Loss-versus-rebalancing при детерминированном и обобщённом времени блоков

4.5/10

Классификация arXiv: q-fin.MF

Аннотация

Хотя современные блокчейны почти повсеместно производят блоки с фиксированным интервалом, в существующих моделях по-прежнему нет аналитической формулы для loss-versus-rebalancing (LVR), который несут поставщики ликвидности (LP) AMM в этой постановке. Опираясь на аппарат теории случайных блужданий, мы выводим следующее замкнутое приближение для ожидаемого LVR на блок на единицу ликвидности при постоянном времени блока:

где \(\sigma_b\) — внутриблочная волатильность актива, \(\gamma\) — спред AMM, \(\ell\) — плотность ликвидности, \(\zeta\) — дзета-функция Римана. Крупномасштабные симуляции Монте-Карло показывают, что эта формула фактически квазиточна в практических диапазонах параметров.

Расширяя анализ на произвольные распределения времени блока, мы показываем, что при любом допустимом законе межблочных интервалов вероятность арбитражной сделки в блоке сходится к универсальному пределу, и что только постоянный интервал между блоками достигает асимптотически минимального LVR. Это означает: фиксированный интервал блоков даёт наилучшую возможную защиту LP от арбитража.

1. Введение

Automated market makers (AMM) стали краеугольным камнем децентрализованных финансов (DeFi): активы обмениваются без классического стакана заявок. Агрегируя ликвидность внешних LP и используя заранее заданные формулы ценообразования (Adams et al., 2020; Othman et al., 2013; Hanson, 2007), AMM демократизируют маркетмейкинг. Но удобство сопряжено с риском: LP страдают от adverse selection, пассивно котируя цены, которые между подтверждениями блоков устаревают. Арбитражёры эксплуатируют расхождение между AMM и внешними рынками, что ведёт к непрерывной потере стоимости позиций LP (Angeris et al., 2019; Capponi and Jia, 2025). Это явление, обусловленное дискретным таймингом блокчейн-транзакций, на практике известно как divergence loss или impermanent loss — opportunity cost предоставления ликвидности вместо простого удержания активов.

Impermanent loss описывает общее отставание LP от buy-and-hold, но смешивает несколько источников риска и не выделяет потери именно от арбитража на устаревших котировках. Чтобы изолировать потери, вызванные только арбитражом, Milionis et al. (2022) ввели понятие loss-versus-rebalancing (LVR): недобор стоимости портфеля LP относительно непрерывно ребалансируемого портфеля, отслеживающего соотношение активов AMM. Последующая работа Milionis et al. (2023) вывела замкнутые выражения для LVR в идеализированном случае пуассоновского времени блоков (proof-of-work, Ethereum до merge).

Современные сети в подавляющем большинстве используют proof-of-stake и производят блоки с фиксированным интервалом (Ethereum post-merge, Solana), а не с экспоненциальным распределением времени. Существующие аналитические результаты для LVR напрямую не применимы — остаётся пробел в понимании влияния распределения времени блока на LVR. Заполнить его важно: по мере конкуренции в on-chain маркетмейкинге даже умеренное снижение LVR существенно улучшает прибыльность LP и эффективность AMM.

Непрерывные диффузии и итô-исчисление — традиционные инструменты анализа AMM — плохо подходят для неэкспоненциального времени блоков. Диффузии улавливают макросвойства, но размывают резкие граничные эффекты дискретного производства блоков, давая неточные микрооценки LVR. На блокчейне эволюция цены лучше моделируется дискретным случайным блужданием — нужен новый математический каркас.

