Метод декомпозиции сигнатуры, применяемый к парному трейдингу

6/10

Ключевые слова: Rough Path, Signature Method, Quantitative Finance, Pair Trading.

Классификация arXiv: econ.GN

Аннотация

Высокочастотные количественные торговые стратегии давно привлекают значительный интерес на рынке фьючерсов. Продвинутый статистический арбитраж и глубокое обучение улучшают обработку высокочастотных данных, но сужают возможности для традиционных методов и дают менее интерпретируемые, нестабильные стратегии. Поэтому разработка устойчивых и интерпретируемых количественных стратегий остаётся приоритетом на фьючерсных рынках. В настоящем исследовании предлагается новая стратегия парного трейдинга на основе математического понятия сигнатуры пути (path signature), служащей представлением признаков временного ряда. Сигнатура пути декомпозируется на два новых индикатора: индикатор взаимодействия путей — сегментированная сигнатура (segmented signature) — и направленный индикатор — ковариация приращений (covariation of increments); оба используются как двойные фильтры при проектировании стратегии. Эмпирические эксперименты на минутных данных фьючерсов показывают, что предложенная стратегия существенно превосходит традиционный парный трейдинг по доходности, максимальной просадке и коэффициенту Шарпа. Метод повышает интерпретируемость и устойчивость при сохранении сильной доходности, демонстрируя потенциал сигнатур путей в финансовой торговле.

1. Введение

На финансовых рынках участники стремятся к устойчивым, стабильно прибыльным стратегиям и индикаторам. Среди них арбитражные стратегии обычно считаются относительно менее рискованным инвестиционным подходом: одновременная покупка и продажа нескольких финансовых активов хеджирует большую часть рыночных рисков (Dybvig & Ross, 1989; Yadav & Pope, 1990; Liew & Wu, 2013; Krauss, 2017). Парный трейдинг (Vidyamurthy, 2004; Elliott et al., 2005) — один из популярных и широко используемых видов статистического арбитража при торговле акциями (Chen et al., 2019), фьючерсами и опционами (Draper & Fung, 2002). Суть парного трейдинга — торговля спредом цен двух коррелированных активов. Когда спред отклоняется от ожидаемого значения, стратегия открывает long на относительно недооценённый актив и short на переоценённый, закрывая позиции после возврата спреда к нормальному уровню. Арбитражные возможности обычно возникают на неидеальных рынках, но по мере эксплуатации участниками спред быстро исчезает (Krauss, 2017). Кроме того, на сложных рынках одной линейной корреляции недостаточно (Elliott et al., 2005): спред часто не просто разность или отношение цен, а нелинейная функция множества признаков. Поэтому интерпретируемая стратегия парного трейдинга, учитывающая линейные и нелинейные структуры, представляет значительный интерес.

Извлечение нелинейных признаков и захват сложных паттернов из финансовых временных рядов — одна из главных задач финансового анализа данных. Считается, что модели, способные улавливать нелинейность, эффективнее традиционных линейных. Финансовые потоки данных обычно высоконелинейны, случайны и сложны, и линейные модели не могут полностью их описать. Для улучшения стат-арбитража исследовали различные нелинейные подходы: показатель Hurst для выявления mean-reverting режимов в equity-парах (Bui & Ślepaczuk, 2022), graph-based кластеризацию для мультипарных портфелей (Korniejczuk & Ślepaczuk, 2024). Эти работы полезны, но слабо захватывают краткосрочные path-dependent взаимодействия, критичные для HFT. С развитием ИИ ML и DL (MLP, SVM, DNN, LSTM, Transformer) всё чаще применяются для нелинейных признаков, но страдают от плохой интерпретируемости: обучение — «чёрный ящик» с ограниченной управляемостью, что может давать нестабильные решения. Применение таких моделей в количественных стратегиях требует осторожности.

