Оптимальные решения для liquid staking: аллокация и момент выхода

5/10

Классификация arXiv: q-fin.MF

Аннотация

В этой работе мы изучаем оптимальные решения инвестора о входе и выходе в протоколе liquid staking (LSP) и автоматизированном маркетмейкере (AMM) — прежде всего с точки зрения инвестора. Анализ сосредоточен на двух ключевых действиях: начальной аллокации в момент $t=0$ и оптимальном моменте выхода. Во-первых, мы выводим оптимальную стратегию аллокации, позволяющую распределить риск между LSP, AMM и прямым удержанием. Результаты дают инсайты для разработчиков LSP и AMM: необходимые и достаточные условия, при которых инвестор стимулирован стейкать через LSP и дополнительно предоставлять ликвидность. Среди них — нижняя граница транзакционной комиссии; мы предлагаем механизм комиссий, достигающий этой границы. Во-вторых, при фиксированном дизайне протокола моделируем оптимальный момент выхода отдельного инвестора с помощью преобразований Лапласа и техник свободной границы. Рассматриваем сценарии с комиссиями и без них. Без комиссий декомпозируем payoff инвестора на impermanent loss и opportunity cost и даём теоретические результаты о payoff и оптимальном пороге выхода. С комиссиями проводим численный анализ влияния накопления комиссий на стратегии выхода. В обоих режимах стоп-лосс часто максимизирует ожидаемый payoff — за счёт opportunity gains и накопления комиссий. Анализ опирается на стохастические процессы, теорию управления, выпуклую оптимизацию и анализ; теорию подкрепляем численными экспериментами и дополнительными свойствами функции ценности и оптимального поведения инвестора.

1. Введение

Стремительный рост DeFi и переход Ethereum на Proof-of-Stake (PoS) породили новые финансовые инновации. Яркий пример — протоколы liquid staking (LSP): пользователи стейкают ETH и получают деривативные токены — liquid staking tokens (LST), остающиеся ликвидными и применимыми в других приложениях. LST представляют право на застейканный ETH (включая накопленные награды) и свободно торгуются или развёртываются в DeFi. Liquid staking опирается на PoS-дизайн Ethereum, где валидаторы выбираются пропорционально застейканному ETH — в отличие от Proof-of-Work Bitcoin, где права на валидацию определяются вычислительной мощностью. Стейкинг с yield-bearing токенами даёт участие в безопасности сети при сохранении ликвидности.

Типичные применения LST: кредитование на Aave, restaking в EigenLayer, предоставление ликвидности в AMM. Эта работа фокусируется на третьем случае — LP в AMM с LST.

Liquid staking снимает илликвидность традиционного стейкинга; adoption впечатляющий. Lido Staked Ethereum (stETH) вырос с ~$20 млн в январе 2021 до >$15 млрд к середине 2023 — >30% всего застейканного ETH. В апреле 2023 TVL liquid staking превысил DEX, сделав liquid staking крупнейшей категорией DeFi по TVL. Рост подчёркивает экономическую роль LSP в PoS-экосистеме.

Несмотря на успех, LSP создают сложные задачи принятия решений. Инвестор стейкает ETH через LSP, получает LST и может использовать их в DeFi. Распространённая стратегия — пара LST+ETH в AMM для торговых комиссий. Возможности сопряжены с компромиссами: yield stacking (стейкинг + AMM fees) vs сниженные и более волатильные доходы LSP, liquid staking basis (дисконт/премия LST к базовому активу), impermanent loss при изменении относительной цены. Эмпирика: ~66% LP-позиций с LST исторически уступали buy-and-hold LST. Нужна строгая количественная рамка для оптимальных политик стейкинга, LP и выхода.

Основные вклады.

