Разгрузка стохастического потока заявок: когда удерживать сделки на книге

8/10

Ключевые слова: Internalization; Optimal Execution; Price Impact; Central Risk Book; Market Making.

AMS 2010: 91G10 · JEL: G24; C6

Аннотация

Мы изучаем, как разгружать стохастический поток заявок с минимальными транзакционными издержками. Стохастический поток возникает, например, в central risk book (CRB) — централизованном торговом деске, агрегирующем потоки заявок внутри финансовой организации. Деск может удерживать (warehouse) входящие заявки, идеально нетя их с последующими противоположными (internalization), или направлять на рынок (externalization), неся издержки ценового воздействия и bid-ask спреда. Мы моделируем и решаем эту задачу для широкого класса процессов входящего потока, что позволяет детально изучить, как характеристики потока влияют на оптимальную стратегию и ключевые торговые метрики. Модель допускает аналитическое решение в полузамкнутой форме и легко реализуется численно. По сравнению с классической задачей исполнения, где объём заявки известен заранее, стратегия разгрузки содержит аддитивную поправку на прогнозируемый будущий поток. Её знак зависит от автокорреляции заявок: лишь «правдивый» (мартингаловый) поток разгружается миопически. Помимо аналитики, представлены обширные симуляции для разных сценариев и режимов, а также новые метрики практического интереса.

1. Введение

Цель работы — смоделировать и решить задачу разгрузки (unwind) стохастического потока заявок: задачу типа optimal execution, где вместо фиксированной позиции, известной в начальный момент, торговый деск получает динамический поток заявок, которые нужно разгрузить.

Мотивация — распространение central risk books (CRB) в инвестбанках и крупных торговых фирмах за последние годы. CRB — торговый деск, минимизирующий транзакционные издержки за счёт агрегации внутренних потоков. В идеале все подразделения организации (и, возможно, asset class) взаимодействуют исключительно с CRB, а не торгуют напрямую на рынке. В [17, p. 2] CRB определены как «места, где (в теории) централизуется исполнение сделок для всего банка». Совокупный объём при такой централизации очень велик, поэтому транзакционные издержки первостепенны. Заявки разных бизнес-линий и стратегий могут иметь идиосинкразический знак и тайминг, порождая стохастический поток входящих заявок (in-flow с точки зрения деска). Например, delta-hedging заявки опционного деска, вероятно, независимы от block trades клиентов prime brokerage.

CRB нетит противоположные входящие потоки друг с другом — процесс internalization. Оставшиеся заявки либо направляются на рынок (out-flow, externalization), либо удерживаются на книге (warehousing). Out-flow несёт транзакционные издержки, включая транзиентное и перманентное ценовое воздействие. Наиболее благоприятный сценарий для удержанной заявки — последующее нетирование с противоположной, что позволяет избежать издержек. Даже без такой возможности warehousing может снижать издержки: немедленная externalization крупного block order часто даёт излишне большое price impact.

Модель релевантна и маркетмейкерам. Как и банки, MM получают заявки от retail до институциональных клиентов, что даёт стохастический in-flow. В [23] обсуждается модель, где дилер с неоднозначностью торгует в валютном триплете, ликвидируя крупную позицию и одновременно получая order flow. Различие in-flow и out-flow наиболее очевидно на FX: клиенты шлют заявки дилерам, а дилеры разгружают остаток на центральной площадке (lit market), например EBS. Fair and Effective Markets Review Банка Англии [8, p. 11] подчёркивает важность internalization на FX: «участники рынка указывают, что дилеры с достаточной долей рынка теперь internalize до 90% клиентских заявок». MM должен решать, какие заявки удерживать, а какие разгружать — аспект, недавно подчёркнутый в [25]. В [12] предложено, что MM могут использовать те же механизмы, что и CRB, для разгрузки крупного инвентаря с учётом price impact. Настоящая работа не обсуждает котирование — ядро литературы по market making (см. [24]). Модель релевантна MM в режиме, когда инвентарь слишком велик для пассивного возврата лимитными заявками: тогда используются агрессивные алгоритмы сокращения инвентаря; при одновременном изменении инвентаря из-за in-flow возникает задача разгрузки стохастического потока.

Фокус — задача разгрузки стохастического order flow. По сравнению с обширной литературой по optimal execution два существенных отличия. Во-первых, итоговый объём к исполнению неизвестен в начальный момент: in-flow — стохастический процесс, и стратегия разгрузки должна учитывать прогноз будущих заявок. Во-вторых, есть возможности нетирования заявок, что даёт выгоды internalization, не моделируемые напрямую в стандартной постановке. По сравнению с литературой по market making наш in-flow неконтролируем: вместо котировок мы минимизируем транзакционные издержки разгрузки потенциально крупного инвентаря при стохастических шоках.

