Пассивный market impact: подход через точечные процессы

7/10

Ключевые слова: Market impact; Metaorder; Market order flow; Hawkes processes; Long memory; High frequency data; Jump Markov process; Ergodic properties; Transaction costs analysis.

MSC 2020: 60G55 · 62P05 · 91G80

Аннотация

Хотя market impact агрессивных заявок изучен обширно, impact пассивных заявок — исполняемых через limit orders — остаётся менее понятным. Цель работы — исследовать пассивный market impact, построив микроструктурную модель, связывающую динамику ликвидности и движения цены. Ключевая инновация — замена традиционного допущения о постоянном информационном содержании каждой сделки функцией, зависящей от доступного объёма в limit order book (LOB). В этой рамке мы изучаем scaling limits и анализируем market impact пассивных metaorders. Кроме того, выводим полезные аппроксимации формы кривых market impact, дающие замкнутые формулы, применимые на практике.

1. Введение

На финансовых рынках трейдеры размещают заявки двумя основными способами: market orders (liquidity-taking trades) и limit orders (liquidity-providing trades). Как объясняют Bouchaud et al. [9], market orders размещают liquidity takers, стремящиеся к немедленному исполнению ценой bid-ask спреда. Эти заявки часто демонстрируют long-range persistence из-за стратегий фрагментации: одна крупная заявка (metaorder) разбивается на последовательность мелких сделок. Limit orders используют liquidity providers, включая market makers. В отличие от market orders, limit orders не гарантируют немедленное исполнение, а остаются в стакане до матчинга с соответствующей market order. Это позволяет liquidity providers избегать прямых направленных позиций. Однако традиционное разделение на takers и providers стирается: участники часто совмещают обе роли, а алгоритмические системы в реальном времени оптимизируют выбор между limit и market orders.

Market impact — тот факт, что buy orders в среднем поднимают цену, а sell orders опускают. Market impact выделяется как ведущая транзакционная издержка при исполнении metaorders; см. Freyre-Sanders et al. [24], Almgren et al. [2], Engle et al. [20] и Hey et al. [33]. Измерение и понимание market impact стали центральной темой количественных финансов; обзор — Webster [50]. Качественно market impact понимают как передачу информации в цену: инвесторы формируют стратегию, ожидая долгосрочную доходность, и ребалансируют позицию через metaorders. В Gomes and Waelbroeck [26] показано, что permanent impact cash flow trades (сделок без направленного взгляда трейдера — хеджирование, risk management и т.п.) пренебрежимо мал, тогда как impact informed trades остаётся большим.

Market impact по природе трудно измерить из-за шума. Статистические исследования чаще фокусируются на исполнении metaorders, где заметный дисбаланс ликвидности порождает движения цены, которые можно статистически идентифицировать. Во время исполнения metaorder одновременно торгуются многие другие заявки, создавая существенный шум. Тщательная статистическая обработка с усреднением по множеству metaorders частично устраняет шум и позволяет выявить универсальные свойства impact; см. Almgren et al. [2], Bershova and Rakhlin [8], Bacry et al. [3] и Bucci et al. [10]. При торговле metaorder эмпирические работы показывают, что цена механически следует за metaorder: вогнутая форма с пиком в конце исполнения, затем выпуклая релаксация; см. Bershova and Rakhlin [8], Gatheral [25] и Moro et al. [21]. В ходе исполнения Almgren et al. [2], Hopman [34], Kyle and Obizhaeva [43], Lillo et al. [45] и Moro et al. [21] выявили квадратный корень по объёму. Однако зависимость $\sqrt{\cdot}$ работает для больших объёмов, а impact малых заявок пропорционален объёму. Benzaquen and Bouchaud [7] предложили более точную аппроксимацию вида

где $c$ — константа порядка 1, $\sigma$ — дневная волатильность, $V$ — типичный дневной объём торгов актива, $Q_t$ — объём, исполненный metaorder к моменту $t$, а $F$ — монотонная функция с $F(x) \approx x$ при $x \to 0$ и $F(x) \to a > 0$ при $x \to \infty$.

Традиционно большинство metaorders исполняют market orders, что привело к моделям market impact на основе потока market orders; см. Jaisson [39]. В этих моделях отклик цены на market order механический: исполнение создаёт дисбаланс bid/ask и в итоге меняет цену. Естественно определить цену как ожидание будущего order flow. Пусть $N_t^a$ (resp. $N_t^b$) — число buy (resp. sell) market orders до времени $t$. Тогда

где $\mathcal{F}_t$ — информация на момент $t$. Это ожидание требует вероятностной модели $N^a$ и $N^b$, но может пониматься и как эмпирическое ожидание участников рынка. Здесь $\kappa > 0$ — константа, задающая сдвиг цены от одной заявки, то есть количество информации в одной сделке. В упрощённой модели с равными сделками разумно считать $\kappa$ постоянным.

В последние годы процессы Hawkes стали естественной рамкой для моделирования времён прихода сделок; см. Filimonov and Sornette [22, 23], Hardiman et al. [31] и Jaisson and Rosenbaum [40, 41]. Jaisson [39] ввёл их в моделирование price impact, полагая $N^a$ и $N^b$ независимыми Hawkes-процессами с self-exciting ядром $\phi$. Показано, что (2) вычисляется явно:

где $\xi(t) = 1 + \left(1 + \int_0^\infty \psi(s)\,ds\right) \int_t^\infty \phi(s)\,ds$ и $\psi = \sum_{k \geq 1} \phi^{\ast k}$ ($\ast k$ — $k$-кратная свёртка $\phi$). В частности, $\xi(t) \to 1$ при $t \to \infty$, поэтому permanent impact одной заявки равен $\kappa$. Уравнение (3) — частный случай propagator models, обобщающий дискретный propagator Bouchaud et al. [9]. Модель подробно изучена в Jusselin and Rosenbaum [42] и Durin et al. [17], где показана согласованность с характерной формой impact (1).

