Пулы как портфели: наблюдаемая эффективность арбитража и анализ LVR для AMM с динамическими весами

6/10

Классификация arXiv: q-fin.TR

Аннотация

AMM с динамическими весами (Temporal Function Market Makers, TFMM) реализуют алгоритмическое распределение активов, аналогичное индексным или smart beta фондам, непрерывно обновляя веса пула. Стратегия задаёт целевые веса во времени, а арбитражёры торгуют пул обратно к этим весам. Это создаёт последовательность малых, предсказуемых mispricing, которые растут до момента исполнения — фактически ребалансировка выполняется серией обратных голландских аукционов. Предыдущая теория и симуляции [1] предсказывали, что этот механизм может превосходить ребалансировку в стиле CEX. Мы проверяем это утверждение на двух живых пулах протокола QuantAMM — одном на Ethereum mainnet и одном на Base — в двух коротких окнах ребалансировки с интервалом шесть месяцев (июль 2025 и январь 2026). Проводим блочный анализ арбитража, затем измеряем долгосрочные исходы по бенчмаркам Loss-vs-Rebalancing (LVR) и Rebalancing-vs-Rebalancing (RVR).

На mainnet ребалансировка со временем становится заметно эффективнее (более частые арбитражные сделки с меньшим извлечением на сделку), достигая результатов сопоставимых с CEX-моделями или лучше. На Base ребалансировка продолжается даже при извлечении на сделку около нуля (или ниже), что согласуется с routing-driven исполнением; достигаются эффективности, соответствующие или превосходящие стандартные «идеальные» LVR-бенчмарки. Результаты демонстрируют dynamic-weight AMM как конкурентный слой исполнения для токенизированных фондов, с превосходной производительностью на L2, где routing и более низкие data costs сжимают арбитражные спреды.

1. Введение

Пулы Temporal Function Market Making (TFMM) используют механизмы AMM не для базового предоставления ликвидности, а как способ вести портфель с меняющимся во времени составом. Это пулы geometric mean market maker (G3M), веса которых меняются во времени. Веса — вектор портфеля; когда holdings пула не согласованы с весами, возникает арбитражная возможность, исполнение которой ребалансирует пул к желаемому составу.

На выбранной частоте может выполняться количественная стратегия управления активами, выдающая новые целевые веса (например, по недавним рыночным данным увеличить долю актива A и снизить долю B). Аналогично тому, как при торговле в стакане разбиение крупной сделки улучшает качество исполнения за счёт снижения market impact, изменение весов для TFMM-пула лучше распределить во времени — пул плавно интерполирует к новым целевым holdings.

Арбитражёры видят обычный G3M-пул со сдвигающимися весами. Котировки пула отклоняются от внешнего рынка, создавая малую арбитражную возможность, которая растёт со временем. Без необходимости знать механизм, это обратный голландский аукцион [2]: пул неявно предлагает растущую плату за исполнение ребалансировки — от нуля после каждой сделки и с накоплением drift аллокации, пока арбитражёр не «ударит». Первый действующий арбитражёр забирает прибыль; после сделки резервы пула приходят к рыночно согласованным значениям, и цикл повторяется до завершения интерполяции.

Конкурентная экосистема арбитражёров — исполнительный движок пула; вопрос — сколько стоит это исполнение. Рис. 1 схематически иллюстрирует механизм. Предыдущие работы теоретически охарактеризовали механизм [3, 4] и в симуляциях. Фреймворк Loss-versus-Rebalancing (LVR) [5, 6] и его расширение Rebalancing-versus-Rebalancing (RVR) [1] задают бенчмарки стоимости AMM-ребалансировки; литература по MEV [7] показывает, что on-chain арбитраж опосредован конкурентной экосистемой searchers.