Ближайшая по методологии и фокусу на транзиентном price impact — параллельная работа [43] о pre-hedging. Дилер узнаёт о потенциальной сделке через RFQ клиента; вероятность выигрыша зависит от котировки, есть неопределённость по таймингу. Авторы находят оптимальную pre-hedge стратегию: дилер накапливает инвентарь до потенциальной сделки с учётом издержек и ожидаемого размера. Потенциальная сделка играет роль, сходную с нашим стохастическим in-flow, но при одной сделке internalization не возникает. На противоположном полюсе [18] рассматривают internalization в queueing-модели: дилер может skew-ить цены для привлечения inventory-reducing flow, но externalization нет. Хотя модель иная, [18] даёт содержательные комментарии и источники данных по internalization на FX. Более недавние [9, 10] объединяют internalization и externalization: дилер выставляет котировки для привлечения потока и одновременно хеджирует в отдельном пуле ликвидности. Оптимальное поведение: чистая internalization при малом инвентаре, агрессивная externalization при большом. Пул ликвидности несёт мгновенный (и перманентный) impact, но не транзиентный impact — главный движущий фактор нашего исследования. Связанная equilibrium-модель в [6]: клиенты (liquidity takers) и дилеры поглощают спрос; дилеры торгуют конкурентно на interdealer-рынке и на open market с мгновенными транзакционными издержками (без impact cost). Решается равновесная цена и подчёркивается эндогенный price impact для клиентов. Ранний вклад со стохастическими шоками инвентаря — [21] об optimal execution с market и limit orders: limit orders исполняются в случайные моменты, давая стохастические шоки инвентаря. Близкая по приложению — [25]: FX MM стримит bespoke-котировки informed и noise trader и торгует на lit market; MM извлекает сигнал informed trader из его сделок и решает вопросы котировок, externalization потока и спекулятивных сделок; модель выводит стратегию разгрузки для специфического стохастического order flow, эндогенного равновесию.

Наш подход — моделировать стохастический order flow экзогенно в редуцированной, но общей форме. Это позволяет анализировать торговые метрики оптимальной стратегии с input–output перспективы и ответить на ключевые торговые вопросы. Мы не моделируем стимулы деска клиентам и информацию, извлекаемую из их заявок; деск не занимается спекулятивными сделками на основе клиентской информации.

Структура: в оставшейся части введения §1.1 суммирует высокоуровневые результаты, §1.2 — контекст и моделирование издержек и потока. §2 — математическая модель, аналитическое решение и качественные свойства; большинство доказательств — в приложениях B и C. §3 определяет торговые метрики и симуляции по реакции на автокорреляцию и волатильность in-flow. Дополнительные численные результаты — в приложении A. Приложение B — доказательства через dynamic programming, приложение C — через stochastic maximum principle.

1.1. Синопсис

Мы предлагаем и решаем гибкую модель разгрузки экзогенно заданного order flow, достаточно богатую для практического алгоритма планирования заявок: momentum или reversion, time-varying volatility, block trades; учитываются impact и spread costs с возможными time-varying параметрами ликвидности.

Price impact моделируется обобщённой моделью Obizhaeva–Wang; мгновенные (spread) издержки при LOB-торговле — в редуцированной форме квадратичным штрафом на скорость торговли. Деск торгует непрерывно в течение дня и размещает block orders на opening и closing auctions (только impact cost). Инвентарь деска должен быть нулевым после закрытия. См. также §1.2.

Модель сводится к linear-quadratic stochastic control — ключ к tractability. Оптимальная внутридневная скорость $q_t$ имеет вид

где коэффициенты $f_t, g_t, h_t$ явно определяются через ODE и даются в замкнутой форме при постоянных параметрах ликвидности. Коэффициенты описыют реакцию деска на текущий инвентарь $X_t$, состояние impact $Y_t$ и кумулятивный in-flow $Z_t$. Аналитически $h_t = 0$, если после начальной позиции in-flow отсутствует: тогда $q_t = f_t X_t + g_t Y_t$ — решение детерминированной задачи optimal execution. Дополнительный член $h_t Z_t$ отражает прогнозируемый будущий in-flow. Знак $h_t$ зависит от momentum или reversion in-flow. При momentum поправка ускоряет разгрузку — больше ожидается заявок той же стороны; это поддерживает «переторговлю» (overtrading), часто наблюдаемую на практике. Поправка нулева при мартингаловом in-flow — обоснование интуиции трейдеров, что «правдивый» поток можно исполнять миопически. Tractability позволяет строго изучать другие свойства (§2) и распознавать, например, избыточный model risk алгоритма, «гонящегося» за арбитражем в оценках ликвидности.

Impact costs трудно изучать эмпирически: unaffected price (цена без нашей сделки) не наблюдаем. Ключевые метрики model-dependent. Согласованная вычислимая модель для общих in-flow открывает анализ cost metrics рядом с model-independent величинами вроде internalization rate. Главный вопрос — как стратегия разгрузки и cost metrics зависят от автокорrelation и volatility in-flow. В симуляциях все core metrics сильно зависят от этих характеристик — в духе индустриального «know your client». Ключевые инсайты:

• Ожидаемые торговые издержки (на notional заявки) минимизируются при определённой волатильности in-flow. Ниже порога дополнительная volatility повышает internalization rate; выше порога internalization выходит на плато, а дальнейшая volatility требует более агрессивной торговли и повышает издержки. Вывод: деск может выиграть от стимулирования дополнительного потока до порога.
• Автокорреляция сильно влияет на все core metrics. Momentum требует более агрессивной торговли, повышая impact и spread costs; их отношение примерно стабильно. Reversion даёт больше internalization и warehousing до закрытия; closing trade — большая доля общего объёма.
• Анализ misspecification: при оценке автокорrelation лучше ошибиться в оптимистичную сторону: переоценка momentum резко повышает издержки из-за излишне агрессивной торговли и упущенных возможностей netting; слишком медленная торговля даёт лишь умеренную дополнительную стоимость за счёт избыточной торговли на close. Ошибка в volatility in-flow не меняет стратегию (feedback form не зависит от volatility); затрагивается лишь расчёт ожидаемых издержек.

§3 и приложение A содержат многочисленные симуляции и новые метрики для практиков. Численные эксперименты показывают широкий спектр режимов — от классического optimal execution до market making как крайних случаев; режим зависит от реализации траектории случайного in-flow.