Модели с высокой интерпретируемостью и способностью извлекать нелинейные признаки особенно привлекательны для участников количественных финансов. Сигнатура — хороший синтез упорядоченных потоков данных (высокочастотные внутридневные данные часто трактуют как непрерывные потоки), захватывающий нелинейные признаки в явной форме. Понятие path signature введено Lyons (T. J. Lyons, 1998), см. также Lyons and Qian (T. Lyons & Qian, 2002) в контексте rough path analysis. Ключевая идея: информация сложных динамических систем полностью характеризуется сигнатурой. Сигнатура непрерывного пути \(X\) — последовательность итерационных тензорных интегралов: \(S(X) = (1, X^1, X^2, \cdots)\), где \(X^n\) — \(n\)-й порядок. Отображение сохраняет геометрическую и топологическую информацию и даёт полное описание пути. Через разложение Тейлора сигнатура позволяет извлекать нелинейные признаки высших порядков, корреляции и path dependencies.

Эти свойства делают сигнатуры перспективными для высокочастотных данных. Gyurkó et al. (2014) классифицировали финансовые потоки и различали режимы рынка; Kalsi et al. (2020) решали задачу optimal execution через усечённую сигнатуру. Сигнатуры успешно применялись к path-dependent задачам: американские опционы (Bayer et al., 2023), генерация временных рядов (Ni et al., 2021) и др. Три ключевых элемента: (1) инвариантность к сдвигу времени — адаптация к разной частоте семплирования и baseline drift; (2) высшие порядки для нелинейных признаков (кривизна, волновые режимы); (3) Lead-Lag преобразование дискретного потока в непрерывный путь.

Однако применение сигнатур в торговых стратегиях не изучалось систематически. Комбинации с LSTM и Transformer (Levin et al., 2013; Chevyrev & Kormilitzin, 2016) фокусируются на одном пути, а не на совместных. Усечённая сигнатура страдает от проклятия размерности: число признаков \(n\)-го порядка для \(d\)-мерного пути растёт как \(O(d^n)\). Математическая формулировка элегантна, но финансовая интерпретация абстрактна. Ключ — построить интерпретируемые индексы на основе сигнатур и применить их в стат-арбитраже.

Мотивированные этими проблемами, мы предлагаем новый path feature — сегментированную сигнатуру (segmented signature). Декомпозиция исходной сигнатуры даёт segmented signature (трансформация Lévy area) для отражения интерактивной информации и динамики тренда нескольких ценовых рядов. Это эффективный нелинейный признак path interactivity, естественно применимый в парном трейдинге как фильтр, повышающий точность решений. Эмпирически декомпозированный член — произведение разностей путей (path difference product) — тоже значим: показывает, движутся ли пути в одном направлении. На основе анализа и численных экспериментов предлагается стратегия SE-SIG-DIFF с двойными фильтрами: segmented signature и covariation of increments. Результаты показывают значительное улучшение Sharpe ratio, доходности, контроля max drawdown.

Вклад работы. (1) Предложена segmented signature — интерпретируемый индикатор path interactivity с низкой вычислительной сложностью. (2) Сигнатура декомпозируется на segmented signature и covariation of increments; двойные фильтры существенно улучшают парный трейдинг. (3) Метод интересен исследователям rough path theory и количественным стратегиям.

Структура: раздел 2 — теория сигнатур и segmented signature; раздел 3 — методология (SE-SIG-DIFF, данные, отбор активов); раздел 4 — эмпирические результаты и статистические тесты; раздел 5 — выводы.

2. Декомпозиция сигнатуры

2.1. Теория метода сигнатур

Краткий обзор сигнатуры и её свойств; подробности — в (T. Lyons & Qian, 2002) и (T. J. Lyons, 1991). Пусть \(\mathbb{R}^d\) — \(d\)-мерное евклидово пространство, \(V^p(J, E)\) — множество непрерывных путей \(X: J \to E\) конечной \(p\)-вариации на компактном интервале \(J\).

Сигнатура. Для \(X \in V^p(J, \mathbb{R}^d)\) сигнатура \(S(X)_J\) — бесконечная последовательность \(X_J^n\):

Усечённая сигнатура степени \(n\): \(S_n(X)_J = (1, X_J^1, \cdots, X_J^n)\). Сигнатура — важная геометрическая характеристика пути: члены 1-го порядка — приращения, 2-го — площади, ограниченные двумя путями. \(S(X)\) определяет \(X\) с точностью до tree-like equivalence (Hambly & Terry, 2010).