Отсюда вопрос: что происходит, если инвестор исполняет metaorder через limit orders вместо market orders? Limit orders дают лучшие цены исполнения ценой риска неисполнения. Ряд работ количественно оценивает trade-off между улучшением цены и риском неисполнения при замене market orders на limit orders: Guéant et al. [28], Guilbaud and Pham [29] и Bayraktar and Ludkovski [5]; Cartea and Jaimungal [12], Cont and Kukanov [13] и Guo et al. [30] строят детальные модели оптимального размещения limit orders в стакане.

Эмпирические исследования подтверждают, что market impact limit orders сопоставим с impact market orders; см. Eisler et al. [18] и Said et al. [47]. Однако propagator models вроде (3) кажутся дающими impact противоположного знака для limit orders. Рассмотрим buy metaorder, исполняемый limit orders: заявки на bid, и при исполнении цена в среднем должна падать. Это заблуждение: в Hawkes-модели времена прихода market orders не зависят от текущего состояния LOB, и market orders не меняются от присутствия limit orders — нереалистичное допущение. Многие работы подтвердили, что состояние LOB влияет на будущие изменения цены. Несколько эффектов в процессе формирования цены создают impact правильного знака для limit orders.

Во-первых, дополнительная заявка в LOB создаёт дисбаланс: цене труднее двигаться в этом направлении. Эмпирически знак следующего движения цены предсказывается текущим дисбалансом стакана; см. Burghardt et al. [11], Gould and Bonart [27], Lehalle and Mounjid [44] и Stoikov [48]. Во-вторых, интенсивность прихода market orders зависит от объёма на best bid и best ask; см. Huang et al. [35]. Особенно когда «куча» почти пуста — она притягивает market orders с высокой вероятностью и провоцирует смену цены.

В работе предлагается новый подход к моделированию market impact limit orders: взвешивание потока market orders с учётом текущего состояния LOB. Обозначим $q_t^a$ и $q_t^b$ агрегированные объёмы на ask и bid. В (2) цена скачком $\kappa$ при market order в момент $t$; здесь заменяем константу на $\kappa(q_t^a)$ и $\kappa(q_t^b)$ в зависимости от стороны. В §2.1 вводим динамику $q^a$ и $q^b$ по мотивам Queue Reactive model Huang et al. [35] и задаём

Расширение концептуально простое, но создаёт технические трудности: объёмы в ask/bid очередях зависят от прихода market orders. Тем не менее показываем, что ценовой процесс корректно определён (теорема 2.1). Здесь $\kappa$ интерпретируется как коэффициент «сопротивления» цены: $\kappa$ должна быть убывающей — чем больше доступный объём, тем труднее сдвинуть цену. Этим подходом изучаем market impact (§2.2). Замкнутого решения нет из-за сложности модели, но в §3 выводим аппроксимации при рынке близком к стационарному состоянию. Средний мгновенный impact limit order единичного объёма тогда равен

где $c_\kappa = \kappa'(q)$ — чувствительность «липкости» цены к изменению объёма, $c_\lambda$ — mean-reversion стакана, $\mu$ — средняя интенсивность стационарной версии Hawkes-процесса $N^a$, а $1/(1-\|\phi\|_{L^1})$ — классический множитель long-term интенсивности потока market orders.

Опираясь на Jaisson and Rosenbaum [41], Jusselin and Rosenbaum [42] и Durin et al. [17], в §2.2–2.4 выводим scaling limits модели. Это позволяет изучить долгосрочные эффекты исполнения крупного metaorder через limit orders с интенсивностью $f$. При дополнительных предположениях market impact исполнения крупного metaorder limit orders с интенсивностью $f$ равен

где $c_\kappa$ и $c_\lambda$ как в (4), $Y_s$ — мгновенная дисперсия рынка, $\mathbb{E}[Y_s^a \mid \mathcal{F}_t]$ — forward variance curve. Все переменные оцениваемы — брокеры могут a posteriori оценить торговую стратегию.

Структура работы: §2.1 — новая ценовая модель с информацией из LOB; §2.2 — market impact; §2.3–2.4 — scaling limits цены и impact. §3.1 — аппроксимации, включая (4) и (5), и приложение для брокеров. §4 — статистический анализ $\kappa$.

2. Новая микроструктурная модель цены

2.1. Модель цены

Определяем новую ценовую модель на базе Hawkes propagator model [39] с учётом текущего состояния LOB. Для простоты все заявки имеют один объём, нормированный к единице.

Потоки buy и sell market orders — Hawkes-процессы как в [17, 39, 42]. Времена прихода buy и sell market orders — скачки двух независимых Hawkes-процессов $N^a$ (ask, т.е. buy market orders) и $N^b$ (bid, т.е. sell market orders) с общей baseline-интенсивностью $\mu \geq 0$ и неотрицательным self-exciting ядром $\phi$:

Агрегированные объёмы на ask и bid — $q^a$ и $q^b$. Их динамика по аналогии с Queue Reactive model [35]:

где $L_t^a$ и $L_t^b$ — число limit orders на ask и bid до $t$, $C_t^a$ и $C_t^b$ — число cancel orders. $L^a$ и $L^b$ — неоднородные Poisson-процессы с интенсивностями

а $C^a$ и $C^b$ — неоднородные Poisson-процессы с

Неявно предполагаем, что Poisson point measures, движущие $N^a$, $N^b$, $L^a$, $L^b$, $C^a$ и $C^b$, независимы. Существуют независимые меры $\pi^{N,a}$, $\pi^{N,b}$, $\pi^{L,a}$, $\pi^{L,b}$, $\pi^{C,a}$, $\pi^{C,b}$ такие, что для $x \in \{a,b\}$:

Представление через Poisson random measure позволяет работать pathwise: для каждого $\omega$ реализация $\pi(\omega)$ фиксирована, индикатор $\mathbf{1}_{\{z \leq \lambda_s(\omega)\}}$ выбирает атомы $\pi(\omega)$ с меткой ниже интенсивности $\lambda_s(\omega)$. При заданном $\pi(\omega)$ времена скачков Poisson-процесса определяются однозначно и явно.