На рисунке 1 — две реализации одного (мартингалового) in-flow и соответствующая оптимальная стратегия разгрузки. Одна траектория (красная) ближе к классическому optimal execution: большинство заявок одного знака, стратегия агрессивно снижает инвентарь. Internalization есть и сглаживает in- и out-flow, но недостаточна для контроля инвентаря; издержки доминирует price impact. Такие сценарии часты при большой начальной позиции относительно volatility in-flow и momentum. Другая (жёлтая) напоминает благоприятный market-making сценарий: заявки примерно компенсируются, разгрузка медленная, инвентарь не разрастается; spread costs сопоставимы с impact. Часто при большой volatility in-flow относительно начальной позиции и reversion. Релевантность моделей, охватывающих все режимы, ранее подчёркнута в [18, p. 37]: «важно, что поляризация internalizers vs externalizers слишком упрощена; нужно видеть liquidity providers на континууме от пассивных internalizers до externalizers».

1.2. Контекст

Обсуждаем основные ингредиенты модели. Торговые метрики — §3.1.

In-flow (order flow) — входящие заявки клиентов деска. Практики предлагают стохастические процессы на основе внутренней истории. В зависимости от организации, клиентов и опций заявок деск наблюдает разные характеристики. In-flow стохастичен, возможны скачки при block orders, выражен time-of-day эффект: большинство заявок shortly after open или before close. In-flow может иметь momentum (нарезка meta orders, momentum strategies; см. [52]) или mean reversion (mean-reversion strategies, отмены mid-execution). Разбиение meta orders на LOB даёт momentum на публичной ленте — подтверждаем эмпирически для всех акций S&P 500 (§A.4). Для CRB с внутренними клиентами ситуация может отличаться: идеально они дают «truth-telling» (мартингаловый) поток. Модель использует

с time-varying параметрами. Momentum (reversion) при $\theta_t \lt 0$ ($\gt 0$). Execution desks имеют историю для калибровки; разные дески получают разные параметры — более sophisticated дески часто видят более мягкий поток. CRB с сильными отношениями привлекает клиентов с меньшим momentum; low-latency MM может отменять лимитки и расширять спред при toxic (momentum) flow — effectively более мягкий in-flow. См. follow-up [11], где $\theta_t$ неизвестен и фильтруется из наблюдаемого in-flow.

Драйвер $\sigma_t dW_t$ сохраняет модель понятной широкой аудитории; §2.4 показывает расширение на общий мартингал $dM_t$ (скачки, self-excitement и т.д.). В §3 — драйвер конечной вариации для метрик «per order notional».

Unwind trades (out-flow) — рыночно-ориентированные сделки деска. $Q_t$ — кумулятивные unwind trades; control в модели. Алгоритм планирования использует block trades на open/close и непрерывную торговлю на LOB в течение дня. Доступные действия деска могут отличаться от опций клиентов: клиенты могут слать intraday block orders → скачки позиции CRB, которые нельзя сразу разгрузить без больших издержек.

Инвентарь $X_t = Q_t - Z_t$ — разность out-flow и in-flow. Модель — один торговый день, без overnight: liquidation constraint $X_T = 0$ на горизонте $T$ (конец closing auction).

Транзакционные издержки — price impact и bid-ask spread. Для CRB, обслуживающих крупные институты, доминирует price impact, но spread не пренебрежим (Nasdaq Intern's Guide [42]: ~30 bps impact и ~5 bps spread для large-cap).

Модель price impact: push factor (Kyle's lambda) — немедленный эффект fill на midprice; decay kernel — скорость reversion dislocation. Эмпирически time-of-day эффект для lambda: максимум near open, минимум near close ([29], [44]; [51] для аукционов). Execution price $P_t = S_t + Y_t$, где $S_t$ — unaffected price, $Y_t$ — impact. Обобщённая модель Obizhaeva–Wang [48]:

Сделка $\delta Q_t$ сдвигает цену на $\lambda_t \delta Q_t$; dislocation экспоненциально затухает с rate $\beta_t$. Применимо к block и continuous trading. Time-dependent детерминированные коэффициенты (типично фиксируются на начало дня). Permanent impact не моделируем: при фиксированных начальном и терминальном инвентаре permanent impact добавляет константу к cost и не влияет на стратегию.

Spread costs — модель [5]: intraday квадратичная мгновенная cost $\frac{1}{2}\varepsilon_t q_t^2$ на скорость $q_t = \dot Q_t$. На аукционах spread cost нет. Термин «spread costs» — reduced-form также для adverse selection лимиток и прочих мгновенных издержек без persistent изменения цены.

Netting противоположных заявок экономит spread costs полностью. Для impact иная картина: buy pushes price up с impact cost, но последующий sell benefits от повышенной цены — сумма cost ≈ 0; экономия от netting связана с decay impact между сделками.

Unaffected price $S$ — мартингал, согласованно с мартингаловым драйвером in-flow: drift в order flow = сигнал для цены. Proprietary trading и toxic flows — [25, 40, 46].

2. Аналитические результаты: оптимальная стратегия и издержки

§2.1 — формулировка. §2.2 — оптимальная стратегия и ожидаемая cost при Brownian in-flow и time-varying ликвидности. §2.3 — шаги вывода; доказательства — приложение B. §2.4 — обобщение на общий мартингал. §2.5 — постоянная ликвидность, замкнутая форма (доказательство — приложение C).

