Оптимальный дизайн ребейтов: стимулы, конкуренция и эффективность на аукционных рынках

5/10

Ключевые слова: микроструктура; дизайн рынка; аукционы; равновесие Нэша; стохастические игры; стохастическое управление; маркетмейкинг; HJB PDE.

Аннотация

Изучается дизайн эффективной политики ребейтов на аукционных рынках в непрерывном времени при конкуренции участников. Биржа собирает транзакционные комиссии с аукционных инвесторов, исполняющих блочные сделки покупки или продажи рискового актива, и перераспределяет их как ребейты конкурирующим маркетмейкерам, выставляющим лимитные заявки. Маркетмейкеры влияют и на цену исполнения, и на интенсивность своего прихода в аукцион. Задача ставится как principal–multi-agent: даны необходимые и достаточные условия равновесия Нэша между маркетмейкерами. Оптимизация биржи формулируется как высокоразмерное уравнение Гамильтона–Якоби–Беллмана с пуассоновскими скачками и решается верификационным результатом. Численно оптимальные ребейты и комиссии считаются методом Deep BSDE. Оптимальные комиссии и структура ребейтов сужают спред между клиринговой ценой аукциона и фундаментальной стоимостью актива и гарантируют маркетмейкерам минимальный выигрыш, индексированный к цене того же актива на сосуществующем лимитном стакане.

1. Введение

Аукционы применяются от онлайн-рекламы и акций до электроэнергии; обзор — Milgrom et al. (2019). Нобелевские работы Wilson (1977) и Milgrom (1979) задают условия, при которых финальная цена близка к истинной стоимости; позже они консультировали FCC по аукционам спектра. Эта статья — дизайн аукционного рынка для фондовых бирж.

Центральный лимитный стакан (CLOB) — непрерывный двойной аукцион: сделка, когда bid встречает ask. Пакетный аукцион собирает заявки за фиксированный интервал и исполняет их одновременно по одной клиринговой цене, максимизирующей объём. CLOB принимает заявки в реальном времени; периодический аукцион открывает фазу на миллисекунды–минуты, в конце считает клиринг, затем стартует новый раунд. Реализации: Cboe U.S. Equities Periodic Auctions, Turquoise (LSEG), CME Globex. Литература по LOB и маркетмейкингу: Avellaneda and Stoikov (2008); Cont et al. (2010); Guéant et al. (2013); Cartea et al. (2015) и др.

1.1. Периодические аукционы против CLOB. Budish et al. (2015): непрерывная торговля порождает транзиентный арбитраж и гонку скоростей, экономически расточительную. Wah and Wellman (2013): HFT-арбитражёры по латентности расширяют спред и мешают price discovery. Budish et al. предлагают частые пакетные аукционы (например, каждые 0,1 с). Jusselin et al. (2021) по данным Euronext находят оптимальную длительность: аукционы часто бьют стакан. Duffie and Zhu (2017); Derchu et al. (2024) — гибриды непрерывной торговли и батчей.

1.2. Снайпинг, комиссии и ребейты; мотивация из DeFi. Чтобы периодический аукцион был эффективен, нужны конкретные правила. Авторы исследуют make-take: комиссия $d$ с нестратегических инвесторов перераспределяется стратегическим маркетмейкерам как терминальные ребейты $\xi$. Механика близка к Uniswap v4 hooks: динамические комиссии и возврат MEV/комиссий LP в конце блока. Снайпинг на аукционе — приход поздно, чтобы использовать информацию ранних заявок, или рано, чтобы задать тон вводящими в заблуждение котировками. Ребейт должен штрафовать оба крайних поведения.

Principal–agent. Биржа — принципал, стратегические трейдеры — агенты. Непрерывный контракт: Holmstrom and Milgrom (1987); Sannikov (2008); Cvitanić et al. (2018). Мультиагентные контракты: Elie and Possamaï (2019); Hernández-Santibáñez (2024); Baldacci et al. (2023). Make-take на CLOB и в тёмных пулах: Euch et al. (2021); Baldacci et al. (2021). Здесь — динамическая make-take политика внутри одного батча (например, закрывающий аукцион) с непрерывным котированием до клиринга.