Это эквивалентно почти наверное взаимной непересекаемости скачков $N^a$, $N^b$, $L^a$, $L^b$, $C^a$ и $C^b$. Существование модели не доказываем здесь; см. теорему 2 в [17] для близкой модели и Jacod [37] для независимости random measures. Процессы заданы на достаточно богатом вероятностном пространстве $(\Omega, \mathcal{F}, (\mathcal{F}_t)_t, P)$: меры $(\pi^{N,a}, \ldots, \pi^{C,b})$ адаптированы к $(\mathcal{F}_t)_t$ — их ограничение на $[0,t] \times [0,\infty)$ $\mathcal{F}_t$-измеримо, на $(t,\infty) \times [0,\infty)$ независимо от $\mathcal{F}_t$. Так $\mathcal{F}_t$ — информация, известная в $t$.

Модель допускает отрицательные значения очереди: при $q_t^x > 0$ Hawkes-процесс $N^x$ может скачнуть $q_t^x + 1$ раз до скачков $L^x$ и $C^x$; при строго положительной интенсивности Hawkes это происходит с положительной вероятностью. Теоретически поведение рынка сходно при положительном и отрицательном $q_t^x$; при калибровке $\lambda_L$ и $\lambda_C$ вероятность отрицательной очереди мала.

По мотивам [17, 39, 42] цена — предел anticipation будущих market orders с весом, зависящим от состояния LOB в момент исполнения. Вес кодирует, что цене труднее двигаться в направлении, где в LOB больше объёма. Для всех $t \geq 0$:

для некоторой функции $\kappa$. Если $t$ — время скачка $N^a$, то $\kappa(q_t^a)$ — информационное содержание сделки и мера того, насколько трудно «пробить» текущий LOB и вызвать смену цены. Считаем $\kappa'$ убывающей: при большей «куче» труднее создать price change.

Замечание 1. Альтернатива — зависимость $\kappa$ от обеих очередей: для скачка $N^a$ — $\kappa(q_t^a, q_t^b) = \kappa_2\left(\frac{q_t^a - q_t^b}{q_t^a + q_t^b}\right)$; для $N^b$ — $\kappa(q_t^b, q_t^a)$. Убывающий $\kappa_2$ согласуется с предсказанием знака следующего движения по дисбалансу стакана [11, 27, 44, 48], но теоретически сложнее и интерпретация $\kappa$ менее прямолинейна. Далее — процесс (7).

До сих пор неясно, определён ли предел. Это так, но нужны дополнительные условия на $\lambda_L$ и $\lambda_C$. При постоянном $\kappa$ в [39] предел хорошо определён и явен:

где $\xi(t) = 1 + \left(1 + \int_0^\infty \psi(s)\,ds\right) \int_t^\infty \phi(s)\,ds$, $\psi = \sum_{k \geq 1} \phi^{\ast k}$. Доказательство опирается на технику Hawkes; конечность предела — скачки Hawkes после $t$, влияющие на предел, — «потомки» скачков до $t$ в cluster representation; остальные исчезают, так как $N^a$ и $N^b$ одинаково распределены. В нашем случае сложнее: скачки $N^a$ и $N^b$ после $t$ всё ещё важны из-за разных весов $\kappa$. Для конечности (7) нужны условия стационарности $(q^a, N^a)$ и $(q^b, N^b)$ и достаточно быстрой сходимости распределения очередей к стационарному после $t$.

Теорема 2.1. Для каждого целого $k > 0$ определим

и положим $m = \inf_{k>0} m_k > 0$. Дополнительно: $\lambda_L$ убывает, $\lambda_C$ возрастает, $\kappa$ неотрицательна и ограничена, $\|\phi\|_{L^1} < 1$. Тогда для каждого $t > 0$ предел (7) почти наверное хорошо определён и конечен.

Теорема 2.1 доказана в приложении B: после $t$ каждый Hawkes $N^a$ и $N^b$ представим как сумму Hawkes с $\mathcal{F}_t$-измеримой time-varying baseline и $\mathcal{F}_t$-независимого Hawkes с той же динамикой. Условие $\|\phi\|_{L^1} < 1$ классическое — стабильность Hawkes и конечность ожидания Hawkes с переменной baseline. Убывание $\lambda_L$ и возрастание $\lambda_C$ дают стационарное распределение очередей; $m > 0$ — экспоненциально быстрая сходимость к стационарному состоянию после $t$. Неотрицательность $\kappa$ согласует движения цены со знаком заявок; ограниченность $\kappa$ ограничивает вклад одной market order.

Теорема 2.1 доказывает конечность (7), но не даёт замкнутой формулы. Записав $M^{a/b} = N^{a/b} - \Lambda^{a/b}$, где $\Lambda_t^{a/b} = \int_0^t \lambda_s^{a/b}\,ds$, получаем переписывание (7):

и поэтому

Вычисление $\mathbb{E}[\kappa(q_s^{a/b})\lambda_s^{a/b} \mid \mathcal{F}_t]$ осложняется корреляцией между $\lambda_s^{a/b}$ и $q_s^{a/b}$ и нелинейностью $\kappa$.

2.2. Market impact

Рассмотрим вставку metaorder в модель только через limit orders. Без потери общности — sell metaorder: limit orders на ask, их исполняют market orders.

Времена прихода metaorder — скачки точечного процесса $N^o$, независимого от $N^a$, $N^b$, $L^a$, $L^b$, $C^a$, $C^b$. По духу [39, 42] $N^o$ — неоднородный Poisson-процесс с интенсивностью $\nu$, адаптированный к $(\mathcal{F}_t)_t$: $N_t^o$ $\mathcal{F}_t$-измеримо, $(N_s^o - N_t^o)_{s \geq t}$ независимо от $\mathcal{F}_t$. $q^a$ — процесс объёма на ask с учётом metaorder. В высоко эндогенном рынке market orders — лишь часть потока; крупный metaorder всё равно может быть малой долей limit orders. Динамика LOB сильно зависит от liquidity providers, адаптирующих стратегии к состоянию стакана. Тогда

где $L^a$ и $C^a$ — неоднородные Poisson-процессы со стохастическими интенсивностями $\lambda_t^{L,a} = \lambda_L(q_{t^-}^a)$ и $\lambda_t^{C,a} = \lambda_C(q_{t^-}^a)$.