2.1. Постановка задачи

Фиксируем горизонт $T \gt 0$ и ограниченные измеримые функции $\beta, \lambda, \varepsilon : [0,T] \to (0,\infty)$, $\theta : [0,T] \to \mathbb{R}$, $\sigma : [0,T] \to [0,\infty)$, где $\varepsilon, \lambda$ также ограничены снизу от нуля. $\lambda$ дифференцируема, $\dot\lambda$ ограничена. Обозначим $\gamma_t := \log \lambda_t$. Дополнительно $\lambda_{0-} \in (0,\infty)$ — параметр ликвидности opening auction. Предполагаем

— no-arbitrage условия, исключающие profitable roundtrip и обеспечивающие выпуклость задачи ([34] — оценки impact по TAQ).

Замечание 2.1 (Price manipulation). Быстрый рост ликвидности может давать арбитраж/manipulation [38]: если первая заявка «накачивает» цену, а противоположная имеет меньший impact, profitable roundtrip возможен, если цена недостаточно reverted. (2.1) исключает profitable/free roundtrips. Для Proposition 2.3 усилим вторую часть до $\beta_t + \dot\gamma_t \gt 0$ — исключение transaction-triggered manipulation [4, 33]. $\lambda_T = \lim_{t\to T}\lambda_t$ — impact parameter closing auction. Меньшее Kyle's lambda на аукционе vs LOB даёт manipulation strategies — возможный артефакт упрощённой модели аукциона.

Пусть $(\Omega, \mathcal{F}, (\mathcal{F}_t)_{t\in[0,T]}, P)$ — filtered probability space с usual conditions, Brownian motion $W$ и càdlàg мартингал $S$ (unaffected price). In-flow:

$Z_0 = z \in \mathbb{R}$ — агрегированный поток; знак — с точки зрения клиента (положительный increment = buy → отрицательный для позиции деска).

Càdlàg semimartingale $(Q_t)$, $Q_{0-}=0$ — кумулятивные unwind trades. Jump $\Delta Q_0 = Q_0$ в opening auction. Impact $Y_{0-}=y$:

Jump terms: $\Delta Y_0 = Y_0 - y = \lambda_{0-} Q_0$, $\Delta Y_T = Y_T - Y_{T-} = \lambda_T(Q_T - Q_{T-})$. На $(0,T)$ скорость несёт квадратичную cost; допустимая стратегия — triplet $(J_0, q, J_T)$:

с liquidation constraint

Execution price:

Доход от торговли по цене исполнения $P_t$ раскладывается на три части: (i) frictionless wealth от unaffected price; (ii) impact cost

(iii) spread (instantaneous) cost

На $t \in \{0,T\}$ — opening/closing auctions: spread cost нет, но есть price impact; block trade оценивается по средней цене over volume блока в модели Obizhaeva–Wang. Ожидаемая execution cost:

Цель — $\inf_{(J_0,q,J_T)\in\mathcal{A}} C(J_0,q,J_T)$ (2.11). Closing block trade важен для существования стратегии с liquidation constraint; без него constraint выполним лишь при $\sigma_t \to 0$ при $t \to T$ ([7]).

2.2. Оптимальная стратегия

Теорема 2.2. Задача (2.11) имеет единственное решение. Оптимальная стратегия $(J_0, q, J_T) \in \mathcal{A}$:

где $\eta_{0-} = -\varepsilon_0^{-1}(1-\lambda_{0-}/\lambda_0) \le 0$, $r = -f_{0-} - \lambda_{0-}(g_{0-}+\eta_{0-}) \gt 0$,

$A_t, B_t, \ldots$ — детерминированные функции из Riccati ODE (2.20). State processes (2.14):

Оптимальная ожидаемая cost (2.11):

где $v$ — квадратичный полином (2.18) с коэффициентами $A_0, B_0, \ldots$

Формула (2.12): оптимальная скорость — линейная комбинация $(X_t, Y_t^c, Z_t)$ с time-varying коэффициентами из Riccati ODE. $(X_t, Y_t^c)$ — инвентарь и impact до close; на $[0,T)$ совпадают с $(Q_t-Z_t, Y_t)$; непрерывны в $T$: $(X_T, Y_T^c) = (Q_{T-}-Z_{T-}, Y_{T-})$. Jumps opening auction поглощены в начальных $(X_0, Y_0^c)$.

Предложение 2.3. (i) При $\beta_t + \dot\gamma_t \gt 0$: $f_t \lt 0$ для всех $t \lt T$ — большая позиция → быстрее продажа. (ii) $g_t \lt 0$ для всех $t \lt T$ — выше impact state → медленнее продажа. (iii) $h \equiv 0$ при $\theta \equiv 0$ (мартингаловый in-flow). При $\beta_t + \dot\gamma_t \gt 0$: $h$ монотонно убывает по $\theta$; $h \ge 0$ при $\theta \le 0$ (momentum), $h \le 0$ при $\theta \ge 0$ (reversion). (iv) $f, g$ зависят от $(\varepsilon,\beta,\lambda)$, не от $(\theta,\sigma)$ in-flow; $h$ дополнительно от $\theta$; volatility $\sigma$ не влияет на стратегию (feedback form), но повышает $C$.

Feedback количественно формализует internalization vs externalization: $f_t$ — externalization при большом инвентаре, $g_t$ — internalization при высоком impact. Vs стандартное optimal execution добавляется $h_t Z_t$. При $\theta \equiv 0$ поправка не нужна («truth-telling» flow); $q_t$ всё ещё зависит от реализации $Z_t$, но стратегия миопична — не anticipates будущие изменения in-flow (mean zero). При momentum/reversion — adjustment. $h_t$ promotes internalization при reversion; при momentum — дополнительная externalization.