Сначала даём поблочный эмпирический анализ динамики арбитража на живых dynamic-weight AMM-пулах протокола QuantAMM — первое такое исследование, выявляющее сжатие аукциона за шесть месяцев с июля 2025 по начало 2026. Идентифицируем incidental routing — ребалансировку как побочный эффект ecosystem-wide DEX routing почти при нулевой стоимости для пула. Затем сравниваем свойства пулов с LVR и RVR.

2. Предыстория

G3M-пулы

Geometric mean market maker (G3M) [8, 9] с \(N\) токенами имеет торговую функцию

где \(R = \{R_i\}\) — \(N\)-вектор текущих резервов каждого токена, а веса \(w = \{w_i\}\), \(\sum_{i=1}^{N} w_i = 1\), \(\forall i\ 0 \le w_i < 1\), определяют, какая доля стоимости хранится в каждом токене. Фактическая аллокация стоимости токена \(i\): \(\theta_i = R_i p_i / \sum_j R_j p_j\). Фундаментальное свойство G3M: \(\theta_i = w_i\) только когда пул котирует рыночные цены [10].

Temporal Function Market Maker (TFMM) [11, 12] — G3M, веса которого меняются во времени по заданному процессу. Торговая функция становится \(\prod_{i=1}^{N} R_i^{w_i(t)} = k(t)\). Внутри блока веса постоянны (\(t\) — номер блока).

Когда пул отклоняется от рыночных цен (из-за изменения весов или внешних движений цены), \(\theta_i \ne w_i\), пока пул не будет «арбнут». Пул не обязательно арбится немедленно: комиссии пула требуют достаточно «большого» расхождения цен; реальные трения (gas, эффективность других площадок для выхода в numeraire, задержки блокчейна) расширяют эффективную «no-arb область».

От изменения весов к арбитражу

По мере сдвига целевых весов каждый блок маржинальная цена пула \(m_u\) движется, и no-arb band движется вместе с ней. При относительно стабильных внешних ценах band «уходит» от рыночной цены (рис. 2b).

На некотором блоке \(t = k\) рыночная цена выходит за band — появляется арбитраж. Разрыв растёт каждый блок, пока веса интерполируются, пока арбитражёр не торгует. Арбитражёр торгует ровно столько, чтобы сдвинуть \(m_u\) так, чтобы \(m_p\) оказалась у границы нового band, оставляя остаточный разрыв примерно на один fee. Цикл повторяется — серия мгновенных runoff обратных голландских аукционов: каждый блок интерполяции весов добавляет малый инкремент к арбитражной возможности, и первый арбитражёр, чья стоимость ниже накопленного surplus, забирает её.

Интерполяция весов снижает стоимость ребалансировки

Ребалансировка через постепенное изменение весов сохраняет стоимость G3M-пула в первом порядке: \(V' = V + O(\delta w^2)\). Квадратичная зависимость ведущего порядка означает, что суммарная стоимость ребалансировки уменьшается с размером составных изменений весов [12]: разбиение одного крупного \(\Delta w\) на \(N\) шагов по \(\Delta w/N\) снижает суммарную arb cost с \((\Delta w)^2\) до \((\Delta w)^2/N\). В пределе непрерывной интерполяции (\(N \to \infty\)) теоретическая стоимость исчезает [12].

Пулы QuantAMM используют постепенную интерполяцию весов на многих блоках, а не дискретные скачки [4]. Наблюдаемые в работе издержки ребалансировки отражают пулы, уже работающие в режиме many-small-steps; при одномоментном изменении весов издержки были бы существенно выше.

3. Экспериментальная постановка

Пулы и данные

Изучаем два пула QuantAMM на разных цепях, разного масштаба, каждый в двух точках с интервалом шесть месяцев:

Для каждого пула и окна собираем поблочные резервы, веса, цены и статистику gas, идентифицируем блоки с изменением балансов из-за свопов и сопоставляем каждое изменение резервов с on-chain транзакцией.¹

¹ Протокол QuantAMM работает поверх vault Balancer V3, который забирает 50% swap fee пула; дельты балансов пула масштабируются соответственно перед дальнейшими расчётами.