На практике полная сигнатура не вычислима; используется усечённая. Усечение отбрасывает высшие порядки, но свойство information attenuation (T. Lyons et al., 2006) гарантирует факториальное затухание высших членов:

где \(\|X\|_1 = \sup_{\{t_i\} \in J} \sum_i |X_{t_{i+1}} - X_{t_i}|\). Усечённая сигнатура — эффективное представление path-dependent данных.

Для средне- и высокочастотных финансовых данных сигнатура извлекает структурные признаки. Обозначения: \(X_t^{(i)} \in \mathbb{R}^d\) — \(i\)-я координата пути в момент \(t\); \(X_{s,t}^n \in (\mathbb{R}^d)^{\otimes n}\) — \(n\)-й порядок сигнатуры на \([s,t]\). Один индекс времени — значение пути; два — сигнатура на интервале.

2.2. Сегментированная сигнатура

Прямое использование исходной сигнатуры как индикатора ограничено. Сигнатура 1-го порядка \(X_t - X_s\) — разность пути (приращение цены). Матрица 2-го порядка \(X_{s,t}^2 \in \mathbb{R}^{d \times d}\) содержит много абстрактной информации; некоторые трансформации соответствуют Lévy area. В финансах это лишь приблизительная мера сложности пути. Мы декомпозируем сигнатуру для более ясного path feature.

Из-за information attenuation достаточно 2-го порядка. Для \(d=2\) компонент \(X_{s,t}^{(i,j)}\):

С учётом соотношений \(X_{s,t}^{(i,j)} + X_{s,t}^{(j,i)} = X_{s,t}^{(i)} X_{s,t}^{(j)}\) и \(X_{s,t}^{(i,i)} = (X_{s,t}^{(i)})^2/2\), матрица \(X_{s,t}^2\) раскладывается на \(A_{s,t}^2 + D_{s,t}^2\):

\(A_{s,t}^{(i,j)}\) — Lévy area (Levin et al., 2013), отражающая взаимосвязь путей; \(D_{s,t}^2\) — произведение приращений путей.

Lévy area = \(A^+ - A^-\). Интуитивно она отражает степень взаимодействия путей: при сильной корреляции взаимодействие выровнено, площадь меньше. При абсолютной линейной корреляции траектория совпадает с хордой, \(A_{s,t}^{(1,2)} = 0\). Обратное неверно: нулевая площадь может быть из-за взаимной компенсации \(A^+\) и \(A^-\).

Для решения этой проблемы вводится сегментированная сигнатура — матрица \(C_{s,t}^2\) с компонентами:

где \(t_0 = s\), \(t_n = t\), а \(t_r\) — точки пересечения хорды с траекторией (рис. 3). На каждом сегменте берётся модуль Lévy area.

Преимущества segmented signature. (1) Если \(C_{s,t}^{(1,2)} = 0\), активы полностью линейно коррелированы — чего нельзя сказать о \(A_{s,t}^{(1,2)}\) (рис. 4, случаи 1–2). (2) Меньшие значения \(C\) указывают на более сильное взаимодействие путей (случаи 3–4). (3) \(C\) всегда неотрицательна, знак \(A\) трудно интерпретировать (случаи 5–6). Segmented signature фильтрует информацию, не связанную с взаимодействием путей, и лучше подходит как нелинейный торговый сигнал.

После декомпозиции \(X_{s,t}^2\) на \(A_{s,t}^2\) и оптимизации до \(C_{s,t}^2\) остаётся матрица \(D_{s,t}^2\), часто игнорируемая в литературе, но значимая эмпирически (раздел 4). Знак \(D_{s,t}^{(1,2)}\) показывает, движутся ли переменные в одном направлении — положительная или отрицательная корреляция. Мы называем \(D_{s,t}^{(1,2)}\) ковариацией приращений (covariation of increments). Теория согласована в высших размерностях; для парного трейдинга используются \(A_{s,t}^{(1,2)}\), \(C_{s,t}^{(1,2)}\), \(D_{s,t}^{(1,2)}\).