1. Моделирование решений инвестора. Модель оптимального входа и выхода в Ethereum liquid staking + AMM. Риск-чувствительный инвестор держит ETH в трёх формах: (i) незастейканный ETH, (ii) застейканный через LSP, (iii) доля LP в пуле ETH–LST. Модель захватывает стохастику цен и накопление стейкинг-наград.
2. Оптимальная аллокация и инсайты для дизайнеров. Оптимальное распределение между прямым холдом, LSP и AMM. Условия, при которых инвестор стейкает и входит в LST–ETH пул. Критический порог комиссии AMM: только выше него оптимально поставлять ликвидность — механизм-дизайн insight для протоколов.
3. Оптимальный момент выхода. Оптимальная остановка: в любой момент LP-доля конвертируется обратно в ETH и LST. Free-boundary formulation; класс stopping times с фиксированными порогами $T=\inf\{t\ge 0: P_t\ge L\}$ или $T=\inf\{t\ge 0: P_t\le L\}$. Laplace transform для порога $L$; декомпозиция objective value. Аналитика + численные иллюстрации определяют стратегию выхода.

Обзор литературы. Работа связана с blockchain economics и стейкингом: Roșu and Saleh (2021) — martingale долей стейка; Tang (2022, 2024) — типы валидаторов и trade-offs; Tang and Yao (2023b) — оптимальная аллокация стейка. Мы соединяем PoS с DeFi: инвестор одновременно держит LST и предоставляет ликвидность в AMM.

По микроструктуре и комиссиям AMM: Capponi and Jia (2021) — убытки LP при колебаниях курсов; Milionis et al. (2024) — adverse selection и loss-versus-rebalancing; Milionis et al. (2023) — rescaling времени при комиссиях. Мы моделируем AMM в их framework с opportunity costs liquid staking; используем классический impermanent loss относительно hold (не LVR), т.к. непрерывный rebalancing непрактичен из-за unstaking в LSP.

Cao et al. (2025) оптимизируют комиссии AMM как игру платформа–LP–трейдеры. Наш фокус — liquid staking; AMM — часть framework. Двойная перспектива: AMM с LST и LST в AMM — не изучалась ранее. Tang and Yao (2023a) — mechanism design PoS fees; Bergault et al. (2024) — динамика курса связанных кryptoassets для stablecoins и LST. Мы добавляем reward accumulation, withdrawal, риски LP с LST и порог комиссии для LP.

Scharnowski and Jahanshahloo (2025) — чувствительность дисконта LST; Xiong et al. (2024) — массовое недоперформанс LP с LST. Наша структурная модель рационализирует наблюдения и характеризует поведение через явные trade-offs.

Структура: раздел 2 — операционные детали и модель; раздел 3 — оптимальная аллокация; раздел 4 — момент выхода; раздел 5 — численные результаты; разделы 6–7 — обсуждение и заключение.

2. Операционные детали и формулировка модели

Обозначения. $\mathbb{N}_+$ — положительные целые, $\mathbb{R}$ — действительные, $\mathbb{R}_+$ — положительные действительные; $[n]=\{1,\ldots,n\}$; $P(\cdot)$, $E(\cdot)$, $E_{s,x}(\cdot,\cdot)$ — вероятность и матожидание; $C^2(\mathbb{R}^2)$ — дважды непрерывно дифференцируемые функции на $\mathbb{R}^2$.

Liquid Staking Protocols (LSP) — смарт-контракты для стейкинга ETH с сохранением ликвидности (Lido, RocketPool). Состав: валидаторы, node operators, staking pool. При депозите ETH пользователь получает LST — передаваемые и торгуемые токены при застейканном базовом ETH. Вывод ETH: напрямую при достаточном резерве, иначе unstaking через node operators с очередью и задержками (Neuder et al., 2024). «Выход из LSP» = withdrawal.

Liquid staking token (LST) — токенизированное представление застейканных активов. Две цены: primary (protocol/reserve value в LSP) и secondary (рыночная на CEX/DEX). Расхождения — арбитраж.