Оптимальный стимул задаётся высокоразмерной integro-HJB. Численно — Deep BSDE (Henry-Labordere, 2017; Han and Long, 2020; Dayanıklı and Lauriere, 2025): нейросети обходят проклятие размерности. Работа отвечает вызову Carmona (2022, §5.1): математические финансы мало изучали равновесия аукционов.

Дальше: раздел 2 — модель и правило клиринга; раздел 3 — principal–agent, равновесие Нэша агентов; раздел 4 — дизайн ребейтов и комиссии биржи; раздел 5 — Deep BSDE. Доказательства технических лемм — в приложении (опущены).

2. Модель аукционного рынка

Рисковый актив с эффективной ценой $P^*$ торгуется в пакетном аукционе длительности $T\gt 0$. Два типа участников: стратегические маркетмейкеры, непрерывно управляющие ценами заявок и интенсивностями прихода, и институциональные инвесторы, посылающие рыночные заявки фиксированного объёма.

$P^*$ — безарбитражная справедливая стоимость или mid сосуществующего стакана. Клиринговая цена аукциона — $P^{\mathrm{cl}}_T$.

2.1.1. Стратегические трейдеры

Два маркетмейкера $p$ и $q$ подают заявки по считающим процессам $N^p$, $N^q$ с интенсивностями $\lambda^p$, $\lambda^q$. Отклонение интенсивности от бенчмарка $\lambda_0$ (аналог расписания Almgren–Chriss / TWAP) штрафуется квадратично.¹ Котировки

где $P^{*,i}$ — независимые копии $P^*$ (фрагментация и асимметрия информации; Hasbrouck, 1995; O’Hara, 2015), $\mu^i$ — управляемый спред. Объём по линейному расписанию Klemperer–Meyer: $Q^i(x)=K^i(P^i_t-x)$ при $x=P^{\mathrm{cl}}_T$. Если $P^{\mathrm{cl}}_T\le P^i_t$, заявка — покупка; иначе — продажа.

Замечание 2.2. Каждый стратегический трейдер подаёт линейную кривую спроса/предложения, а не одну точку: это стандарт для аукционов спроса.

2.1.2. Спонтанные инвесторы

Нестратегические покупатели и продавцы приходят пуассоновскими потоками $N^a$, $N^b$. Объёмы $v^a$, $v^b$; часть заявок отменяется, если случайные $A_i$, $B_j$ превышают порог $\theta(T-\tau)$, зависящий от оставшегося времени. Интенсивности зависят от спредов маркетмейкеров и комиссии $d$ (экспоненциальная спецификация в духе Avellaneda–Stoikov): типично $\lambda^a=\lambda_0 e^{-c(\mu^p+\mu^q)}e^{-d}$ и $\lambda^b=\lambda_0 e^{c(\mu^p+\mu^q)}e^{-d}$.

2.1.3. Правило клиринговой цены

Чистый объём лимитных заявок при кандидате $x\gt 0$:

Чистый объём рыночных заявок $\mathrm{MO}_T$ — сумма не отменённых $v^a_i$ минус $v^b_j$. Клиринг максимизирует объём $\Leftrightarrow$ $\mathrm{LM}_T(P^{\mathrm{cl}}_T)+\mathrm{MO}_T=0$. Из линейности

Замечание 2.3. Цена определена п.н., если $K^p N^p_T+K^q N^q_T\gt 0$ (хотя бы одна стратегическая заявка). Иначе биржа берёт $P^*_T$. Поэтому стратегических акторов называют auction makers: длительность аукциона достаточна, чтобы хотя бы один вошёл (как у Jusselin et al., 2021).

2.1.4. Игрушечный пример

Без рыночных заявок ($v^a=v^b=0$). MM $p$ котирует вокруг 100, MM $q$ вокруг 90, оба с шагом 100 лотов на пункт: $Q^p(x)=100(x-100)$, $Q^q(x)=100(x-90)$. Клиринг $P^{\mathrm{cl}}=95$. Если $P^*=97.5$, $p$ покупает 500 по 95 вместо 97,5 и выигрывает $500\times 2.5=1250$; $q$ продаёт ту же величину и проигрывает ту же сумму. Нулевая сумма толкает $q$ к кривой $p$; клиринга может не быть (Derchu et al., 2023). Комиссии лечат этот дефект уже в однопериодной модели.

