Глубокое обучение встречает Queue-Reactive: фреймворк реалистичной симуляции лимитного стакана

8.5/10

Ключевые слова: лимитный стакан, генеративные модели, рыночные симуляторы, стилизованные факты, микроструктура рынка.

Аннотация

Модель Queue-Reactive, введённая Хуаном и соавторами (2015), стала стандартным инструментом моделирования лимитного стакана и широко принята как исследователями, так и практиками за свою простоту и эффективность. Мы представляем модель Multidimensional Deep Queue-Reactive (MDQR), которая расширяет этот фреймворк тремя способами: ослабляет предположение о независимости очередей, обогащает пространство состояний рыночными признаками и моделирует распределение размеров заявок. Благодаря нейросетевой архитектуре модель выучивает сложные зависимости между разными ценовыми уровнями и адаптируется к меняющимся рыночным условиям, сохраняя при этом интерпретируемую основу исходного фреймворка на точечных процессах. На данных рынка фьючерсов на Bund мы показываем, что MDQR воспроизводит ключевые свойства рынка, включая закон квадратного корня для рыночного воздействия, кросс-корреляции очередей и реалистичные паттерны размеров заявок. Модель демонстрирует особую силу в воспроизведении как условных, так и стационарных распределений размеров заявок, а также различных стилизованных фактов микроструктуры рынка. Всё это достигается при сохранении вычислительной эффективности, необходимой для практических приложений — таких как разработка стратегий методами обучения с подкреплением или реалистичный бэктест.

1. Введение и мотивация

Финансовые рынки существенно эволюционировали за последние десятилетия, и электронные лимитные стаканы стали преобладающим механизмом формирования цены и торговли на крупнейших биржах мира. Гулд и соавторы (2013) дают исчерпывающий обзор этих рынков, где участники взаимодействуют, подавая лимитные заявки (обозначающие готовность торговать по конкретным ценам) и рыночные заявки (исполняющиеся против существующих лимитных), создавая сложную высокоразмерную систему, динамика которой возникает из взаимодействий разнородных участников рынка (Cont, 2011).

Понимание и моделирование этой динамики важны по нескольким причинам. Во-первых, участникам рынка нужны реалистичные симуляторы, чтобы разрабатывать и тестировать торговые стратегии до их запуска на живых рынках, где тестирование может быть и рискованным, и дорогим (Cartea и соавторы, 2015). Во-вторых, регуляторам нужны инструменты для оценки устойчивости рынка и последствий возможных изменений политики, как показали Кириленко и соавторы (2017) в своём анализе Flash Crash. В-третьих, исследователи стремятся понять фундаментальные механизмы, управляющие формированием цены и рыночным воздействием (Gatheral, 2010).

Сложность рынков с лимитными заявками ставит серьёзные модельные вызовы. Приходы заявок демонстрируют сложные временные зависимости, причём поток заявок на одном ценовом уровне потенциально влияет на динамику других уровней. Размеры заявок значительно варьируются и обнаруживают отчётливые закономерности. Кроме того, реакция рынка на крупные сделки проявляется через сложные механизмы обратной связи, что приводит к хорошо задокументированным явлениям — таким как «закон квадратного корня» для рыночного воздействия (Gatheral, 2010; Cont and De Larrard, 2014).

Традиционные подходы к моделированию стакана часто опираются на упрощающие предположения ради сохранения аналитической податливости. Хуан и соавторы (2015) сделали значительный шаг вперёд своей моделью Queue-Reactive (QR), уловив зависимость между потоком заявок и размерами очередей и сохранив при этом аналитическую податливость. Недавно Бодор и Карлье (2024) детально исследовали качество модели QR относительно множества стилизованных фактов рынка Bund и предложили несколько расширений, сосредоточившись прежде всего на моделировании размеров заявок. Однако и эти улучшенные модели по-прежнему сохраняют сильные предположения о независимости между ценовыми уровнями и упрощённые распределения размеров заявок.

Появление методов глубокого обучения открывает новые возможности для схватывания этих сложных зависимостей при сохранении вычислительной осуществимости. Недавние успехи применения нейронных сетей к финансовым рынкам, продемонстрированные Сириньяно и Контом (2019), позволяют предположить, что эти методы могли бы помочь преодолеть ограничения традиционных подходов, сохранив их интерпретируемость.

В этой работе мы предлагаем расширение модели Queue-Reactive на основе глубокого обучения, которое существенно повышает её гибкость, сохраняя экономическую интерпретируемость. Наш подход соединяет теоретические идеи фреймворка QR с выразительной силой глубоких нейронных сетей. Ключевые вклады нашей работы:

1. Нейросетевое расширение фреймворка Queue-Reactive для моделирования стакана, балансирующее интерпретируемость и вычислительную эффективность.
2. Интеграция зависимостей между ценовыми уровнями и реалистичное моделирование размеров заявок.
3. Эмпирическая валидация, демонстрирующая способность модели воспроизводить сложные паттерны рыночного воздействия и ключевые стилизованные факты.
4. Фреймворк, наводящий мост между традиционными стохастическими моделями и современными подходами машинного обучения.

Остальная часть работы организована следующим образом. Раздел 2 обозревает литературу по моделированию лимитного стакана. Раздел 3 представляет модель Queue-Reactive, её расширения и ограничения. Раздел 4 вводит фреймворк MDQR и анализирует его свойства. Раздел 5 сравнивает наш подход со смежными работами. Раздел 6 завершает работу направлениями будущих исследований.

2. Связанные работы

Моделирование динамики лимитного стакана привлекло значительное внимание как учёных, так и практиков, что привело к разнообразным подходам — от чисто статистических моделей до изощрённых методов машинного обучения. Ранние эмпирические исследования Бушо и соавторов (2002) и Поттерса с Бушо (2003) установили ключевые стилизованные факты о потоке заявок, формировании цены и рыночном воздействии, которые последующие модели стремились воспроизвести.

Статистические подходы, особенно основанные на точечных процессах, сформировали первоначальный каркас моделирования динамики стакана. Смит и соавторы (2003) и Конт с соавторами (2010) ввели простые модели на пуассоновских процессах, дававшие ценные аналитические выводы при сохранении податливости, хотя им не удавалось уловить сложные зависимости, наблюдаемые в эмпирических данных. Это ограничение привело к разработке более изощрённых моделей на процессах Хоукса, как показали Абержель и Джедиди (2013, 2015), которые лучше улавливали кластеризацию событий и временные зависимости в потоке заявок. Существенное продвижение произошло, когда Хуан и соавторы (2015) ввели модель Queue-Reactive, сделав интенсивности прихода зависимыми от размеров очередей и лучше отразив эмпирическую связь между потоком заявок и состоянием рынка. Недавно Бодор и Карлье (2024) расширили этот фреймворк, включив в модель размеры заявок, и продемонстрировали улучшенное эмпирическое соответствие.

Паддрик и соавторы (2012) предложили иную перспективу через агентные модели, сосредоточенные на поведении участников рынка. Хотя эти модели дали ценные представления о рыночных механизмах, особенно в стрессовых сценариях вроде Flash Crash, изученного Кириленко и соавторами (2017), сложность калибровки поведения множества агентов под эмпирические данные ограничила их практическое применение (Vyetrenko и соавторы, 2020). Более того, как подчёркивают Акстелл и Фармер (2022), эволюция агентного моделирования в экономике и финансах указывает на его потенциал в схватывании сложных взаимодействий и эмерджентных явлений, хотя практические трудности реализации сохраняются.

Появление методов машинного обучения открыло новые направления для моделирования стакана. Сириньяно и Конт (2019) продемонстрировали силу глубокого обучения в прогнозировании ценовых движений, тогда как недавние работы сосредоточились на генеративном моделировании динамики стакана целиком. В частности, Колетта и соавторы (2022) разработали подход на основе GAN для симуляции стакана, сосредоточившись на объяснимости и робастности. Их работа дала каркасы для оценки качества генератора и обеспечения устойчивого обучения — критические соображения для практических приложений. Опираясь на этот фундамент, Конт и соавторы (2023) расширили подход на основе GAN, успешно воспроизведя сложные рыночные поведения, включая закон квадратного корня для рыночного воздействия. Особенно значимый вклад внесли Хультин и соавторы (2023), применившие подход на рекуррентных нейронных сетях, который успешно уловил временные зависимости, сохранив ключевые статистические свойства динамики стакана.

Недавние работы исследовали также гибридные подходы, соединяющие традиционные модельные каркасы с методами машинного обучения. Конт и Мюллер (2021) моделировали стакан как плотность, эволюционирующую согласно стохастическому уравнению в частных производных, используя нейронные сети для схватывания сложных зависимостей в управляющих процессах. Эти гибридные подходы указывают на возможность соединения интерпретируемости традиционных моделей с гибкостью современных методов машинного обучения.

Наша работа опирается на эти достижения, предлагая расширение модели Queue-Reactive на основе глубокого обучения, которое сохраняет её экономическую интерпретируемость, существенно повышая гибкость в схватывании сложной рыночной динамики. Такой подход наводит мост между традиционными стохастическими моделями и современными методами машинного обучения, предлагая каркас, выигрывающий от обеих традиций.

