Симуляция и анализ разреженного стакана: приложение к внутридневному рынку электроэнергии

5/10

Филипп Берго · Université Paris Dauphine-PSL, CEREMADE

Энцо Коньевиль · EDF R&D & FiME · 9 октября 2024

Оригинал: Bergault, P. and Cognéville, E. «Simulating and analyzing a sparse order book: an application to intraday electricity markets», 2024 — arxiv.org/abs/2410.06839 (PDF).

Рисунки воспроизведены из оригинальной публикации. Оригинал распространяется по лицензии CC BY 4.0; перевод выполнен на её условиях, изменение по отношению к оригиналу — перевод на русский язык. Рисунки приведены из оригинальной публикации.

Ключевые слова: алгоритмическая торговля; лимитный стакан; микроструктура рынка; процессы Пуассона; ликвидность; волатильность; симулятор рынка; внутридневные цены на электроэнергию.

Аннотация

Статья предлагает модель симуляции и анализа разреженных лимитных стаканов (LOB) и применяет её к европейскому внутридневному рынку электроэнергии. На неликвидных рынках между ценовыми уровнями большие разрывы: торговые объёмы редки, классические модели плотной книги работают плохо. Авторы описывают приход рыночных и лимитных заявок и отмены на обеих сторонах неоднородным пуассоновским процессом. Приложение к внутридневному рынку электроэнергии даёт картину микроструктуры этой среды. Результаты полезны участникам рынка и задают каркас, который можно перенести на другие неликвидные площадки, не только на электроэнергию.

1. Введение

Лимитный стакан — снимок спроса и предложения на разных ценах. Большая часть литературы про ликвидные рынки: сделки частые, книга плотная. Неликвидные рынки устроены иначе: объёмы редки, заявки приходят нерегулярно, между уровнями — заметные дыры. Это меняет динамику, ценообразование и торговые стратегии.

Разреженный стакан нельзя описывать моделями, которые предполагают ликвидный актив с большим отношением тика к спреду и почти непрерывный поток. Нужна модель, которая явно держит разрывы между ордерами.

Эмпирика LOB восходит к концу XX века: Biais, Hillion и Spatt [5], Luckock [25], Maslov [26]. На ликвидных акциях Bouchaud, Mézard и Potters [7] и Potters и Bouchaud [28] смотрят статистику цен входящих лимиток, форму среднего стакана, время жизни заявки как функцию расстояния до лучшей цены и функцию импакта — логарифмическую по объёму. Импакт отдельных событий книги глубже разбирают Eisler, Bouchaud и Kockelkoren [14].

Cont, Stoikov и Talreja [11] строят трактуемую модель как многоклассовую систему очередей и считают переходные вероятности цены при данном состоянии книги. Cont и De Larrard [9] и Chávez-Casillas и Figueroa-López [8] сужают динамику до лучших bid/ask и получают экономную модель цены. Abergel и Jedidi [1] в духе Cont et al. показывают роль структуры отмен в устойчивости книги и диффузионный предел цены; в [2] они заменяют пуассон Хоуксом с экспоненциальными ядрами (см. также книгу [3]). Huang, Lehalle и Rosenbaum [20] вводят queue-reactive модель: интенсивности зависят от состояния стакана; Huang и Rosenbaum [22] изучают эргодичность и скейлинговый предел цены.

Ближе всего к этой работе — Kelly и Yudovina [23]: независимые пуассоновские потоки bid/ask и i.i.d. цены заявок (см. также Muni Toke и Yoshida [27]). Huang, Rosenbaum и Saliba [21] — агентная модель: шумовой трейдер, информированный трейдер и маркетмейкеры, из их взаимодействия выводится вся форма книги. Horst и Kreher [18], Horst и Paulsen [19] получают флюидные пределы и сходимость цены–объёма к связанным ODE–PDE. Cont и Müller [10] аппроксимируют книгу системой стохастических уравнений в частных производных; Baldacci и Bergault [4] применяют этот каркас к регуляции маркетмейкинга. Общее у всех этих работ — фокус на очень ликвидных активах, где спред и дыры между уровнями — единицы тиков.

