. P. Casgrain and S. Jaimungal. Trading algorithms with learning in latent alpha models. Mathematical Finance, 29(3):735–772, 2019.
14. T. Cayé and J. Muhle-Karbe. Liquidation with Self-Exciting Price Impact. Swiss Finance Institute Research Paper Series 14-74, 2014.
15. H. Chen, A. Petukhov, H. Xing, and J. Wang. The dark side of circuit breakers. Journal of Finance, Forthcoming, 2023.
16. I. Chevyrev, A. Korepanov, and I. Melbourne. Superdiffusive limits beyond the Marcus regime for deterministic fast-slow systems, 2024. arXiv:2312.15734.
17. N. El Karoui. Les aspects probabilistes du contrôle stochastique. École d'Été de Probabilités de Saint-Flour IX-1979. Lecture Notes in Mathematics, 876, 1981.
18. U. Horst, G. Fu, and X. Xia. Portfolio liquidation games with self-exciting order flow. Mathematical Finance, 32:1020–1065, 2020.
19. G. Huberman and W. Stanzl. Price manipulation and quasi-arbitrage. Econometrica, 72(4):1247–1275, 2004.
20. A. S. Kyle. Continuous auctions and insider trading. Econometrica, 53:1315–1335, 1985.
21. A. S. Kyle. Trading halts and price limits. The Review of Future Markets, (7), 1988.
22. C.-A. Lehalle and O. Mounjid. Limit order strategic placement with adverse selection risk and the role of latency. Market Microstructure and Liquidity, 3(1):1750009, 2017.
23. C.-A. Lehalle and E. Neuman. Incorporating signals into optimal trading. Finance and Stochastics, 23(1):275–311, 2019.
24. E. Lenglart. Tribus de Meyer et théorie des processus. Séminaire de probabilités de Strasbourg, 14:500–546, 1980.
25. M. Lewis. Flash Boys: A Wall Street Revolt. W. W. Norton & Company, 2014.
26. S. I. Marcus. Modeling and approximation of stochastic differential equations driven by semimartingales. Stochastics, 4(3):223–245, 1980/81.
27. E. Neuman and M. Voß. Optimal signal-adaptive trading with temporary and transient price impact. SIAM Journal on Financial Mathematics, 13(2):551–575, 2022.
28. A. A. Obizhaeva and J. Wang. Optimal trading strategy and supply/demand dynamics. Journal of Financial Markets, 16(1):1–32, 2013.
29. Ľ. Pástor and R. F. Stambaugh. Liquidity risk and expected stock returns. Journal of Political Economy, 111(3):642–685, 2003.

Перевод выполнен с сохранением структуры, формул и данных оригинала. Оригинал: arXiv:2306.00621 · Bank, Cartea, Körber · CC BY 4.0.