Sizing Strategies for Algorithmic Trading in Volatile Markets: A Study of Backtesting and Risk Mitigation Analysis

6/10

Ключевые слова: количественные финансы, алготрейдинг, размер позиции, VaR, фильтр Калмана, полосы Боллинджера, технические индикаторы, бэктест, байесовский анализ, модель риска.

Аннотация

Бэктест — способ оценки финансового риска: как торговый алгоритм вёл бы себя на прошлом рынке. Высокая волатильность всегда ставит алготрейдера в трудное положение. Работа разбирает модели сайзинга и гоняет их через кризисные окна, чтобы понять, снижают ли они VaR. Тезис: кризис с высокой волатильностью можно контролировать соотношением коротких и длинных размеров позиции. Дополнительно автор смотрит бумаги через AR, ARIMA, LSTM, GARCH на данных ETF.

1. Введение

1.2. Пузыри и мании

Пузырь — когда цена бумаги, облигации или недвижимости далеко уходит от внутренней стоимости на иррациональном оптимизме; лопанье даёт паническую продажу. От «тюльпаномании» XVII века до субпрайма 2007. Для алготрейдера это вопрос, как держать VaR; для банка и рынка — какой размер позиции и какой капитал под актив.

1.3. Цели

Построить модели сайзинга и прогнать бэктест в высокой волатильности, чтобы увидеть, как они снижают VaR на акциях и ETF в кризис.

1.4. Краткая история рынка

1791 — биржа в Филадельфии; 1792 — соглашение брокеров под платаном на Уолл-стрит (будущий NYSE). «Bucket shops» XIX–XX вв.: общий пул, котировки с тикера на доске, исход зависел от честности оператора; после краха 1929 их вытеснили. С 1930-х — регулирование и современные площадки: NYSE, NASDAQ, PHLX, CBOT, DAX, CAC, Hang Seng, Nikkei, FTSE, DSE. За сделку платится комиссия.

1.5. Каркас бэктеста

Банки и алготрейдеры сравнивают исходы P&L с VaR и считают, сколько раз VaR не покрыл убыток. Модель VaR берёт close, смотрит изменение портфеля от цен и ставок. Сложность: живой P&L портится ребалансом внутри горизонта, поэтому его нельзя слепо сверять с гипотетическим VaR.

Формально: $Y_t$ — доходность портфеля; информация агента в $t-1$ — вектор $w_{t-1}$. Если распределение $Y_t$ непрерывно, $v_\alpha(w_{t-1},\theta)$ — корректно специфицированный $\alpha$-VaR тогда и только тогда, когда

Простейший подсчёт — число непокрытий. Капитал симуляций в работе — 10 млн USD. Фокус — кризисные окна (включая период написания, пандемия COVID) и влияние long/short размеров на риск-метрики при приемлемой доходности.

2. Связанные работы

Сайзинг восходит к Келли (1956): скорость передачи информации равна экспоненциальному росту капитала игрока [32]. В финансах исходы не бернуллиевы; максимизируют логарифмическую полезность [1]. Торп перенёс критерий Келли на портфель [2, 4, 7, 25]; дальнейшие реализации — [12, 15, 22, 25, 26].

Три класса VaR [33]: историческая симуляция (непараметрика), дисперсия-ковариация (параметрика), Монте-Карло (полупараметрика). Parametric VaR предполагает нормальность доходностей и связан с условной волатильностью. Filtered Historical Simulation [14], применения Sommacampagna [21]: VaR, CAViaR, EVT.

Dorić and Dorić [28] сравнивают предиктивную силу распределений на бэктесте: симметрия доходностей акций, t-Стьюдента и NIG годятся при выбранных $\alpha$. Безусловная плотность

VaR лонга $VaR_l=\mu+k_\alpha^*\sigma$, шорта $VaR_s=\mu+k_{1-\alpha}^*\sigma$ при $\alpha=0.05$ (2.2)–(2.3).

3. Методологии бэктеста

3.1. Испытания Бернулли (Келли, 1956)

Логарифмическая полезность максимизирует темп роста, но на коротком горизонте даёт миопию [25]. Вероятность выигрыша $\tfrac12 \lt p \le 1$ (исход $+1$), проигрыша $q=1-p$ (исход $-1$), старт $C_0$, доля ставки $g$:

Максимум: $\gamma'(g)=0$ даёт $g^*=p-q$ при $p\ge q\gt 0$; вторая производная отрицательна — максимум единственный. $\gamma(g^*)=p\log p+q\log q+\log 2\gt 0$.

Теорема 1 (Келли). Оптимальная доля на одно бернуллиево испытание — $g^*=p-q$ (перевес). Фиксированная доля максимизирует $E[\log C]$ [32].