Здесь предлагается модель разреженного стакана: неоднородный пуассон на рыночные заявки, лимитки и отмены с обеих сторон. Так учитывается спорадический поток и большие гэпы. Демонстрация — европейский внутридневной рынок электроэнергии: интеграция ВИЭ, либерализация, новые торговые механизмы.

Внутридневные рынки электроэнергии в Европе появились в начале XXI века. С 2018 года XBID (European Cross-Border Intraday Solution) связывает внутридневные рынки 14 стран и подтягивает ликвидность на очень неликвидных площадках. Favetto [15] и Graf von Luckner и Kiesel [16] на процессах Хоукса показывают, что активность книги растёт экспоненциально к поставке. Deschatre и Warin [13] моделируют цены общим шоком Пуассона: корреляции и эффект Самуэльсона (волатильность растёт, когда время до поставки падает). Deschatre и Gruet [12] — marked Hawkes: тот же эффект Самуэльсона и другие стилизованные факты.

Вклад. (i) Систематический разбор динамики LOB на неликвидном рынке — пробел в микроструктуре. (ii) Каркас симуляции потока и отмен, переносимый за пределы электроэнергии. (iii) Эмпирика и симуляции с практическими следствиями для трейдеров, регуляторов и политиков.

Дальше: §2 — эмпирика EPEX Spot; §3 — теория неоднородного пуассона; §4 — симуляции, следствия и направления дальше.

2. Поведение стакана

Раздел опирается на Deschatre и Gruet [12] и Deschatre и Warin [13]: их результаты воспроизводимы, и через них удобно читать характер рынка электроэнергии.

2.1. Данные

Европейские данные EPEX Spot, рынки Германии и Франции. Каждый день в 15:00 открываются 24 рынка — часовые периоды поставки следующего дня (продукты). Торговля закрывается за 5 минут до того, что авторы называют maturity. Продукт 18H — поставка с 18:00 до 19:00. Есть ещё 30- и 15-минутные продукты; в работу они не входят. Датасет — весь 2021 год, дневные файлы по продуктам 0H–23H.

В логах: рыночные заявки, лимитки, отмены, изменения цены и объёма, продукт и период поставки. Кривую предложения восстанавливают методом, близким к Grindel и Graf von Luckner [17]; из неё в любой момент виден ранг каждой лимитки. Mid — среднее арифметическое лучших ask и bid; если одна сторона пуста, mid нет. Тик $0{,}01$ EUR/МВт·ч, метка времени — миллисекунда.

За час до поставки трансграничная торговля отключается: это ломает ликвидность и поведение цены, поэтому последний час авторы не используют.

**Рисунок 1.** Эволюция внутридневного mid 7 января 2021. Слева продукты 0H–3H, справа 12H–15H. Ступенчатые траектории: цена стоит, пока нет события книги. К концу сессии ликвидность растёт, шаги чаще.

2.2. Растущая интенсивность действий

Favetto [15], Graf von Luckner и Kiesel [16] документируют экспоненциальный рост активности стакана к поставке. Deschatre и Gruet [12] и Deschatre и Warin [13] видят экспоненциальный рост интенсивности изменений цены. Авторы подтверждают это на своих данных: эффект Самуэльсона распространяется на все взаимодействия с рынком, не только на смену mid.

**Рисунок 2.** Средняя интенсивность взаимодействий с рынком, январь 2021. Для каждой поставки кривая — среднее число событий в 10-минутных окнах. Рост к maturity; то же на других часах и в обеих странах (Франция и Германия). Слева 0H–3H, справа 12H–15H.

2.3. Разреженность и неликвидность

Ликвидность ограничена. По методике Blais и Protter [6] авторы «прокручивают» эволюцию кривой предложения за сессию: к концу кривая ближе к линейной в центре, но на больших объёмах остаётся нелинейной; спред при этом сужается.