Rebasing vs reward-bearing LST. Rebasing (stETH/Lido): rebasing поддерживает peg 1:1 к ETH, награды через рост числа токенов в кошельке. Reward-bearing (rETH/RocketPool): награды через рост цены относительно ETH, число токенов не меняется.

Динамика цены LST

Пусть $P_t$ — цена LST в ETH. Geometric Brownian motion:

$g\ge 0$ — drift, $\sigma\in\mathbb{R}_+$ — волатильность, $B_t$ — стандартное броуновское движение. Rebasing: $P_0=1$, $g=0$; reward-bearing: $P_0>1$, $g>0$.

Discount factor при выходе из LSP: $D_t=e^{-mt}$, $m>0$. Реализованная цена при withdrawal: $D_t P_t$. Discount rate инвестора $\rho$; present value: $e^{-\rho t}D_t P_t$.

Замечание 2.1. $D_t=e^{-mt}$: чем дольше стейкинг, тем больше награды и тем сильнее дисконт при выводе большого объёма.

Решения инвестора

Инвестор начинает с 1 ETH и депонирует в LSP. При выходе в $t$ ETH вырос до $P_0 e^{rt} D_t P_t$. Стейкинг оправдан, если

что упрощается к (2.1):

Разность reward rates и discount rates ($m$, $\rho$) должна быть достаточно велика. Далее предполагаем (2.1) выполненным.

После депозита в LSP инвестор аллоцирует 1 ETH между прямым холдом и стейкингом. Стейкает $(1-a)$ ETH, получает $(1-a)/P_0$ LST; стейкинг-награды $(e^{rt}-1)(1-a)/P_0$ LST ($r>0$ rebasing, $r=0$ reward-bearing). Оставшиеся $a$ ETH держит. Затем депонирует $x$ LST и $y$ ETH в AMM. В момент $t$ планирует выйти из пула.

Два вопроса: (1) оптимальная аллокация между стейкингом, холдом и AMM; (2) оптимальный момент выхода из AMM.

3. Оптимальная аллокация

3.1. Constant Product Market Maker (CPMM)

CPMM (Uniswap) — доминирующий тип AMM; по Remark 3.4 обеспечивает fair treatment инвесторов. Пул с резервами $X$ LST и $Y$ ETH. В $t$ ребалансируется до $(U^\star,V^\star)$ из задачи pool value (Milionis et al., 2024):

$L=XY$. Оптимум:

Замечание 3.1. Точка на $uv=L$, где marginal exchange rate $v/u$ равна внешней $D_t P_t$ — выравнивание арбитражёрами.

Инвестор депонирует $x$ LST и $y$ ETH, получает LP-токены ($x=\lambda X$, $y=\lambda Y$, $0<\lambda<1$).

Лемма 3.2. При $x=\lambda X$, $y=\lambda Y$: $u^\star=\lambda U^\star$, $v^\star=\lambda V^\star$, $V(P_t;L')=\lambda V(P_t;L)$ для $L'=xy$.

Пропозиция 3.3. Портфель ребалансируется до $u^\star=\sqrt{D_t P_t xy}$, $v^\star=\sqrt{D_t P_t xy}$; стоимость $2\sqrt{xy D_t P_t}$.

Замечание 3.4. LP одного инвестора эквивалентен pool value problem с $L=xy$; CPMM treats investors fairly — каждый $(u^\star,v^\star)$ зависит только от собственной доли.

3.2. Условие предоставления ликвидности

При инварианте $XY=L$: $Y=h(X)=L/X$. Marginal exchange rate $Z=-h'(X)=Y/X$. Начальные резервы $(X_0,Y_0)$; депозит $(x,y)$ должен удовлетворять (Cartea et al., 2025):

Предполагаем пул ребалансирован к рынку: $Y_0/X_0=P_0$ (3.7).

Пропозиция 3.5. $y/x=P_0$ — стоимости LST и ETH равны (Remark 3.6).