Мы строим дискретно-временную непрерывно-состоятельную марковскую цепь AMM с произвольным распределением времени блока, с фокусом на детерминированном случае. Модель эволюционирует блок за блоком и даёт трактуемые выражения для потерь LP. Аналитически используется аппарат случайных блужданий на полосе (очереди, флуктуационная теория Spitzer, ladder heights, результаты о пересечении границ полосы). Перенеся эти инструменты в контекст AMM, мы получаем аналитические формулы LVR при общих законах времени блока и, для равномерного интервала, замкнутое выражение с экспоненциально малым остатком по внутриблочной волатильности. Эксперименты Монте-Карло подтверждают высокую точность приближения и расширяют теоретическую базу LVR на современные блокчейны.

Основные результаты.

1. Общее разложение арбитражных потерь LP для любого распределения времени блока, обобщающее структуру Milionis et al. (2023) для пуассоновских блоков: ожидаемая арбитражная потеря на блок факторизуется как \(ARB = P_{\mathrm{trade}} \times LVR\), где \(P_{\mathrm{trade}}\) — вероятность арбитража в блоке, \(LVR\) — ожидаемая потеря при условии арбитража.
2. Для равномерных блоков — аналитическое выражение \(LVR\) в режиме малой волатильности с экспоненциально малым остатком; на типичных параметрах ошибка < 0,01% (табл. 2). Переход с пуассоновского времени блока на постоянное снижает per-block LVR до 17,4% в режиме быстрых блоков (рис. 1).
3. Асимптотическая \(P_{\mathrm{trade}}\) (при малой внутриблочной волатильности) универсальна — в первом порядке не зависит от распределения времени блока. Величина потери на событие арбитража \(LVR\) от распределения зависит. Среди всех распределений с заданным средним только постоянный интервал минимизирует асимптотический LVR — лучшего выбора распределения блоков для защиты LP от adverse selection нет.

Здесь \(\sigma_b\) — волатильность актива за блок, \(\gamma\) — внутренний спред AMM, \(\ell\) — ликвидность на процентный пункт изменения цены, \(\zeta(\cdot)\) — дзета-функция Римана, \(C_\mu \ge 0\) — константа, зависящая от базового распределения блоков.

Далее: раздел 2 — модель марковской цепи и общие результаты; раздел 3 — постоянное время блока (PoS); раздел 4 — произвольные распределения и оптимальность Dirac; раздел 5 — замечания и направления работы.

2. Марковская цепь

Строим дискретно-временную непрерывно-состоятельную марковскую цепь для анализа влияния распределения времени блока на LVR — трактуемую альтернативу непрерывным диффузионным моделям, сохраняющую ключевую динамику системы.

2.1. Спецификация модели и динамика цепи

Блоки генерируются с некоторым случайным распределением времени. Пусть \(\mu\) — базовое распределение на \([0,\infty)\) с конечными первым и вторым моментами (\(E[\mu]=1\) для нормировки). При среднем времени блока \(t\) обозначим \(\mu_t\) распределение \(tX\), \(X \sim \mu\) (среднее \(t\)). Последовательность времён блоков — i.i.d. \((U_i)_{i\in\mathbb{N}}\), \(U_i \sim \mu_t\). Частный случай — постоянное время блока: \(\mu_t\) — дельта-функция Dirac в точке \(t\) (типично для PoS, Ethereum Foundation, 2025).

Цена актива \(S_t\) следует геометрическому броуновскому движению с нулевым дрейфом и волатильностью \(\sigma\): за интервал длины \(\Delta\) изменение log-цены \(\ln(S_{t+\Delta}/S_t) \sim N(0,\sigma^2\Delta)\). (Случай с ненулевым дрейфом оставлен на будущее.)

AMM имеет постоянный внутренний спред \(\gamma\); LP поставляет ликвидность с постоянной плотностью \(\ell\) (USD на процентный пункт изменения цены): арбитражёру нужно проторговать \(\ell \cdot p\) USD, чтобы сдвинуть котировку AMM на \(p\%\).