2.1.5. Политика ребейтов

Совокупные комиссии $d$ с нестратегических инвесторов перераспределяются стратегическим как терминальные $\xi^p$, $\xi^q$ — $\mathcal{F}_T$-измеримые выплаты, правила которых объявлены в $t=0$.

Замечание 2.4 (DeFi / Uniswap v4). Динамическое перераспределение собранных комиссий LP как функция активности рынка — архитектура AMM с hooks: динамические fee tiers и возврат MEV в конце блока. Фреймворк естественно переносится на DEX.

2.2. Математический каркас

Каноническое пространство: считающие процессы $N^a,N^b,N^p,N^q$ и броуновские $W,W^p,W^q$. Эталон $\mathbb{P}_0$: независимые BM и пуассоны интенсивности $\lambda_0$. Состояние $X_t\in\mathbb{R}^7$ агрегирует объёмы нестратегических покупок/продаж, эффективную цену, интегралы $P^i\,dN^i$ и счётчики $N^i$.

Определение 2.5 (аукционный рынок). $(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P}_0)$: $N^a,N^b$ — приходы нестратегических; $\sigma W$ — эффективная цена; $N^p,N^q$ — потоки маркетмейкеров, $\sigma W^p,\sigma W^q$ — идиосинкратический шум котировок.

Лемма 2.6 (Гирсанов). На фильтрованном пространстве пусть $N^1,\ldots,N^k$ — независимые считающие процессы с интенсивностями $\lambda^i$, $W^1,\ldots,W^\ell$ — независимые BM, $\varphi^i\ge -1$ предсказуемы, $\delta^j$ адаптированы, и выполнено условие типа Новикова (2.2). Тогда существует строго положительный мартингал $L$ (SDE с дрейфами BM и компенсаторами скачков), задающий $\mathbb{Q}\sim\mathbb{P}$; при $\mathbb{Q}$ интенсивности становятся $\lambda^i(1+\varphi^i)$, $d\widetilde W^i=dW^i-\delta^i dt$ — BM, общие скачки отсутствуют. Доказательство — приложение A (опущено).

Следствие 2.7 (управляемый аукцион). Управление $\alpha=(\lambda^p,\mu^p,\lambda^q,\mu^q)$ меняет меру так, что интенсивности маркетмейкеров равны выбранным $\lambda^i$, дрейфы котировок — $\mu^i$, а интенсивности нестратегических — $\lambda^a(\mu,d)$, $\lambda^b(\mu,d)$.

3. Дизайн ребейтов: principal–multi-agent

Биржа предлагает контракт $(\xi,d)$; агенты максимизируют ожидаемый PnL. Допустимые контракты $\mathcal{C}^{R_0}$ удовлетворяют reservation utilities $R_0^p$, $R_0^q$ (внешние опции — например, PnL на сосуществующем CLOB).

3.1. Равновесие Курно–Нэша аукционных мейкеров

Цель мейкера: терминальный payoff $g^i(X_T)$ от исполненных сделок + ребейт $\xi^i$ − квадратичный штраф $(\lambda^i_s-\lambda_0)^2/2$ за отклонение интенсивности от TWAP-бенчмарка.

Исполненный объём заявки по цене $P^i_t$: $Q^i(P^{\mathrm{cl}}_T)=K^i(P^i_t-P^{\mathrm{cl}}_T)$. Прибыль на заявку алгебраически $K^i(P^i_t-P^{\mathrm{cl}}_T)(P^*_T-P^{\mathrm{cl}}_T)$ и при покупке, и при продаже. Суммарно

Ценность в $t=0$:

Замечание 3.1. Комиссию $d$ платят только нестратегические, но она задаёт интенсивности $N^a,N^b$ и тем самым клиринг — косвенно бьёт по ценности мейкеров.

Ненулевая стохастическая дифференциальная игра. Равновесие Нэша $\mathrm{NE}(\xi,d)$:

3.1.1. Лучший ответ

При фиксированном $\alpha^q$ контракты incentive-compatible параметризуются процессом ценности $Y^{p,Y_0,Z,d}$ — BSDE с генератором $F^p(x,z,r,P,\alpha^q,d;\alpha^p)$ (скачки $g^p$ по всем семи координатам состояния, штраф интенсивности, компенсаторы) и семимерным $Z^p$. Оптимальный ответ — поточечный $\arg\sup F^p$.