Рынок «переваривает» прошлые заявки metaorder, но не предсказывает будущие. При вычислении цены как условного ожидания функционала будущих потоков metaorder обрезаем в $t$: вместо $(N_s^o)_{s \geq t}$ берём $(N_{s \wedge t}^o)_{s \geq t}$. Пишем $N_s^{o,t} = N_{s \wedge t}^o$,

с интенсивностями $\lambda_s^{L,a,t} = \lambda_L(q_{s^-}^{a,t})$ и $\lambda_s^{C,a,t} = \lambda_C(q_{s^-}^{a,t})$. Цена при metaorder:

Предел хорошо определён (аналогично теореме 2.1; доказательство опущено). Сочетая (7) и (8), определяем pathwise market impact. Хотя большинство исследований фокусируется на $\mathbb{E}[\mathrm{MI}_t]$, Bellani et al. [6] показали, что impact можно определить и без усреднения. У нас pathwise impact возможен, так как цену считаем с metaorder и без него. Нужно связать процессы $q^a$ и $\check{q}^a$ — они происходят от одной Poisson point measure (6).

Определение 2.2. Pathwise market impact metaorder в момент $t$:

В отличие от цены §2.1, выражение упрощается:

Предел хорошо определён по теореме 2.1. По аналогии с леммой B.3 (приложение B) для всех $s \geq 0$ выполнено $q_s^{a,t} \geq q_s^a$. При убывающей $\kappa$ имеем $\kappa(q_s^{a,t}) \leq \kappa(q_s^a)$, откуда интеграл сходится почти наверное при $T \to \infty$ и по теореме монотонной сходимости:

2.3. Scaling limit модели limit order book

По идеям [42] строим scaling limit market impact для понимания поведения на больших временных масштабах. Сначала — scaling limit LOB из §2.1. Пусть $T > 0$ — конец metaorder. Та же модель с экспонентой $T$: два независимых Hawkes $N^{a,T}$ и $N^{b,T}$ с baseline $\mu_T \geq 0$ и ядром $\phi_T$:

В эмпирических работах (напр. [4]) ядро Hawkes затухает примерно как степенной закон с показателем чуть выше 1. Конкретный пример: $\phi_T(t) = (t+\tau_0)^{-1.1}$, $\tau_0 > 0$ — коротковременная регуляризация; видно slowly decaying long-memory поведение высокочастотного order flow.

Объёмы $q^{b,T}$ и $q^{a,T}$:

$L^{a,T}$, $L^{b,T}$ — неоднородные Poisson с $\lambda_t^{L,a,T} = \lambda_{L,T}(q_{t^-}^{a,T})$ и $\lambda_t^{L,b,T} = \lambda_{L,T}(q_{t^-}^{b,T})$; $C^{a,T}$, $C^{b,T}$ — с $\lambda_t^{C,a,T} = \lambda_{C,T}(q_{t^-}^{a,T})$ и $\lambda_t^{C,b,T} = \lambda_{C,T}(q_{t^-}^{b,T})$. Примеры интенсивностей калиброваны в [35].

Scaling limit Hawkes-проcesses для market orders изучен в [17, 40–42]; ниже — результаты [41].

Предположение 1. Существует функция $\phi$ такая, что $\phi_T = a_T \phi$ для $a_T \to 1$ и $\|\phi\|_{L^1} = 1$. Существует $0 < \alpha < 1$ такое, что конечны пределы

При этом предположении [39] доказывает, что долгосрочная средняя интенсивность Hawkes $N^{a,T}$ и $N^{b,T}$ равна $\beta_T = (1-a_T)^{-1}\mu_T$, среднее число сделок на $[0,T]$ масштабируется как $T\beta_T$. Естественно рес масштабировать каждый Hawkes на $T\beta_T$. Для $x \in \{a,b\}$:

Предложение 2.3. При предположении 1 для $x \in \{a,b\}$ в распределении $\widehat{N}^{x,T} \to X^x$ и $\widehat{M}^{x,T} \to Z^x$ по Skorokhod-топологии на компактах $[0,\infty)$, где $X^x$ — возрастающий процесс с производной $Y^x$, удовлетворяющей

для некоторого Brownian motion $B$; $Z^x$ — непрерывный мартингал с квадратичной вариацией $X^x$. Здесь $f^{\alpha,\lambda}(x) = \lambda x^{\alpha-1} E_{\alpha,\alpha}(-\lambda x^\alpha)$ ($E_{\alpha,\beta}$ — $(\alpha,\beta)$-функция Mittag-Leffler [32]), $F^{\alpha,\lambda}(x) = \int_0^x f^{\alpha,\lambda}(y)\,dy$.

Для предела $(q^{a,T}, q^{b,T})$ естественно масштабировать объёмы как среднее число сделок:

аналогично $\widehat{L}$, $\widehat{C}$; интенсивности нормируем на $\beta_T$.

Предположение 2. Существуют $\lambda_L$ и $\lambda_C$ такие, что для всех $q$:

$\lambda_L$ убывает, $\lambda_C$ возрастает, $\lambda_L - \lambda_C$ — Lipschitz.

Предположение 3. Существуют $\mathcal{F}_0$-измеримые $q_0^a$ и $q_0^b$ такие, что $\widehat{q}_{0T}^{a} \to q_0^a$ и $\widehat{q}_{0T}^{b} \to q_0^b$ в распределении.

Предложение 2.4. Пусть $I$ — замкнутый интервал $[0,\infty)$ и выполнены предположения 1–3. Для $x \in \{a,b\}$ процесс $(\widehat{q}^{T,x}, \widehat{L}^{T,x}, \widehat{C}^{T,x})$ сходится в распределении к непрерывному $(q^x, L^x, C^x)$ по Skorokhod на $I$. При этом $q^x = q_0^x + L^x - C^x - X^x$, где

Процессы определяются на $[0,\infty)$; $q^x$ дифференцируем с производной

Следствие 2.4.1. Поведение предельного стакана детерминировано при условии рыночной волатильности. Если $\lambda_L(x) - \lambda_C(x) = c_\lambda x + d_\lambda$ для всех $x$, ОДУ (11) решается явно:

Доказательство предложения 2.4 — приложение C.