3. Модель Queue-Reactive и её расширения

Модель Queue-Reactive (QR), введённая Хуаном и соавторами (2015), даёт изящный каркас для моделирования динамики лимитного стакана. По своей сути модель рассматривает стакан как набор очередей, центрированных вокруг референсной цены, обычно средней цены. Каждая очередь представляет накопленный объём заявок на конкретном ценовом уровне, а книга делится на стороны bid и ask. Эволюция этих очередей управляется тремя типами событий: лимитными заявками, добавляющими объём к существующим очередям, отменами, удаляющими заявки, и рыночными заявками, исполняющимися против доступной ликвидности.

Что отличает модель QR от более ранних подходов — её центральная идея: интенсивности прихода разных типов заявок зависят от текущего состояния очередей. Эта зависимость от состояния схватывает ключевое эмпирическое наблюдение: участники рынка корректируют своё поведение исходя из видимых условий стакана. Например, большая очередь на лучшей цене bid может привлекать больше рыночных заявок на продажу, одновременно отбивая охоту подавать дополнительные лимитные заявки на покупку на этом уровне.

Модель представляет лимитный стакан как $2K$-мерный вектор, где $K$ обозначает число отслеживаемых ценовых уровней на каждой стороне книги. Референсная цена $p_{ref}$ служит центральной точкой, деля книгу на очереди стороны bid $[Q_{-i}: i=1,\dots,K]$ и очереди стороны ask $[Q_i: i=1,\dots,K]$. Здесь $Q_{\pm i}$ представляет размер очереди на расстоянии $i-0.5$ тиков от референсной цены, с отрицательными индексами для стороны bid и положительными для стороны ask.

Математическая формулировка модели схватывает эту интуицию через систему взаимодействующих точечных процессов. Рассмотрим последовательность событий, происходящих в данной очереди, $\mathcal{E} = \{e_k\}_{k=1}^N$, где каждое событие $e_k$ характеризуется своим типом $\eta_k \in \{L, C, M\}$ (лимитная заявка, отмена или рыночная заявка), размером очереди $q_k$ непосредственно перед событием и интервалом времени $\Delta t_k$ с момента предыдущего события.

Ключевой компонент модели — задание функций интенсивности $\lambda^{\eta}(q)$ для каждого типа события $\eta$, которые определяют интенсивности прихода разных заявок исходя из текущего размера очереди. Эти интенсивности складываются в глобальную интенсивность — интенсивность обновления очереди (независимо от того, какое именно событие её обновляет):

Функция правдоподобия модели тогда принимает вид:

Максимизатор этого правдоподобия может быть выведен аналитически и имеет вид:

Эта формулировка оказалась замечательно успешной в воспроизведении нескольких ключевых особенностей рынков с лимитными заявками, включая связь между размерами очередей и потоком заявок, а также поведение возврата к среднему у размеров очередей. Однако базовая модель делает ряд упрощающих предположений, ограничивающих её способность улавливать более сложную рыночную динамику. Прежде всего, она предполагает независимость между ценовыми уровнями и постоянные размеры заявок внутри каждого уровня.

В работе Бодора и Карлье (2024) мы расширяем модель Queue-Reactive, включая размеры заявок в функции интенсивности и модифицируя их до вида:

Это расширение, известное как SAQR, обеспечивает рыночные симуляции с уровнями волатильности, более близкими к историческим данным, сохраняя при этом другие важные свойства — например, распределение размеров заявок. Однако и исходная модель QR, и SAQR опираются исключительно на размеры очередей как признаки для моделирования прихода заявок, что ограничивает их способность воспроизводить некоторые важные стилизованные факты, такие как возбуждение между событиями.

Эти ограничения мотивируют наше расширение каркаса QR для размещения более широкого пространства состояний. Используя методы глубокого обучения, мы можем сохранить интерпретируемую структуру модели, включив при этом более реалистичные признаки — такие как зависимости между ценовыми уровнями и переменные размеры заявок.

3.1. Модель Deep Queue-Reactive

Хотя модель QR схватывает динамику очереди через зависимость от размеров очередей с функцией правдоподобия

решения участников рынка зависят от более широких рыночных условий. Модель Deep Queue-Reactive (DQR) обобщает этот каркас, заменяя зависимость от размера очереди $q_k$ гибким вектором состояния $x_k$, который может включать любые релевантные рыночные признаки.

Модель параметризует функции интенсивности через нейронные сети $\lambda_{\theta}^{\eta}(x_k)$, где $\theta$ представляет параметры сети. Взяв логарифм правдоподобия:

где $\Lambda_{\theta}(x_k) = \sum_{\eta \in \{L,C,M\}} \lambda_{\theta}^{\eta}(x_k)$.

Модель калибруется минимизацией отрицательного логарифмического правдоподобия:

Такая нейросетевая параметризация позволяет выучивать сложные связи между рыночными условиями и потоком заявок, а гибкость в определении $x_k$ позволяет включать любые релевантные рыночные признаки помимо размеров очередей. Раздел 3.4 показывает, как разные варианты переменных пространства состояний влияют на свойства симулируемого рынка.

3.2. Данные

Данные для калибровки получены из фьючерсов на Euro-Bund (FGBL), а именно охватывают активные торговые дни за три месяца с марта по июнь 2022 года для фьючерсов с погашением в июне 2022 (FGBLM2). Набор данных отфильтрован так, чтобы включать периоды с 9:00 до 18:00, с максимальной глубиной в пять уровней на каждой стороне стакана.1

Статистические характеристики набора данных, использованного для калибровки модели, сведены в таблице 1, включая число событий по типам, средний размер события (AES) и среднее время между событиями (AIT) для каждой очереди. Данные обнаруживают концентрацию активности вблизи средней цены, особенно на уровнях лучшего bid и лучшего ask.

Наш набор данных объединяет обновления лимитного стакана с дневными торговыми записями. Процесс калибровки требует точной информации о потоке заявок, которую мы извлекаем, классифицируя каждое обновление как предоставление ликвидности (лимитные заявки) либо её потребление (отмены и рыночные заявки) по методологии, детально описанной в Бодор и Карлье (2024). Специально написанный движок сведения обрабатывает заявки, генерируемые каждой моделью, чтобы поддерживать согласованное состояние симулируемого стакана.

Следуя Хуану и соавторам (2015), мы применяем несколько шагов предобработки:

• Размеры очередей нормируются на соответствующие средние размеры событий: для очереди $i$ с размером $q_i$ и средним размером события $AES_i$ мы вычисляем $q_i \leftarrow \lceil \frac{q_i}{AES_i} \rceil$.
• Мы разбиваем данные на сегменты с постоянной референсной ценой, сбрасывая измерения времени между событиями по всем очередям при изменении референсной цены.

Несколько важных аспектов характеризуют наш подход к симуляции:

• определение момента и типа события с помощью откалиброванных функций интенсивности;
• эволюция цены по заданной методологии при сохранении эндогенной рыночной динамики за счёт отказа от искусственных перерисовок стакана;
• инициализация размеров очередей для новых ценовых уровней на основе их эмпирических распределений после изменения референсной цены.

3.3. Нейросетевая архитектура и методология обучения

Модель использует нейросетевую архитектуру для калибровки параметрических интенсивностей по ценовым уровням, балансируя предсказательное качество и вычислительные требования. Архитектура состоит из многослойного перцептрона (MLP) с двумя скрытыми слоями размерности 128 и 32 нейрона с активациями гиперболического тангенса (tanh), за которыми следует выходной слой размерности 3 с активацией ReLU, порождающий интенсивности прихода лимитных заявок, отмен и рыночных заявок. Такая конфигурация возникла из эмпирического подбора, обеспечивая эффективный баланс между выразительностью модели и вычислительной эффективностью — важное соображение для каркаса симуляции.

Чтобы улучшить обучаемость и устойчивость модели, мы вставляем слои батч-нормализации между последовательными плотными слоями. В случаях, когда входной вектор $x_k$ содержит категориальные признаки, мы применяем обучаемые слои эмбеддингов размерности 2, позволяя модели находить осмысленные представления дискретных переменных при компактном пространстве параметров.

Протокол обучения следует такой методологии:

• разбиение данных: 80% набора отводится под обучение, оставшиеся 20% — под валидацию и критерий ранней остановки;
• оптимизация: оптимизатор Adam с циклическим расписанием скорости обучения, колеблющейся между $10^{-5}$ и $10^{-3}$;
• ранняя остановка: прекращение обучения после 10 последовательных эпох без улучшения валидационной ошибки.

Эта архитектура демонстрирует надёжные свойства сходимости, сохраняя вычислительную эффективность, необходимую для практического развёртывания в высокочастотных рыночных сценариях.

3.4. Примеры применения

3.4.1. Возбуждение между событиями. На финансовых рынках тип предыдущего события ($\eta_{k-1}$) часто влияет на тип и интенсивность следующего события. Это явление, известное как возбуждение, критично для реалистичного моделирования динамики событий. Традиционные модели Queue-Reactive (QR) и Size-Aware Queue-Reactive (SAQR) не улавливают возбуждение, поскольку не моделируют явно никакой информации об истории потока заявок, что приводит к неверным значениям возбуждения.