3. Методология

3.1. Парный трейдинг, данные и параметры

Segmented signature отражает взаимодействие двух активов — естественно для парного трейдинга. Стратегия рыночно-нейтральна: при отклонении спреда от исторического среднего открываются противоположные позиции с ожиданием mean reversion. Данные — минутные фьючерсы с 1 ноября 2024 по 31 декабря 2024 на китайском и американском рынках. \(X_t^{(1)}\), \(X_t^{(2)}\) — цены двух активов; берётся логарифм для стабилизации ряда.

Статистика \(Z_t\) в скользящем окне \(w\):

\(\beta\) — коэффициент регрессии (число лотов) для risk-neutral позиционирования; \(\mu_t\), \(\sigma_t\) — скользящее среднее и стандартное отклонение спреда на \([t-w, t]\). При пороге \(Z_{\mathrm{score}}\) отклонение \(Z_t \notin [-Z_{\mathrm{score}}, Z_{\mathrm{score}}]\) — сигнал. В эксперimentах \(w = 60\), \(Z_{\mathrm{score}} = 2\). Сигналы: \(Z_t > Z_{\mathrm{score}}\) — short \(X^{(1)}\), long \(X^{(2)}\); \(Z_t < -Z_{\mathrm{score}}\) — наоборот; закрытие при \(Z_t \to 0\). Реализация следует (Vidyamurthy, 2004; Stempień & Ślepaczuk, 2025; Chen et al., 2019); каркас — алгоритм 1.

Транзакционные издержки: round-trip 0,05% номинала на сделку — консервативная оценка для китайских фьючерсов (биржевые сборы, брокерская наценка, проскальзывание). Для США commodity futures типично 0,01–0,02%, для менее ликвидных — до 0,04%; для сопоставимости также используется 0,05%.

Риск-менеджмент: stop-loss ограничивает убыток на сделку максимальной просадкой стратегии за два месяца до торгового периода; порог фиксирован на весь период (в отличие от dynamic volatility scaling, Ślusarczyk & Ślepaczuk, 2025).

Алгоритм 1. Стратегия парного трейдинга.

Вход: X⁽¹⁾, X⁽²⁾ — ценовые ряды; w — размер окна; Zscore — порог
1. L⁽¹⁾ ← log(X⁽¹⁾); L⁽²⁾ ← log(X⁽²⁾)
2. Регрессия L⁽¹⁾ = α + β·L⁽²⁾ + ε → оптимальный hedge ratio β
3. S_t ← L⁽¹⁾_t − β·L⁽²⁾_t
4. Для t = w+1 … T:
     µ_t ← mean(S_{t-w…t}); σ_t ← std(S_{t-w…t}); Z_t ← (S_t − µ_t)/σ_t
     если Z_t > Zscore → short X⁽¹⁾, long X⁽²⁾
     иначе если Z_t < −Zscore → long X⁽¹⁾, short X⁽²⁾
     иначе → hold

3.2. Отбор активов

Отбор сочетает экспертное суждение и статистику. Активы одной широкой категории (например, драгметаллы) предполагаются коррелированными. Для конкретных пар требуются высокая корреляция и mean reversion спреда.

Металлические фьючерсы (Китай): AU (золото), AG (серебро), SN (олово), AL (алюминий), CU (медь), NI (цинк). Корреляция Пирсона > 0,5 — сильная связь. Матрица корреляций — табл. 1.

NI исключается (корреляция < 0,5 с AU). Для mean reversion используется обобщённый показатель Hurst (GHE) (Bui & Ślepaczuk, 2022):

\(H \in (0, 0{,}5)\) — mean reversion; \(H \in (0{,}5, 1)\) — momentum. При \(q=1\) — классический Hurst. Табл. 2 — Hurst спреда металлов; пары с CU исключаются (\(H > 0{,}5\)). Остаются AU, AG, AL, SN.