Порог прибыльности

Строим меняющийся во времени поблочный порог прибыльности, калиброванный по наблюдаемым издержкам арбитражёров. Полная стоимость арбитражёра — три компонента: EIP-1559 base fee (сжигается), priority fee (платится builder) и опционально прямой builder tip [7, 13]. Идентифицируем open-market арбитражёров — с полной видимой on-chain стоимостью — и вычисляем порог для блока \(b\):

где \(G = 450{,}000\) gas units (медиана для наблюдаемых arb trades), \(p_{\mathrm{ETH}}\) — цена ETH, \(\mu\) — калиброванная наценка (интенсивность конкуренции на арбитражном рынке). По open-market сделкам арбитражёров в июле средняя наценка \(\mu = 1{,}50\).

Mispricing

Как измерить mispricing пула в агрегате, чтобы наблюдать накопление и сброс арбитражной сделкой? Для multi-token пулов (\(N = 3\) или 4) определяем allocation drift:

ноль в равновесии, растёт при отклонении. Метрика даёт чистый sawtooth: постепенный рост при drift и резкий сброс при арбитражной сделке — без \(\sim N^2/2\) попарных сравнений цен.

4. Результаты

Сначала — детальный анализ арбитражных сделок против этих пулов за два коротких периода изменения весов (по несколько часов): июль 2025, через несколько месяцев после запуска, и январь 2026. Затем — агрегированный анализ с момента запуска, с бенчмарками Loss-versus-Rebalancing (LVR [5]) и Rebalancing versus Rebalancing (RVR [1]), моделирующим спреды и комиссии CEX.

4.1. Блочный анализ арбитража

Динамика аукциона на Ethereum mainnet

В двухчасовом окне пула Safe Haven 22 июля 2025 (10:00–12:00 UTC) — 20 сделок за 606 блоков. Sawtooth allocation drift чистый (рис. 3): drift нарастает до 0,5–0,65% между сделками, затем сбрасывается арбитражёром. Арбитраж примерно каждые 30 блоков (~6 мин).

Замкнутая оптимальная arb trade [3] предсказывает теоретический максимум извлечения $58,19 за окно. Эмпирически арбитражёры извлекают $51,55 — efficiency ratio 88,6%. Разрыв объясняется преимущественно консервативным sizing (прил. C): арбитражёры стабильно исполняют ~60% оптимального размера, захватывая почти всю доступную прибыль — естественно, т.к. функция arb profit G3M вогнута и плоска у максимума (рис. D.4 в оригинале).

Через шесть месяцев, январь 2026, тот же пул выглядит иначе (рис. 4). Sawtooth сжат: allocation drift редко превышает 0,4% до сделки. Вместо 20 сделок за два часа — 78 (~одна каждые 90 сек). Эмпирическое извлечение на сделку падает с $2,58 до $0,28, суммарное — с $51,55 до $22,00 при почти 4× большем числе сделок (табл. 2).

Это динамика, предсказанная фреймворком обратного голландского аукциона [4]: конкуренция searchers постепенно снижает арбитражный порог, аукцион клирится по более низкой цене, пул выигрывает.

Розничного или органического swap flow в обоих окнах не обнаружено: каждая транзакция от участников MEV-рынка — contract-mediated execution и/или multi-hop routing через 2+ DEX. К январю routing landscape сместился: Uniswap V4 — 37% swap events (с нуля), complex MEV bundles с 4+ legs — 24% сделок, mean all-in cost на транзакцию упал с $1,08 до $0,20 (Fusaka Upgrade в дек. 2025; прил. A).

Incidental rebalancing на Base L2

Пул Base Macro — контрастный случай: цепь без PBS. В январском окне — 202 block-to-block изменения балансов из 225 on-chain транзакций. Эмпирическая прибыль на сделку ~ноль: mean $0,0004, median < $0,001, 98% сделок извлекают < цент с пула, многие «извлекают» меньше нуля — фактически добавляют пулу крошечную стоимость.