2.3. Сведение к linear-quadratic control

Сначала оптимальная стратегия и cost после exogenous block $J_0$ на open; затем оптимизация по $J_0$ (Proposition 2.13). Liquidation constraint → terminal cost closing block $J_T$. Фокус на continuous trading $(0,T)$; $J_T$ из (2.6).

Предложение 2.4. Для $(J_0,q,J_T)\in\mathcal{A}$ execution cost (2.10) равна

Доказательство — приложение B. (2.15) не содержит $J_T$ явно. No-arbitrage (2.1) делает (2.15) строго выпуклой.

Следствие 2.5 (No free roundtrips). Без in-flow ($Z\equiv 0$), $y=0$: если $C=0$, то $J_0=J_T=0$ и $q=0$ dt-a.e.

Предложение 2.6. Fix $t \in [0,T)$. Value function $v(t,x,y,z)$ для LQ-задачи (2.17) имеет вид (2.18):

Уникальный optimal control — feedback (2.19): $q^*(s,x,y,z) = f_s x + g_s y + h_s z$, где $f_s, g_s, h_s$ как в (2.13) через $A_s,\ldots,E_s$ из (2.20).

Предложение 2.7. Riccati ODE system (2.20) имеет единственное решение на $[0,T]$:

(i) $A,B,C$ — автономная система от $(\varepsilon_t,\beta_t,\lambda_t)$, не от in-flow. (ii) $D,E,F$ зависят от $\theta_t$; при $\theta\equiv 0$: $D,E,F\equiv 0$. (iii) $K$ от volatility; при $\sigma\equiv 0$: $K\equiv 0$.

Предложение 2.8. Пусть $A_t,B_t,\ldots,K_t$ из (2.20). (i) Матрица $\begin{pmatrix}A_t & B_t\\ B_t & C_t\end{pmatrix}$ nonnegative definite, $0 \le C_t \le \lambda_t^{-1}$, $B_t+\lambda_t C_t \gt 0$ для $t \in [0,T)$. (ii) При $\beta_t+\dot\gamma_t \gt 0$: $A_t+\lambda_t B_t \gt \max(D_t+\lambda_t E_t, 0)$ и $B_t \lt \min(E_t, 0)$. (iii) Comparison по $\theta$: если $\theta_t \ge \tilde\theta_t$, то $D_t+\lambda_t E_t \ge \tilde D_t+\lambda_t \tilde E_t$ и $E_t \le \tilde E_t$.

Замечание 2.9 (Transaction-triggered price manipulation). При $\beta_t+\dot\gamma_t \gt 0$: $f_t \lt 0$ (Prop. 2.3(i)). При $\beta_t+\dot\gamma_t \lt 0$: $f_t \gt 0$ на $[t_0,T)$ — opposite behavior, transaction-triggered manipulation [30]. Условие $2\beta+\dot\gamma \ge 0$ из (2.1) не исключает profitable roundtrips с ненулевой начальной позицией. При $\beta_t+\dot\gamma_t = 0$: $f_t=h_t=0$, $g_t \lt 0$ — скорость зависит только от impact state.

Замечание 2.10 (Практика no-manipulation). Условия применимы на live data через кривые $\beta,\lambda$. Breach → (i) simpler externalization (VWAP, constant OW) или (ii) расследование liquidity surge. Аналог no-arbitrage для option pricing.

Замечание 2.11 (Cost on inventory). Running cost $\int_0^T \alpha_t X_t^2 dt$ совместима с LQ; меняет только уравнение для $A$: $\dot A_t = \varepsilon_t^{-1}(A_t+\lambda_t B_t)^2 - 2\alpha_t$.

Следствие 2.12. При фиксированном $j_0$ оптимальная cost:

Предложение 2.13. Оптимальный opening block:

с $\eta_{0-} \le 0$, $g_{0-}+\eta_{0-} \lt 0$, $r \gt 0$. При $\beta_t+\dot\gamma_t \gt 0$: $-f_{0-}+h_{0-} \gt 0$.

2.4. In-flow со скачками

Обобщение на

где $M$ — общий мартингал (скачки, non-Markovian dynamics). Optimal strategy formula unchanged ([31]); expected cost включает интеграл quadratic variation $M$. $K_t$ обобщается до (2.24).

Предложение 2.14. (i) Unique optimal $q^*$ — тот же feedback (2.19). (ii) Value (2.17): $V_0 = \frac{1}{2}A_0 x^2 + \frac{1}{2}B_0 xy + \frac{1}{2}C_0 y^2 + \frac{1}{2}D_0 xz + \frac{1}{2}E_0 yz + \frac{1}{2}F_0 z^2 + K_0$. Sketch proof — приложение B.

2.5. Замкнутая форма при постоянной ликвидности

$\beta,\lambda,\varepsilon \in (0,\infty)$ constant, $\lambda_{0-}=\lambda$. $\theta_t,\sigma_t$ могут vary во времени.

Теорема 2.15. Пусть $\varepsilon,\beta,\lambda$ constant и

Тогда $f_t,g_t,h_t$ из теоремы 2.2:

с явными $\tilde f_t, \tilde g_t, d_t$ (см. оригинал). $f_{0-}=f_0$, $g_{0-}=g_0$, $h_{0-}=h_0$. Доказательство — приложение C (stochastic maximum principle). Closed-form cost $C$ и $A_t,\ldots$ требуют интегрирования, недоступного analytically.

3. Численные результаты

Симуляции ключевых свойств модели и оптимальной стратегии; новые метрики. §3.1 — методология, параметры, metrics. §3.2–3.3 — автокорреляция и volatility in-flow. §3.4 — monotonicity. §3.5 — misspecification. Дополнительно — приложение A.