Пять групп фьючерсов для бэктеста:

• Группа 1 (металлы, Китай): AU, AG, SN, AL
• Группа 2 (сельхоз, Китай): C (кукуруза), B (соя), CF (хлопок), M (соевый шрот)
• Группа 3 (нефтепродукты, Китай): MA (метанол), SC (нефть), Y (соевое масло), RB (арматура)
• Группа 4 (металлы, США): GC, SI, PA (CME)
• Группа 5 (сельхоз, США): ZC, ZW, ZS, ZL

3.3. Торговая стратегия на сигнатурах

Меньшие \(C_{s,t}^{(1,2)}\) указывают на более сильную нелинейную корреляцию. Сделка рассматривается только при одновременном наличии линейного и нелинейного сигналов корреляции и ценового отклонения. Порог сигнатуры — историческое среднее (без look-ahead bias, Stempień & Ślepaczuk, 2025). Для активов одной категории ожидается положительный направленный сигнал \(D_{s,t}^{(1,2)} > 0\).

Четыре стратегии:

• NO SIG — классический парный трейдинг без фильтров
• SIG — фильтр по \(A_{s,t}^{(1,2)}\) (Lévy area, 2-й порядок)
• SE-SIG — фильтр по \(C_{s,t}^{(1,2)}\) (segmented signature)
• SE-SIG-DIFF — двойной фильтр: \(C_{s,t}^{(1,2)}\) и \(D_{s,t}^{(1,2)}\) (covariation of increments)

Алгоритм 2. SE-SIG-DIFF.

Для каждого момента i = 1 … T:
  (C⁽¹,²⁾, D⁽¹⁾, D⁽²⁾) ← Signature(X⁽¹⁾_i, X⁽²⁾_i, α)
  если C⁽¹,²⁾ < historical_mean(C⁽¹,²⁾):
    если D⁽¹⁾ × D⁽²⁾ > 0 и сработало условие парного трейдинга:
      сигнал по направлению Z-score (long/short)
    иначе → hold
  иначе → hold

Условие \(C^{(1,2)} < \overline{C^{(1,2)}}\) означает усиление взаимодействия путей; \(D^{(1)} \times D^{(2)} > 0\) — одновременное движение цен. Только при обоих условиях проверяется триггер парного трейдинга.

4. Применение сегментированной сигнатуры в парном трейдинге

4.1. Расчёт сегментированной сигнатуры

Фьючерсы разбиты на пять групп по реалистичной корреляции. Окно \(w = 60\) минут; логарифм цен; шаги расчёта segmented signature:

1. Предобработка: log цены
2. Линейная интерполяция между точками
3. Сегментация: точки пересечения траектории с хордой
4. Накопление площадей между путём и хордой на каждом сегменте

Ось \(X^{(1)}\), ось \(Y = X^{(2)}\). Хорда между \((X_0^{(1)}, X_0^{(2)})\) и \((X_T^{(1)}, X_T^{(2)})\); пересечение линейного сегмента с хордой — crossing point, если \(x\)-координата между соседними точками (рис. 6).

Пример AU & AG: сигнатура и segmented signature за девять торговых дней — рис. 7. Коэффициент вариации \(\sigma/\mu\) (с учётом сдвига для знаковой сигнатуры) — табл. 3: segmented signature обычно более «рассеянна», что делает её лучшим фильтром.

4.2. Эмпирические результаты

Метрики: общая доходность; средняя дневная доходность; max drawdown; стандартное отклонение; Sharpe ratio; число сделок (Count).

Группа 1 (металлы). Табл. 4 — производительность; табл. 5 — Sharpe. SE-SIG и SE-SIG-DIFF повышают доходность относительно NO SIG и SIG; SE-SIG-DIFF снижает max drawdown. Лучший пример: AL&AG — Sharpe SE-SIG-DIFF 3,03 vs 0,45 (NO SIG).

Группа 2 (сельхоз). Табл. 6–7; рис. 9. SE-SIG-DIFF лучше по Sharpe на всех парах; пример C&B: Sharpe 2,42 vs 1,89.

Группа 3 (нефтепродукты). Табл. 8–9; рис. 10. Исходная сигнатура (SIG) иногда ухудшает результат; SE-SIG-DIFF сильно улучшает SC&Y (Sharpe 5,38 vs 2,82).

Группы 4–5 (США). Табл. 10–13; рис. 11–12. Выводы согласуются с группами 1–3: SE-SIG-DIFF превосходит baseline; оба индикатора \(C\) и \(D\) критичны.