Эти арбитражёры не таргетируют пул для извлечения. Пул — routing venue в complex multi-hop арбитражах экосистемы Base DEX. Январские транзакции в среднем 7 свопов через UniV2, V3, V4 для проведения $20–80 через этот пул. Прибыль — от расхождений между другими пулами; QuantAMM-пул — один hop по ~fair market value. Называем это incidental routing (серые × на рис. 5).

Тем не менее inventory сдвигается. Свопы directionally correct — покупка слегка дешёвого и продажа слегка дорогого токена в пуле — allocation drift сохраняет характерный sawtooth (рис. 5), хотя отдельные сбросы крошечны. Механизм прост: целевые веса сдвигаются медленно, drift нарастает, но mispricing слишком мала для standalone arb после 0,3% fee плюс gas. Multi-hop арбитражёры всё равно маршрутизируют через пул как часть profitable ecosystem-wide route, и своп возвращает резервы к target.

4.2. Бенчмарки эффективности ребалансировки

За период август 2025 — январь 2026 Base Macro превзошёл и LVR [5] (гипотетический frictionless CEX rebalancer по той же weight trajectory), и RVR (реалистичный CEX rebalancer с комиссиями и спредами). Рис. 6 — кумулятивное outperformance ~27 п.п. vs LVR и ~43 п.п. vs RVR. Период включал эпизоды очень высокого объёма на Base, к которым dynamic-weight стратегия была позиционирована.

Цифры отражают совместный эффект dynamic-weight стратегии и эффективности исполнения; сравнение не изолирует компонент стоимости ребалансировки. Превосходство даже frictionless LVR указывает: изменения весов, driven сигналом, более чем компенсируют arb extraction; расширяющийся разрыв говорит о том, что издержки исполнения не размывают доходность.

LVR и RVR бенчмарки эффективности ребалансировки помогают ответить, пригодны ли dynamic-weight AMM как инфраструктура построения портфеля. Impermanent loss (IL) измеряет абсолютную доходность против counterfactual HODL. Стратегия с фиксированными весами (constant-mix) и идеальной LVR-style ребалансировкой в некоторых рыночных условиях может обогнать HODL.² IL-бенчмарки смешивают выбор стратегии (как меняются веса) с эффективностью ребалансировки; они наиболее релевантны создателю/менеджеру пула для абсолютных решений по целевым весам.

² Не всегда ясно, как корректно обобщить IL, когда пул меняет target weights во времени.

5. Обсуждение

Зубчатый паттерн

За серию циклов аукциона разрыв аллокации описывает характерную зубчатую волну (рис. 1). Каждый «зуб» — полный цикл аукциона: линейный набор при росте разрыва поблочно и мгновенный сброс при действии арбитражёра.

Высота зуба — разрыв, при котором происходит arb trade — определяется порогом прибыли наиболее «дешёвого» арбитражёра. Заштрихованные треугольники над линией gas cost — чистая прибыль арбитражёра: разница между полным разрывом и стоимостью исполнения. Сравните схему с эмпирическими зубчатыми паттернами на рис. 3 и 4: июль — высокие зубья (большие разрывы, ~6-минутные циклы), январь — сжатые (меньшие разрывы, ~90-секундные циклы), как предсказано конкуренцией арбитражёров.

Порог прибыльности как диагностика

Порог из разд. 3 служит двойной цели. При допущении, что пул — единственный источник прибыли, порог задаёт минимальное извлечение для viable standalone arb.

В июле допущение выполняется чисто: 100% сделок Safe Haven выше realistic threshold (рис. 3). В январе 32% ниже порога — viable только в multi-venue стратегии с амортизацией gas по ногам маршрута. На Base Macro почти 100% ниже порога: ребалансировка полностью через incidental routing.