Лемма 3.3. Фиксируем $\alpha^q\in\mathcal{A}^q$, $d\ge 0$. (i) Каждый incentive-compatible контракт $\xi^p$ есть терминал единственного $Y^{p,Y_0,Z,d}$. (ii) Обратно, при $\xi^p=Y_T$ оптимальное управление явно: $\hat\mu$ — корень уравнения с $\partial_{\mu^p}\lambda^a$, $\partial_{\mu^p}\lambda^b$ и скачками $g^p$, обрезанный в $[-\mu_\infty,\mu_\infty]$; $\hat\lambda=0\vee(\lambda_0+z^4+g^p(x+P^p e_4+e_5)-g^p(x))\wedge\lambda_\infty$. Доказательство — приложение B (опущено).

3.1.2. Равновесие Нэша

Множество $\mathcal{U}\subset\mathbb{R}^{7\times 2}$ — параметры $z$, при которых система лучших ответов $(FP)$ имеет неподвижную точку $(\hat\alpha^p,\hat\alpha^q)$. Замечание 3.4: если ребейты индексированы только активностью инвесторов ($z^{k,i}=0$ для $k\ge 3$) и интенсивности экспоненциальны, равновесие по спредам сводится к $\mu^p+\mu^q=\ln\gamma/c$ при подходящем $\gamma\gt 0$.

Теорема 1. Для $\xi\in\Xi$ и $d\ge 0$ эквивалентны: (i) $\mathrm{NE}(\xi,d)\neq\emptyset$; (ii) существуют единственные $Y_0\in\mathbb{R}^2$ и предсказуемый $Z\in\mathcal{U}$ такие, что $\xi^i=Y^{i,Z,d}_T$, где $Y^i$ — динамика с интегралами $Z^{k,i}$ против $dN^a-\lambda_0 dt$, $dN^b$, $dW$, $dN^p$, $dW^p$, $dN^q$, $dW^q$ минус $\int F^i(\ldots;\hat\alpha^i)\,ds$, и $\hat\alpha$ решает $(FP)$. Тогда равновесный профиль совпадает с этой неподвижной точкой.

Следствие 3.5 (симметрия). При $K^p=K^q$, $R^p_0=R^q_0$, $\lambda^a=\lambda_0 e^{-c(\mu^p+\mu^q)}e^{-d}$, $\lambda^b=\lambda_0 e^{c(\mu^p+\mu^q)}e^{-d}$ и симметричном $Z$ ($Z^{1,p}=Z^{1,q}$ и т.д.) равновесие существует, если есть $\gamma\gt 0$ из (3.3); тогда $\hat\mu^p_t+\hat\mu^q_t=\ln\gamma/c$ и интенсивности как в лемме 3.3 с $Z^{4,p}$, $Z^{6,q}$.

Для рынка важен суммарный ценовой импакт двух трейдеров, а не индивидуальные котировки: $\mathrm{NE}$ содержит континуум пар $(\mu^p,\mu^q)$ с фиксированной суммой.

4. Задача биржи: оптимальные ребейты и комиссия

Биржа минимизирует неэффективность (квадрат отклонения клиринга от $P^*$), минимизирует выплаченные стимулы и максимизирует собранные комиссии:

При множественных равновесиях — «оптимистический» отбор $\mathrm{NEI}(\xi,d)$: агенты играют равновесие, наилучшее для биржи (рекомендованные цены и интенсивности как координирующий сигнал; Elie and Possamaï, 2019; Holmstrom and Milgrom, 1987).

$R_0$ — ожидаемый PnL на сосуществующем CLOB по справедливой $P^*$ за время $T$. Внутренняя задача при фиксированном $d$: $\rho(d)=\min_{\xi}\rho(\xi,d,\hat\alpha)$; глобальный оптимум — по скаляру $d$. Оптимальный контракт сводится к паре $(Y_0,Z)$; при (4.2) можно взять $Y_0=0$ и искать $Z(t,X,Y,r,P;d)$.