**Рисунок 3.** Кривая ликвидности 7 января 2021, продукт 18H, за 2 часа до поставки. (a) вся кривая; (b) зум. Ask — синий, bid — красный. Вне примерно $[-75;50]$ МВт·ч — явная нелинейность. В центре дыра спреда порядка десяти евро при тике $0{,}01$ EUR/МВт·ч.

**Рисунок 4.** Эволюция спреда 7 января 2021. Слева продукты 0H и 1H, справа 12H и 13H. Спред стартует десятками евро и в среднем падает к поставке, оставаясь волатильным.

**Рисунок 5.** Средний спред по нормированному времени до поставки за 2021 год, продукты 17H–19H. Масштаб — единицы и десятки евро, не тики: плотная queue-reactive модель здесь неуместна.

**Рисунок 6.** Четыре лучших лимитки с каждой стороны, 5 мая 2021, продукт 18H, за 2 часа до поставки. Дискретные столбики с дырами в несколько евро — типичный снимок разреженной книги.

Хронический дефицит ликвидности: открытые заявки стоят редко. Модели, которые кладут объём на каждый тик, на таком рынке непрактичны.

3. Математическая модель разреженного стакана

Пусть $T\gt 0$ — момент закрытия рынка, $K\in\mathbb{N}^*$. Рассматривается $2K$-мерный процесс цен

\[ (\bar S_t)_t = \bigl(S_t^{-K},\ldots,S_t^{-1},S_t^{1},\ldots,S_t^{K}\bigr)_t, \]

где $S_t^{-k}$ — $k$-я лучшая цена bid, $S_t^{k}$ — $k$-я лучшая цена ask, $t\in[0,T]$. Mid и спред:

\[ S_t^{0}=\frac{S_t^{-1}+S_t^{1}}{2},\qquad \mathbf{S}_t=S_t^{1}-S_t^{-1}. \]

Объёмы на тех же ценах — процесс $(\bar V_t)_t=(V_t^{-K},\ldots,V_t^{-1},V_t^{1},\ldots,V_t^{K})_t$. Накопленные объёмы с вершины:

\[ \mathcal{V}_t^{-k}=\sum_{i=1}^{k}V_t^{-i},\qquad \mathcal{V}_t^{k}=\sum_{i=1}^{k}V_t^{i},\qquad k=1,\ldots,K. \]

3.1. Рыночные заявки

Два маркированных точечных процесса $N^{-M}$ и $N^{M}$ моделируют приход рыночных заявок на bid и на ask. Размер заявки — случайная величина $\xi$. Если лучший уровень съеден, все уровни сдвигаются, и нужно породить новый $K$-й уровень: расстояние до прежнего $K$-го и объём на нём — две случайные величины, тянущиеся в момент сделки. Если съедено несколько уровней сразу, всегда тянут $K-1$ новых лимитов и используют только нужные.

Ядра интенсивности:

\[ \begin{aligned} \nu_t^{-M}\!\Bigl(d\xi,\prod_{k=1}^{K-1}dz_k,\prod_{k=1}^{K-1}d\zeta_k\Bigr) &=\lambda^{-M}(t,\mathbf{S}_{t-})\,\phi^{-M}(\xi,\mathcal{V}_{t-}^{-K})\,d\xi \prod_{k=1}^{K-1} f^{-K-1}(t,z_k)\,\phi^{-K-1}(\zeta_k)\,dz_k\,d\zeta_k,\\[0.4em] \nu_t^{M}\!\Bigl(d\xi,\prod_{k=1}^{K-1}dz_k,\prod_{k=1}^{K-1}d\zeta_k\Bigr) &=\lambda^{M}(t,\mathbf{S}_{t-})\,\phi^{M}(\xi,\mathcal{V}_{t-}^{K})\,d\xi \prod_{k=1}^{K-1} f^{K+1}(t,z_k)\,\phi^{K+1}(\zeta_k)\,dz_k\,d\zeta_k. \end{aligned} \]