Марковская цепь отслеживает log-цену на границах блоков относительно двух фиксированных арбитражных порогов. Начальный log-price (начало блока 1) — 0. Безарбитражная область — интервал \([0,\gamma]\) в log-пространстве: внутри — арбитража нет; при выходе за границы — арбитраж. Условно на длину блока \(U\) изменение log-цены \(\Delta\ln S \sim N(0,\sigma^2 U)\). Вводим масштабированную волатильность \(\sigma_b := \sigma\sqrt{t}\) — стандартное отклонение log-изменений за блок средней длины \(t\). Тогда \(\mathrm{Var}(\Delta\ln S) = \sigma_b^2 \cdot (U/t)\); при детерминированной длине \(t\) просто \(\Delta\ln S \sim N(0,\sigma_b^2)\).

Нормируем приращения и границы: \(X_i := \Delta\ln S_i / \sigma_b\), \(\rho_b := \gamma/\sigma_b\). При среднем времени блока \(t\) каждое \(X_i \sim N(0,\mu)\) i.i.d.; log-цена живёт в \([0,\rho_b]\). После каждого арбитража перецентрируем log-цену в 0 — достаточно отслеживать кумулятивные процентные потери; динамика между арбитражами идентична в относительной системе координат.

Состояние в конце блока \(n\) — кортеж \((M_n, LVR_n, ARB_n)\):

• \(M_n\) — относительная log-позиция в \([0,\rho_b]\) (\(0\) или \(\rho_b\) — на пороге; \(0 < M_n < \rho_b\) — внутри безарбитражной зоны);
• \(LVR_n\) — LVR за блок \(n\) в USD (\(0\) без арбитража, \(>0\) при арбитраже);
• \(ARB_n\) — кумулятивный LVR до блока \(n\) включительно (\(ARB_0 = 0\)).

Переходы. Пусть \(X_{n+1}\) — нормированный log-return блока \(n+1\).

1. Без арбитража: \(M_n + X_{n+1} \in [0,\rho_b]\) → \(M_{n+1} = M_n + X_{n+1}\), \(LVR_{n+1} = 0\), \(ARB_{n+1} = ARB_n\).
2. Арбитраж: \(M_n + X_{n+1} \notin [0,\rho_b]\). Пусть \(b\) — преодолённая граница (\(b=0\) при \(M_n+X_{n+1}<0\), \(b=\rho_b\) при превышении сверху). При постоянной \(\ell\) стоимость арбитража при отклонении \(d\) от внешней цены — \(\int_0^d \ell u\,du = \ell d^2/2\), отсюда \[ LVR_{n+1} = \frac{\ell}{2}\,(M_n + X_{n+1} - b)^2. \] После арбитража: \(M_{n+1} = 0\), \(ARB_{n+1} = ARB_n + LVR_{n+1}\).

2.2. Вероятность арбитража и разложение среднего LVR

Асимптотическая потеря на блок (long-run loss per block):

Пусть \(\theta_N\) — число арбитражных сделок к блоку \(N\), \(\tau_i\) — блок \(i\)-го арбитража. Тогда \(ARB_N = \sum_{i=1}^{\theta_N} LVR_{\tau_i}\) и

При \(N\to\infty\) и бесконечном потоке арбитражей (SLLN):

Итого — ключевое разложение:

\(P_{\mathrm{trade}} = 1/E[\tau_1]\) — доля блоков с арбитражем; \(LVR = E[LVR_{\tau_1}]\) — средняя потеря на арбитраж. Частота и величина разделяются и анализируются независимо (Milionis et al., 2023, для пуассоновских блоков).

2.3. LVR, ladder heights и overshoot

Интерпретация обновлений цены как случайного блуждания связывает задачу с renewal theory и флуктуационной теорией. Центральное понятие — ladder height — величина нового экстремума блуждания.

Определение 2.1 (Ladder height). Пусть \((X_n)\) — i.i.d. с конечной дисперсией, \(S_k = X_1+\cdots+X_k\), \(\tau_0 = \inf\{k : S_k < 0\}\). Тогда \(H = -S_{\tau_0}\) — ladder height.