3.3. Постановка задачи

При выходе из AMM и LSP в $t$ expected present value портфеля:

плюс комиссии $\int_0^t x\phi_s e^{-\rho s}ds$ ($\phi_t$ — fee rate на единицу LST; Capponi and Zhu, 2025 — constant, мы — time-varying).

Задача оптимизации с ограничениями $0\le y\le a$, $0\le x\le (1-a)/P_0$, $0\le a\le 1$, $y/x=P_0$. Подстановка $y=P_0 x$:

при $P_0 x\le a\le 1-P_0 x$, $0\le x\le 1/(2P_0)$.

3.4. Оптимальные решения

Assumption 3.8 (tie-breaking). При безразличии между действием и бездействием инвестор выбирает бездействие: $x^\star=0$, $a^\star=0$.

Пропозиция 3.10. $x^\star=1/(2P_0)$, $a^\star=1/2$, $y^\star=P_0 x^\star=1/2$.

Remark 3.11. (1) Весь незастейканный ETH идёт в AMM ($y^\star=a^\star=1/2$). (2) Equal-risk allocation: половина через LSP, половина в AMM — специфика CPMM с равной стоимостью LST и ETH.

Теорема 3.12. Пусть

$x^\star=1/(2P_0)$, $a^\star=1/2$ тогда и только тогда, когда $\int_0^t \phi_s e^{-\rho s}ds > \Phi(t)$.

Первый член $\Phi$ компенсирует impermanent loss; второй — opportunity cost от стейкинга только $1/2$ ETH вместо полного. Для LST комиссии AMM должны покрывать и IL, и opportunity cost — уникальная черта liquid staking.

Пропозиция 3.13. Существует $\phi_t$, достигающая нижней границы. Явно для reward-bearing ($g>0$, $r=0$):

для rebasing ($g=0$, $r>0$):

Upper bound на cumulative fee: $2P_0 K$.

4. Оптимальный момент выхода

4.1. Формулировка: free boundary problem

При $a^\star=1/2$, $x^\star=1/(2P_0)$ portfolio value в $t$ с комиссиями — $S(t,P_t)$. Net profit от LP относительно pure staking:

Optimal stopping: $V^\star(P)=\sup_{\tau\in\mathcal{T}}E[W(\tau,P_\tau)]$. Нормализация $\tilde P_t=P_t/P_0$, $d\tilde P_t=g\tilde P_t dt+\sigma\tilde P_t dB_t$. Reward function $Z(t,x)$ из (4.3) с fee из Theorem 3.12 и cap $K$. Characteristic operator:

Free boundary problem (Øksendal, 1998; Peskir and Shiryaev, 2006) с границами $B_1(s)$, $B_2(s)$ и smooth-fit условиями (4.4). Аналитически intractable — начинаем с fixed stopping levels.

4.2. Фиксированные пороги остановки

$\tilde L=L/P_0$, $d=\sigma^2/2-\sigma g$, $c=\frac{1}{\sigma}\ln\tilde L$. Stopping time $T_{c,d}=\inf\{t\ge 0: P_t\ge L\}$ ($c>0$) или $\inf\{t\ge 0: P_t\le L\}$ ($c<0$). $\mathcal{T}=\{T_{c,d}: c\in\mathbb{R}, c\ne 0\}$. Laplace transform (Pitman and Yor, 2003):

Objective $E[W(T_{c,d},P_{T_{c,d}})]$ при $c>0$ (4.5):

Аналогично при $c<0$ — формула (4.6) с $d-\sqrt{\cdot}$ вместо $d+\sqrt{\cdot}$. Члены $T_i^+$ и $T_i^-$ определены в Appendix B.

Хотя net profit без комиссий от LP относительно pure staking отрицателен при Assumption 2.1:

мудро выбранный stopping time может дать positive profit (раздел 4.3).

Assumption 4.1. Well-posedness: $(\sigma/2-g/\sigma)^2-2(g+r-m-\rho)>0$ и аналоги; $d=-g/\sigma>0$; $\sigma^2/4-m>0$ — умеренные $r,g$ относительно $\sigma$; modest $m,\rho$.