$\lambda^{-M}$ и $\lambda^{M}$ — детерминированные интенсивности рыночных заявок как функции времени и текущего спреда;
$\phi^{-M}(\cdot,\mathcal{V})$ и $\phi^{M}(\cdot,\mathcal{V})$ — плотности размера заявки с носителем $(0,\mathcal{V})$: одна рыночная заявка не съедает всю сторону книги из $K$ уровней;
$f^{-K-1}(t,\cdot)$ и $f^{K+1}(t,\cdot)$ — плотности расстояния нового $K$-го уровня до прежнего $K$-го;
$\phi^{-K-1}$ и $\phi^{K+1}$ — плотности объёма на этом новом уровне.

**Рисунок 7.** Эволюция LOB на $[t,t+dt]$. Рыночная заявка объёма $\xi=12$ МВт·ч (серая штриховка) съедает больше двух ask-уровней. Прежние $S_t^{3}$ и $S_t^{4}$ становятся $S_{t+dt}^{1}$ и $S_{t+dt}^{2}$. Чтобы число уровней осталось $K$, тянут два новых ask: расстояние $z_1$ от $S_t^{4}$ — из $f^{K+1}(t,\cdot)$, объём $\zeta_1$ — из $\phi^{K+1}$; второй новый уровень — тем же правилом сразу после первого. Mid сдвигается вправо.

3.2. Лимитные заявки

Агент может вставить лимитку между существующими уровнями или внутрь спреда. Процессы $N^{-L}(dt,dz,d\zeta)$ и $N^{L}(dt,dz,d\zeta)$ — вставка на bid и на ask. Ядра:

\[ \nu_t^{-L}(dz,d\zeta)=\lambda^{-L}(t)\,f^{-L}(t,z)\,\phi^{-L}(\zeta)\,dz\,d\zeta, \qquad \nu_t^{L}(dz,d\zeta)=\lambda^{L}(t)\,f^{L}(t,z)\,\phi^{L}(\zeta)\,dz\,d\zeta. \]

$\lambda^{-L}$, $\lambda^{L}$ — интенсивности вставки как функции времени;
$f^{-L}(t,\cdot)$ — плотность расстояния новой bid-лимитки до лучшего ask $S_t^{1}$;
$f^{L}(t,\cdot)$ — плотность расстояния новой ask-лимитки до лучшего bid $S_t^{-1}$;
$\phi^{-L}$, $\phi^{L}$ — плотности объёма новой лимитки.

**Рисунок 8.** Новая лимитка на bid: объём $\zeta$ из $\phi^{L}$, расстояние $z_1$ до лучшего ask — из $f^{-L}(t,\cdot)$. Индексы сдвигаются; самый дальний bid удаляется (серый), чтобы число уровней осталось постоянным. Mid чуть смещается.

3.3. Отмены

При отмене уровни сдвигаются, и снова нужен новый $K$-й уровень (расстояние и объём тянутся в момент отмены). На bid — $K$ процессов $N^{-k,C}(dt,dz,d\zeta)$, на ask — $N^{k,C}(dt,dz,d\zeta)$, $k=1,\ldots,K$. Ядра:

\[ \nu_t^{-k,C}(dz,d\zeta)=\lambda^{-C}(t)\,f^{-K-1}(t,z)\,\phi^{-K-1}(\zeta)\,dz\,d\zeta, \qquad \nu_t^{k,C}(dz,d\zeta)=\lambda^{C}(t)\,f^{K+1}(t,z)\,\phi^{K+1}(\zeta)\,dz\,d\zeta. \]

$\lambda^{-C}$ и $\lambda^{C}$ — интенсивности отмены $k$-го уровня; они могли бы зависеть и от других параметров состояния, в калибровке ниже — только от времени.

