Децентрализованные рынки предсказаний и букмекерские линии

6/10

Ключевые слова: DeFi, FinTech, automated market makers, рынки предсказаний, букмекерская линия.

Аннотация

Рынки предсказаний позволяют трейдерам делать ставки на потенциальные исходы будущих событий — погоду, политику, спорт, экономику. В этой работе мы рассматриваем децентрализованный фреймворк рынков предсказаний на базе automated market makers (AMM). Конкретно, мы строим liquidity-based AMM для рынков предсказаний, который при разумных аксиомах на базовой функции полезности обеспечивает содержательные финансовые свойства стоимости ставки и результирующего ценового оракула. Важно, что мы изучаем, как ликвидность может быть добавлена в пул или изъята из AMM, и какие последствия это имеет для поведения рынка. В децентрализованной постановке мы дополнительно предлагаем финансово осмысленные комиссии за торговлю, компенсирующие поставщикам ликвидности их роль на рынке.

1. Введение

1.1. Мотивация

Decentralized Finance (DeFi) — парадигма финансового посредничества на блокчейне — открывает позиции финансовых посредников индивидуальным инвесторам. До «крипто-зимы» мая 2022 г. совокупная стоимость DeFi-проектов достигала \$180 млрд. Automated market makers (AMM) — заметный пример успешного DeFi-приложения: они создают spot-рынки между цифровыми активами, удерживая пулы ликвидности в равновесии. Как децентрализованный рынок, AMM позволяют инвесторам объединять активы в пул в обмен на долю комиссий от торговли с пулом.

Хотя AMM сейчас считаются ключевым компонентом DeFi, идея автоматического маркетмейкера впервые была предложена для рынков предсказаний (см. обзор литературы в §1.2 или [37, §1.1]). Однако в контексте рынков предсказаний такие AMM описывались только как централизованные рынки. Цель этой работы — переосмыслить prediction market AMM с акцентом на децентрализацию: объединить концепции AMM для spot-рынков и рынков предсказаний. Децентрализованная парадигма требует аккуратного учёта изменения ликвидности в AMM (чтобы инвесторы могли добавлять или изымать ликвидность) между открытием рынка и наступлением реализованного события.

Определив понятие рынка предсказаний, мы изучаем свойства этих AMM — стоимость для бетторов и котируемую pricing measure. Многие свойства изучались в централизованной постановке (§1.2), но все известные авторам работы предполагают конечное множество исходов и не учитывают явно влияние ликвидности. Здесь мы обобщаем рынки на общие вероятностные пространства с явной зависимостью от денежных резервов.

Из-за возможности инвестировать в AMM важно количественно задать комиссии трейдерам. Как показано в [7], наивное определение транзакционных издержек может неожиданно повлиять на прибыль AMM. Поэтому мы исследуем эти вопросы в контексте рынков предсказаний; прежние работы обходили их за счёт централизованности рынка.

Математическое построение децентрализованных рынков предсказаний открывает новые продукты — например, децентрализованные букмекерские линии (sports books) с существенно меньшими издержками, чем у централизованных. На протяжении работы мы держим в фокусе практичность реализации и операционные расходы.

1.2. Обзор литературы

Рынки предсказаний извлекают вероятности событий через агрегацию убеждений инвесторов [14]. Если инвестор по-другому оценивает вероятность, он может торговать, захватывая расхождение и сдвигая котируемые вероятности. Применения — прогноз погоды [31], экономика [32]. Даже в конечном пространстве состояний байесовское обновление вероятностей аналитически и вычислительно сложно [5, 20, 21]. На практике используют scoring rule; повторяющиеся игры со scoring rule ведут к равновесию Нэша [25] и сходимости к общей оценке [30, 22].

Финансовые [26], спортивные [24] и избирательные рынки предсказаний работают хорошо, но иногда дают иррациональные цены при низкой ликвидности. Правильная структура рынка — scoring rule с подходящими свойствами (логарифмический scoring rule Hanson [23], байесовский фреймворк [16]) — улучшает качество. Логарифмический scoring rule Hanson реализован в динамическом рынке предсказаний с хорошими результатами [35]; обобщён и охарактеризован как utility functions в [13], где также выделено свойство bounded loss. [34] подчёркивает liquidity sensitivity и другие желательные свойства. Обзоры — [39, 38].

Scoring rules для рынков предсказаний образуют AMM. Недавно AMM широко используются как децентрализованные рынки цифровых активов [41, 1]. Ключевая идея — constant function для алгоритма свопа [3, 27, 2, 15, 11, 9]. Структура многих DeFi-AMM дана в [40, 4]; обобщена и получила аксиоматические основания в [37, 7, 19].