Доля сделок ниже standalone threshold — простая наблюдаемая метрика того, насколько пул выигрывает от routing-экосистемы. По мере созревания DEX ecosystem [14, 15] больше ребалансировок смещается от targeted extraction к incidental routing, и стоимость ребалансировки падает без изменения комиссии или дизайна пула.

Зрелость и эффективность

Новые инварианты или аукционные подходы могут иметь большой разрыв между теоретической идеальной эффективностью и фактическим обнаружением и эффективностью арбитража. Для TFMM, где в данном блоке arb opportunity выглядит как vanilla G3M, арбитражёры последовательны и эффективны. Зубчатые паттерны в процессе арбитража, наиболее явно на mainnet, дают наиболее ясную картину. Как ожидалось, на L2 — более высокочастотный, более шумный арбитраж.

Бенчмарки LVR и RVR

LVR — простой чистый бенчмарк («обгоняешь идеал?»), но простота — ограничение: без спредов и издержек централизованной ребалансировки ограниченная польза для real-world trade-offs. RVR [1] — улучшенная модель для практической оценки execution mechanisms. Тем не менее на L2 ребалансировка портфеля как AMM обгоняет идеальную ребалансировку LVR.

Симуляции [1], основанные на эмпирическом исследовании [16], похоже, переоценили розничный объём как долю арбитражного объёма при низких TVL здесь — возможно, свойство price impact и глубины ликвидности: допущения о шумовой торговле могут быть точны при более высоких TVL. Хотя шумовая торговля переоценена, апгрейды и богатая MEV ecosystem означают, что effective gas и trade costs тоже переоценены для mainnet и L2. При снижении gas costs порог, при котором dynamic weight AMMs beat realistic CEX models (RVR), снижается. Практически на L2 снижение gas cost важнее, чем пониженная оценка noise models. Более точное моделирование шума не исследовано ни в эмпирике, ни в симуляциях. Симуляции и эмпирика здесь тестируют только linear interpolation; существуют non-linear methods [4], further снижающие barrier для beat CEX price taker rebalancing.

6. Заключение

TFMM-пулы платят за ребалансировку через арбитраж: малые, предсказуемые on-chain обратные голландские аукционы. На двух live TFMM/QuantAMM пулах во времени находим последовательное сжатие аукциона: сделки чаще, извлечение на сделку ниже, транзакции более multi-venue, растёт доля сделок ниже standalone profitability threshold.

На Ethereum mainnet (Safe Haven): частота сделок с 20 за два часа до 78, среднее извлечение на сделку с $2,58 до $0,28 — усиленная конкуренция снижает profit threshold. На Base (Base Macro): извлечение ~ноль (98% сделок < $0,01, многие < $0 — фактически субсидируют пул), но пул всё равно ребалансируется — второй режим, где rebalancing в основном через incidental routing, а не targeted extraction. Паттерны согласуются со созреванием экосистемы: стоимость ребалансировки может падать со временем без изменений комиссии/дизайна, хотя более широкие выводы требуют изучения большего числа пулов и рыночных условий.