3.1. Численная постановка

Constant parameters для interpretability. Feedback coefficients $f_t,g_t,h_t,J_0$ precomputable; при constant — §2.5. Симуляция $(X,Y,Z)$ — discretization SDE. Код на GitHub.

Отличие от §2: in-flow finite variation — для internalization rate (3.1), normalized by total variation in-flow. Brownian driver → infinite variation → rate undefined. 20 equispaced i.i.d. Gaussian shocks (~каждые 20 мин). §2.4 — general martingale. Robustness discretization — §A.2.

3.1.1. Входы и методология

Time unit — days, $T=1$. Объёмы в ADV%. Impact/spread defaults: $\beta=8$ ([T]$^{-1}$, half-life ~40 min), $\lambda=0.2$ ([V]$^{-1}$), $\varepsilon=0.01$ ([V]$^{-2}$[T]$^{-1}$) — по [42], [27], [44]. In-flow: 20 Gaussian shocks; $\sigma=0.1$; $\theta \in \{-1,0,1\}$ momentum/martingale/reversal. Initial: $x=-z=-0.1$ ADV, $y=0$.

3.1.2. Торговые метрики

Normalized by total variation in-flow («per order notional»).

Internalization (%):

Доля in-flow, netted vs routed to market. Model-free proxy for saved costs ([14]).

Internalization regret (%): novel metric — desk perspective:

Ex-post unnecessary trades. Zero при monotone out-flow. Well-defined при infinite variation in-flow (§A.2).

Impact, spread, total costs (bps): discretized (2.8)–(2.9), divided by TV in-flow.

Closing trade (ADV%, %): block на closing auction — absolute vs fraction of out-flow.

3.2. Чувствительность к автокорреляции in-flow

Figure 2 — sample path; Figure 3 — average path. Momentum → largest variations, most aggressive out-flow/impact; reversal — наоборот.

Out-flow чувствительнее in-flow к $\theta$. (i) Выше autocorrelation → выше costs; impact/spread ratio stable. (ii) Ниже autocorrelation → выше internalization, больше warehousing, larger closing fraction.

Martingale in-flow — smallest TV; drift increases TV, momentum сильнее reversal. Internalization highest при reversal, lowest при momentum. Internalization regret: atom at zero (monotone paths), strongest concentration при momentum (~23% zero regret vs 4% reversal).

High internalization — strong proxy for low costs; при low internalization costs vary widely — internalization alone insufficient proxy.

3.3. Чувствительность к volatility in-flow

Ключ — отношение initial inventory к volatility in-flow. Large $z$ vs $\sigma$ → optimal execution; dominant $\sigma$ → steady-state market making. Transition: (i) до critical $\sigma$ — рост internalization, снижение cost per in-flow; (ii) после plateau internalization — рост trading и costs. Desk с low volatility in-flow выигрывает от привлечения потока до порога; с high — от снижения. Transition когда $\sigma$ и $z$ сопоставимы (Table 2).

3.4. Internalization и монотонность in-flow

Метрика монотонности: $|Z_T|/\|Z\|_{TV}$ (100% — monotone in-flow). Figure 7 — strong link to internalization and regret under optimal out-flow. 100'000 paths: более «monotone» in-flow → lower internalization и regret. Distribution $|Z_T|/\|Z\|_{TV}$ зависит от $\sigma$ (panel b). Client nature + desk strategy → internalization; monotonicity metric — model-free forecast.

3.5. Стоимость misspecification

Cost «not knowing your client» — trading с wrong $\theta$. Теорема 2.2: compute strategy under $\hat\theta$, simulate under $\theta^*$. Figure 8 — три примера:

• (i) Highest misspecification cost при momentum; lowest при mean-reverting. 100% error in $\theta$ для reversion — cost +less than third; для momentum — more than doubles.
• (ii) Asymmetric: prefer over- vs underestimate $\theta$ (conservative trading).
• (iii) Internalization и impact costs оба растут при $|\hat\theta - \theta^*|$. Given confidence interval over $\theta$ — deploy most conservative (underestimate momentum).

No misspecification cost for $\sigma$ (feedback independent); expected cost quote affected. Liquidity parameters — см. [47, 37, 45].

Приложение A. Дополнительные численные результаты

A.1. Связь с детерминированным optimal execution; чувствительность к $\varepsilon$

Deterministic case: $z=10\%$ ADV, $\sigma=\theta=0$. Figure 9 — OW limit при $\varepsilon \to 0$; intraday impact smoothed vs block auction jumps. Larger $\varepsilon$ → larger auction blocks (avoid spread), higher impact overshoot.

Stochastic in-flow: Figure 10 — higher $\varepsilon$ → higher internalization, lower regret, larger closing trades; ordering reversal/martingale/momentum as expected. Internalization и impact relatively insensitive to moderate $\varepsilon$; regret slightly more sensitive.

A.2. Диффузионный предел in-flow

Feedback strategy не зависит от driving martingale; metrics depending on TV in-flow меняются в diffusion limit. Figure 11 — strategies и большинство metrics similar; internalization rate → 100% по определению (3.1); internalization regret stable. Ad-hoc: $\sqrt{\text{quadratic variation}}$ вместо TV для Brownian model.

A.3. Чувствительность к начальному impact state

Non-zero $y$ — alpha signal от reversal; trades могут добавлять к инвентарю. $J_0$ и $q_t$ в Theorem 2.2 — either sign depending on $y$. «Issuer bias» в TCA [15, 39, 36, 53]. Figure 12 — martingale in-flow, $y \in \{-30,0,30,100\}$ bps: favorable negative $y$ → hedge in opening auction; high positive $y$ → opening trade adds to inventory, aggressive intraday unwind.