4.3. Без транзакционных комиссий

Payoff без комиссий:

Пропозиция 4.2. (1) $E[M(T_{c,d},P_{T_{c,d}})]>0$ при $c<0$; (2) $<0$ при $c>0$.

Remark 4.3. Stop-loss ($L

Пропозиция 4.4 (декомпозиция). $M(t,P_t)=ST(t,P_t)+IL(t,P_t)$, где

$IL$ — impermanent loss; $ST$ — opportunity cost от стейкинга только $1/2$ ETH.

Пропозиция 4.5. $E[ST]>0$ при $c<0$; $<0$ при $c>0$.

Пропозиция 4.6. $E[IL]<0$ всегда.

Remark 4.7. При $c<0$ opportunity «cost» становится gain: незастейканный ETH не падает с LST. $E[ST]>E[IL]$ — stop-loss оправдан allocation $a^\star=1/2$. При $c>0$ оба отрицательны. Optimal $c^\star<0$ (Proposition C.2, Appendix C).

4.4. С транзакционными комиссиями

Lemma 4.8. $E[N(T_{c,d},P_{T_{c,d}})]>0$ для всех $c\ne 0$.

Пропозиция 4.9. $E[W(T_{c,d},P_{T_{c,d}})]>0$ при $c<0$. Optimal $c^\star<0$; с комиссиями $c^\star$ более отрицателен — инвестор дольше в пуле. При $c>0$ fee insufficient из-за $P(T_{c,d}<\infty)=e^{-2cd}$.

5. Численные исследования и дополнительные инсайты

5.1. Анализ objective function

Декомposition: opportunity cost, impermanent loss, transaction fees. $c>0$ — stop-win; $c<0$ — stop-loss.

При $c>0$: отрицательные IL и opportunity cost доминируют над fees — LP хуже стейкинга. При $c<0$: positive opportunity gain от холда ETH может перевесить IL; fees накапливаются быстрее при $c<0$.

5.2. Импликации для структуры комиссий

Fee terms $e^{-Dc}$ с $D>0$ растут при $c<0$. $P(T_{c,d}<\infty)=e^{-2cd}$ при $c>0$ vs $1$ при $c<0$ — нижние барьеры hit чаще. Асимметрия объясняет оптимальный stop-loss $L^\star

5.3. Характеризация оптимального порога выхода

Objective отрицателен при всех $c>0$ — stop-win suboptimal. При $c<0$ — concave с unique maximum $c^\star<0$; $L^\star=P_0 e^{\sigma c^\star}$. Stop-loss: ждать падения цены; fees convex in $c$ при $c<0$ оправдывают терпение.

5.4. Параметрический анализ

С комиссиями optimal threshold существенно ниже — инвестор дольше в пуле. Уменьшение $r+g-\rho-m$ откладывает exit.

5.5. Численный анализ free-boundary problem

Параметры: $\sigma=0.8$, $\rho=0.02$, $m=0.01$, $K=0.1$; rebasing: $g=0.05$, $r=0$; reward-bearing: $g=0$, $r=0.05$. Optimal values: free-boundary 0.345 vs fixed 0.329; 0.338 vs 0.304. Free boundaries начинаются при $t>0$ — баланс fee accumulation и portfolio value.

Free boundary начинается при $t>0$: баланс fee accumulation и portfolio value. Reward-bearing tokens tolerate higher prices; rebasing — lower exit prices. $\Delta V=V^\star_{\mathrm{free}}-V^\star_{\mathrm{fixed}}$ растёт с $r,g$, падает с $K$. Различия modest — fixed stopping level практичнее.

6. Обсуждение

Модель Milionis et al. (2024) без трейдеров. Расширение — явные трейдеры: объём определяет fees LP; влияют на цену в пуле, выравниваемую арбитражёрами (Cao et al., 2025). Можно включить volume в bounds и fee design.