Мы не сравниваем классическую централизованную структуру с предлагаемым децентрализованным фреймворком. Фокус — ключевые свойства: надёжный контрагент на всём жизненном цикле рынка и сбор комиссий за эту услугу, при этом инвесторы могут объединять ресурсы и выступать пассивными инвесторами.

1.3. Основные вклады

• Обобщение классической постановки prediction market AMM Hanson [23] с конечного на общее вероятностное пространство по подходу [13, 34] — AMM как utility functions с аксиоматическим построением. Исследуем свойства cost function и pricing oracle; с предложенной структурой pricing measure гарантированно существует между bid и ask oracles.
• Формализация децентрализованного предоставления ликвидности для prediction market AMM: добавление и изъятие ликвидности до открытия рынка и после размещения ставок; влияние вариаций ликвидности на поведение рынка. Добавленная ликвидность — сама по себе ставка; насколько нам известно, прежние работы не допускали добавления ликвидности после открытия рынка.
• Новая структура комиссий, сохраняющая важные финансовые свойства cost function и позволяющая LP получать прибыль. Комиссии для AMM изучались через арбитраж или частоту/волатильность торговли [29, 28, 8], но это плохо подходит для prediction AMM. Явное определение комиссий для рынков предсказаний, насколько нам известно, отсутствовало.²

² Другие работы (напр. [33]) рассматривают неявный bid-ask spread; неявное построение не гарантирует безрисковую прибыль маркетмейкера от транзакций.

1.4. Структура работы

§2 — обобщение и обобщение прежних работ. §3.1 — предлагаемая структура prediction market AMM в аксиоматическом фреймворке; §3.2 — математические и финансовые свойства cost function и pricing oracle; bid и ask oracles с pricing probability measure между ними. §4 — децентрализованное предоставление ликвидности и снижение price slippage. §5 — явный сбор комиссий на ставках. §6 — два численных кейса: Super Bowl LVII и котирование цен опционов. §7 — заключение.

2. Обобщённая структура automated market makers

AMM — пул ликвидности (депозиты LP), против которого трейдеры исполняют сделки по ценам алгоритмов без участия человека. В духе DeFi алгоритмы AMM эквивалентны utility functions [37, 7]; для рынков предсказаний это изучалось в [12]. Цель — показать, как prediction market AMM можно построить с явным учётом действий, рисков и вознаграждений LP, гарантируя ликвидность для выплат по выигрышным ставкам. AMM принимает ставки после накопления ликвидности и работает до фиксированного времени или события, когда выплачиваются выигрыши.³ §4 — новое предоставление ликвидности (или изъятие) после начала приёма ставок. Выплаты выигрышей идут из пула, поэтому позиция LP inherently risky; LP компенсируются комиссиями (§5). Бетторы получают payoff по ставке; LP делят комиссии и остаток ликвидности после всех выплат.

³ Явно не моделируем эволюцию информации (напр. in-game sports betting).

Начинаем с обобщения market maker Hanson [23] в utility function framework [12] с явным учётом денежных резервов.

Определение 2.1. Пусть $(\Omega, \mathcal{F}, P)$ — вероятностное пространство.⁴ $L^\infty$ — пространство равномерно ограниченных случайных величин, $L^\infty_+ := \{x \in L^\infty \mid x \geq 0 \text{ a.s.}\}$. Automated market maker (AMM) — функция полезности $U : L^\infty_+ \times \mathbb{R}_+ \to \mathbb{R} \cup \{-\infty\}$, не возрастающая по первому (случайному) аргументу и не убывающая по второму (денежным резервам).

⁴ $P$ — физическая мера, не используется в анализе, кроме примеров.

AMM $U(\pi, L)$ интерпретируется как полезность позиций ставок $\pi \in L^\infty_+$ и денежных резервов $L \geq 0$. $\pi(\omega)$ — выплата маркетмейкера при исходе $\omega \in \Omega$; $L \geq 0$ — капитал для eventual payouts. Ставки с отрицательными выплатами (продажа ставки AMM) учитываются покупкой комплемента со сдвигом резервов (2.1).