Обозначим \(h_1, h_2\) первый и второй моменты \(H\). Встраиваем цепь в i.i.d. блуждание \((X_n)\), \(\tau = \inf\{n>0 : X_n \notin (0,\rho_b)\}\), \(\tau_0 = \inf\{n>0 : X_n < 0\}\), \(\tau_{\rho_b} = \inf\{n>0 : X_n > \rho_b\}\). Тогда \(P_{\mathrm{trade}} = 1/E[\tau]\) и

Пусть \(p = P(\tau = \tau_{\rho_b})\). Вводим вспомогательные величины overshoot:

• \(H = -S_{\tau_0}\) — ladder height полного блуждания (\(h_1, h_2\));
• \(R = (S_\tau - \rho_b)\mathbf{1}_{\{\tau=\tau_{\rho_b}\}}/p\) — правый overshoot (\(r_1, r_2\));
• \(L = -S_\tau\mathbf{1}_{\{\tau=\tau_0\}}/(1-p)\) — левый overshoot (\(l_1, l_2\));
• \(O = -S_\tau\mathbf{1}_{\{\tau=\tau_{\rho_b}\}}/p\) — «остаточный» левый overshoot (\(o_1, o_2\)).

Связи: \(h_1 = l_1(1-p) + o_1 p\), \(h_2 = l_2(1-p) + o_2 p\). По тождествам Wald (\(E[X_1]=0\), \(\mathrm{Var}(X_1)=1\)):

Из системы (2.3)–(2.6):

В пуассоновском случае (memoryless) \(H, R, O\) экспоненциальны с параметром \(\sqrt{2}\): \(h_1 = r_1 = o_1 = 1/\sqrt{2}\), \(h_2 = r_2 = o_2 = 1\), откуда \(E[\tau] = 1 + \rho_b^2/2\) и \(P_{\mathrm{trade}} = 1/(1+\rho_b^2/2)\) (Milionis et al., 2023).

Упрощая (2.2):

Далее — closed-form для \(P_{\mathrm{trade}}\), \(LVR\), \(ARB\) через статистику overshoot.

3. LVR и вероятность сделки при постоянном времени блока

Фокус — детерминированные блоки фиксированной длины. Концентрационные результаты для overshoot из факторизации Wiener–Hopf дают приближения, экспоненциально точные по внутриблочной волатильности.

Лемма 3.1 (сходимость overshoot). Пусть

По Lotov (1996), для постоянного времени блока существует \(c>0\):

Следствие 3.1 (LVR при постоянном времени блока). Существует \(c>0\):

Доказательство (набросок). Для \(X_n \sim N(0,1)\) классически \(h_1 = 1/\sqrt{2}\), \(h_2 = |\zeta(1/2)|/\sqrt{\pi}\) (Lai, 1976). Подставляя \(\rho_b = \gamma/\sigma_b\) и оценки леммы 3.1 в (2.9) и (2.10), знаменатель \(\rho_b + 2\kappa + O(e^{-c\rho_b})\) даёт \(E[\tau] = |\zeta(1/2)|/(\sqrt{\pi}\,\sigma_b/\gamma) + 1/2 + O(e^{-c\rho_b})\), откуда формула \(P_{\mathrm{trade}}\). Аналогично для \(LVR\); \(ARB = P_{\mathrm{trade}} \times LVR\) по (2.1). □

При \(\sigma_b \le \gamma\) теория и симуляции практически неразличимы. На рис. 1 — выигрыш постоянных блоков относительно пуассоновского бенчмарка: при уменьшении \(\rho_b\) процентное улучшение ARB растёт к асимптотическому пределу ≈ 17,4%.

4. Результаты для обобщённых распределений

Расширяем анализ на произвольные распределения времени блока, выявляя универсальные свойства LVR и следствия для архитектур блокчейнов.