3.2. Тесты независимости и совместный тест

Индикаторы пробитий $H_{q,\alpha}(\theta_0)$ — бернуллиевы; при сериальной независимости автоковариации нулевые:

оценка (3.9). Portmanteau в духе Ljung–Box / Pierce [3, 5], совместный iid + безусловное покрытие — Berkowitz, Christoffersen, Pelletier. На оценённых параметрах — $\hat\Gamma$ и $\zeta$ (3.12)–(3.13).

3.3. Геометрический VaR-бэктест

Три гипотезы в каркасе [29]: безусловное покрытие, независимость длительностей, независимость VaR. Функция риска

$0\le a\le 1$, $c\ge 0$; $a$ — покрытие, $d^{b-1}$ — зависимость длительности. Нулевые: покрытие $x=p$; независимость длительностей $y=1$; независимость VaR $z=0$; совместные комбинации — геометрический VaR-эксперимент $H_0$: $x=p$, $y=1$, $z=0$.

3.4. Марковская модель

Тест на зависимость пробитий VaR как цепи Маркова первого порядка (Christoffersen): переходные вероятности из состояния «пробитие / не пробитие»; LR сравнивает независимые бернуллиевы пробития с марковской альтернативой. Цель — поймать кластеризацию убытков, которую безусловное покрытие не видит.

3.5. Бэктест на фильтре Калмана

Если $\beta$ не константа, систематический риск оценивают Калманом [8, 10, 11]. Диагональная модель Шарпа:

Общая форма Харви: измерение $y_t=Z_t x_t+d_t+\varepsilon_t$, состояние $x_t=T_t x_{t-1}+c_t+\eta_t$ (3.27)–(3.28). Параметры — максимум правдоподобия (3.29); рекурсия предикт/апдейт — (3.30)–(3.35), классический фильтр Калмана.

4. Данные и технические индикаторы

4.1–4.2. Сбор и предобработка

Yahoo Finance, 1 января 1950 — 28 февраля 2020; бенчмарк SPY (SPDR S&P 500). Длинное окно — много выбросов; бумаги, начавшие торговлю позже 1950, обрезают. Сверку ведут с другими бенчмарками. Нормальность проверяют одномерным KS-тестом против стандартной нормали. Сигналы для фильтра:

KS на тикерах (фрагмент табл. 4.2): A — KS 0.049, $p=0.85$; AAL — 0.098 / 0.098; ABC — 0.061 / 0.61; ADS — 0.094 / 0.12; CERN — 0.050 / 0.84. На 5% AAL близок к отклонению нормальности.

4.3. Индикаторы

Автор строит набор классических индикаторов (формулы в оригинале) и рисует их на NVIDIA и широком рынке:

• RSI (Wilder [6]) — осциллятор моментума, зоны перекупленности/перепроданности.
• Полосы Боллинджера — средняя $\pm k\sigma$; сжатие/расшитие как режим волатильности (рис. 4.2).
• SMA / EMA — простые и экспоненциальные средние (в оригинале подписи «NVDIA»).
• Aroon oscillator — время с последнего high/low.
• PVT — накопительный объём, взвешенный доходностью close.
• Acceleration bands — канал вокруг средней с коэффициентом ускорения.
• Стохастик — положение close в диапазоне high–low.
• Chaikin Money Flow — поток денег по close в баре и объёму.
• Parabolic SAR — точки разворота тренда.
• Keltner channels [17] — средняя $\pm$ ATR (в оригинале «Klenter»).
• Ichimoku — облако, tenkan/kijun, проекция.
• MFI — RSI, взвешенный типичной ценой и объёмом.
• Корреляции колонок — high vs low, volume vs close (рис. 4.14–4.17): high и low сильно связаны; объём и close — слабее и нестационарно.

5. Результаты бэктеста

5.1. Альфа-факторы

На индикаторах гл. 4 автор собирает торговый алгоритм. Альфа — избыточная доходность к бенчмарку; бета — относительная волатильность. 10 квантилей на горизонтах 1, 5 и 10 дней.

Квантили почти равночастотны (~10%). Рис. 5.2–5.3 — факторная доходность и information coefficient; рис. 5.4 — среднее и волатильность фактора (автор считает среднее «благоприятным», разброс «приемлемым»). Рис. 5.5–5.7 — IC и Q–Q на 1 и 5 днях.

5.2. Метрики отчёта

• Total returns — полная доходность за бэктест.
• Specific returns — total минус common (факторные) доходности.
• Sharpe — избыточная доходность / $\sigma$.
• Sortino — как Sharpe, но в знаменателе только негативная полудисперсия (в тексте автора формулировка про «не учитывает шорты» неточна).
• Max drawdown — наибольшее падение пик–дно.
• Volatility — $\sigma$ доходностей.