Теорема 2 оригинала (верификация): оптимальный $Z$ — градиент решения высокоразмерной integro-HJB (4.7) с пуассоновскими скачками. Полная запись оператора $\widetilde{\mathcal{L}}$ — в оригинале.

5. Численные методы: Deep BSDE для высокоразмерных integro-HJB

Определение 5.1. Вязкостное решение приведённой PDE (4.7) на $S_{\mathrm{red}}=\mathbb{R}^7\times\mathbb{R}^2\times\mathbb{R}^2$: суб- и суперрешения с тестовыми функциями полиномиального роста; терминал $g(\Theta;d)=(P^{\mathrm{cl}}-P^*)^2-d(x_1+x_2)$ в координатах состояния (с регуляризацией знаменателя $K^0 P^*_0$).

Лемма 5.2. На ограниченном $S_m$ функции $g$, $F^i$ равномерно липшицевы по $\Theta,d$.

Допущение (L): оптимизаторы $\hat\alpha$ теоремы 1 равномерно липшицевы (выполняется в симметрии следствия 3.5).

Теорема 3. При (L) существует единственное вязкостное решение (4.7).

Нейросеть аппроксимирует $Z(t,x,y,r,p;d)$; лосс — цель биржи (универсальная аппроксимация, Hornik et al., 1989). Алгоритм: дискретизация $[0,T]$ на $n$ шагов; $Z_t=20\cdot\phi(t,X_t,Y_t,P_t)$ (масштаб 20, чтобы выполнялось (3.4) и существовал Нэш); на каждом шаге найти $\hat\alpha_t$, продвинуть $(X,Y,P)$; лосс — среднее $|P^{\mathrm{cl}}-P^*|^2+Y^p_T+Y^q_T-d(X^1+X^2)$ по батчу $M$.

Калибровка: $T=10$ (секунды или минуты); $K=K^0=K^p=K^q=1$ (спред в 1 USD между клирингом и заявкой даёт дополнительную акцию); $v^a=v^b=1$, $\lambda_0=100$; $c=0.1$; reservation $R_0=[100-35000,\,100-35000]$ (минимум 100 USD с аукциона плюс запас на отклонение $\lambda$ от $\lambda_0$). $P^*_0$ и $\sigma$ по Yahoo Finance, Apple и Alphabet, 2 окт. – 29 дек. 2023 (метод Mastrolia and Xu, 2024, §2.4): Apple $P^*_0=184.39$, $\sigma=1.76$; Alphabet $P^*_0=134.24$, $\sigma=2.11$. $\lambda_\infty=200$, $\mu_\infty=60$. Среди пар с $\mu^p+\mu^q=\ln\gamma/c$ стабильно выбирается симметричная $(0.5,0.5)$; контракт симметричен. Сеть: $n=50$, $M=256$, 2 скрытых слоя (8 и 7 нейронов), sigmoid, Adam.

Оптимальная комиссия, минимизирующая $\rho(d)$: $\hat d=3.0$ для Apple, $\hat d=2.0$ для Alphabet. Сначала рост $d$ снижает $\rho$ за счёт выручки; после оптимума высокие комиссии отпугивают нестратегических и режут выигрыш биржи.

Рисунок недоступен для встраивания — смотреть в оригинале

Все компоненты компенсации $Z$ отрицательны — мониторинг снайпинга, стимул приходить раньше. $Z^1_t$, $Z^2_t$ почти константы по $t$. $Z^4_t$ и $Z^6_t$ (интенсивности) сначала кратко растут, затем убывают: биржа не хочет ни слишком раннего, ни слишком позднего прихода. Стратегические снижают $\hat\lambda$ со временем. Спреды $\hat\mu^p,\hat\mu^q$ сходятся к нулю — котировки ближе к $P^*$, меньше вводящих в заблуждение сигналов. Имбаланс нестратегических $\lambda^a$ и $\lambda^b$ сужается. Непрерывная часть стимула $-\int F$ и полная $Y_t$ растут к концу аукциона: мейкеры менее склонны участвовать, биржа компенсирует. Практический рецепт: стимул как обратная функция готовности участвовать / текущего выигрыша.