2.4. Scaling limit модели market impact

Изучаем scaling limit market impact по [17, 42]. Замкнутой формулы цены и impact нет; условное ожидание в определении impact требует тонких аргументов. Поэтому изучаем средний market impact, а не pathwise.

Семейство metaorders $N^{o,T}$ через limit orders на ask; $q^{a,T}$ — объём на ask. По [17, 42] размер metaorder измеряют относительно объёма market orders порядка $T\beta_T$ на $[0,T]$.

Предположение 4. Существует $f: [0,\infty) \to [0,\infty)$ с $f(t) = 0$ при $t > 1$ такое, что $\nu^T(t) = \beta_T f(t/T)$.

Рес масштабированная очередь с metaorder $\check{q}_s^{a,T} = (T\beta_T)^{-1} q_{sT}^{a,T}$ сходится (как в предложении 2.4).

Предложение 2.5. При предположениях 1 и 2 $\check{q}^{a,T}$ сходится к непрерывному $q^a$ по Skorokhod на $I$. $q^a = q_0^a + L^a - C^a - X^a + F$, $F(t) = \int_0^t f(s)\,ds$,

$q^a$ дифференцируем с

Следствие 2.5.1. Предельный стакан $q^a$ с metaorder детерминирован при условии волатильности. При аффинном $\lambda_L - \lambda_C$:

Так как $f \geq 0$, $q_t^a \geq q_t^a$ для всех $t$. При убывающем $\lambda_L - \lambda_C$:

Предположение 5. Существует $c > 0$: для всех $q$ и $x$ выполнено $\lambda_L(q) - \lambda_L(q+x) + \lambda_C(q+x) - \lambda_C(q) \geq cx$.

$\mathrm{MI}^T$ — impact с $\kappa_T$ вместо $\kappa$. Рес масштабированный impact:

Предположение 6. Существует Lipschitz-непрерывная $\kappa$ такая, что $\kappa_T(x) = \kappa(x/(T\beta_T))$ для всех $T$ и $x$.

Естественный предел $\mathrm{MI}_t$:

где $Y_s^a$ — волатильность из предложения 2.3, $f$ — рес масштабированная интенсивность metaorder (предположение 4), $q^{a,t}$ — $q_0^a$ и для $s \geq 0$:

Сходимость $\widehat{\mathrm{MI}}_t^T \to \mathrm{MI}_t$ трудна (нужна сходимость на $[0,\infty)$). Доказываем более слабую: $\mathbb{E}[\widehat{\mathrm{MI}}_t^T] \to \mathbb{E}[\mathrm{MI}_t]$ — разбиение интеграла на $[0,A]$ и $[A,\infty)$.

Теорема 2.6. При предположениях 1–6 для всех $t \geq 0$ $\mathbb{E}[\widehat{\mathrm{MI}}_t^T]$ сходится к $\mathbb{E}[\mathrm{MI}_t]$, где $\mathrm{MI}_t$ задано в (13). Доказательство — приложение D.

3. Приложения и аппроксимации

3.1. Асимптотическая форма market impact

По теореме 2.6 угадываем асимптотическую форму impact по participation rate. Пусть $D = \lambda_L - \lambda_C$ обратима. $Y^x$ в стационарном состоянии, для простоты постоянна и равна $m$. По (11) стационарное $q^x$ — $q^\ast = D^{-1}(m)$.

Если $f(t) = \gamma$ постоянна на $[0,1]$, $\gamma$ — proxy participation rate. Стационарная очередь с metaorder: $q^{\ast\ast} = D^{-1}(m - \gamma)$. Impact пропорционален

При постоянной $\kappa$ impact исчезает — согласуется с [17, 42]. Если $\kappa$ и $D$ линейны, $D^{-1}$ линеен и $\kappa(q^{\ast\ast}) - \kappa(q^\ast) = c_1 \gamma + c_2$. Случай расширяется на дифференцируемые $\kappa$ и $D^{-1}$:

При $\gamma \to \infty$ нужны дополнительные условия: $D(q) \sim -cq$ при $q \to \infty$ — линейная restoring force к равновесию. $\kappa$ измеряет сопротивление смене цены. По динамической теории ликвидности Toth et al. [49], Mastromatteo et al. [46], Donier et al. [16] и Benzaquen and Bouchaud [7] профиль ликвидности V-образен: минимум у best bid/ask, линейный рост вдали от цены. Объём для сдвига на $x$ тиков растёт как $x^2$ при большом $x$. Естественно $\kappa(q - \alpha) \approx \kappa(q) - \sqrt{\alpha}$. С $D(q) \sim -cq$ при $q \to \infty$:

Иллюстрация: $\kappa(q) = c_1 \log(e^{-c_2 q} + 1)$ ($c_1 = 0.01$, $c_2 = 1000$), $\lambda_L(q) - \lambda_C(q) = 0.025 - q$. 10000 симуляций scaling limit impact — степенной закон близок к квадратному корню (рис. 1).

3.2. Аппроксимация market impact первого порядка

§2 даёт точное описание impact limit order, но условное ожидание в (9) не вычисляется явно из-за корреляции между $\kappa(q_s^{a,t}) q_s^a - \kappa(q_s^a) q_s^a$ и $N_s^a$. Благодаря mean-reverting свойствам $L^a$, $C^a$, $L$ и $C$ (ядро доказательства теоремы 2.1) $q^a$ и $\check{q}^a$ с высокой вероятностью остаются в компакте. Линейная аппроксимация на компакте:

Подставляя в (9), получаем явную аппроксимацию. Динамика:

Тогда $\kappa(q_s^{a,t}) - \kappa(q_s^a) \approx c_\kappa(q_s^{a,t} - q_s^a) = c_\kappa(L_s^{a,t} - C_s^{a,t} - L_s^a + C_s^a + N_{s \wedge t}^o)$. Для $s \geq t$ разность $q_s^{a,t} - q_s^a$ заменяется интегралом по Poisson point measure (лемма B.4). С $\lambda_L(x) - \lambda_C(x) \approx c_\lambda x + d_\lambda$ имеем $q^{a,t} - q^a \approx U$, где для $s \leq t$ $U_s = q_s^{a,t} - q_s^a$, для $s \geq t$:

Отсюда $\mathbb{E}[U_s \mid \mathcal{F}_t] = U_t \exp(c_\lambda(s-t))$ и

Для $s \geq t$ $U_s$ и $N^a$ независимы при условии $\mathcal{F}_t$. По лемме A.2:

Impact одной limit order в момент размещения: $N^o$ — один скачок в $t_0$, $t_0$ достаточно велико (стaционарное состояние). Для $t \leq t_0$ $\mathrm{MI}_t = 0$; для $t = t_0$ $U_{t_0} = 1$:

При $c_\lambda < 0$ (ergodic aggregated queue) и $\int_0^{s+t_0} \psi(u)\,du \approx \|\psi\|_{L^1} = \|\phi\|_{L^1}/(1-\|\phi\|_{L^1})$ средний мгновенный impact limit order единичного объёма:

$c_\kappa/c_\lambda$ — отношение чувствительности «липкости» цены к объёму и чувствительности $\lambda_L - \lambda_C$ к объёму (mixing очередей). $(1-\|\phi\|_{L^1})^{-1}\mu$ — классическая средняя long-term интенсивность потока market orders.

Те же идеи дают аппроксимацию scaling limit impact при линейных $\lambda_L - \lambda_C$ и $\kappa$. Следствия 2.4.1 и 2.5.1 решают ОДУ для $q^{a,t}$ и $q^a$ явно; разность $\kappa(q_s^{a,t}) - \kappa(q_s^a) = c_\kappa \int_0^{s \wedge t} e^{c_\lambda(s-u)} f(u)\,du$ детерминирована. Пассивный impact metaorder приближённо:

Формула действует на всём исполнении metaorder; за концом metaorder $f(t) = 0$. Практически: $c_\kappa$ — влияние дополнительной ликвидности в LOB на цену; $f(u)$ — как стакан «переваривает» ликвидность через $e^{c_\lambda(s-u)} f(u)$; $Y_s^a$ и $\mathbb{E}[Y_s^a \mid \mathcal{F}_t]$ — variance и forward variance curve. Все параметры (14) наблюдаемы на рынке.

3.3. Оценка impact metaorder

По аппроксимации impact limit order и формуле [42] для market orders брокер может a posteriori оценить impact стратегии с интенсивностями limit orders $f$ и market orders $g$. При

обозначим $\kappa^\ast$ среднее $\kappa(q_t)$ в стационарном состоянии $q_t$. Impact всей стратегии:

где

$\xi_t(s) = \mathbb{E}[\sigma_s \mid \mathcal{F}_t]$ — forward volatility curve.

При одновременном исполнении market и limit orders динамика очередей и scaling limits зависит от market orders; типичный объём market orders в стакане пренебрежимо мал относительно limit и cancel — дополнительные market orders существенно не меняют динамику очередей; impact market и limit orders оцениваем независимо по формулам §3.2.

На рис. 2 — три симуляции pathwise impact limit orders $(\mathrm{MI}_t^l)_{t \geq 0}$. Две фазы:

• $t \leq 1$: $(\mathrm{MI}_t^l)_{t \leq 1}$ монотонен — чем больше limit orders на ask (или bid), тем труднее цене идти вверх (или вниз); сопротивление толкает цену против стороны с большим объёмом.
• $t > 1$: поведение $\mathrm{MI}_t^l$ менее предсказуемо. После $t=1$:

т.е. для $t > 1$ знак зависит от $(\sigma_s - \xi_t(s))_{s \geq t > 1}$. $\mathbb{E}[\sigma_s - \xi_t(s)] = 0$ — дополнительного среднего impact после $t=1$ нет. $\mathbb{E}[\mathrm{MI}_t]$ монотонен при $t \leq 1$ и постоянен при $t > 1$: limit orders на одной стороне создают силу сопротивления; к концу стратегии очереди сходятся к стационарному состоянию, цена уже сдвинута limit orders. Отсутствие релаксации после $t=1$ — очереди быстро возвращаются к стационарному; в scaling limit эффект мгновенный.

4. Калибровка $\kappa$

4.1. $\kappa$ как константа

В [39] рыночная цена $P_t$ удовлетворяет

где $\xi(t) = 1 + \left(1 + \int_0^\infty \psi(s)\,ds\right) \int_t^\infty \phi(s)\,ds$, $\psi = \sum_{k \geq 1} \phi^{\ast k}$. Market order в $t_0$ мгновенно сдвигает цену на $\pm \kappa \xi(0)$; impact при $t > t_0$ — $\pm \kappa \xi(t-t_0)$. $\xi(t) \to 1$ при $t \to \infty$, permanent impact одной заявки — $\kappa$. $\kappa$ — мера информационного содержания сделки.

Квадратичная вариация цены: $\kappa^2 \xi(0)^2 (N_t^a + N_t^b)$ — скачок $\pm \kappa \xi(0)$ даёт вклад $\kappa^2 \xi(0)^2$; между скачками цена меняется только из-за дифференцируемого затухания $\xi$, не влияя на квадратичную вариацию. На длинном интервале величина связана с realised variance моделей стохастической волатильности. Часто $dX_t = b_t\,dt + \sigma_t\,dB_t$. Realised variance $\int_0^t \sigma_s^2\,ds$ оценивается дискретными приращениями цены с шагом $\delta_n > 0$ [1]:

Отсюда оценка $\kappa$. На горизонте $T$ с частотой $\delta_n$:

$\xi(0) = (1-a_T)^{-1}$ оценивается подгонкой Hawkes-ядра на рыночных данных.

Замечание 2. Современные рынки высоко эндогенны: в [39] большинство заявок в Hawkes order flow — от self-excitation, а не от Poissonian baseline. Endogeneity ratio

близок к 1. Модель учитывает только активную торговлю market orders; пассивная торговля тоже влияет на цену. Можно добавить Brownian motion $\check{B}$, независимый от $N^a$ и $N^b$:

Realised volatility на $[0,T]$: $\kappa^2 (N_T^a + N_T^b) + \check{\sigma}^2 T$. Линейная регрессия с intercept оценивает $\kappa^2 \xi(0)^2$ и $\check{\sigma}^2$ при наблюдаемых $(N_T^a + N_T^b)$ и $T$.