Литература

• [1] Matthew Willetts and Christian Harrington. Rebalancing-versus-rebalancing: Improving the fidelity of loss-versus-rebalancing, 2024. arxiv.org/abs/2410.23404.
• [2] IBM. Dutch reverse auction, 2024. IBM Emptoris Sourcing documentation.
• [3] Matthew Willetts and Christian Harrington. Closed-form solutions for generic n-token amm arbitrage, 2024. arxiv.org/abs/2402.06731.
• [4] Matthew Willetts and Christian Harrington. Optimal rebalancing in dynamic amms, 2024. arxiv.org/abs/2403.18737.
• [5] Jason Milionis, Ciamac C. Moallemi, Tim Roughgarden, and Anthony Lee Zhang. Automated market making and loss-versus-rebalancing, 2022.
• [6] Jason Milionis, Ciamac C. Moallemi, and Tim Roughgarden. Automated market making and arbitrage profits in the presence of fees, 2023. arxiv.org/abs/2305.14604.
• [7] Philip Daian et al. Flash boys 2.0: Frontrunning in decentralized exchanges, miner extractable value, and consensus instability. IEEE S&P, 2020.
• [8] Alex Evans. Liquidity provider returns in geometric mean markets, 2019.
• [9] Fernando Martinelli and Nikolai Mushegian. Balancer: A non-custodial portfolio manager, liquidity provider, and price sensor, 2019.
• [10] Guillermo Angeris, Alex Evans, and Tarun Chitra. When does the tail wag the dog? curvature and market making, 2020.
• [11] QuantAMM team. Temporal-function market making, 2023.
• [12] QuantAMM team. Temporal-function market making litepaper, 2023. quantamm.fi/litepapers.
• [13] Flashbots. Flashbots: Frontrunning the mev crisis, 2021. writings.flashbots.net.
• [14] Theo Diamandis et al. An efficient algorithm for optimal routing through constant function market makers, 2023.
• [15] Guillermo Angeris et al. Optimal routing for constant function market makers, 2022.
• [16] Andrea Canidio and Robin Fritsch. Arbitrageurs' profits, lvr, and sandwich attacks: batch trading as an amm design response, 2024. arxiv.org/abs/2307.02074.

Приложение A. Структура транзакций

A.1. Эволюция DEX arb landscape

Уже в июле 2025 ни одна из 22 транзакций Safe Haven — не naive single-venue swap. Каждая — multi-hop arb через broader DEX ecosystem. Типичный route: PAXG в Safe Haven → WBTC, WBTC→WETH на Uniswap V3, WETH→USDC, USDC→PAXG — четыре venue в одной atomic transaction.

Розничного или organic swap flow не обнаружено: каждая транзакция от professional MEV infrastructure — contract-mediated execution, multi-hop через 2+ DEX, без direct EOA-initiated single-pool swaps. Пул не зарабатывает swap fee от non-arb flow; returns — entirely от value dynamic weight changes net of arb extraction.

К январю ландшафт маршрутизации сместился dramatically. Uniswap V4 — 37% swap events (с нуля), KyberSwap Elastic — 11%, complex MEV bundles с 4+ legs — 24% сделок. Крупнейшая транзакция — 51 swap event через 5 DEX protocols.

Июльские издержки dominated network congestion (base fee ~0,55 gwei); январь — builder inclusion competition (priority fee, base fee down 12× to ~0,047 gwei). Некоторые арбитражёры имеют off-chain builder arrangements без on-chain cost trace.

A.2. Декомпозиция gas cost на mainnet

Структура cost инвертируется между окнами:

A.3. Консолидация арбитражёров

Естественное опасение: консолидация (с 65 уникальных арбитражёров в июле до 4 доминирующих ботов к январю на Base Macro) сигнализирует о растущей извлекательной силе. Данные указывают на обратное: консолидация совпадает с более низким, а не более высоким, извлечением на сделку. Доминирующие боты — sophisticated multi-venue routers; их эффективность даёт более быструю ребалансировку при более низкой стоимости.

Приложение B. Анализ арбитража: изменения весов и кумулятивная прибыль

Дополнительно к графикам §4.1 — для тех же периодов evolution весов и cumulative profits арбитражёров (рис. B.1–B.3 в оригинале).

Рис. B.1 (Safe Haven, 22 июля 2025): те же верхние панели, что рис. 3, плюс третья панель — evolution весов (~0,06% shift за 2 часа); нижняя — cumulative extraction: эмпирические $51,55 = 88,6% теоретических $58,19.

Рис. B.2 (Safe Haven, 8 января 2026): расширенный вид сжатого sawtooth и более частых сделок.