Классическая цель prediction market — цена новой входящей ставки $x \in L^\infty$ в зависимости от состояния $(\pi, L)$. В отличие от стандартного рынка, где ключевую роль играет cost function, здесь — utility indifference из DeFi [37, 7]: AMM не должен быть хуже после размещения ставки (и получения её стоимости), чем до. Отсюда cost function любой ставки. Чтобы разместить ставку с выплатой $x \in L^\infty$, беттор платит

при начальных позициях $\pi \in L^\infty_+$ и резервах $L \geq 0$. $\mathbf{1} \in L^\infty$ равен 1 a.s. — минимальная дополнительная наличность для неубывания полезности. Случайная часть ставки $(x - \operatorname{ess\,inf} x \cdot \mathbf{1})$ отделена от влияния на резервы $(-\operatorname{ess\,inf} x)$: трейдер сам обеспечивает cash reserves для постоянной части $(\operatorname{ess\,inf} x \cdot \mathbf{1})$. Покупка ставок — $x \geq 0$ a.s.; $P(x \lt 0) \gt 0$ — продажа ставки AMM (гарантированный платёж сегодня в обмен на платёж при наступлении события).

Замечание 1. Цена покупки $C(x; \pi, L)$ — utility indifference price [10]. При строгой монотонности $U$ по второму аргументу $c = C(x; \pi, L)$ — единственное решение $U(\pi + x - \operatorname{ess\,inf} x \cdot \mathbf{1}; L + c - \operatorname{ess\,inf} x) = u(\pi, L)$ при достаточных резервах. Формулировка (2.1) даёт тривиальное существование и единственность cost для всех $(x; \pi, L) \in L^\infty \times L^\infty_+ \times \mathbb{R}_+$.

AMM также даёт pricing oracles $P^a, P^b : L^\infty \times L^\infty_+ \times \mathbb{R}_+ \to [0,1]$ — marginal cost положительных и отрицательных ставок:

Желательно $P^b(\cdot; \pi, L) \leq P^a(\cdot; \pi, L)$ и существование меры $Q$ с $P^b \leq \mathbb{E}_Q[\cdot] \leq P^a$. $Q$ зависит от $(\pi, L)$. При достаточной гладкости cost bid-ask spread исчезает:

Это выбирает единственную меру $Q$: $\mathbb{E}_Q[x] = P(x; \pi, L)$, т.е. $Q(A) := P(I_A; \pi, L)$ для $A \in \mathcal{F}$. Котированная цена отличается от $C(x; \pi, L)$ из-за price slippage в (2.1).

Пример 2.2. Классическая структура Hanson AMM [23] с логарифмическим scoring rule [12]:

для $\gamma \gt 0$ ($\log(x) = -\infty$ при $x \leq 0$). Стоимость покупки ставки с выплатой $x \in L^\infty$:

Pricing measure: $\frac{dQ}{dP} = \frac{e^{\gamma\pi}}{\mathbb{E}[e^{\gamma\pi}]}$ при $(\pi, L)$; $Q$ не зависит от $L$, но зависит от $\pi$. На конечном $(\Omega_N, 2^{\Omega_N}, P_N)$, $P_N(\omega) = 1/N$, cost Hanson часто записывают интегралом marginal costs. Hanson AMM ценообразует независимо от резервов, но на практике нужны достаточные резервы: $L \geq \log(N)/\gamma + \operatorname{ess\,sup}\pi$ для solvency. Начальное условие $\gamma \geq \log(N)/L_0$ достаточно для ликвидности на всём горизонте (path independence, теорема 3.4(4)).

Обобщённая структура широка и допускает недостаток резервов ($L \lt \operatorname{ess\,sup}\pi$). Далее фокус на $U(\pi, L) := u(L\mathbf{1} - \pi)$ для непрерывной неубывающей $u : L^\infty_+ \to \mathbb{R} \cup \{-\infty\}$ — cash reserves-based AMM, гарантирующие достаточные резервы и другие полезные свойства [12]. Явный учёт резервов позволяет динамику и pooling инвесторами (§4) — более отзывчивое предоставление ликвидности и снижение price impact.

3. Liquidity-based automated market makers

Изучаем AMM вида $U(\pi, L) := u(L\mathbf{1} - \pi)$ для $u : L^\infty_+ \to \mathbb{R} \cup \{-\infty\}$. Prediction market AMM задаётся utility $u$, cost выводится через utility indifference. §3.1 — базовые аксиомы; §3.2 — следствия для ставок. Обозначение: $\Pi := L\mathbf{1} - \pi$ — оставшаяся ликвидность по каждому исходу; при желаемых аксиомах $\operatorname{ess\,inf}\Pi \gt 0$ (при $L_0 \gt 0$).