Чтобы это исправить, мы включили $\eta_{k-1}$ как признак в пространство состояний $x_k = [q_k, \eta_{k-1}]$ модели Deep Queue-Reactive (DQR). Это позволяет модели выучить, как тип последнего события влияет на последующие.

Рисунок 1 — смотреть в оригинале (PDF)

Рисунок 1 сравнивает матрицы переходов событий: исторические данные — эталон, показывающий отчётливые паттерны возбуждения; модель SAQR — строки однородны, что указывает на отсутствие возбуждения; модель DQR — улавливает реалистичные паттерны возбуждения, близко совпадающие с историческими данными.

Как видно на рисунке 1, модель DQR воспроизводит паттерны возбуждения, наблюдаемые в исторических данных, что подтверждает важность включения $\eta_{k-1}$ в пространство состояний. Напротив, модели SAQR и QR не улавливают эту ключевую динамику, давая однородные матрицы переходов, то есть отсутствие каких-либо взаимозависимостей типов событий. Предыдущая работа Ву и соавторов (2019) успешно воспроизвела эти паттерны возбуждения, разработав гибридный каркас, соединяющий процессы Хоукса с моделью QR. Каркас DQR достигает сопоставимых результатов, схватывая эту динамику за счёт включения информации об истории событий в пространство состояний.

3.4.2. Внутридневная сезонность. Другое ограничение модели QR — её однородная трактовка рыночного поведения в разное время дня. На практике рынки демонстрируют отчётливые режимы активности в течение торговой сессии, с повышенной активностью в периоды открытия и закрытия и более спокойными фазами около обеденного перерыва, как задокументировано в Бодор и Карлье (2024). Чтобы уловить эти внутридневные паттерны, мы включаем временную информацию в пространство состояний модели.

Для схватывания внутридневной сезонности мы включили час последнего события $h_k$ как дополнительный признак в пространство состояний $x_k$. Это преобразует $x_k$ для каждого события $e_k$ в:

где $q_k$ — размер очереди непосредственно перед событием, а $h_k$ — текущий час дня (как категориальный признак).

Рисунок 2 — смотреть в оригинале (PDF)

Включение $h_k$ позволяет модели выучить внутридневные паттерны — например, вариации интенсивностей событий по часам торговли (в частности, повышенную активность на открытии и закрытии европейских рынков). Рисунок 2 иллюстрирует, как включение $h_k$ улучшает способность модели DQR воспроизводить наблюдаемую внутридневную сезонность рыночной активности.

3.4.3. Влияние обогащения признаков на качество модели. Чтобы дополнительно проверить эффект обогащения пространства состояний $x_k$, мы оценили качество модели DQR по трём ключевым метрикам:

• логарифмическое правдоподобие модели: более высокое значение указывает на лучшее соответствие предсказаний модели наблюдаемым рыночным событиям;
• сбалансированная точность предсказания следующего события: способность модели правильно классифицировать тип следующего события ($\eta_k$);
• относительная разница во времени до следующего события: насколько хорошо модель предсказывает момент следующего события по сравнению с фактически наблюдаемыми значениями.

Рисунок 3 — смотреть в оригинале (PDF)

Анализ результатов. Правдоподобие модели (левая панель). Используя один лишь размер очереди $q_k$ как базовый признак, мы наблюдаем, как дополнительные признаки повышают качество модели. Добавление часа последнего события ($h_k$) улучшает логарифмическое правдоподобие, схватывая паттерны внутридневной сезонности. Включение типа последнего события ($\eta_{k-1}$) даёт дальнейшее улучшение за счёт учёта эффектов возбуждения событий. Комбинация $h_k$ и $\eta_{k-1}$ приводит к наивысшему логарифмическому правдоподобию, что говорит о том, что эти признаки дают взаимодополняющую информацию о динамике потока заявок.

Сбалансированная точность (средняя панель). Начиная с базовой модели с одним размером очереди, мы видим систематические улучшения предсказания типа следующего события с каждым добавлением признака. Тогда как $h_k$ схватывает эффекты времени дня в паттернах потока заявок, $\eta_{k-1}$ показывает особенно сильное влияние, вводя информацию о последовательности событий. Комбинирование обоих признаков даёт наивысшую сбалансированную точность, используя и временные паттерны, и зависимости между событиями.

Относительная разница во времени до следующего события (правая панель). Базовая модель служит точкой отсчёта для предсказания времени между событиями. Добавление $h_k$ существенно снижает ошибку предсказания за счёт учёта внутридневной сезонности, показывая особую эффективность в предсказании времени. Добавление $\eta_{k-1}$ сохраняет это улучшение точности по времени, а комбинированная модель достигает наименьшей относительной разницы, используя и временную структуру из $h_k$, и последовательность событий из $\eta_{k-1}$.

Эмпирические результаты демонстрируют способность каркаса DQR схватывать сложную рыночную динамику через контекстные признаки. Улучшенное качество, достигаемое включением и $h_k$, и $\eta_{k-1}$, позволяет модели отражать ключевые свойства рынка — такие как внутридневная сезонность и зависимости типов событий. Обогащённое пространство состояний не только улучшает качество симуляции, но и повышает правдоподобие модели, подтверждая обоснованность включения дополнительных рыночных признаков. Это расширение исходного каркаса сохраняет баланс между сложностью модели и интерпретируемостью, удерживая лежащую в основе структуру точечного процесса и вмещая при этом более богатую рыночную динамику.

Эти результаты позволяют предположить, что способность модели DQR воспроизводить свойства рынка зависит от признаков, включённых в пространство состояний $x$, причём каждое добавление потенциально схватывает новые аспекты рыночного поведения. Это наблюдение мотивирует дальнейшее исследование более богатых пространств состояний. В следующем разделе мы представляем обобщение этого каркаса, включающее более широкий набор рыночных признаков.

4. Модель Multidimensional Deep Queue-Reactive

Мы ввели модели Queue-Reactive (QR) и Deep Queue-Reactive (DQR) как каркасы описания прихода событий в одной очереди. Модели QR схватывают, как разные типы событий (лимитная заявка, отмена, рыночная заявка) зависят от размера очереди, тогда как DQR обобщает эту зависимость на более сложные представления состояния (например, дополнительные рыночные признаки, исторические зависимости) через параметрические (нейросетевые) интенсивности. Хотя эти модели дают ценные представления, у них есть два критических ограничения:

1. Независимость между очередями. И QR, и DQR рассматривают каждую очередь или ценовой уровень изолированно. На практике, однако, разные ценовые уровни внутри лимитного стакана взаимодействуют друг с другом. Например, активность на лучшем bid может влиять на поведение на лучшем ask, а условия на более глубоких уровнях могут распространяться к вершине книги. Игнорирование этих межуровневых зависимостей ограничивает реалистичность и объяснительную силу модели.
2. Отсутствие моделирования размеров заявок. Ни QR, ни DQR не моделируют явно распределение размеров заявок. Эмпирические результаты (Бодор и Карлье, 2024) указывают, что размеры заявок играют ключевую роль в формировании динамики лимитного стакана. Опуская размеры заявок, мы теряем существенное измерение рыночной сложности, потенциально снижая способность модели точно отражать наблюдаемые явления.

Чтобы решить эти проблемы, мы предлагаем модель Multidimensional Deep Queue-Reactive (MDQR). Модель MDQR расширяет каркас QR тремя основными способами: (i) обобщает пространство состояний с одного лишь размера очереди $q_k$ до общего пространства состояний $x_k$ и моделирует интенсивность прихода событий с помощью глубокого обучения (как введено в модели DQR); (ii) трактует весь лимитный стакан как единую многомерную сущность, тем самым схватывая межуровневые взаимодействия; (iii) включает размеры заявок в вероятностную формулировку, позволяя более полно представить рыночные события.

Рисунок 4 — смотреть в оригинале (PDF)

Рисунок 4 иллюстрирует концептуальный сдвиг от постановки с одной очередью к многомерной. Слева традиционный взгляд рассматривает одну очередь, получающую три типа событий (лимитная заявка, отмена, рыночная заявка) для каждой очереди. Справа модель MDQR расширяет эту перспективу на несколько ценовых уровней, каждый из которых способен получить любой из трёх типов событий. Это даёт более богатое пространство событий с $3 \times 2n$ различными комбинациями «категория — уровень», если рассматривается $n$ ценовых уровней на сторону (где положительные индексы представляют уровни стороны ask, а отрицательные — стороны bid). Объединяя эти уровни в едином модельном каркасе, MDQR может напрямую схватывать, как условия и события на одном уровне влияют на другие.

Чтобы формализовать этот подход, рассмотрим последовательность событий $\mathcal{E} = \{e_k\}_{k=1}^N$, где каждое событие

характеризуется:

• $\eta_k \in \{L, C, M\}$ — категория события (лимитная заявка, отмена, рыночная заявка);
• $\ell_k \in \mathcal{P} = \{-K, \dots, -1, 1, \dots, K\}$ — ценовой уровень, на котором происходит событие. Положительные целые соответствуют уровням стороны ask, отрицательные — стороны bid;
• $\Delta t_k = t_k - t_{k-1}$ — время между приходами с момента предыдущего события;
• $s_k$ — размер заявки, связанной с событием;
• $x_k$ — вектор состояния, который может включать информацию с нескольких уровней и сторон, а также другие релевантные признаки, такие как исторические зависимости или рыночные индикаторы.