**Рисунок 9.** Отмена последнего (самого дальнего) bid. Чтобы $K$ не упало, порождается новый дальний уровень: расстояние $z_1$ от оставшегося крайнего — из $f^{-K-1}(t,\cdot)$, объём $\zeta_1$ — из $\phi^{-K-1}$.

3.4. Замечания

Большинство случайных величин в моменты событий считаются взаимно независимыми — упрощение. На каждом ценовом уровне — одна заявка: в разреженной книге расстояние между ордерами велико по сравнению с тиком, и агенту выгоднее встать на несколько тиков ближе к mid, чем становиться в очередь. Частичных отмен нет: отмена снимает весь уровень. Число уровней $K$ постоянно: исчезнувший уровень заменяется новым на «хвосте» книги. Это граничное условие почти не бьёт по поведению у лучших цен, если $K$ достаточно велико — для теста алгоритма исполнения импакт пренебрежим. Почти наверное одновременных скачков у введённых точечных процессов нет.

3.5. Динамика лучших цен

Для компактности меры интегрируют по «лишним» меткам (новые расстояния и объёмы хвоста), получая $N^{-M}(dt,d\xi)$, $N^{M}(dt,d\xi)$, $N^{-L}(dt,dz)$, $N^{L}(dt,dz)$ и счётчики отмен $N_t^{-k,C}$, $N_t^{k,C}$.

Динамика лучшего bid ($k=1$):

\[ \begin{aligned} dS_t^{-1} &=\sum_{i=1}^{K-1}\int_{\mathbb{R}_+} \bigl(S_{t-}^{-i-1}-S_{t-}^{-1}\bigr)\,1_{\{\mathcal{V}_{t-}^{-i}\le\xi\}}\,N^{-M}(dt,d\xi)\\ &\quad+\bigl(S_{t-}^{-2}-S_{t-}^{-1}\bigr)\,dN_t^{-1,C}\\ &\quad+\int_{\mathbb{R}_+} \bigl(S_{t-}^{1}-z-S_{t-}^{-1}\bigr)\, 1_{\{S_{t-}^{1}-z\in[S_{t-}^{-1},S_{t-}^{1}[\}}\,N^{-L}(dt,dz). \end{aligned} \]

Симметрично для лучшего ask:

\[ \begin{aligned} dS_t^{1} &=\sum_{i=1}^{K-1}\int_{\mathbb{R}_+} \bigl(S_{t-}^{i+1}-S_{t-}^{1}\bigr)\,1_{\{\mathcal{V}_{t-}^{i}\le\xi\}}\,N^{M}(dt,d\xi)\\ &\quad+\bigl(S_{t-}^{2}-S_{t-}^{1}\bigr)\,dN_t^{1,C}\\ &\quad+\int_{\mathbb{R}_+} \bigl(S_{t-}^{-1}+z-S_{t-}^{1}\bigr)\, 1_{\{S_{t-}^{-1}+z\in\,]S_{t-}^{-1},S_{t-}^{1}]\}}\,N^{L}(dt,dz). \end{aligned} \]

Первый член — рыночная заявка: если размер превышает накопленный объём первых $i$ уровней, новый лучший — прежний $(i+1)$-й. Второй — отмена на вершине: новый лучший — прежний второй. Отмены глубже вершину не двигают. Третий — лимитка внутрь спреда: она становится новым лучшим уровнем.

Для $1\lt k\lt K$ те же три механизма плюс сдвиги, когда событие происходит ближе к mid, чем $k$-й уровень, и порождение хвоста, когда рыночная заявка или отмена съедает всё до $k$-го. Для $k=K$ хвост всегда восстанавливается случайной парой $(z,\zeta)$: рыночная заявка, пробившая сторону; лимитка между $(K-1)$-м и $K$-м; сдвиг, если лимитка встала ещё ближе; отмена $K$-го. Объёмы $V_t^{k}$ прыгают теми же событиями: списание $\xi$ с вершины, замена объёма при сдвиге индексов, приход $\zeta$ на новом уровне. Полные SDE для всех $k$ и для $V$ выписаны в оригинале (с. 10–15); здесь они опущены как механическое распространение правил вершины на хвост — смысл тот же.