3.1. Построение

Определение 3.1. Utility function $u : L^\infty_* := \{x \in L^\infty_+ \mid \operatorname{ess\,inf} x \gt 0\} \to \mathbb{R}$ — liquidity-based automated market maker [LBAMM], если:

1. $u$ upper semi-continuous на $L^\infty_+$ в weak* топологии;
2. $u$ строго возрастает;
3. $u$ квазивогнута (quasiconcave).

При $\Pi \in L^\infty_*$ cost покупки payoff $x \in L^\infty$:

Пример 3.2. На $(\Omega_N, 2^{\Omega_N}, P_N)$, $P_N(\omega_i) = 1/N$, логарифмическая utility $u(\Pi) = \mathbb{E}[\log(\Pi)] = \frac{1}{N}\sum_i \log(\Pi(\omega_i))$ при $\min\Pi \gt 0$ — prediction market версия Uniswap V2 [1, 7]. Cost удовлетворяет constant product rule:

Для $N = 2$:

Реализовано в §6.1.

Пример 3.3. На общем $(\Omega, \mathcal{F}, P)$ строго возрастающая concave weak* u.s.c. $u$ с $\operatorname{dom} u \supseteq L^\infty_*$ (напр. $u(x) = \mathbb{E}[\log(x)]$ или Liquid StableSwap $u(x) = \mathbb{E}[\log(x)] + \lambda\log(\mathbb{E}[x])$, $\lambda \geq 0$ [7]). При $\epsilon \in (0,1)$:

удовлетворяет определению 3.1. На конечном пространстве при $\epsilon \leq 1/N$: $\bar u_\epsilon \equiv u$. Использовано в §6.2.

3.2. Свойства

Теорема 3.4. Пусть $u : L^\infty_* \to \mathbb{R}$ — LBAMM, $\Pi \in L^\infty_*$, $C : L^\infty \to \mathbb{R}$ — associated payment function.

1. No arbitrage: $C(x) \in [\operatorname{ess\,inf} x, \operatorname{ess\,sup} x]$; равенство границ только при $x = c\mathbf{1}$, $c \in \mathbb{R}$.
2. Liquidity-bounded loss: $u(\Pi - x + C(x)\mathbf{1}) = u(\Pi)$, $\Pi - x + C(x)\mathbf{1} \in L^\infty_*$ для любого $x \in L^\infty$.
3. Выпуклость, монотонность, l.s.c.: $x \mapsto C(x)$ строго возрастает, выпукла, lower semi-continuous (weak*).
4. Path independence: $C(x+y; \Pi) = C(x; \Pi) + C(y; \Pi - x + C(x; \Pi)\mathbf{1})$; следствие: $C(x + c\mathbf{1}; \Pi) = C(x; \Pi) + c$.

Замечание 3. (1) Связь с utility indifference и nonlinear expectation. (2) «Бесконечная ликвидность» — AMM не дефолтит: $\Pi(\omega) - x(\omega) + C(x) \gt 0$ a.s. (3) No round-trip arbitrage: $C(x) + C(-x; \Pi - x + C(x)\mathbf{1}) = 0$.

Следствие 3.5. $C$ — Lipschitz с константой 1 по размеру ставки.

Ask и bid pricing oracles:

Теорема 3.6. $P^a(x) \geq P^b(x)$; существует $Q \sim P$ с $P^b(x) \leq \mathbb{E}_Q[x] \leq P^a(x)$ для всех $x \in L^\infty$. $P^a$ — наибольшая coherent risk measure, dominated by $C$; при Fréchet-дифференцируемости $u$ bid-ask spread исчезает.

Теорема 3.7. Риск-нейтральный беттор с субъективной мерой $Q \ll P$, решающий $\sup_{x \in L^\infty} \mathbb{E}_Q[x - C(x; \Pi)\mathbf{1}]$. Для $x^* \in \arg\max$: $P^b(x; \Pi - x^* + C(x^*; \Pi)\mathbf{1}) \leq \mathbb{E}_Q[x] \leq P^a(x; \Pi - x^* + C(x^*; \Pi)\mathbf{1})$. LBAMM извлекает субъективные убеждения риск-нейтрального беттора — свойство Hanson [23]. При $Q \in \mathcal{M}_* := \{Q \ll P \mid \operatorname{ess\,inf} \frac{dQ}{dP} \gt 0\}$ оптимум непуст.

4. Децентрализованный пул ликвидности

AMM децентрализован, если пул — инвестиции разных лиц и сущностей; инвесторы могут добавлять или изымать ликвидность в любой момент до реализации $\omega$, даже после размещения ставок.