4.2. Зависимость от состояния limit order book

Будущее движение цены зависит от текущего LOB [11, 27, 44, 48]. В §2.1 это моделируется зависимостью $\kappa$ от агрегированного объёма. Адаптируем методологию §4.1: упрощённая версия §2.1:

В (15) market orders — единственный источник квадратичной вариации цены; limit и cancel влияют только через кумулятивные $q^a$, $q^b$. Условное ожидание (7) заменено формулой как при постоянном $\kappa$ [39]. Квадратичная вариация:

Непараметрическая оценка $\kappa$ вне scope; примем $\kappa^2(q) = a + bq$. Тогда

и $a$, $b$ оцениваются линейной регрессией — статистическое свидетельство, что рост волатильности снижает $\kappa$.

Благодарности

Mathieu Rosenbaum и Grégoire Szymanski благодарят École Polytechnique chairs Deep Finance and Statistics and Machine Learning and Systematic Methods за финансовую поддержку.

Конфликт интересов

Авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов.

Приложение A. Сводка о процессах Hawkes

Кратко — Hawkes-процессы с time-varying baseline. Доказательства опущены; адаптируются из случая постоянной baseline; см. El Euch and Rosenbaum [19].

Определение A.1. Hawkes-процесс с baseline (background rate) $\mu: [0,\infty) \to [0,\infty)$ и self-exciting ядром $\phi: [0,\infty) \to \mathbb{R}$ — процесс $N$, адаптированный к $(\mathcal{F}_t)_t$, чей компенсатор $\Lambda$ имеет вид $\Lambda_t = \int_0^t \lambda_s\,ds$, где

Лемма A.2. Пусть $M = N - \Lambda$ и $\psi = \sum_{k \geq 1} \phi^{\ast k}$. Для $0 \leq t \leq T$:

Лемма A.3. Для $0 \leq t \leq T$:

Лемма A.4. Для $0 \leq t \leq T$:

Следствие A.4.1. Пусть $\mu \in L^1$ и $\|\phi\|_{L^1} < 1$. Тогда $\mathbb{E}[N_\infty]$ и $\mathbb{E}[N_\infty^2]$ конечны.

Доказательство следствия A.4.1 опущено в этом переводе. Идея: по лемме A.3 $\mathbb{E}[N_t]$ ограничено равномерно по $t$, так как $\|\psi\|_{L^1} = \|\phi\|_{L^1}/(1-\|\phi\|_{L^1}) < \infty$. Аналогично для второго момента с использованием мартингаловности $M$ и $x \mapsto M$ с компенсатором $N$.

Приложения B, C и D. Доказательства

Полные технические доказательства теоремы 2.1 (приложение B), предложения 2.4 (приложение C) и теоремы 2.6 (приложение D) опущены в этом переводе. Они включают lifting Hawkes в расширенное пространство состояний [14, 15], леммы о сходимости очередей и разбиение интегралов на компактные и хвостовые части. См. оригинал: arxiv.org/pdf/2412.07461.