Рис. B.3 (Base Macro, 14 января 2026): веса, drift, incidental routing trades и near-zero cumulative extraction.

Приложение C. Практические выборы арбитражёров

Арбитражёры могут получить большую часть arb profit при undersizing trade. Сравнение эмпирических сделок с theoretical optimum: стабильно under-trade — 54–71% optimal size при захвате 81–99% available profit. Return-to-trade function ~flat у optimum — rational: последние 30% optimal trade добавляют little marginal profit, но требуют additional capital.

Также наблюдаем pre-computed trade sizes вместо block-by-block optimum. PAXG buy amount повторяется (0,1307; 0,1283; 0,1017 PAXG) — strategy симуляции discrete sizes для most profit при minimal compute.

Приложение D. Конечный размер и targeting границы

Почему оптимальные арбы таргетируют границу

Прибыль арбитража максимизируется, когда post-trade \(m_u\) ставит \(m_p\) у no-arb boundary — не при \(m_u = m_p\). Торговля дальше этой точки стоит больше в комиссиях, чем приносит.

Рис. D.4 (оригинал): (a) Прибыль арбитража достигает пика около размера сделки, при котором \(m_p\) на границе \(\gamma m'_u\), затем падает; «наивный» арб к \(m_u = m_p\) даёт ноль. Функция прибыли крайне плоская у оптимума — объясняет under-trade 54–71% при 81–99% profit. (b) Числовая линия: optimal arb оставляет остаточный gap ≈ fee; naive устраняет gap при нулевой прибыли.

Можно подумать, что optimal arb приводит к котировке рыночных цен post trade (min pool value). При zero fees — да; с fees optimal lands near, not exactly at, boundary no-trade region.

Почему не exactly boundary? При infinitesimal trades optimum exactly at edge. При finite size relative to TVL cumulative price impact shifts profit-maximising post-trade ratio slightly inside no-arb region.

Рис. D.5 (two-token equal-weight, fee 0,3%, \(\gamma = 0{,}997\)): (a) post-trade gap vs initial gap — lands just inside \([\gamma, \gamma^{-1}]\); slippage from boundary ~linear ~0,5 bp per 1% TVL. (b) profit vs target post-trade gap peaks just inside boundary (red dot). Для studied pools effect small (typical arb ≪ 1% TVL, optimum within ~0,1 bp of boundary) — systematic bias. Multivariate: only actively traded pair driven to boundary.

Рис. D.6 — sawtooth в continuous view: gap ramps linearly each block, drops at arb (dashed verticals). Golden triangles — profitable zone above gas cost. Faster weight change → steeper ramp → more frequent trades.

Рис. D.7 — weight interpolation reduces cost: splitting \(\Delta w\) into \(N\) steps даёт total \((\Delta w)^2/N \to 0\) при \(N \to \infty\), т.к. cost quadratic in gap (\(V' = V + O(\delta w^2)\)), unlike linear cost.

Приложение E. Полный жизненный цикл ребалансировки

Рис. E.8 (оригинал) — detailed block-by-block view одного complete rebalancing cycle в numberline representation, combining band mechanics рис. 2a с auction dynamics рис. 1.

От equilibrium \(t_0\) (\(m_u\) и \(m_p\) совпадают, band centred) каждый block weight interpolation shifts band rightward (\(t_1, t_2\)) while \(m_p\) fixed. К \(t_3\) \(m_p\) outside left edge — small arb opportunity. Grows through \(t_4, t_5\) as band drifts.

At \(t_5\) arbitrageur acts: trade shifts \(m_u\) leftward so \(m_p\) at left boundary of new, smaller band. Pool не returns to perfect alignment (\(m_u = m_p\)): residual gap ≈ one fee (рис. D.4). From \(t_6\) cycle restarts.

Оригинал статьи: Willetts and Harrington, «Pools as Portfolios: Observed arbitrage efficiency & LVR analysis of dynamic weight AMMs», arXiv:2602.22069