До открытия рынка. Инвестор вносит $\ell \gt 0$ и получает при завершении рынка долю $\ell/L$ от $\Pi(\omega)$ ($L \gt 0$ — начальная ликвидность). Предоставление ликвидности — ставка с payoff, зависящим от состояния рынка.

После открытия. Добавление или изъятие ликвидности — особые ставки, динамически подстраивающиеся к состоянию рынка. Предоставление ликвидности должно снижать cost торговли для контрагента [7]: pooling так, чтобы pricing oracles не менялись.

Пусть $\ell \in L^\infty_+ \setminus \{0\}$ — позиция, которую LP готов продать за долю $\alpha \gt 0$ оставшейся ликвидности $\Pi$, гарантируя точность доли после собственной ставки $x = \alpha(\Pi - x + \ell)$, т.е. $x = \frac{\alpha}{1+\alpha}(\Pi + \ell)$. Inverse problem: доля $\alpha$ покупается при $0 = C\bigl(\frac{\alpha}{1+\alpha}(\Pi + \ell) - \ell; \Pi\bigr)$.

Пропозиция 4.1. Для $\Pi \in L^\infty_*$, $\ell \in L^\infty_+ \setminus \{0\}$ существует единственная $\alpha^*(\Pi, \ell) \gt 0$:

Аналогично для изъятия $\ell \in L^\infty_- \setminus \{0\}$, $\Pi + \ell \in L^\infty_*$: единственная $\alpha^*(\Pi, \ell) \in (-1, 0)$. Ставка $\frac{\alpha^*}{1+\alpha^*}(\Pi + \ell)$ rebalance'ится, сохраняя долю $\alpha^*$ оставшейся ликвидности. Эффективная ликвидность $\Pi^* := \frac{1}{1+\alpha^*}(\Pi + \ell)$.

Пропозиция 4.2. После provision/withdrawal с $\alpha^* \gt -1$ cost торговли: $x \mapsto (1 + \alpha^*) C\!\bigl(\frac{1}{1+\alpha^*} x; \Pi^*\bigr)$.

Следствие 4.3. Пропорциональное provision $\ell = t\Pi$, $t \gt -1$: $\alpha^*(\Pi, t\Pi) = t$; pricing oracles $P^b, P^a$ инвариантны к provision ($t \gt 0$) или withdrawal ($t \in (-1, 0)$). Swap — доля текущего пула за ту же долю финального пула (плюс комиссии); без сделок инвестор получает вложение обратно.

Лемма 4.4. Cost покупки $x$ не возрастает при увеличении provision $\alpha$: $\alpha \mapsto (1+\alpha) C\!\bigl(\frac{1}{1+\alpha} x\bigr)$ не возрастает на $(-1, \infty)$.

Замечание 5. Фиксированное provision $\ell = \bar\ell \cdot \mathbf{1}$ (инъекция cash) обычно меняет pricing oracles и может удорожить ставку $x$ — вопреки идее liquidity provision. Крипто-AMM принимают ликвидность только при инвариантности oracles [7].

5. Структура комиссий

До сих пор — без явных комиссий маркетмейкера. Определяем сбор комиссий с сохранением свойств §3.2. Из-за translativity AMM indifferent к almost sure bets; комиссии только на случайной части $x - \operatorname{ess\,inf} x \cdot \mathbf{1}$. При уровне комиссии $\gamma \geq 0$:

AMM собирает $\gamma C(x - \operatorname{ess\,inf} x \cdot \mathbf{1}; \Pi)$ для LP. $\gamma = 0$ — no-fee; cap $\gamma \leq 1$ (замечание 10). Структура согласуется с DeFi [3, 27]: трейдер «продаёт» cash за случайный payoff.

Пропозиция 5.1. Для $x \notin \{c\mathbf{1}\}$ mapping $\gamma \mapsto C_\gamma(x; \Pi)$ строго возрастает; $C_\gamma(c\mathbf{1}; \Pi) = c$ для любого $\gamma \geq 0$.

Комиссии $\gamma C(x - \operatorname{ess\,inf} x \cdot \mathbf{1}; \Pi) \geq 0$ сразу распределяются LP; пул обновляется $\Pi \to \Pi - x + C(x; \Pi)\mathbf{1}$ как без комиссий — §4 не затронут.