Лемма 4.1. Пусть \(u_2\) — второй момент \(\mu\). Тогда \(0 \le r_1, o_1 \le \sqrt{2/\pi}\) и \(0 \le r_2, o_2 \le u_2\).

Следствие 4.1 (распределение-инвариантная вероятность арбитража). В первом порядке по \(\sigma_b\) (при \(\sigma_b \to 0\)) асимптотическая \(P_{\mathrm{trade}}\) не зависит от \(\mu\):

Доказательство использует Spitzer (1956): \(h_1 = \sqrt{\mathrm{Var}(X)/2} = 1/\sqrt{2}\) при \(\mathrm{Var}(X_1)=1\), и (2.9) с ограниченными overshoot.

Следствие 4.2 (оптимальность распределения Dirac). Асимптотические ожидаемые \(LVR\) на блок и арбитраж на блок:

где \(C_\mu \ge 0\) зависит только от \(\mu\). Распределение Dirac (постоянный интервал) асимптотически минимизирует и \(LVR\), и \(ARB\) среди всех \(\mu\) с заданным средним.

Ключевая идея доказательства (4.1): по Lai (1976) второй момент ladder height выражается через бесконечную сумму с членом \(E[|S_n^-|/\sqrt{2n}]\). При постоянных блоках \(|S_n|\) — folded normal, сумма обнуляется. В общем случае из-за неравенства Jensen вклад неотрицателен: \(C_\mu = 0\) тогда и только тогда, когда \(\mu\) — Dirac.

5. Заключительные замечания

1. При \(\sigma_b \gg \sigma\) процесс хорошо аппроксимируется геометрическим распределением с параметром \(\sigma/(2\pi\sigma_b)\); асимптотическое приближение (малое \(\sigma_b\)) в этом экстремальном режиме ломается.
2. Для согласования с реальностью нужно учесть комиссии арбитражёров и LP — это сводится к сдвигу начальной точки цепи или расширению интервала безарбитражной зоны; важное расширение на будущее.
3. Для произвольного CFAMM с \(\ell(x)\) — потеря в состоянии \(x\) — естественное SDE для LVR: \[ dLVR_t = \frac{\ell(X_t)\,\sigma^2}{2 + 2\pi\gamma/(|\zeta(1/2)|\,\sigma\sqrt{T})}\,dt, \] где \(\sigma\) — волатильность актива, \(T\) — средний интервал блока. Это открывает макроскопический взгляд на стоимость портфеля LP.

6. Приложение

Доказательство леммы 3.1. Для i.i.d. \(X_i \sim N(0,1)\), \(S_n = \sum_{i=1}^n X_i\), \(\tau_{\rho_b} = \inf\{n\ge 1 : S_n \ge \rho_b\}\), \(\tau_0 = \inf\{n\ge 1 : S_n < 0\}\). По теореме 4 Lotov (1996), существует \(c>0\): для больших \(\rho_b\) распределения overshoot при пересечении верхней и нижней границ экспоненциально быстро сходятся к \(F(x)\) с средним \(\kappa = |\zeta(1/2)|/\sqrt{2\pi}\) и вторым моментом \(\omega = 1/4 + \kappa^2\). Ограничиваясь «хорошими» событиями (блуждание посещает полосу \([\rho_b/4, 3\rho_b/4]\) до финального пересечения), получают равномерные экспоненциальные оценки; комплементарные события (скачок \(\ge \rho_b/2\) за один шаг) экспоненциально малы. Сходимость распределений в \(L_\infty\) влечёт сходимость моментов: \(r_1, o_1 \to \kappa\), \(r_2, o_2 \to \omega\) с остатком \(O(e^{-c\rho_b})\). □