A.4. Representative market-maker model; эмпирика автокорrelation

Иллюстрация возможных $\theta$ из публичных данных. Caveats: простые estimates; «know your client» — калибровка на own in-flow, не aggregate tape. Representative MM — standard ([24], [20], [19]). Дискретизация (A.1):

Figure 13 — doubling time $\log(2)/\theta$ vs $\Delta t$; S&P 500, 2019, LOBSTER [41]. Consistent momentum across stocks for $\Delta t$ from 10 sec to 1 hour; doubling times ~hours (cf. ~1 hour OW half-life [44]). $\theta$ depends on discretization [15, 52] — long-range autocorrelation, single OU insufficient across scales. [18] links client timescales to internalization strategies.

Приложения B и C. Доказательства

Полные технические доказательства теорем и предложений §2.2–2.5 (dynamic programming в приложении B; stochastic maximum principle для теоремы 2.15 — в приложении C) опущены в этом переводе. См. оригинальную публикацию: arxiv.org/pdf/2310.14144.

Литература

• [1] E. Abi Jaber and E. Neuman. Optimal liquidation with signals: the general propagator case. Math. Finance, 35(4):841–866, 2025.
• [2] J. Ackermann, T. Kruse, and M. Urusov. Reducing Obizhaeva-Wang-type trade execution problems to LQ stochastic control problems. Finance Stoch., 28(3):813–863, 2024.
• [3] A. Alfonsi, A. Fruth, and A. Schied. Optimal execution strategies in limit order books with general shape functions. Quantitative Finance, 10(2):143–157, 2010.
• [4] A. Alfonsi, A. Schied, and A. Slynko. Order book resilience, price manipulation, and the positive portfolio problem. SIAM J. Financial Math., 3(1):511–533, 2012.
• [5] R. Almgren and N. Chriss. Optimal execution of portfolio transactions. J. Risk, 3(2):5–39, 2001.
• [6] P. Bank, I. Ekren, and J. Muhle-Karbe. Liquidity in competitive dealer markets. Math. Finance, 31(3):827–856, 2021.
• [7] P. Bank, H. Soner, and M. Voß. Hedging with temporary price impact. Math. Financ. Econ., 11(2):215– 239, 2017.
• [8] Bank of England. How fair and effective are the fixed income, foreign exchange and commodities markets? https://www.bankofengland.co.uk/-/media/boe/files/paper/2014/ how-fair-and-effective-are-the-fixed-income-foreign-exchange-and-commodities-markets. pdf, 2014.
• [9] A. Barzykin, P. Bergault, and O. Guéant. Market-making by a foreign exchange dealer. Risk, 2022. August 2022. https://www.risk.net/cutting-edge/banking/7952481/ market-making-by-a-foreign-exchange-dealer.
• [10] A. Barzykin, P. Bergault, and O. Guéant. Algorithmic market making in dealer markets with hedging and market impact. Math. Finance, 33(1):41–79, 2023.
• [11] A. Barzykin, R. Boyce, and E. Neuman. Unwinding toxic flow with partial information. Preprint SSRN, 2024. https://ssrn.com/abstract=4885957.
• [12] P. Bergault, F. Drissi, and O. Guéant. Multi-asset optimal execution and statistical arbitrage strategies under Ornstein-Uhlenbeck dynamics. SIAM J. Financial Math., 13(1):353–390, 2022.
• [13] BIS. Global foreign exchange market turnover in 2016. https://www.bis.org/publ/rpfxf16fxt.pdf, 2016.
• [14] BIS. Triennial central bank survey of foreign exchange and OTC derivatives markets. Reporting guidelines for turnover. Bank for International Settlement, 2022. https://www.bis.org/statistics/ triennialrep/2022survey_guidelinesturnover.pdf. 47 [15] J.-P. Bouchaud, J. Bonart, J. Donier, and M. Gould. Trades, Quotes and Prices. Cambridge University Press, 2018.
• [16] J.-P. Bouchaud, Y. Gefen, M. Potters, and M. Wyart. Fluctuations and response in financial markets: The subtle nature of random price changes. Quantitative Finance, 4(2):176–190, 2004.
• [17] S. Butcher. Is this the best trading job in a bank? or the worst? https://www.efinancialcareers. co.uk/news/2018/02/central-risk-desks-banking, 2018. Accessed 20 October 2024.
• [18] M. Butz and R. Oomen. Internalisation by electronic FX spot dealers. Quant. Finance, 19(1):35–56, 2019.
• [19] R. Carmona and L. Leal. Optimal execution with quadratic variation inventories. SIAM J. Financial Math., 14(3):751–776, 2023.
• [20] R. Carmona and K. Webster. The self-financing equation in limit order book markets. Finance and Stochastics, 23(3):729–759, 2019.
• [21] A. Cartea and S. Jaimungal. Optimal execution with limit and market orders. Quant. Finance, 15(8):1279–1291, 2015.
• [22] A. Cartea and S. Jaimungal. Incorporating order-flow into optimal execution. Math. Financ. Econ., 10(3):339–364, 2016.
• [23] A. Cartea, S. Jaimungal, and T. Jia. Trading foreign exchange triplets. SIAM J. Financial Math., 11(3):690–719, 2020.
• [24] A. Cartea, S. Jaimungal, and J. Penalva. Algorithmic and High Frequency Trading. Cambridge University Press, 2015.