Следствие 5.2. $C_\gamma$ удовлетворяет: (1) no arbitrage с расширенными границами; (2) increasing utility при $\gamma \gt 0$; (3) выпуклость и монотонность на $(z, c)$ с $\operatorname{ess\,inf} z = 0$; (4) l.s.c. и Lipschitz-1; (5) path independence при $\operatorname{ess\,inf}[x+y] = \operatorname{ess\,inf} x + \operatorname{ess\,inf} y$ (не полная path independence no-fee setting — иначе round-trip без комиссий для LP).

Модифицированные pricing oracles:

$P^b_\gamma \leq P^b \leq P^a \leq P^a_\gamma$; комиссии могут быть асимметричны на buy/sell. Замечание 10: эффективные границы требуют $\gamma \in [0, 1]$ для корректного порядка bid/ask.

6. Кейсы

6.1. Super Bowl LVII

На Super Bowl LVII 2023 поставлено \$16 млрд. Money line котирует прибыль от выигрышной ставки \$100 (underdog) или размер ставки для выигрыша \$100 (favorite). Ask-вероятность из money line $m$: $P^a = \frac{-m I_{\{m\lt 0\}} + 100 I_{\{m \geq 0\}}}{|m| + 100}$.

Исходы Super Bowl LVII: $\Omega = \{\mathrm{KC}, \mathrm{PHI}\}$ (Kansas City Chiefs, Philadelphia Eagles). Данные money line Bookmaker¹⁷ за 2 недели до игры. На рис. 1a — bid/ask implied probabilities для KC; $P^b(I_{\mathrm{PHI}}) = 1 - P^a(I_{\mathrm{KC}})$, $P^a(I_{\mathrm{PHI}}) = 1 - P^b(I_{\mathrm{KC}})$.

6.1.1. Детерминированный бэктест

Mid-price — нормализованные ask, сумма = 1. Oracle $P(I_{\mathrm{KC}})$ (рис. 1a) — основа бэктеста. Две utility: (i) $\mathbb{E}[\log]$ (пример 3.2); (ii) Liquid StableSwap $u(x) = \mathbb{E}[\log(x)] + \lambda \log(\mathbb{E}[x])$, $\lambda = 2$ [7]. LBAMM воспроизводят mid-price Bookmaker без комиссий. При начальных резервах $L \gt 0$:

для логарифмической utility; для Liquid StableSwap — численно. $\Pi$ линейно масштабируется с $L$; P&L в % от начальных резервов. Оставшаяся ликвидность — рис. 1d.

Log utility, $\gamma = 1\%$ (рис. 1b–c): P&L LP сильно зависит от исхода — ~2,3% return перед игрой; победа KC → ~5,4%; counterfactual PHI → ~0,7% loss. При $\gamma = 1{,}3\%$ break-even при PHI и >6% при KC.

Liquid StableSwap, $\gamma = 1\%$ (рис. 1e–f): ~6,5% return от комиссий перед игрой; KC → ~15,7%; PHI → 2,5% loss. При $\gamma = 1{,}38\%$ break-even при PHI, >18,1% при KC.

6.1.2. Стохастический бэктест

Mid-price внешнего sports book следует броуновскому движению от начального mid-price с reflection в bid-ask Bookmaker. Сделки — только при арбитраже между истинным (стохастическим) процессом и oracle с учётом $\gamma$. Фокус — динамический Liquid StableSwap $u_t(x) = \mathbb{E}_{P_t}[\log(x)] + \lambda \log(\mathbb{E}_{P_t}[x])$, $\lambda = 2$; $P_t(\mathrm{KC})$ — mid-price Bookmaker в $t$. Stable region AMM отслеживает внешний mid-price — максимизация комиссий; динамический AMM такого типа, насколько нам известно, ранее не предлагался.

Конкурирующие эффекты: число сделок падает с ростом $\gamma$ (меньше арбитража). $\gamma = 0$ — нет комиссий; $\gamma = 5\%$ — нет сделок (комиссия превышает spread Bookmaker). Оптимальная $\gamma$ убывает с волатильностью: при высокой $\sigma$ больше транзакций доминирует над комиссией за сделку. Оптимум ~$\gamma \approx 1\%$ — expected return 1–6% за 2 недели при bid-ask уже Bookmaker. Win-win: LP оптимизируют прибыль, takers получают более эффективный рынок. Оптимальные AMM-комиссии монотонны по spread Bookmaker, но всегда ниже внешних.

6.2. Финансовые деривативы

LBAMM для европейских опционов с фиксированной экспирацией на общем вероятностном пространстве. Scaled/shifted log utility (пример 3.3, $\epsilon = 10^{-6}$), $L = 100$, начальное lognormal распределение цены на maturity. Payoff дериватива — ставка на исход; LBAMM — utility indifference pricing [10]. Нет рынка underlying для хеджа; начальная ликвидность компенсирует отсутствие хеджа и гарантирует выплату на maturity. Опционы — классические ставки на исходы.