4. Численный анализ

4.1. Параметры

Последние 4 часа торговли продукта на 18:00, $T=4$ ч. В симуляции $K=5$ уровней с каждой стороны. Только рынок XBID, который закрывается за час до поставки: для поставки в 18:00 смотрят данные с 13:00 до 17:00. Данные подсказывают зависимость рыночных заявок от спреда и симметрию bid/ask (рис. 10).

Интенсивность рыночных заявок:

\[ \lambda^{M}(t,S)=\lambda^{-M}(t,S)=\bar\lambda^{M}\,e^{-\kappa^{M}(T-t)}\,e^{-\beta^{M} S}. \]

Размер аппроксимируют дискретной мерой, обрезанной накопленным объёмом стороны, чтобы одна заявка не съела все $K$ уровней:

\[ \phi^{M}(\xi,\mathcal{V})\,d\xi=\phi^{-M}(\xi,\mathcal{V})\,d\xi =\sum_{i=1}^{6}p_i^{M}\,\delta_{v_i^{M}\wedge\mathcal{V}}(d\xi). \]

Оценка МНК (Laruelle [24]):

$\bar\lambda^{M}=45{,}72$ ч$^{-1}$;
$\kappa^{M}=0{,}51$ ч$^{-1}$;
$\beta^{M}=0{,}5$ EUR$^{-1}$;
$p^{M}=(0{,}480,\,0{,}158,\,0{,}314,\,0{,}032,\,0{,}012,\,0{,}004)$;
$v^{M}=(1,\,2,\,5,\,10,\,15,\,25)$ МВт·ч.

Лимитки:

\[ \lambda^{L}(t)=\lambda^{-L}(t)=\bar\lambda^{L}\,e^{-\kappa^{L}(T-t)}, \qquad f^{L}(t,z)=f^{-L}(t,z)=1_{z\gt 0}\,\beta_t^{L}\,e^{-\beta_t^{L} z}, \]

где $\beta_t^{L}=A^{L}\,e^{-b^{L}(T-t)}$ — экспоненциальное расстояние до лучшей цены противоположной стороны. Объём снова дискретный:

\[ \phi^{L}(\zeta)\,d\zeta=\phi^{-L}(\zeta)\,d\zeta=\sum_{i=1}^{6}p_i^{L}\,\delta_{v_i^{L}}(d\zeta). \]

$\bar\lambda^{L}=450$ ч$^{-1}$;
$\kappa^{L}=5{,}22\cdot 10^{-4}$ ч$^{-1}$;
$A^{L}=0{,}145$ EUR$^{-1}$;
$b^{L}=0{,}02$ ч$^{-1}$;
$p^{L}=(0{,}322,\,0{,}152,\,0{,}464,\,0{,}022,\,0{,}011,\,0{,}029)$;
$v^{L}=(1,\,2,\,5,\,10,\,15,\,25)$ МВт·ч.

Отмены:

\[ \lambda^{C}(t)=\lambda^{-C}(t)=\bar\lambda^{C}\,e^{-\kappa^{C}(T-t)}, \qquad \bar\lambda^{C}=72\text{ ч}^{-1},\quad \kappa^{C}=0{,}6\text{ ч}^{-1}. \]

Новый уровень за $K$-м: те же $f^{L}$ и дискрет $\phi^{L}$.

**Рисунок 10.** Подгонка по истории. (a) Частота рыночных заявок падает с спредом (экспонента $e^{-\beta^{M}S}$). (b) Распределение новых лимиток по расстоянию до лучшей противоположной цены: bid и ask почти совпадают, экспоненциальная регрессия.