Четыре главных вывода. (1) SE-SIG-DIFF лучше по Sharpe на большинстве пар; на части пар достигает положительного Sharpe при отрицательном у baseline. SIG как фильтр иногда увеличивает убытки из-за «смешанной» информации. (2) Рост Sharpe в основном за счёт доходности, а не снижения std. (3) Max drawdown с SE-SIG-DIFF значительно ниже на большинстве пар. (4) Число сделок уменьшается — отфильтровываются убыточные транзакции и экономятся комиссии.

4.3. Устойчивость и статистические тесты

Robustness: чувствительность к \(Z_{\mathrm{score}} \in \{1{,}5, 2, 2{,}5\}\) и \(w \in \{30, 60, 90\}\). Табл. 14 — средний прирост Sharpe относительно NO SIG. SE-SIG-DIFF стабильно лучше (пример: группа 1, \(Z=2\), \(w=60\): +2,23; группа 5: +1,48).

Статистическая значимость: тест JK–Memmel (Jobson & Korkie, 1981; Memmel, 2003) для сравнения Sharpe:

При \(\alpha = 0{,}05\) и \(w=60\), \(Z_{\mathrm{score}}=2\) все \(p\)-values в табл. 15 существенно ниже 0,05.

5. Заключение

Работа исследует применение метода сигнатур в средне- и высокочастотной торговле фьючерсами и демонстрирует использование нелинейных признаков сигнатуры в арбитражных стратегиях. Сигнатура декомпозируется на segmented signature и направление пути (covariation of increments), что улучшает индикаторы отклонения цен в парном трейдинге. Численные результаты и статистические тесты подтверждают преимущество SE-SIG-DIFF над традиционной сигнатурой: стратегия прибыльна, контролирует риск, интерпретируема и пригодна для практики.

Вклад: (1) впервые сигнатуры как фильтры в парном трейдинге с существенным ростом Sharpe; (2) segmented signature интерпретируемее классической сигнатуры; (3) метод извлечения нелинейных признаков из высокочастотных данных.

Дальнейшие исследования: расширение на акции и опционы, симуляции и реальная торговля; учёт исполнения заявок, ликвидности и смены рыночных режимов.

Доступность данных. Данные доступны у corresponding author по обоснованному запросу (RQData, CME через Oxford Suzhou Centre For Advanced Research).

Конфликт интересов. Авторы не сообщают о конфликте интересов.