Совместное правдоподобие наблюдаемой последовательности событий факторизуется на две компоненты:

Первая часть этой факторизации управляет временем и характеристиками «категория — уровень» событий. Как и в моделях QR и DQR, мы предполагаем условно пуассоновскую структуру прихода событий. Определим функцию интенсивности $\lambda^{(\eta,\ell)}(x_k;\theta)$ для каждой категории события $\eta$ и уровня $\ell$. Полная интенсивность наблюдения любого события на любом уровне равна:

Вероятность события типа $\eta_k$ на уровне $\ell_k$ в момент $t_k$ при состоянии $x_k$ тогда:

а совместная вероятность по всем событиям для этой части модели:

Это выражение обобщает каркас DQR на многомерную постановку, где состояние $x_k$ может интегрировать информацию с нескольких ценовых уровней, схватывая межуровневые зависимости и более богатый набор рыночных сигналов.

Для калибровки модели мы минимизируем отрицательное логарифмическое правдоподобие, что даёт более податливую задачу оптимизации:

где $\ell_{\lambda}(\theta)$ представляет целевую функцию, минимизируемую для калибровки модели интенсивностей прихода.

Вторая компонента правдоподобия, $\prod_{k=1}^{N} p(s_k \mid \eta_k, \ell_k, t_k, x_k; \theta)$, моделирует распределение размеров заявок при заданных типе события, уровне и состоянии. Этот множитель независим от интенсивностей времени и категории-уровня, что позволяет моделировать его отдельно. В следующем разделе мы сосредоточимся на том, как задать и оценить это распределение размеров.

Подводя итог, модель MDQR соединяет многомерное представление стакана с интегрированным моделированием размеров заявок. Схватывая межуровневые взаимодействия и явно включая распределения размеров, MDQR предлагает более полный и реалистичный каркас для анализа и симуляции динамики лимитного стакана, чем предыдущие модели с одной очередью.

4.1. Моделирование распределения размеров заявок

Напомним из формулировки модели MDQR, что совместное правдоподобие наблюдаемой последовательности событий факторизуется на две компоненты (уравнение 3). Первый член, как обсуждалось, управляет временем, уровнем и категорией событий и был рассмотрен в предыдущем разделе. Второй член моделирует распределение размеров заявок, обусловленное характеристиками события и состоянием.

Чтобы задать $p(s_k \mid \eta_k, \ell_k, t_k, x_k; \theta)$, нужен гибкий подход, способный схватить разнообразие распределений размеров, наблюдаемых на практике. Можно было бы рассмотреть параметрические распределения — логнормальное, гамма или Вейбулла — с параметрами, обусловленными $(\eta_k, \ell_k, x_k)$. Однако распределения размеров заявок часто демонстрируют существенную асимметрию и могут резко различаться в зависимости от типа события и доступной ликвидности. Например, размеры, связанные с определёнными типами событий, могут быть фактически ограничены остаточной ликвидностью на этом уровне, что затрудняет удовлетворительную подгонку всех сценариев одним параметрическим семейством.

Альтернатива — использовать смесевые модели, например смеси гауссиан. Хотя они могут аппроксимировать широкий диапазон распределений, они вносят дополнительную сложность в выбор модели (например, определение числа компонент) и оценку параметров. Вычислительные издержки и устойчивость сходимости также могут стать проблемой, особенно при большом числе обусловливающих переменных.

Вместо этого более прямолинейный, но эффективный подход — дискретизовать пространство размеров заявок в набор предопределённых классов и моделировать распределение как категориальную вероятность по этим классам. Такой подход превращает задачу непрерывного моделирования в задачу многоклассовой классификации, позволяя использовать стандартные приёмы — например, минимизацию кросс-энтропийной ошибки. Дискретизация может быть достигнута разбиением диапазона размеров заявок на бины или квантили, так что каждый класс соответствует отдельному диапазону размеров.

В принципе, если размеры заявок сильно варьируются, можно определить подходящую стратегию биннинга — например, сгруппировать их по квантилям для поддержания сбалансированных частот классов. Это дало бы гибкий, управляемый данными набор классов, адаптирующийся к эмпирическому распределению наблюдаемых размеров заявок.

Однако в нашем конкретном наборе данных свыше 99.9% наблюдаемых размеров заявок меньше 200. Такая естественная концентрация вблизи малых значений существенно упрощает подход. Мы можем назначить каждому целому размеру от 1 до 200 собственный класс, устранив необходимость в биннинге или группировке по квантилям. В результате моделирование размеров заявок сводится к предсказанию категориального распределения по 200 классам. Затем можно обучить нейронную сеть, принимающую на вход $(\eta_k, \ell_k, x_k)$ и выдающую вероятность каждого дискретного класса размера. Параметры этой сети оцениваются минимизацией кросс-энтропийной ошибки по всем наблюдаемым событиям.

Если бы другой набор данных демонстрировал более широкий или рассеянный диапазон размеров заявок, можно было бы применить биннинг по квантилям или по интервалам равной ширины, чтобы удержать число классов управляемым и сохранить сбалансированное представление. Таким образом, подход гибок и адаптируется к разным характеристикам данных.

Эта стратегия на основе классификации предлагает баланс между гибкостью и практичностью. Она не опирается на ограничительные параметрические формы, избегает сложности смесевых моделей и естественно вмещает зависящие от состояния и от события паттерны благодаря способности нейронной сети выучивать нелинейные связи. Максимизация правдоподобия для этой компоненты сводится к минимизации кросс-энтропийной ошибки:

где $\hat{p}_c$ обозначает предсказанную моделью вероятность класса $c$, $y_{k,c}$ — one-hot закодированную истинную метку (1, если $s_k$ принадлежит классу $c$, иначе 0), а $C$ — общее число классов размеров ($C = 200$ в нашем случае). Вероятности обусловлены характеристиками события ($\eta_k, \ell_k$) и рыночным состоянием $x_k$.

4.2. Данные

Данные, используемые для калибровки модели MDQR, следуют каркасу, установленному в разделе 3.2, с одной ключевой модификацией в подходе к временной выборке. Тогда как предыдущий анализ вычислял $\Delta t_k$ между событиями внутри отдельных очередей, настоящее исследование рассматривает интервалы времени между всеми событиями стакана, давая более полный взгляд на рыночную динамику. Методология разбиения на сегменты и парадигма симуляции остаются согласованными с предыдущим каркасом, что обеспечивает преемственность нашего аналитического подхода.

4.3. Признаки

Модель включает разнообразный набор признаков, схватывающих как мгновенное состояние рынка, так и историческую рыночную динамику. Обозначим состояние лимитного стакана в момент $t_k$ следующим образом: для любого уровня $i$ пусть $q_i(t_k)$ представляет размер очереди, где $i \in \{-M, \dots, -1, 1, \dots, M\}$, причём отрицательные индексы соответствуют уровням bid, а положительные — уровням ask. Таким образом, $q_{-1}(t_k)$ и $q_1(t_k)$ представляют размеры очередей лучшего bid и лучшего ask соответственно.

Для каждого ценового уровня $i$ мы поддерживаем категориальную переменную $e_i(t_k)$, представляющую тип последнего события (лимитная заявка, отмена или рыночная заявка), произошедшего на этом уровне. Спред $s(t_k)$ вычисляется как разность между лучшими ценами ask и bid:

Чтобы уловить дисбалансы потока заявок на разных временных горизонтах, мы определяем признак торгового дисбаланса $TI_{\tau}(t_k)$ на окне $\tau$ как:

где $V^b(t)$ и $V^a(t)$ представляют проторгованные объёмы на сторонах bid и ask соответственно в момент $t$. Мы рассматриваем несколько временных горизонтов $\tau \in \mathcal{H} = \{20\text{ с}, 1\text{ мин}, 5\text{ мин}, 15\text{ мин}\}$, чтобы уловить и краткосрочные, и более долгосрочные рыночные тенденции.

Чтобы повысить способность модели учиться на категориальных признаках, каждая категориальная переменная (типы событий $e_i(t_k)$) проходит через слой эмбеддинга размерности 2, что использует относительно низкую кардинальность этих признаков и позволяет модели выучить осмысленные представления последовательностей событий.

4.4. Архитектура модели MDQR

Каркас MDQR расширяет архитектурные принципы, установленные для модели DQR (раздел 3.3), адаптируя их для размещения нескольких ценовых уровней. Сеть предсказания интенсивностей использует многослойный перцептрон с двумя скрытыми слоями размерности 256 и 64 нейрона соответственно. Выходной слой, расширенный теперь до размерности 30, охватывает полное пространство событий по всем отслеживаемым ценовым уровням — три возможных типа события (лимитные заявки, отмены и рыночные заявки) для каждого из десяти ценовых уровней (пять bid и пять ask). Сеть сохраняет активации гиперболического тангенса во всех скрытых слоях.

Для модели размеров заявок мы сохраняем основные архитектурные элементы, скорректировав размерности сети под более широкий охват рыночной динамики. Модель сохраняет активации Tanh в скрытых слоях и Softmax в выходном слое для порождения корректных распределений вероятностей.