4.2. Результаты

Симуляции останавливают за час до поставки — момент расцепления рынков электроэнергии. Стартовый mid $50$ EUR, книга симметрична: bid на $45$, $44$, $42$, $39$, $35$ EUR; ask на $55$, $56$, $58$, $61$, $65$ EUR.

**Рисунок 11.** Четыре симуляции состояния книги за час до поставки ($t=T-1$). Bid синий, ask красный. Как и задумано, между уровнями бывают очень широкие дыры.

**Рисунок 12.** Соответствующие траектории mid (время до поставки по оси $x$ убывает вправо). Движения цены усиливаются к maturity — как на исторических рис. 1.

На $10\,000$ траекториях Монте-Карло распределение спреда за час до поставки (рис. 14a): средний спред около $6{,}10$ EUR против исторических $7{,}30$ EUR (рис. 13a). Расстояние между вторыми уровнями: симуляция $10{,}70$ EUR, история $9{,}90$ EUR. Между третьими: $14{,}20$ против $13{,}74$ EUR. Пик у среднего на рис. 14b–c — артефакт фиксированного начального стакана; он исчезает, если стартовое состояние рандомизировать.

**Рисунок 13.** Историческое распределение спредов первых трёх уровней на $t\in[T-5;T-1]$, 1 сентября – 30 ноября 2021. Красная линия — среднее. (a) первый уровень; (b) второй; (c) третий.

**Рисунок 14.** Симулированные распределения спредов, $10\,000$ траекторий. Средние близки к истории, но масса сильнее стянута к среднему: у пуассона нет экстремальных событий, историческое стандартное отклонение чуть выше. Лекарство, которое предлагают авторы, — встроить процессы Хоукса.

4.3. Микроструктурный шум

Отдельная трудность LOB-симуляторов — микроструктурный шум, который на рынке электроэнергии выделяют Deschatre и Gruet [12] и Deschatre и Warin [13]. Метрика — эмпирическая квадратическая вариация mid. Signature plot симулированной книги (среднее по 50 траекториям) близок к историческим: реализованная волатильность mid $S$ на $[t_0,T]$ с шагом $\tau\gt 0$, где $t_0$ — пять часов до поставки, $T$ — один час до поставки,

\[ \hat C(\tau)=\frac{1}{T}\sum_{n=0}^{T/\tau}\bigl\lvert S((n+1)\tau)-S(n\tau)\bigr\rvert^{2}. \]

С ростом $\tau$ реализованная волатильность падает и выходит на плато — ожидаемое поведение signature plot.

**Рисунок 15.** Средние дневные signature plots последних 5 часов до поставки, калибровка по всем сессиям июль–октябрь 2021. (a) история, продукты 15H, 18H, 20H; (b) симуляция, калибровка на 18H. Форма совпадает: высокая реализованная волатильность на коротких $\tau$ и спад к плато.

Итог: неоднородный пуассон с явными гэпами воспроизводит форму разреженной книги, средние спреды первых трёх уровней и микроструктурный signature plot внутридневного рынка электроэнергии. Слабое место — хвосты спреда; естественное расширение — самовозбуждение Хоукса, уже использованное в литературе по этому рынку для активности к поставке.