Окно отчётов в оригинале — примерно 2007–2012 (GFC и европейский долг). Панели 5.8–5.42 — стандартный pyfolio/Quantopian tearsheet: кумулятив vs риск-факторы, таблица метрик, size/vol, квантили дня/недели/месяца, скользящая волатильность, экспозиция long/short, стресс-события. Ниже — три режима сайзинга и два фильтра.

5.2.1. Independence / joint: три режима сайзинга

Хедж, равные long и short ~10%. Экспозиция почти симметрична, net около нуля, скользящая бета к SPY около нуля. Волатильность портфеля в 2008–09 подскакивает выше 0.5, бенчмарк на панели автора почти плоский (артефакт масштаба/нормализации отчёта). Максимальный VaR 0.0346 при размере позиции 90.

Шорт 10%, лонг 20%. Перевес в лонг. Максимальный VaR 0.0292 при размере 85 — ниже, чем у симметричного хеджа.

Шорт 20%, лонг 10%. Перевес в шорт. Максимальный VaR 0.0232 при размере 80 — наименьший из трёх режимов independence/joint. Это главный численный аргумент автора: в высокой волатильности увеличение короткой ноги снижает VaR.

5.2.2. Фильтр Калмана

Тот же tearsheet (рис. 5.29–5.35). Автор: метод опирается на лонги и плохо ведёт себя в высокой волатильности, не выдерживает заданные параметры. Вывод гл. 6: Калман «не подходит для турбулентных условий» в этой постановке.

5.2.3. Minimum variance

Рис. 5.36–5.42. По заключению автора — лучшая доходность среди всех бэктестов, держится и в высокой vol, но сама волатильность стратегии выше остальных; тоже преимущественно лонги.

6. Заключение

Три компонента independence/joint: (1) равные short и long (хедж); (2) лонг больше шорта; (3) шорт больше лонга. В высокой волатильности шорт даёт более высокие доходности; лонг тоже положительно влияет на картину VaR; хедж в турбулентности автор считает неудачной идеей. Калман — слабо, зависимость от лонгов. Min-variance — лучшие returns при большей собственной vol.

Итог автора: сайзинг-модель способна снижать VaR в кризис и давать более стабильный подход. Числа, которые это подпирают в тексте: VaR 0.035 (хедж) → 0.029 (лонг-перевес) → 0.023 (шорт-перевес).

Смежные переводы: double out-of-sample, оценка брокера.

Литература

1. Latane, H. A. (1959). Criteria for choice among risky ventures. JPE 67(2). ↑
2. Thorp, E. O. (1969). Optimal gambling systems for favorable games. Revue de l’IIS.
3. Box, G. E. and Pierce, D. A. (1970). Distribution of residual autocorrelations in ARIMA models. JASA 65. ↑
4. Thorp, E. O. (1975). Portfolio choice and the Kelly criterion. In Stochastic optimization models in finance.
5. Ljung, G. M. and Box, G. E. (1978). On a measure of lack of fit in time series models. Biometrika 65(2). ↑
6. Wilder, J. W., Jr. (1978). A momentum oscillator… Commodities 7. ↑
7. Thorp, E. O. (1980). The Kelly money management system. Gambling Times.
8. Harvey, A. C. (1990). Forecasting, structural time series models and the Kalman filter. CUP. ↑
9. Chande, T. S. and Kroll, S. (1994). The new technical trader. Wiley.
10. Hamilton, J. D. (1994). Time series analysis. Princeton. ↑
11. Wells, C. (1994). Variable betas on the Stockholm exchange 1971–1989. Applied Financial Economics 4(1). ↑
12. Hakansson, N. H. and Ziemba, W. T. (1995). Capital growth theory. Handbooks in OR/MS 9.
13. Batten, J. and Ellis, C. (1996). Technical trading system performance in the Australian share market. APJM 13(1).
14. Barone-Adesi, G., Giannopoulos, K. and Vosper, L. (1999). VaR without correlations… J. Futures Markets 19(5). ↑
15. Browne, S. (1999). The risk and rewards of minimizing shortfall probability. JPM 25(4).
16. Burgers, G. (1999). The El Niño stochastic oscillator. Climate Dynamics 15(7).
17. Evens, S. (1999). Keltner channels. TASC 17. ↑
18. Johnston, F. et al. (1999). Some properties of a simple moving average… JORS 50(12).
19. Sommacampagna, C. — FHS / VaR applications (as cited).
20. Dorić, D. and Dorić, E. — backtest of return distributions (as cited [28]).
21. Pelletier, D. et al. — geometric VaR / independence tests (as cited [29]). ↑
22. Kelly, J. L. (1956). A new interpretation of information rate. Bell System Technical Journal.
23. Jorion, P. — VaR taxonomy (as cited [33]).

Перевод основного текста. Однотипные tearsheet-панели 5.8–5.42 — в PDF. Оригинал: arXiv:2309.09094 · Ahmed · CC BY 4.0.