Рисунок 5 — смотреть в оригинале (PDF)

Рисунок 5 показывает кривые обучения нейронной сети, обученной предсказывать интенсивности заявок, отображая отрицательное логарифмическое правдоподобие для обучающей и валидационной выборок. Модель демонстрирует устойчивую сходимость; обучение было остановлено после того, как валидационная ошибка не улучшалась примерно 10 эпох, около 85-й эпохи.

4.5. Результаты

Чтобы оценить качество предложенного симулятора, мы применяем комплексный подход к валидации, рассматривающий множество аспектов рыночного поведения. Наш анализ сосредоточен на трёх ключевых областях: способность модели воспроизводить установленные стилизованные факты рынка, её способность схватывать сложные паттерны динамики стакана и её предсказательная сила в отношении рыночных движений.

4.5.1. Рыночное воздействие. Один из важнейших сценариев использования симуляторов лимитного стакана — применение их как сред для обучения агентов методами обучения с подкреплением (RL) или для бэктеста стратегий исполнения. Критический аспект таких сред — способность точно воспроизводить реакцию рынка на действия агента, особенно в части рыночного воздействия. Рыночное воздействие означает эффект, который исполнение крупной заявки оказывает на эволюцию цены, независимо от того, исполняется ли заявка мгновенно или через конкретную стратегию дробления (Gatheral, 2010; Bouchaud и соавторы, 2018).

Эмпирические исследования последовательно отмечают, что во время исполнения крупной заявки на покупку по схеме TWAP цена обычно растёт вогнутым образом до достижения пика — известного как временное рыночное воздействие, — а затем снижается выпуклым образом, в конечном счёте оседая на уровне постоянного рыночного воздействия. Эта характерная траектория цены изображена на рисунке 6. Среди заметных работ, подтверждающих эти выводы: Zarinelli и соавторы (2015), Bacry и соавторы (2015) и Bouchaud и соавторы (2018).

Рисунок 6 — смотреть в оригинале (PDF)

Другое подробно изученное явление — связь между величиной рыночного воздействия и исполненным количеством. Преобладающий консенсус состоит в том, что максимальное воздействие растёт не линейно с размером исполненного количества, а следует закону квадратного корня. Это означает, что если $I(Q)$ представляет рыночное воздействие для количества $Q$, то $I(Q) \propto \sqrt{Q}$. Эта связь задокументирована в различных исследованиях, включая Bucci и соавторов (2019), Sato и Kanazawa (2024) и Gabaix и соавторов (2003).

Рисунок 7 — смотреть в оригинале (PDF)

Профили рыночного воздействия, показанные на рисунке 7, обнаруживают отчётливо разные поведенческие паттерны у моделей с признаками торгового дисбаланса (TI) и без них. Модель без признаков TI демонстрирует линейный рост ценового воздействия в фазе исполнения, за которым следует фаза плато, где воздействие стабилизируется. Напротив, модель, включающая признаки TI, демонстрирует более тонкое и теоретически обоснованное поведение: она показывает вогнутообразную динамику в фазе исполнения, за которой следует постепенный период релаксации, стабилизирующийся примерно через 10 минут после завершения исполнения.

Эта характерная форма согласуется с эмпирическими результатами Coletta и соавторов (2022), задокументировавших схожую динамику рыночного воздействия. Кроме того, наблюдаемый паттерн близко соответствует теоретическим предсказаниям (Zarinelli и соавторы, 2015; Bouchaud и соавторы, 2018) и отвечает теоретическому профилю рыночного воздействия, представленному на рисунке 6, хотя и с более тонкой вогнутостью в фазе исполнения и релаксацией, стабилизирующейся на скромном снижении в 20% — величине, рыночную специфичность которой невозможно проверить без данных о мета-сделках. Таким образом, включение признаков торгового дисбаланса усиливает способность модели MDQR схватывать реалистичную рыночную динамику, особенно в воспроизведении хорошо задокументированной нелинейной природы ценового воздействия и последующей фазы его релаксации.

Возросшая реалистичность моделирования рыночного воздействия показывает, что включение признаков торгового дисбаланса позволяет модели лучше схватывать сложное взаимодействие между потоком заявок и процессами формирования цены на финансовых рынках.

Рисунок 8 — смотреть в оригинале (PDF)

Далее, рисунок 8 даёт дополнительное представление о поведении модели при разных торговых объёмах. Левая панель иллюстрирует эволюцию профилей рыночного воздействия для разных начальных количеств $q_0$ (количество к покупке за $T = 5$ минут), выраженных в процентах от среднего 5-минутного торгового объёма на рынке фьючерсов Bund (примерно 4000 лотов, что примечательно согласуется с типичными уровнями ликвидности на этом крупном рынке фьючерсов с фиксированным доходом). По мере роста размера инвентаря от 0% до 200% среднего проторгованного объёма за 5 минут на рынке Bund мы наблюдаем систематическое увеличение величины рыночного воздействия при сохранении схожей временной динамики. Правая панель даёт эмпирическое подтверждение закона квадратного корня для рыночного воздействия: построение максимального воздействия против размера инвентаря в логарифмических шкалах даёт подгонку степенным законом $x^{0.55}$ с $R^2 = 0.89$, что указывает на воспроизведение моделью этой характеристики рынка.

4.5.2. Возбуждение между разными сторонами. Ключевой аспект моделирования микроструктуры рынка — понимание временных зависимостей между разными событиями стакана. Матрица переходов $\mathbb{P}(E_{k+1}|E_k)$, где $E_k$ представляет тип события на шаге $k$, схватывает эти зависимости, измеряя вероятность перехода от одного типа события к другому. Одна из главных мотиваций ослабления предположения о независимости между очередями — лучше моделировать взаимодействия между разными ценовыми уровнями, в частности между лучшими ценами ask и bid.

Рисунок 9 — смотреть в оригинале (PDF)

Рисунок 9 представляет сравнительный анализ этих матриц переходов по трём сценариям: исторические данные, модель SAQR и модель MDQR. В модели SAQR мы наблюдаем, что строки матрицы переходов демонстрируют схожие паттерны, что указывает на минимальные эффекты возбуждения, специфичные для событий. Это сходство говорит о том, что модель SAQR с её предположением о независимости очередей не схватывает сложные взаимодействия, присутствующие в стакане. Напротив, модель MDQR, используя свою способность моделировать разные ценовые уровни одновременно, успешно воспроизводит вероятности переходов, близко совпадающие с историческими паттернами. Эта возросшая точность особенно заметна в эффектах взаимного возбуждения между событиями ask и bid, что демонстрирует способность модели схватывать тонкие взаимозависимости, характеризующие реальную рыночную динамику.

4.6. Прогноз средней цены

Хотя основная цель нашего каркаса — порождать реалистичную динамику стакана, оценка его предсказательных способностей даёт дополнительное подтверждение его умения схватывать механизмы формирования цены. Мы применяем методологию Zhang и соавторов (2019) для оценки качества краткосрочного прогноза цены с модификациями, учитывающими специфику высоколиквидного рынка фьючерсов Bund.

Задача прогноза состоит в классификации направленных ценовых движений на горизонте $k = 500$ событий, где такой более длинный горизонт отражает более высокую ликвидность рынка Bund по сравнению с рынками акций. Для каждого момента $t_0$ мы вычисляем:

где $x_j^{\text{mid}}$ представляет среднюю цену за $j$ событий до $t_0$ при $j < 0$, в момент $t_0$ при $j = 0$, либо через $j$ событий после $t_0$ при $j > 0$. Ценовые движения классифицируются как восходящие при $r > \Delta r$, нисходящие при $r < -\Delta r$ и стационарные в остальных случаях. Порог $\Delta r$ установлен в 20 базисных пунктов для достижения сбалансированного распределения классов в контексте рынка Bund.

Для прогнозов на основе симулятора мы генерируем 500 будущих событий, стартуя из каждого наблюдаемого состояния стакана. Предсказанное движение определяется вычислением $\hat{m}_+$ по этим симулированным траекториям и сравнением $\hat{m}_+ - m_-$ с порогом $\Delta r$.

Эталонная модель DeepLOB калибруется на месяце данных лимитного стакана, с двухдневным валидационным периодом и трёхдневным тестовым периодом. Остальные данные используются для обучения с ранней остановкой при отсутствии улучшения валидационной ошибки в течение 10 последовательных эпох. Модель обучается на последних $T = 500$ состояниях стакана, состоящих из пяти уровней с каждой стороны. При обучении используются скорость обучения $1 \times 10^{-5}$ и размер батча 1024. Таблица 5 сводит доли ценовых движений по обучающей, валидационной и тестовой выборкам, показывая разумный баланс между тремя классами во всех наборах.

Таблица 6 представляет предсказательное качество разных моделей в прогнозировании движений средней цены. Тогда как архитектура DeepLOB, специально спроектированная для предсказания цены, достигает базового качества со сбалансированной точностью 0.54, генеративные модели показывают конкурентоспособные или превосходящие результаты. Модель QR соответствует этому качеству несмотря на более простую архитектуру, а SAQR демонстрирует умеренные улучшения по обеим метрикам. Каркас MDQR достигает наивысшего качества по обеим метрикам — сбалансированная точность 0.63 и F1-мера 0.62, — что позволяет предположить, что его возросшая способность схватывать межуровневые зависимости способствует улучшению предсказательной силы. Эти результаты особенно примечательны с учётом того, что предсказание цены не является основной целью этих генеративных моделей.