Торговля прекращается за фиксированное время до экспирации, чтобы рынок не схлопнулся в Dirac measure. Liquidity-bounded loss → любой measurable payoff $x \in L^\infty$.

Black–Scholes для lognormal setup: \$0,0997 за контракт (цена хеджа под risk-neutral measure) vs utility indifference price без хеджа.

Call options — unbounded payoff, вне $L^\infty$; cap $x_T := \min\{(S-K)^+, T\}$ как в risk measurement [17].

Замечание 11. Рассмотрен фиксированный strike; LBAMM позволяют произвольный strike — digital puts/calls с bounded payoff без cap на общем вероятностном пространстве.

7. Заключение

Мы представили общий utility framework для prediction market maker на общих вероятностных пространствах. Новизна — отдельный децентрализованный учёт ликвидности: добавление/изъятие после открытия рынка и приёма ставок. Исследованы свойства pricing oracles. Предложен сбор комиссий на случайной части ставки без создания арбитража.

Будущие исследования: оптимизация комиссий для максимизации (risk-adjusted) прибыли LP — нужны динамические модели ставок. В текущей постановке игнорируется роль информации: если событие становится достоверным до maturity, LP арбитражируются до исчерпания резервов. Рекомендуем dynamic fee schedule против informational gains бетторов — важно для практической реализации.

Конфликт интересов. Авторы подтверждают отсутствие финансовых интересов, связанных с исследованием.

Доступность данных. Данные доступны у авторов по запросу.

Финансирование. M. Bichuch и Z. Feinstein частично поддержаны Stellar Development Foundation Academic Research Grants. Z. Feinstein — NSF IUCRC CRAFT (2113906); мнения не обязательно отражают взгляды NSF.