Литература

• Barboza, F., Kimura, H., & Altman, E. (2017). Machine learning models and bankruptcy prediction. Expert Systems with Applications, 83, 405–417.
• Bayer, C., Hager, P., Riedel, S., & Schoenmakers, J. (2023). Optimal stopping with signatures. Ann. Appl. Probab, 33(1), 238–273.
• Bui, Q., & Ślepaczuk, R. (2022). Applying hurst exponent in pair trading strategies on nasdaq 100 index. Physica A: Statistical Mechanics and its Applications, 592, 126784.
• Chen, H., Chen, S., Chen, Z., & Li, F. (2019). Empirical investigation of an equity pairs trading strategy. Management Science, 65(1), 370–389.
• Chevyrev, I., & Kormilitzin, A. (2016). A primer on the signature method in machine learning. arXiv preprint.
• Draper, P., & Fung, J. K. (2002). A study of arbitrage efficiency between the ftse-100 index futures and options contracts. Journal of Futures Markets, 22(1), 31–58.
• Dybvig, P. H., & Ross, S. A. (1989). Arbitrage. Springer.
• Elliott, R. J., Van Der Hoek, J., & Malcolm, W. P. (2005). Pairs trading. Quantitative Finance, 5(3), 271–276.
• Enkhbayar, S., & Ślepaczuk, R. (2025). Predictive modeling of foreign exchange trading signals using machine learning techniques. Expert Systems with Applications, 250, 127729.
• Gyurkó, L. G., Lyons, T., Kontkowski, M., & Field, J. (2014). Extracting information from the signature of a financial data stream. arXiv preprint.
• Hambly, B., & Terry, L. (2010). Uniqueness for the signature of a path of bounded variation and the reduced path group. Annals of Mathematics, 171(1), 109–167.
• Hurst, H. E. (1951). Long-term storage capacity of reservoirs. Transactions of the American Society of Civil Engineers, 116(1), 770–799.
• Jasemi, M., Kimiagari, A. M., & Memariani, A. (2011). A modern neural network model to do stock market timing on the basis of the ancient investment technique of japanese candlestick. Expert Systems with Applications, 38(4), 3884–3890.
• Jobson, J. D., & Korkie, B. M. (1981). Performance hypothesis testing with the sharpe and treynor measures. Journal of Finance, 36(4), 889–908.
• Kalsi, J., Lyons, T., & Arribas, I. P. (2020). Optimal execution with rough path signatures. SIAM Journal on Financial Mathematics, 11, 470–493.
• Kashif, K., & Ślepaczuk, R. (2025). Lstm-arima as a hybrid approach in algorithmic investment strategies. Knowledge-Based Systems, 295, 113563.
• Kim, H., Cho, H., & Ryu, D. (2022). Corporate bankruptcy prediction using machine learning methodologies with a focus on sequential data. Computational Economics, 59(3), 1231–1249.
• Korniejczuk, A., & Ślepaczuk, R. (2024). Statistical arbitrage in multi-pair trading strategy based on graph clustering algorithms in us equities market. arXiv preprint.
• Krauss, C. (2017). Statistical arbitrage pairs trading strategies: Review and outlook. Journal of Economic Surveys, 31(2), 513–545.
• Levin, D., Lyons, T., & Ni, H. (2013). Learning from the past, predicting the statistics for the future, learning an evolving system. arXiv preprint.
• Li, H., Li, C.-J., Wu, X.-J., & Sun, J. (2014). Statistics-based wrapper for feature selection: An implementation on financial distress identification with support vector machine. Applied Soft Computing, 19, 57–67.
• Liew, R. Q., & Wu, Y. (2013). Pairs trading: A copula approach. Journal of Derivatives & Hedge Funds, 19, 12–30.
• Lyons, T., Lévy, T., & Caruana, M. (2006). Differential equations driven by rough paths. Springer.
• Lyons, T., & Qian, Z. (2002). System control and rough paths. Oxford University Press.
• Lyons, T. J. (1991). On the non-existence of path integrals. Proceedings of the Royal Society of London. Series A, 432, 281–290.
• Lyons, T. J. (1998). Differential equations driven by rough signals. Revista Matematica Iberoamericana, 14, 215–310.
• Memmel, C. (2003). Performance hypothesis testing with the sharpe ratio. Finance Letters, 1(1), 21–23.
• Ni, H., Szpruch, L., Sabate Vidales, M., Xiao, B., Wiese, M., & Liao, S. (2021). Sig-wasserstein gans for time series generation. In Proceedings of the Second ACM International Conference on AI in Finance.
• Phuoc, T., Anh, P. T. K., Tam, P. H., & Nguyen, C. V. (2024). Applying machine learning algorithms to predict the stock price trend in the stock market–the case of vietnam. Humanities and Social Sciences Communications, 11(1), 1–18.
• Ślusarczyk, D., & Ślepaczuk, R. (2025). Optimal markowitz portfolio using returns forecasted with time series and machine learning models. Journal of Big Data, 12(1), 127.
• Song, Y., Lee, J. W., & Lee, J. (2019). A study on novel filtering and relationship between input-features and target-vectors in a deep learning model for stock price prediction. Applied Intelligence, 49, 897–911.
• Stempień, D., & Ślepaczuk, R. (2025). Hybrid models for financial forecasting: Combining econometric, machine learning, and deep learning models. arXiv preprint.
• Stevenson, M., Mues, C., & Bravo, C. (2021). The value of text for small business default prediction: A deep learning approach. European Journal of Operational Research, 295(2), 758–771.
• Vidyamurthy, G. (2004). Pairs trading: quantitative methods and analysis. John Wiley & Sons.
• Yadav, P. K., & Pope, P. F. (1990). Stock index futures arbitrage: International evidence. The Journal of Futures Markets, 10(6), 573.
• Yu, P., & Yan, X. (2020). Stock price prediction based on deep neural networks. Neural Computing and Applications, 32(6), 1609–1628.

Оригинал статьи: Guo et al., «Signature Decomposition Method Applying to Pair Trading», arXiv:2505.05332