4.7. Прочие стилизованные факты

4.7.1. Распределение размеров очередей. Распределительные свойства размеров очередей дают важные представления о способности моделей схватывать фундаментальную рыночную динамику. Рисунок 10 представляет сравнительный анализ объёмов лучшего ask по разным спецификациям моделей. Модель MDQR демонстрирует заметную точность в воспроизведении эмпирического распределения, что особенно видно на левой панели, где симулированная плотность близко следует историческому паттерну. Это соответствие дополнительно подтверждается анализом Q-Q графика, показывающим замечательную согласованность между квантилями, порождёнными моделью, и эмпирическими.

Рисунок 10 — смотреть в оригинале (PDF)

Особенно примечательный аспект — близкое соответствие между эмпирическим распределением и подгонкой гамма-распределением, что согласуется с задокументированными стилизованными фактами на рынках с фиксированным доходом (Бодор и Карлье, 2024). Гамма-распределение, характеризуемое плотностью вероятности

где $\alpha$ представляет параметр формы, а $\beta$ — параметр интенсивности (при этом масштаб равен $1/\beta$), даёт естественный каркас для моделирования размеров очередей. Таблица 7 показывает, что модель MDQR близко воспроизводит параметры эмпирического распределения: значения формы ($\alpha = 1.30 \pm 0.13$) и масштаба ($1/\beta = 172.00 \pm 12.26$) близко совпадают с историческими данными ($\alpha = 1.35 \pm 0.18$, $1/\beta = 183.44 \pm 31.79$). Это соответствие говорит о том, что наша модель эффективно схватывает лежащие в основе свойства формирования размеров очередей, тогда как более простые модели вроде QR и SAQR показывают заметные отклонения в параметрах своих распределений.

Рисунок 11 — смотреть в оригинале (PDF)

Рисунок 11 распространяет этот анализ на более глубокие ценовые уровни, сравнивая средние выставленные объёмы между моделями и историческими данными. Каркас MDQR сохраняет своё превосходство по разным ценовым уровням, последовательно порождая объёмные паттерны, близко совпадающие с эмпирическими наблюдениями. Этот более широкий успех в воспроизведении характеристик объёма говорит о том, что модель эффективно схватывает не только динамику на лучших котировках, но и сложные взаимодействия, формирующие предоставление ликвидности по всей глубине стакана.

4.7.2. Корреляция между очередями стакана. Структура корреляций между объёмами на разных ценовых уровнях даёт ключевые представления о способности моделей схватывать динамику микроструктуры рынка. Рисунок 12 представляет корреляционные матрицы между объёмами очередей по уровням bid и ask, сравнивая эмпирические паттерны с теми, что порождены моделями QR, SAQR и MDQR.

Рисунок 12 — смотреть в оригинале (PDF)

Эмпирическая корреляционная матрица (рисунок 12a) обнаруживает несколько примечательных паттернов. Во-первых, существует сильная отрицательная корреляция ($-0.54$) между очередями лучшего bid и лучшего ask, отражающая естественную асимметрию потока заявок: периоды высокого давления продаж часто совпадают с истощённым интересом к покупке и наоборот. Во-вторых, мы наблюдаем значимые положительные корреляции между очередями на одной стороне книги, со значениями, обычно лежащими в диапазоне от 0.3 до 0.5, что указывает на скоординированное поведение при предоставлении ликвидности.

Модель QR (рисунок 12b) не схватывает эти существенные связи. Наиболее показательно, что она недооценивает отрицательную корреляцию между лучшими bid и ask ($-0.22$ против $-0.54$ в эмпирических данных) и показывает пренебрежимо малые корреляции между очередями на разных ценовых уровнях, где большинство значений близки к нулю. Это ограничение проистекает из независимой трактовки моделью отдельных очередей.

Хотя модель SAQR (рисунок 12c) показывает умеренное улучшение в схватывании корреляции между лучшими bid и ask ($-0.43$), она всё ещё с трудом воспроизводит более широкую корреляционную структуру, особенно положительные корреляции между очередями на одной стороне книги. Большинство внедиагональных элементов остаются близкими к нулю, что указывает на неспособность модели уловить взаимосвязанную природу динамики ликвидности.

Модель MDQR (рисунок 12d) демонстрирует заметно превосходящее качество в воспроизведении эмпирической корреляционной структуры. Она точно схватывает и отрицательную корреляцию между лучшими bid и ask ($-0.54$), и положительные корреляции между очередями одной стороны. Модель порождает реалистичные корреляционные паттерны, простирающиеся за пределы непосредственно соседних ценовых уровней, что говорит о её эффективности в схватывании сложного взаимодействия предоставления и потребления ликвидности по всему стакану — и всё это благодаря способности MDQR учитывать состояния множества очередей при симуляции событий.

4.7.3. Распределение доходностей. Распределительные свойства одноминутных доходностей дают ценные представления о способности моделей схватывать рыночную динамику. Рисунок 13 представляет как функции плотности вероятности, так и квантиль-квантильные графики для различных спецификаций моделей. Модель MDQR демонстрирует превосходящее качество в воспроизведении эмпирического распределения доходностей, особенно в схватывании характерных тяжёлых хвостов исторических доходностей.

Рисунок 13 — смотреть в оригинале (PDF)

Это улучшенное распределительное соответствие дополнительно подтверждается анализом Q-Q графика, где квантили MDQR близко выравниваются с теоретической линией $y = x$, что указывает на сильное согласие между симулированными и эмпирическими распределениями во всём диапазоне доходностей. Напротив, модель QR демонстрирует заметные отклонения, особенно в областях хвостов. Как обсуждается в Бодор и Карлье (2024), эти ограничения проистекают из неспособности модели QR адекватно схватывать быстрые ценовые движения из-за упрощённой динамики очередей.

Возросшая распределительная точность модели MDQR может быть отнесена на счёт её более изощрённой трактовки межуровневых взаимодействий и включения общерыночных переменных состояния, что позволяет ей лучше отражать сложные механизмы, управляющие формированием цены на реальных рынках.

4.7.4. Частота событий.

Рисунки 14 и 15 — смотреть в оригинале (PDF)

Рисунки 14 и 15 представляют исчерпывающее сравнение распределений событий по разным спецификациям моделей через ящичные диаграммы, рассматривая как число событий, так и агрегированные объёмы внутри 5-минутных окон. Анализ обнаруживает несколько ключевых выводов о возможностях и ограничениях моделей.

Модель QR демонстрирует точное воспроизведение среднего поведения для лимитных заявок и отмен — как по числу событий, так и по объёмам. Однако она показывает значительное расхождение в моделировании торговых событий. Расширение SAQR успешно устраняет это ограничение, приближая распределения торговых событий к историческим паттернам. Это улучшение подчёркивает важность включения дополнительных зависимостей очередей в модельный каркас.

Тем не менее обе модели, QR и SAQR, опирающиеся исключительно на размеры очередей, обнаруживают заметное ограничение: они не схватывают истинную рыночную вариативность. Наблюдаемые в этих моделях стандартные отклонения существенно меньше присутствующих в исторических данных, что указывает на упрощённое представление рыночной динамики.

Модель MDQR устраняет эти недостатки, не только точно воспроизводя средние поведения, но и схватывая более широкий диапазон рыночных сценариев. Распределения ближе соответствуют историческим данным по всем типам событий, особенно в части вариативности. Эта возросшая способность проистекает из умения модели включать несколько ценовых уровней и их взаимодействия, что даёт более реалистичное представление динамики микроструктуры рынка.

4.7.5. Время симуляции.

Вычислительная эффективность симуляторов стакана играет ключевую роль в различных приложениях. Тогда как генерация синтетических данных может требовать разумного числа симуляций, что делает вычислительную скорость менее критичной, алгоритмам обучения с подкреплением обычно нужны миллиарды рыночных событий на каждый прогон обучения. Более того, эти симуляции, как правило, нельзя переиспользовать между разными итерациями обучения. Это делает вычислительную эффективность решающим фактором практической реализации.

Таблица 8 представляет сравнение производительности по разным подходам к моделированию лимитного стакана. Каркас MDQR демонстрирует замечательную вычислительную эффективность, достигая времени инференса2 в 0.037 миллисекунды на событие. Это качество означает всего 1.95 минуты на симуляцию событий целого торгового дня3, что представляет существенное преимущество перед существующими подходами. Напротив, хотя архитектуры вроде LOBGAN (Sirignano and Cont, 2019) и RNN (Hultin и соавторы, 2023) могут предлагать более изощрённые возможности извлечения признаков, они требуют существенно больше вычислительных ресурсов: время дневной генерации у них лежит в диапазоне от 5.5 до 29 минут.