Рисунок недоступен для встраивания — смотреть в оригинале

Рисунок недоступен для встраивания — смотреть в оригинале

Без комиссий и ребейтов $(d,\xi)=(0,0)$: $\rho=454$ (Apple) и $487$ (Alphabet). С оптимумом $(\hat d,\hat\xi)$: $\rho(\hat d)=-45119$ (Apple) и $-44003$ (Alphabet). Ожидаемый квадрат спреда $\mathbb{E}|P^{\mathrm{cl}}_T-P^*_T|^2$: без политики 454 / 487; с оптимумом 144 / 127. Рекомендация: внедрять и комиссию, и ребейт — и для биржи, и для эффективности рынка.

Доказательства лемм 2.6 и 3.3 (приложения A–B оригинала) опущены.

Сноски

1. При нулевой риск-аверсии следование бенчмарку совпадает с «минимальной вариацией» исполнения. ↩

Литература

• Avellaneda, M. and Stoikov, S., High-frequency trading in a limit order book. Quantitative Finance, 8(3):217–224, 2008.
• Baldacci, B., Bergault, P. and Possamaï, D., A mean-field game of market-making against strategic traders. SIAM J. Financial Math., 14(4):1080–1112, 2023.
• Baldacci, B., Possamaï, D. and Rosenbaum, M., Optimal make-take fees in a multi market-maker environment. SIAM J. Financial Math., 12(1):446–486, 2021.
• Barles, G. and Imbert, C., Second-order elliptic integro-differential equations: viscosity solutions’ theory revisited. Ann. IHP (C), 25(3):567–585, 2008.
• Björk, T., Point Processes and Jump Diffusions. Cambridge University Press, 2021.
• Budish, E., Cramton, P. and Shim, J., The high-frequency trading arms race: Frequent batch auctions as a market design response. QJE, 130(4):1547–1621, 2015.
• Carmona, R., Applications of mean field games in financial engineering. 2022.
• Cartea, Á., Jaimungal, S. and Penalva, J., Algorithmic and High-Frequency Trading. CUP, 2015.
• Cont, R., Stoikov, S. and Talreja, R., A stochastic model for order book dynamics. Operations Research, 58(3):549–563, 2010.
• Cvitanić, J., Possamaï, D. and Touzi, N., Dynamic programming approach to principal–agent problems. Finance and Stochastics, 22:1–37, 2018.
• Dayanıklı, G. and Lauriere, M., Deep learning for mean field games and stochastic control. 2025.
• Derchu, J. et al., Hybrid markets and batch auctions. 2023, 2024.
• Du, S. and Zhu, H., What is the optimal trading frequency in financial markets? RES, 2017.
• Duffie, D. and Zhu, H., Size discovery. RFS, 30(4):1095–1150, 2017.
• Elie, R. and Possamaï, D., Contracting theory with competitive agents. 2019.
• Euch, O. E. et al., Optimal make-take fees in a dynamic dealer market. 2021.
• Guéant, O., Lehalle, C.-A. and Fernandez-Tapia, J., Dealing with the inventory risk. Math. Financ. Econ., 2013.
• Han, J. and Long, J., Convergence of the Deep BSDE method. 2020.
• Henry-Labordere, P., Deep primal-dual algorithm for BSDEs. 2017.
• Hernández-Santibáñez, N., Principal-multi-agent contracts. 2024.
• Holmstrom, B. and Milgrom, P., Aggregation and linearity in the provision of intertemporal incentives. Econometrica, 55:303–328, 1987.
• Hornik, K. et al., Multilayer feedforward networks are universal approximators. 1989.
• Jusselin, P., Mastrolia, T. and Rosenbaum, M., Optimal auction duration. 2021.
• Klemperer, P. and Meyer, M., Supply function equilibria. Econometrica, 1989.
• Mastrolia, T. and Xu, T., related calibration, 2024.
• Milgrom, P., Auction Market Design, 2021; Wilson, R., 1977; Milgrom, P., 1979.
• Sannikov, Y., A continuous-time principal-agent model. RES, 2008.
• Wah, E. and Wellman, M., Latency arbitrage, 2013; Farmer and Skouras, 2012.

Оригинал статьи: Mastrolia and Xu, «Optimal Rebate Design: Incentives, Competition and Efficiency in Auction Markets», arXiv:2501.12591 · лицензия CC BY 4.0