• [25] A. Cartea and L. Sánchez-Betancourt. Brokers and informed traders: dealing with toxic flow and extracting trading signals. SIAM J. Financial Math., 16(2):243–270, 2025.
• [26] Cboe Global Markets. U.S. equities market volume summary. https://www.cboe.com/us/equities/ market_share/, 2023. Accessed 25 August 2023.
• [27] Y. Chen, U. Horst, and H. Hai Tran. Portfolio liquidation under transient price impact – theoretical solution and implementation with 100 NASDAQ stocks. Preprint, 2019. https://arxiv.org/abs/ 1912.06426.
• [28] D. Cifu. Virtu Financial @ Goldman Sachs financial services conference, December 14, 2017. https://s21.q4cdn.com/422114427/files/doc_events/transcripts/ Virtu-at-Goldman-Financial-Services-Conference-2017_vFinal.pdf, 2017. Accessed 25 August 2023.
• [29] R. Cont, A. Kukanov, and S. Stoikov. The price impact of order book events. Journal of Financial Econometrics, 12(1):47–88, 2013.
• [30] A. Fruth, T. Schöneborn, and M. Urusov. Optimal trade execution and price manipulation in order books with time-varying liquidity. Mathematical Finance, 24(4):651–695, 2013.
• [31] N. Garleanu and L. H. Pedersen. Dynamic portfolio choice with frictions. J. Econ. Theory, 165:487–516, 2016.
• [32] J. Gatheral, A. Schied, and A. Slynko. Exponential resilience and decay of market impact. Econophysics of order-driven markets, 2011.
• [33] J. Gatheral, A. Schied, and A. Slynko. Transient linear price impact and Fredholm integral equations. Math. Finance, 22(3):445–474, 2012. 48 [34] A. Goyal, N. Jegadeesh, and Y. Wu. Price impact: Continuous trading, closing auctions, and opening auctions. Preprint, 2022. https://papers.ssrn.com/sol3/papers.cfm?abstract_id=4300417.
• [35] P. Graewe and U. Horst. Optimal trade execution with instantaneous price impact and stochastic resilience. SIAM J. Control Optim., 55(6):3707–3725, 2017.
• [36] C. R. Harvey, A. Ledford, E. Sciulli, P. Ustinov, and S. Zohren. Quantifying long-term market impact. The Journal of Portfolio Management, 48(3):25–46, 2022.
• [37] N. Hey, J.-P. Bouchaud, I. Mastromatteo, J. Muhle-Karbe, and K. Webster. The cost of misspecifying price impact. Preprint, 2023. https://papers.ssrn.com/sol3/papers.cfm?abstract_id=4465282.
• [38] G. Huberman and W. Stanzl. Price manipulation and quasi-arbitrage. Econometrica, 72(4):1247–1275, 2004.
• [39] P. Kolm and N. Westray. What happened to the rest? A principled approach to clean-up costs in algorithmic trading. Risk, 2021. https://www.risk.net/cutting-edge/investments/7865821/ a-principled-approach-to-clean-up-costs-in-algo-trading.
• [40] C.-A. Lehalle and E. Neuman. Incorporating signals into optimal trading. Finance Stoch., 23(2):275– 311, 2019.
• [41] Lobster. Lobster. https://lobsterdata.com/index.php. Accessed 10 December 2021.
• [42] P. Mackintosh. The 2022 Intern’s Guide to Trading. https://www.nasdaq.com/articles/ the-2022-interns-guide-to-trading, 2022. Accessed 5 July 2022.
• [43] J. Muhle-Karbe and R. Oomen. Pre-hedging. Preprint SSRN, 2023. https://ssrn.com/abstract= 4499729.
• [44] J. Muhle-Karbe, Z. Wang, and K. Webster. Stochastic liquidity as a proxy for nonlinear price impact. Oper. Res., 72(2):444–458, 2024.
• [45] E. Neuman, W. Stockinger, and Y. Zhang. An offline learning approach to propagator models. Preprint, 2023. https://papers.ssrn.com/sol3/papers.cfm?abstract_id=4564225.
• [46] E. Neuman and M. Voß. Optimal signal-adaptive trading with temporary and transient price impact. SIAM J. Financial Math., 13(2):551–575, 2022.
• [47] E. Neuman and Y. Zhang. Statistical learning with sublinear regret of propagator models. Preprint, 2023. https://papers.ssrn.com/sol3/papers.cfm?abstract_id=4323112.
• [48] A. A. Obizhaeva and J. Wang. Optimal trading strategy and supply/demand dynamics. Journal of Financial markets, 16(1):1–32, 2013.
• [49] H. Pham. Continuous-Time Stochastic Control and Optimization with Financial Applications, volume 61. Springer-Verlag, Berlin, 2009.
• [50] P. Protter. Stochastic Integration and Differential Equations. Springer, 2005.
• [51] M. Salek, D. Chellet, and I. M. Toke. Price impact in equity auctions: zero, then linear. Preprint, 2023. https://hal.science/hal-03938660/file/Auctions_BEDOFIH_average_impact_pre-print.pdf.
• [52] B. Toth, I. Palit, F. Lillo, and J. D. Farmer. Why is equity order flow so persistent? Economic Dynamics and Control, 51:218–239, 2015. Journal of
• [53] K. Webster. Handbook of Price Impact Modeling. CRC Press, Boca Raton, FL, 2023.
• [54] W. M. Wonham. On a matrix Riccati equation of stochastic control. SIAM J. Control, 6:681–697, 1968. 49

Оригинал статьи: Nutz, Webster and Zhao, «Unwinding Stochastic Order Flow: When to Warehouse Trades», arXiv:2310.14144