Эти соображения производительности мотивировали наш выбор простой MLP-архитектуры вместо потенциально более изощрённых подходов. Хотя продвинутые архитектуры могли бы предложить лучшие возможности извлечения признаков, специфические требования приложений обучения с подкреплением требуют поиска оптимального баланса между сложностью модели и вычислительной эффективностью. Это подчёркивает важность учёта предполагаемого сценария использования при выборе подходящей модельной архитектуры.

4.7.6. Распределение размеров заявок. Ключевая новация каркаса MDQR состоит в трактовке моделирования размеров заявок. В отличие от модели SAQR, опирающейся на независимые механизмы выборки, MDQR реализует условный подход, учитывающий более широкий рыночный контекст при генерации размеров заявок. Такая методология позволяет модели схватывать тонкое взаимодействие между рыночными условиями и выбором размеров трейдерами, отражая, как участники рынка адаптируют размеры своих заявок исходя из преобладающих рыночных условий и состояния стакана.

Рисунки 16 и 17 — смотреть в оригинале (PDF)

Распределение размеров заявок обнаруживает отчётливые паттерны в зависимости и от типа заявки, и от рыночных условий. Рисунки 16 и 17 иллюстрируют эту сложность двумя показательными случаями. Рисунок 16 показывает распределение размеров торговых заявок при размере очереди в 15 лотов, обнаруживая специфический паттерн с заметными пиками на определённых значениях размера (особенно 1 лот и 15 лотов). Напротив, рисунок 17 представляет распределение размеров лимитных заявок при размере очереди 20 лотов, демонстрируя иную структуру с более высокой концентрацией на меньших размерах. Модель размеров MDQR, по-видимому, схватывает эти различающиеся условные распределения, о чём свидетельствует близкое согласование эмпирических и симулированных паттернов в обоих случаях. Соответствующие Q-Q графики поддерживают это наблюдение, показывая последовательное согласие по всему диапазону размеров заявок как для торговых, так и для лимитных заявок.

Рисунок 18 — смотреть в оригинале (PDF)

Рисунок 18 представляет свидетельства эффективности модели в схватывании общей динамики размеров заявок. Левая панель отображает стационарное распределение размеров заявок, где порождённое MDQR распределение зеркалит исторический паттерн по всему диапазону наблюдаемых размеров. Это макроскопическое соответствие говорит о том, что модель усваивает факторы, влияющие на решения трейдеров о размере. Q-Q график на правой панели даёт количественное подтверждение этой распределительной точности, показывая согласование симулированных и эмпирических квантилей.

Эти результаты указывают, что компонента размеров MDQR способна воспроизводить распределения размеров заявок на разных масштабах. Модель, по-видимому, схватывает и конкретные условные распределения, возникающие при определённых рыночных условиях, и общее стационарное распределение размеров, что говорит о её полезности для реалистичной рыночной симуляции.

4.8. Анализ доли исполнения лимитных заявок

Симулятор MDQR позволяет нам исследовать важнейший вопрос, с которым сталкиваются участники рынка: как доля исполнения заявки меняется в зависимости от её характеристик. Стремясь приобрести (или продать) количество $q$ актива, трейдеры могут либо подать рыночную заявку по лучшей доступной цене, либо разместить лимитную заявку на желаемом ценовом уровне и ждать исполнения. Хотя лимитные заявки потенциально дают лучшие цены исполнения, они несут риск неисполнения или неблагоприятного движения цены.

Мы изучаем долю исполнения (fill ratio) — степень частичного или полного исполнения заявки — как функцию трёх ключевых характеристик:

• количество заявки ($q_{order}$) — размер выставленной заявки;
• время жизни заявки ($\tau$) — длительность до отмены4;
• ценовой уровень ($l$) — число тиков от лучшей котировки на своей стороне.

Для анализа мы рассматриваем:

• количества $q_{\text{order}} \in \{1, 2, 5, 10, 20, 50, 60\}$ лотов (соответствующие примерно перцентилям $\{0, 30\%, 50\%, 80\%, 90\%, 95\%, 99\%\}$ размеров лимитных заявок в исторических данных);
• периоды (времена жизни заявки) $\tau \in \{1, 5, 10, 30, 60, 300\}$ секунд;
• уровни $l \in \{0, 1, 2, 3, 4\}$ тиков от лучшей котировки.

Для каждой комбинации параметров мы симулируем примерно 2500 заявок. Доля исполнения для каждой заявки вычисляется как:

Это отношение равно 1, когда заявка полностью исполнена в заданный период, 0 — когда исполнения не произошло, и принимает промежуточные значения при частичном исполнении.

Рисунки 19 и 20 — смотреть в оригинале (PDF)

Рисунок 19 представляет распределение долей исполнения через ящичные диаграммы для каждой характеристики, со средними значениями, обозначенными тёмно-синими звёздочками. Графики показывают, что доля исполнения снижается с ростом размера заявки и ценового уровня, а с увеличением времени жизни растёт. Рисунок 20 далее иллюстрирует эти связи через тепловые карты, показывая особенно сильную зависимость от уровня и явный компромисс между количеством и вероятностью исполнения.

Коэффициенты корреляции в таблице 9 обнаруживают относительную важность каждой характеристики в определении доли исполнения. Ценовой уровень показывает сильнейшую связь с существенной отрицательной корреляцией ($-0.79$), что указывает на него как на главный драйвер вероятности исполнения. Время жизни заявки демонстрирует умеренную положительную корреляцию (0.32), из чего следует, что более длительное ожидание улучшает шансы исполнения. Количество заявки оказывает незначительное отрицательное влияние ($-0.10$), показывая лишь слабое снижение доли исполнения с ростом размера заявки.

Хотя коэффициенты корреляции дают представление о линейных связях между переменными, они могут не улавливать более сложные нелинейные зависимости. Чтобы получить более полное понимание важности признаков, мы применили два дополнительных метода анализа: важность признаков по случайному лесу и значения SHAP (SHapley Additive exPlanations). Рисунок 21 представляет результаты обоих подходов, показывая замечательную согласованность их выводов. Оба метода подтверждают доминирующую роль ценового уровня в определении доли исполнения, за которым следует умеренное влияние времени жизни заявки, тогда как количество заявки демонстрирует наименьшее воздействие.

Рисунок 21 — смотреть в оригинале (PDF)

5. Сравнение с недавними подходами глубокого обучения

Наше обобщение модели QR средствами глубокого обучения вносит вклад в растущий корпус исследований, использующих нейронные сети для симуляции лимитного стакана. Среди заметных недавних подходов — каркас условного GAN Колетты и соавторов (2022), Wasserstein GAN с градиентным штрафом, предложенный Контом и соавторами (2023), и мультимодельная RNN-архитектура Хультина и соавторов (2023), использующая отдельные сети для генерации типа события, ценового уровня, размера и времени прихода.

Эти подходы демонстрируют замечательную способность воспроизводить стилизованные факты рынка. Колетта и соавторы (2022) успешно схватывают характерную «вогнуто-выпуклую» форму воздействия при исполнении крупной заявки — особенность, наблюдаемую также у Хультина и соавторов (2023) и в нашей модели MDQR. Хотя Конт и соавторы (2023) не полностью схватывают фазу релаксации после исполнения, они эффективно воспроизводят закон квадратного корня для рыночного воздействия, демонстрируя, что максимальное воздействие масштабируется как квадратный корень из размера исполненной позиции, — свойство, которое проверяет и наша модель.

В части структуры стакана Хультин и соавторы (2023) и MDQR точно воспроизводят среднюю форму по разным ценовым уровням, тогда как Конт и соавторы (2023) расширяют это до схватывания полного распределения размеров очередей. Кроме того, наш симулятор MDQR демонстрирует сильные результаты в предсказании краткосрочных движений средней цены, достигая сопоставимых или превосходящих результатов по сравнению со специализированными предсказательными моделями, что согласуется со схожими выводами Хультина и соавторов (2023).

Хотя эти подходы разделяют общие цели, они предлагают взаимодополняющие сильные стороны. Модели на основе GAN у Колетты и соавторов (2022) и Конта и соавторов (2023), архитектурно спроектированные под генеративные задачи, сталкиваются с проблемами устойчивости обучения, требующими тщательной калибровки. Эти модели порождают состояния стакана с фиксированными интервалами (например, 10-секундные снимки у Конта и соавторов, 2023), что выгодно, когда высокочастотная точность не нужна, но ограничивает доступ к детальной информации о потоке заявок между снимками, а значит, и её использование в моделировании.

Напротив, Хультин и соавторы (2023) и MDQR моделируют динамику прихода событий пособытийно. Каркас MDQR, пока не проверенный на активах с малым тиком, контрастирует с Хультином и соавторами (2023) и Колеттой и соавторами (2022), которые демонстрируют эффективность в воспроизведении распределений спреда и переходов между режимами на таких рынках. Кроме того, Колетта и соавторы (2022), Конт и соавторы (2023) и MDQR используют вручную сконструированные пространства состояний, тогда как Хультин и соавторы (2023) применяют автоматическое извлечение признаков через LSTM-архитектуру. Это различие представляет компромисс между контролем сложности модели и требованиями к конструированию признаков — нашей реализации, например, потребовалось несколько итераций, прежде чем были включены признаки торгового дисбаланса, критичные для точных профилей рыночного воздействия.