Литература

• [1] Aït-Sahalia, Y., Jacod, J.: High-frequency financial econometrics. Princeton University Press (2014)
• [2] Almgren, R., Thum, C., Hauptmann, E., Li, H.: Direct estimation of equity market impact. Risk 18(7), 58–62 (2005)
• [3] Bacry, E., Iuga, A., Lasnier, M., Lehalle, C.A.: Market impacts and the life cycle of investors orders. Market Microstructure and Liquidity 1(02), 1550009 (2015)
• [4] Bacry, E., Mastromatteo, I., Muzy, J.F.: Hawkes processes in finance. Market Microstructure and Liquidity 1(01), 1550005 (2015)
• [5] Bayraktar, E., Ludkovski, M.: Liquidation in limit order books with controlled intensity. Mathematical Finance 24(4), 627–650 (2014)
• [6] Bellani, C., Brigo, D., Pakkanen, M., Sánchez-Betancourt, L.: Price impact without averaging. Applied Mathematical Finance 30(4), 175–206 (2023)
• [7] Benzaquen, M., Bouchaud, J.P.: Market impact with multi-timescale liquidity. Quantitative Finance 18(11), 1781–1790 (2018)
• [8] Bershova, N., Rakhlin, D.: The non-linear market impact of large trades: Evidence from buy-side order flow. Quantitative finance 13(11), 1759–1778 (2013)
• [9] Bouchaud, J.P., Gefen, Y., Potters, M., Wyart, M.: Fluctuations and response in financial markets: the subtle nature of random price changes. Quantitative finance 4(2), 176 (2003)
• [10] Bucci, F., Benzaquen, M., Lillo, F., Bouchaud, J.P.: Crossover from linear to square-root market impact. Physical review letters 122(10), 108302 (2019)
• [11] Burghardt, G., Hanweck, J., Lei, L.: Measuring market impact and liquidity. The Journal of Trading 1(4), 70–84 (2006)
• [12] Cartea, A., Jaimungal, S.: Modelling asset prices for algorithmic and high-frequency trading. Applied Mathematical Finance 20(6), 512–547 (2013)
• [13] Cont, R., Kukanov, A.: Optimal order placement in limit order markets. Quantitative Finance 17(1), 21–39 (2017)
• [14] Cuchiero, C., Teichmann, J.: Markovian lifts of positive semidefinite affine Volterra-type processes. Decisions in Economics and Finance 42(2), 407–448 (2019)
• [15] Cuchiero, C., Teichmann, J.: Generalized Feller processes and Markovian lifts of stochastic Volterra processes: the affine case. Journal of evolution equations 20(4), 1301–1348 (2020)
• [16] Donier, J., Bonart, J., Mastromatteo, I., Bouchaud, J.P.: A fully consistent, minimal model for non-linear market impact. Quantitative finance 15(7), 1109–1121 (2015)
• [17] Durin, B., Rosenbaum, M., Szymanski, G.: The two square root laws of market impact and the role of sophisticated market participants. arXiv preprint arXiv:2311.18283 (2023)
• [18] Eisler, Z., Bouchaud, J.P., Kockelkoren, J.: The price impact of order book events: market orders, limit orders and cancellations. Quantitative Finance 12(9), 1395–1419 (2012)
• [19] El Euch, O., Rosenbaum, M.: The characteristic function of rough Heston models. Mathematical Finance 29(1), 3–38 (2019)
• [20] Engle, R., Ferstenberg, R., Russell, J.: Measuring and modeling execution cost and risk. The Journal of Portfolio Management 38(2), 14–28 (2012)
• [21] Esteban Moro and Javier Vicente and Luis Moyano and Austin Gerig and J. Doyne Farme and Gabriella Vaglica and Fabrizio Lillo and Rosario Mantegna: Market impact and trading profile of hidden orders in stock markets. Physical Review E 80(6), 066102 (2009)
• [22] Filimonov, V., Sornette, D.: Quantifying reflexivity in financial markets: Toward a prediction of flash crashes. Physical Review E 85(5), 056108 (2012)
• [23] Filimonov, V., Sornette, D.: Apparent criticality and calibration issues in the Hawkes self-excited point process model: application to high-frequency financial data. Quantitative Finance 15(8), 1293–1314 (2015)
• [24] Freyre-Sanders, A., Guobuzaite, R., Byrne, K.: A review of trading cost models: Reducing transaction costs. The Journal of Investing 13(3), 93–115 (2004)
• [25] Gatheral, J.: No-dynamic-arbitrage and market impact. Quantitative finance 10(7), 749–759 (2010)
• [26] Gomes, C., Waelbroeck, H.: Is market impact a measure of the information value of trades? Market response to liquidity vs. informed metaorders. Quantitative Finance 15(5), 773–793 (2015)
• [27] Gould, M.D., Bonart, J.: Queue imbalance as a one-tick-ahead price predictor in a limit order book. Market Microstructure and Liquidity 2(02), 1650006 (2016)
• [28] Guéant, O., Lehalle, C.A., Fernandez-Tapia, J.: Optimal portfolio liquidation with limit orders. SIAM Journal on Financial Mathematics 3(1), 740–764 (2012)
• [29] Guilbaud, F., Pham, H.: Optimal high-frequency trading with limit and market orders. Quantitative Finance 13(1), 79–94 (2013)
• [30] Guo, X., De Larrard, A., Ruan, Z.: Optimal placement in a limit order book: an analytical approach. Mathematics and Financial Economics 11, 189–213 (2017)
• [31] Hardiman, S.J., Bercot, N., Bouchaud, J.P.: Critical reflexivity in financial markets: a Hawkes process analysis. The European Physical Journal B 86, 1–9 (2013)
• [32] Haubold, H., Mathai, A., Saxena, R.: Mittag-Leffler Functions and Their Applications. Journal of Applied Mathematics 2011, 298628 (2011). DOI 10.1155/2011/298628
• [33] Hey, N., Bouchaud, J.P., Mastromatteo, I., Muhle-Karbe, J., Webster, K.: The Cost of Misspecifying Price Impact. arXiv preprint arXiv:2306.00599 (2023)
• [34] Hopman, C.: Essays on the relation between stock price movements and orders. Ph.D. thesis, Massachusetts Institute of Technology (2003)
• [35] Huang, W., Lehalle, C.A., Rosenbaum, M.: Simulating and analyzing order book data: The queue-reactive model. Journal of the American Statistical Association 110(509), 107–122 (2015)
• [36] Ikeda, N., Watanabe, S.: Stochastic Differential Equations and Diffusion Processes. North-Holland/Kodansha, Amsterdam/Tokyo (1989)
• [37] Jacod, J.: Calcul stochastique et problèmes de martingales, vol. 714. Springer (1979)
• [38] Jacod, J., Shiryaev, A.N.: Limit Theorems for Stochastic Processes. Springer, Berlin, Heidelberg (1987)
• [39] Jaisson, T.: Market impact as anticipation of the order flow imbalance. Quantitative Finance 15(7), 1123–1135 (2015)
• [40] Jaisson, T., Rosenbaum, M.: Limit theorems for nearly unstable Hawkes processes. The Annals of Applied Probability 25(2), 600–631 (2015)
• [41] Jaisson, T., Rosenbaum, M.: Rough fractional diffusions as scaling limits of nearly unstable heavy tailed Hawkes processes. The Annals of Applied Probability 26(5), 2860–2882 (2016)
• [42] Jusselin, P., Rosenbaum, M.: No-arbitrage implies power-law market impact and rough volatility. Mathematical Finance 30(4), 1309–1336 (2020)
• [43] Kyle, A.S., Obizhaeva, A.A.: Large bets and stock market crashes. Review of Finance (2023)
• [44] Lehalle, C.A., Mounjid, O.: Limit order strategic placement with adverse selection risk and the role of latency. Market Microstructure and Liquidity 3(01), 1750009 (2017)
• [45] Lillo, F., Farmer, J.D., Mantegna, R.N.: Master curve for price-impact function. Nature 421(6919), 129–130 (2003)
• [46] Mastromatteo, I., Toth, B., Bouchaud, J.P.: Agent-based models for latent liquidity and concave price impact. Physical Review E 89(4), 042805 (2014)
• [47] Said, E., Ayed, A.B.H., Husson, A., Abergel, F.: Market impact: A systematic study of limit orders. Market microstructure and liquidity 3(03n04), 1850008 (2017)
• [48] Stoikov, S.: The micro-price: a high-frequency estimator of future prices. Quantitative Finance 18(12), 1959–1966 (2018)
• [49] Tóth, B., Lemperiere, Y., Deremble, C., De Lataillade, J., Kockelkoren, J., Bouchaud, J.P.: Anomalous price impact and the critical nature of liquidity in financial markets. Physical Review X 1(2), 021006 (2011)
• [50] Webster, K.: Handbook of Price Impact Modeling. CRC Press (2023)

Оригинал статьи: Ouazzani Chahdi, Rosenbaum and Szymanski, «Passive Market Impact: A Point Process Approach», arXiv:2412.07461