Литература

Abergel, F. and Jedidi, A., A mathematical approach to order book modeling. International Journal of Theoretical and Applied Finance, 16(05):1350025, 2013. ↑
Abergel, F. and Jedidi, A., Long-time behavior of a Hawkes process–based limit order book. SIAM Journal on Financial Mathematics, 6(1):1026–1043, 2015. ↑
Abergel, F., Anane, M., Chakraborti, A., Jedidi, A. and Muni Toke, I., Limit order books. Cambridge University Press, 2016. ↑
Baldacci, B. and Bergault, P., Optimal incentives in a limit order book: A SPDE control approach. Market Microstructure and Liquidity, 2024. ↑
Biais, B., Hillion, P. and Spatt, C., An empirical analysis of the limit order book and the order flow in the Paris Bourse. The Journal of Finance, 50(5):1655–1689, 1995. ↑
Blais, M. and Protter, P., An analysis of the supply curve for liquidity risk through book data. International Journal of Theoretical and Applied Finance, 13:821–838, 2010. ↑
Bouchaud, J.-P., Mézard, M. and Potters, M., Statistical properties of stock order books: empirical results and models. Quantitative Finance, 2(4):251, 2002. ↑
Chávez-Casillas, J.A. and Figueroa-López, J.E., A one-level limit order book model with memory and variable spread. Stochastic Processes and their Applications, 127(8):2447–2481, 2017. ↑
Cont, R. and De Larrard, A., Price dynamics in a Markovian limit order market. SIAM Journal on Financial Mathematics, 4(1):1–25, 2013. ↑
Cont, R. and Müller, M.S., A stochastic partial differential equation model for limit order book dynamics. SIAM Journal on Financial Mathematics, 12(2):744–787, 2021. ↑
Cont, R., Stoikov, S. and Talreja, R., A stochastic model for order book dynamics. Operations Research, 58(3):549–563, 2010. ↑
Deschatre, T. and Gruet, P., Electricity intraday price modelling with marked Hawkes processes. Applied Mathematical Finance, 29(4):227–260, 2022. ↑
Deschatre, T. and Warin, X., A common shock model for multidimensional electricity intraday price modelling with application to battery valuation. arXiv:2307.16619, 2023. ↑
Eisler, Z., Bouchaud, J.-P. and Kockelkoren, J., The price impact of order book events: market orders, limit orders and cancellations. Quantitative Finance, 12(9):1395–1419, 2012. ↑
Favetto, B., The European intraday electricity market: a modeling based on the Hawkes process. HAL:hal-02089289, 2019. ↑
Graf von Luckner, N. and Kiesel, R., Modeling market order arrivals on the German intraday electricity market with the Hawkes process. Journal of Risk and Financial Management, 14(4):161, 2021. ↑
Grindel, R. and Graf von Luckner, N., Forecasting of the ID3 using limit order book data. SSRN 4017248, 2022. ↑
Horst, U. and Kreher, D., Second order approximations for limit order books. Finance and Stochastics, 22:827–877, 2018. ↑
Horst, U. and Paulsen, M., A law of large numbers for limit order books. Mathematics of Operations Research, 42(4):1280–1312, 2017. ↑
Huang, W., Lehalle, C.-A. and Rosenbaum, M., Simulating and analyzing order book data: the queue-reactive model. Journal of the American Statistical Association, 110(509):107–122, 2015. ↑
Huang, W., Rosenbaum, M. and Saliba, P., From Glosten–Milgrom to the whole limit order book and applications to financial regulation. SSRN 3343779, 2019. ↑
Huang, W. and Rosenbaum, M., Ergodicity and diffusivity of Markovian order book models: a general framework. SIAM Journal on Financial Mathematics, 8(1):874–900, 2017. ↑
Kelly, F. and Yudovina, E., A Markov model of a limit order book: thresholds, recurrence, and trading strategies. Mathematics of Operations Research, 43(1):181–203, 2018. ↑
Laruelle, S., Hors-série microstructure des marchés / n°1, juin 2013. ↑
Luckock, H., A statistical model of a limit order market. Sidney University preprint, 2001. ↑
Maslov, S., Simple model of a limit order-driven market. Physica A, 278(3-4):571–578, 2000. ↑
Muni Toke, I. and Yoshida, N., Modelling intensities of order flows in a limit order book. Quantitative Finance, 17(5):683–701, 2017. ↑
Potters, M. and Bouchaud, J.-P., More statistical properties of order books and price impact. Physica A, 324(1-2):133–140, 2003. ↑

Оригинал статьи: Bergault and Cognéville, «Simulating and analyzing a sparse order book: an application to intraday electricity markets», arXiv:2410.06839 · лицензия CC BY 4.0