Вычислительная эффективность значительно различается между подходами. MDQR достигает превосходящей скорости инференса благодаря своей рационализированной архитектуре, тогда как четырёхмодельная структура Хультина и соавторов (2023) приводит к более долгим вычислениям. Наша модель даёт интерпретируемый каркас на основе пуассоновского прихода событий, сохраняя способность воспроизводить ключевые стилизованные факты рынка при эффективной симуляции.

Выбор подходящей модели зависит от конкретных сценариев использования. MDQR оказывается подходящей для высокочастотной симуляции ликвидных активов, особенно когда вычислительная эффективность наиболее важна. Подход Конта и соавторов (2023) может быть предпочтителен для более низкочастотных приложений, несмотря на потенциальные ограничения по информации о потоке заявок. Для активов с малым тиком особую эффективность демонстрируют Конт и соавторы (2023) и Хультин и соавторы (2023). Когда автоматическое извлечение паттернов важнее скорости симуляции, подход Хультина и соавторов (2023) даёт отчётливые преимущества благодаря своей LSTM-архитектуре.

6. Заключение

Эта работа представляет модель Multidimensional Deep Queue-Reactive (MDQR), разработанную путём систематического усовершенствования каркаса QR. Наше первоначальное исследование с моделью DQR показало, как методы глубокого обучения могут эффективно обобщить пространство состояний queue-reactive моделей, причём каждый дополнительный признак схватывает новые свойства рынка в симулируемой динамике. Опираясь на эти выводы, мы разработали каркас MDQR, который далее расширяет этот подход, ослабляя предположение о независимости очередей и вводя более изощрённую трактовку размеров заявок.

Наш анализ на данных рынка фьючерсов Bund позволяет предположить, что модель способна схватывать различные рыночные характеристики, включая профили рыночного воздействия, зависимости типов событий между сторонами стакана и паттерны движений средней цены. Каркас MDQR включает несколько ценовых уровней и признаки состояния рынка, сохраняя вычислительную эффективность. Такой подход допускает включение релевантных рыночных признаков в пространство состояний, помогая воспроизводить наблюдаемое рыночное поведение в симуляциях. Сохраняя связь с точечными процессами, модель даёт представление о связях между рыночными признаками и паттернами потока заявок. Эта работа вносит вклад в развитие инструментов рыночной симуляции, соединяя элементы queue-reactive моделей и методов глубокого обучения. Получившийся каркас стремится сбалансировать изощрённость модели с практичностью реализации, оставаясь адаптируемым к меняющейся рыночной динамике.

Текущая реализация показывает многообещающие результаты для ликвидных активов с большим тиком, таких как фьючерсы на Bund, и открывает несколько направлений для будущих исследований. Проверка применимости модели к активам с малым тиком и иными рыночными характеристиками помогла бы подтвердить её более широкую полезность. Кроме того, вычислительная эффективность модели делает её особенно подходящей для приложений обучения с подкреплением в финансах. Будущая работа сосредоточится на использовании этого каркаса для разработки автоматизированных торговых стратегий, особенно в таких областях, как маркетмейкинг и оптимальное исполнение.

Сноски

1. Фьючерсы на Euro-Bund — производные контракты, привязанные к 10-летним государственным облигациям Германии (Bund) и торгуемые на бирже Eurex. Каждый контракт с условной купонной ставкой 6% рассчитан на погашение в интервале от 8.5 до 10.5 лет на день поставки. ↩
2. Вычислительные эксперименты проводились на серверном процессоре AMD EPYC 7413, работающем на частоте 3.16 ГГц, с 48 потоками на 24 ядрах и 256 МБ кэша L3. ↩
3. Приведённые времена учитывают только генерацию событий и не включают вычислительные издержки обновления стакана через движок сведения, общие для всех подходов. ↩
4. Хотя трейдеры обычно используют стоп-заявки для управления временем жизни заявки, мы сосредоточены исключительно на исходах лимитных заявок в пределах заданного времени жизни. ↩

Литература

• W. Huang, C.-A. Lehalle, M. Rosenbaum, Simulating and analyzing order book data: The queue-reactive model, Journal of the American Statistical Association 110 (2015) 107–122.
• M. D. Gould, M. A. Porter, S. Williams, M. McDonald, D. J. Fenn, S. D. Howison, Limit order books, Quantitative Finance 13 (2013) 1709–1742.
• R. Cont, Statistical modeling of high-frequency financial data, IEEE Signal Processing Magazine 28 (2011) 16–25.
• Á. Cartea, S. Jaimungal, J. Penalva, Algorithmic and high-frequency trading, Cambridge University Press, 2015.
• A. Kirilenko, A. S. Kyle, M. Samadi, T. Tuzun, The flash crash: High-frequency trading in an electronic market, The Journal of Finance 72 (2017) 967–998.
• J. Gatheral, No-dynamic-arbitrage and market impact, Quantitative Finance 10 (2010) 749–759.
• R. Cont, A. De Larrard, Price dynamics in a Markovian limit order market, SIAM Journal on Financial Mathematics 4 (2014) 1–25.
• H. Bodor, L. Carlier, A novel approach to queue-reactive models: The importance of order sizes, arXiv:2405.18594 (2024).
• J. Sirignano, R. Cont, Universal features of price formation in financial markets: perspectives from deep learning, Quantitative Finance 19 (2019) 1449–1459.
• J.-P. Bouchaud, M. Mézard, M. Potters, и др., Statistical properties of stock order books: empirical results and models, Quantitative Finance 2 (2002) 251–256.
• M. Potters, J.-P. Bouchaud, More statistical properties of order books and price impact, Physica A 324 (2003) 133–140.
• E. Smith, J. D. Farmer, L. Gillemot, S. Krishnamurthy, и др., Statistical theory of the continuous double auction, Quantitative Finance 3 (2003) 481–514.
• R. Cont, S. Stoikov, R. Talreja, A stochastic model for order book dynamics, Operations Research 58 (2010) 549–563.
• F. Abergel, A. Jedidi, A mathematical approach to order book modeling, International Journal of Theoretical and Applied Finance 16 (2013) 1350025.
• F. Abergel, A. Jedidi, Long-time behavior of a Hawkes process–based limit order book, SIAM Journal on Financial Mathematics 6 (2015) 1026–1043.
• M. Paddrik, R. Hayes, A. Todd, S. Yang, P. Beling, W. Scherer, An agent based model of the E-Mini S&P 500 applied to flash crash analysis, IEEE CIFEr (2012) 1–8.
• S. Vyetrenko, D. Byrd, N. Petosa, M. Mahfouz, D. Dervovic, M. Veloso, T. Balch, Get real: Realism metrics for robust limit order book market simulations, ICAIF, 2020, 1–8.
• R. L. Axtell, J. D. Farmer, Agent-based modeling in economics and finance: Past, present, and future, Journal of Economic Literature (2022) 1–101.
• A. Coletta и др., Conditional generators for limit order book environments: Explainability, challenges, and robustness, arXiv:2206.08351 (2022).
• R. Cont, M. Cucuringu, J. Kochems, F. Prenzel, Limit order book simulation with generative adversarial networks, arXiv:2306.12806 (2023).
• H. Hultin и др., A generative model of a limit order book using recurrent neural networks, Quantitative Finance 23 (2023) 931–950.
• R. Cont, M. S. Müller, A stochastic partial differential equation model for limit order book dynamics, SIAM Journal on Financial Mathematics 12 (2021) 744–787.
• H. Bodor, L. Carlier, Stylized facts and market microstructure: An in-depth exploration of German bond futures market, arXiv:2401.10722 (2024).
• P. Wu, M. Rambaldi, J.-F. Muzy, E. Bacry, Queue-reactive Hawkes models for the order flow, arXiv:1901.08938 (2019).
• J.-P. Bouchaud, J. Bonart, J. Donier, M. Gould, Trades, quotes and prices: financial markets under the microscope, Cambridge University Press, 2018.
• E. Zarinelli, M. Treccani, J. D. Farmer, F. Lillo, Beyond the square root: Evidence for logarithmic dependence of market impact on size and participation rate, Market Microstructure and Liquidity 1 (2015) 1550004.
• E. Bacry, A. Iuga, M. Lasnier, C.-A. Lehalle, Market impacts and the life cycle of investors orders, Market Microstructure and Liquidity 1 (2015) 1550009.
• F. Bucci, M. Benzaquen, F. Lillo, J.-P. Bouchaud, Crossover from linear to square-root market impact, Physical Review Letters 122 (2019) 108302.
• Y. Sato, K. Kanazawa, Does the square-root price impact law belong to the strict universal scalings?, arXiv:2411.13965 (2024).
• X. Gabaix, P. Gopikrishnan, V. Plerou, H. E. Stanley, A theory of power-law distributions in financial market fluctuations, Nature 423 (2003) 267–270.
• Z. Zhang, S. Zohren, S. Roberts, DeepLOB: Deep convolutional neural networks for limit order books, IEEE Transactions on Signal Processing 67 (2019) 3001–3012.

Оригинал статьи: Bodor, H., Carlier, L., «Deep Learning Meets Queue-Reactive: A Framework for Realistic Limit Order Book Simulation», arXiv:2501.08822 · лицензия CC BY 4.0