Доказательство леммы 4.1. \(R\) и \(O\) стохастически доминируются folded normal \(|N(0,\mu)|\) с первым моментом \(\sqrt{2/\pi}\) и вторым \(u_2\). Конструкция через броуновское движение \((B_t)\) и накопленные времена блоков \(T_i = \sum_{k=1}^i U_k\) даёт \(X_i = B_{T_i} - B_{T_{i-1}}\) той же дистрибуции, что и в модели. Условная вероятность overshoot ограничивается интегралом по траекториям Brownian motion, остающимся в полосе до остановки; overshoot за время \(\le U_k\) доминируется \(|N(0,u)|\). Симметричный аргумент для \(O\). □

Литература

• [1] Adams, H., Zinsmeister, N., and Robinson, D. (2020). Uniswap v2 Core (Whitepaper). Uniswap.org.
• [2] Angeris, G., Kao, H.-T., Chiang, R., Noyes, C., and Chitra, T. (2019). An analysis of Uniswap markets. Cryptoeconomic Systems, 1(1), Article 3. arXiv:1911.03380.
• [3] Ethereum Foundation (2025). Proof-of-Stake consensus mechanism – block time documentation.
• [4] Hanson, R. (2007). Logarithmic Market Scoring Rules for Modular Combinatorial Information Aggregation. Journal of Prediction Markets, 1(1), 3–15.
• [5] Khaniyev, T., and Kucuk, Z. (2022). Asymptotic expansions for the moments of the Gaussian random walk with two barriers. Communications in Statistics-Theory and Methods, 51(2), 376–391.
• [6] Lai, T. L. (1976). Asymptotic moments of random walks with applications to ladder variables and renewal theory. The Annals of Probability, 4(1), 51–66.
• [7] Milionis, J., Moallemi, C. C., Roughgarden, T., and Zhang, A. L. (2022). Automated market making and loss-versus-rebalancing. DeFi ’22. arXiv:2208.06046.
• [8] Milionis, J., Moallemi, C. C., Roughgarden, T., and Zhang, A. L. (2023). Loss-versus-rebalancing under fee models with Poisson block times. arXiv:2305.14604.
• [9] Othman, A., Pennock, D. M., Reeves, D. M., and Sandholm, T. (2013). Automated Market-Making in the Large. EC, 721–738.
• [10] Spitzer, F. (1956). A combinatorial lemma and its application to probability theory. Transactions of the AMS, 82(2), 323–339.
• [11] Wald, A. (1944). On cumulative sums of random variables. Annals of Mathematical Statistics, 15(3), 283–296.
• [12] Kendall, D. G. (1951). Some problems in the theory of queues. JRSS B, 13(2), 151–173.
• [13] Kingman, J. F. C. (1961). The single-server queue in heavy traffic. Math. Proc. Cambridge Phil. Soc., 57(4), 902–904.
• [14] Lotov, V. I. (1996). On some boundary-crossing problems for Gaussian random walks. Annals of Probability, 24(4), 2154–2171.
• [15] Capponi, A., and Jia, Y. (2025). Order-flow toxicity and arbitrage rents in automated market makers. Review of Financial Studies, forthcoming.
• [16] Chang, J. T., and Peres, Y. (1997). Ladder heights, Gaussian random walks and the Riemann zeta function. Annals of Probability, 25(2), 787–802.
• [17] Nagaev, S. V. (2010). Exact expressions for the moments of ladder heights. Siberian Mathematical Journal, 51(4), 675–695.
• [18] Fuh, C.-D. (2007). Asymptotic expansions on moments of the first ladder height in Markov random walks with small drift. Advances in Applied Probability, 39(3), 826–852.
• [19] Khaniyev, T. A., and Kucuk, Z. (2004). Asymptotic expansions for the moments of the Gaussian random walk with two barriers. Statistics & Probability Letters, 69(1), 91–103.
• [20] Lotov, V. I. (2023). Exact formulas in some boundary crossing problems for integer-valued random walks. Izvestiya: Mathematics, 87(1), 45–60.

Оригинал статьи: Nezlobin and Tassy, «Loss-Versus-Rebalancing Under Deterministic and Generalized Block-Times», arXiv:2505.05113