Литература

• [1] Adams, H., Zinsmeister, N., and Robinson, D. Uniswap v2 core. Available at https://uniswap.org/whitepaper.pdf (2020).
• [2] Angeris, G., Agrawal, A., Evans, A., Chitra, T., and Boyd, S. Constant function market makers: Multi-asset trades via convex optimization. In Handbook on Blockchain. Springer, 2022, pp. 415–444.
• [3] Angeris, G., and Chitra, T. Improved price oracles: Constant function market makers. In Proceedings of the 2nd ACM Conference on Advances in Financial Technologies (2020), pp. 80–91.
• [4] Angeris, G., Chitra, T., and Evans, A. When does the tail wag the dog? Curvature and market making. Cryptoeconomic Systems 2, 1 (2022).
• [5] Aumann, R. J. Agreeing to disagree. In Readings in Formal Epistemology. Springer, 2016, pp. 859–862.
• [6] Berg, H., and Proebsting, T. A. Hanson's automated market maker. The Journal of Prediction Markets 3, 1 (2009), 45–59.
• [7] Bichuch, M., and Feinstein, Z. Axioms for automated market makers: A mathematical framework in fintech and decentralized finance. arXiv preprint arXiv:2210.01227 (2022).
• [8] Cao, D., Hemenway Falk, B., and Tsoukalas, G. Automated market makers and the value of adaptive fees. Available at SSRN (2023).
• [9] Capponi, A., and Jia, R. The adoption of blockchain-based decentralized exchanges. arXiv preprint arXiv:2103.08842 (2021).
• [10] Carmona, R. Indifference pricing: theory and applications. Princeton University Press, 2008.
• [11] Cartea, A., Drissi, F., and Monga, M. Decentralised finance and automated market making: Execution and speculation. Available at SSRN 4144743 (2022).
• [12] Chen, Y., and Pennock, D. M. A utility framework for bounded-loss market makers. In 23rd Conference on Uncertainty in Artificial Intelligence, UAI 2007 (2007), pp. 49–56.
• [13] Chen, Y., and Pennock, D. M. A utility framework for bounded-loss market makers. arXiv preprint arXiv:1206.5252 (2012).
• [14] Chen, Y., Ruberry, M., and Wortman Vaughan, J. Cost function market makers for measurable spaces. In Proceedings of the fourteenth ACM conference on Electronic commerce (2013), pp. 785–802.
• [15] Clark, J. The replicating portfolio of a constant product market. Available at SSRN 3550601 (2020).
• [16] Dai, M., Jia, Y., and Kou, S. The wisdom of the crowd and prediction markets. Journal of Econometrics 222, 1 (2021), 561–578.
• [17] Delbaen, F. Coherent risk measures on general probability spaces. Advances in finance and stochastics (2002), 1–37.
• [18] Föllmer, H., and Schied, A. Stochastic Finance: An Introduction in Discrete Time, 2nd ed. De Gruyter, 2008.
• [19] Frongillo, R., Papireddygari, M., and Waggoner, B. An axiomatic characterization of CFMMs and equivalence to prediction markets. arXiv preprint arXiv:2302.00196 (2023).
• [20] Geanakoplos, J. D., and Polemarchakis, H. M. We can't disagree forever. Journal of Economic theory 28, 1 (1982), 192–200.
• [21] Hanson, R. Disagreement is unpredictable. Economics Letters 77, 3 (2002), 365–369.
• [22] Hanson, R. For bayesian wannabes, are disagreements not about information? Theory and Decision 54, 2 (2003), 105–123.
• [23] Hanson, R. Logarithmic market scoring rules for modular combinatorial information aggregation. The Journal of Prediction Markets 1, 1 (2007), 3–15.
• [24] Hausch, D. B., Lo, V. S., and Ziemba, W. T. Efficiency of racetrack betting markets, vol. 2. World Scientific, 2008.
• [25] Kalai, E., and Lehrer, E. Rational learning leads to nash equilibrium. Econometrica (1993), 1019–1045.
• [26] LeRoy, S. F. Market efficiency: Stock market behaviour in theory and practice, 1998.
• [27] Lipton, A., and Sepp, A. Automated market-making for fiat currencies. arXiv preprint arXiv:2109.12196 (2021).
• [28] Milionis, J., Moallemi, C. C., and Roughgarden, T. Automated market making and arbitrage profits in the presence of fees. arXiv preprint arXiv:2305.14604 (2023).
• [29] Milionis, J., Moallemi, C. C., Roughgarden, T., and Zhang, A. L. Automated market making and loss-versus-rebalancing. arXiv preprint arXiv:2208.06046 (2022).
• [30] Monderer, D., and Samet, D. Approximating common knowledge with common beliefs. Games and Economic Behavior 1, 2 (1989), 170–190.
• [31] Murphy, A. H., and Winkler, R. L. Probability forecasting in meteorology. Journal of the American Statistical Association 79, 387 (1984), 489–500.
• [32] O'Carroll, F. Subjective probabilities and short-term economic forecasts: an empirical investigation. Journal of the Royal Statistical Society: Series C 26, 3 (1977), 269–278.
• [33] Ostrovsky, M. Information aggregation in dynamic markets with strategic traders. In Proceedings of the 10th ACM conference on Electronic commerce (2009), pp. 253–254.
• [34] Othman, A., Pennock, D. M., Reeves, D. M., and Sandholm, T. A practical liquidity-sensitive automated market maker. ACM TEAC 1, 3 (2013), 1–25.
• [35] Othman, A., and Sandholm, T. Automated market-making in the large: the gates hillman prediction market. In Proceedings of the 11th ACM conference on Electronic commerce (2010), pp. 367–376.
• [36] Othman, A., and Sandholm, T. Profit-charging market makers with bounded loss, vanishing bid/ask spreads, and unlimited market depth. In Proceedings of the 13th ACM Conference on Electronic Commerce (2012), pp. 790–807.
• [37] Schlegel, J. C., Kwaśnicki, M., and Mamageishvili, A. Axioms for constant function market makers. arXiv preprint arXiv:2210.00048 (2022).
• [38] Tziralis, G., and Tatsiopoulos, I. Prediction markets: An extended literature review. The journal of prediction markets 1, 1 (2007), 75–91.
• [39] Wolfers, J., and Zitzewitz, E. Prediction markets in theory and practice. Working Paper 12083, NBER, March 2006.
• [40] Xu, J., Paruch, K., Cousaert, S., and Feng, Y. SoK: Decentralized exchanges (DEX) with automated market maker (AMM) protocols. ACM Computing Surveys 55, 11 (2023), 1–50.
• [41] Zhang, Y., Chen, X., and Park, D. Formal specification of constant product (x × y = k) market maker model and implementation.

Оригинал статьи: Amini, Bichuch, Feinstein, «Decentralized Prediction Markets and Sports Books», arXiv:2307.08768

¹⁶ ESPN: \$16B Super Bowl betting

¹⁷ Данные: pregame.com odds archive

¹⁸ Bookmaker реже корректирует money line, чем LBAMM — quoted profits нижняя граница.