7. Заключительные замечания

Изучены optimal allocation ETH между холдом, LP и liquid staking и optimal exit timing. Necessary and sufficient conditions для LP; fee mechanism, aligning incentives. Optimal exit characterized; без комиссий — аналитика first-order condition; с комиссиями — numerics. В обоих случаях stop-loss — наиболее рациональное поведение.

Благодарности. Tim Roughgarden. Ruofei Ma — Columbia-Ethereum Foundation Research Center fellowship, Columbia Innovation Hub, CDFT. Wenpin Tang — NSF DMS-2206038, Tang Family Assistant Professorship. Ma and Yao — Columbia–CityU/HK collaborative project (InnoHK, AIFT Lab).

Приложение A. Доказательства результатов раздела 3

Доказательство Lemma 3.2. Objective $f(U,V)=D_t P_t U+V$ однородна степени 1: $f(\lambda U,\lambda V)=\lambda f(U,V)$. Constraint $h(U,V)=UV=L$ — степени 2: $h(\lambda U,\lambda V)=\lambda^2 h(U,V)$. Пусть $(u^\star,v^\star)$ — minimizer Problem 3.4 с $u^\star v^\star=L'=xy$. Точка $(\frac{1}{\lambda}u^\star,\frac{1}{\lambda}v^\star)$ feasible для Problem 3.3 с $L=XY$, hence $V(P_t;L)\le \frac{1}{\lambda}V(P_t;L')$. Обратно $(\lambda U^\star,\lambda V^\star)$ feasible для 3.4, giving $V(P_t;L')\le \lambda V(P_t;L)$. Equality $V(P_t;L')=\lambda V(P_t;L)$ и optimizers (3.5).

Lemma A.1. Коэффициент при $a$: $\frac{E(D_t P_t)e^{rt}}{P_0}-1=e^{(r+g-m)t}-1>0$ по Assumption 2.1 $\Rightarrow a^\star=P_0 x^\star$ (весь unstaked ETH в AMM).

Lemma A.2. Три случая по сравнению $\int_0^t \phi_s e^{-\rho s}ds$ с $\Phi(t)$: (1) strict $>$ $\Rightarrow$ $x^\star=\frac{1}{2P_0}$, $a^\star=\frac{1}{2}$; (2) strict $<$ $\Rightarrow$ $x^\star=a^\star=0$; (3) equality $\Rightarrow$ any $x^\star\in[0,\frac{1}{2P_0}]$, но Assumption 3.8 $\Rightarrow$ $x^\star=0$.

Lemma A.3. Necessity: если $a^\star>0$, $x^\star>0$, то under tie-breaking strict inequality required. Theorem 3.12 follows from A.2–A.3.

Proposition 3.13. Differentiate $\Phi(t)=\int_0^t \phi_s e^{-\rho s}ds$ w.r.t. $t$: $\phi_t e^{-\rho t}=\Phi'(t)$; подставить closed form $\Phi(t)$ для rebasing и reward-bearing cases.

Приложение B. Явные выражения для $T_i^+$ и $T_i^-$

$T_i^-$ — из (4.6) с заменой $+$ на $-$ между $d$ и $\sqrt{\cdot}$.

Приложение C. Доказательства результатов раздела 4

Lemma C.1. Знаки комбинаций $T_4$, $T_5$, $T_6$ при Assumptions 2.1, 4.1 $\Rightarrow$ Proposition 4.2.

Proposition 4.5, 4.6. Анализ Laplace terms; Jensen для IL.

Proposition C.2. $c^\star=\arg\max_{c<0}E[M(T_{c,d},P_{T_{c,d}})]$ решает

при concavity (C.4).

Приложение D. Выражения для impermanent loss, opportunity cost и transaction fee

(1) При $c>0$:

(2) При $c<0$:

Приложение E. Дополнительные численные результаты

E.1. Fixed stopping levels

$V^\star\approx K$, $L^\star\to 0$ — investor stays until fee cap; IL и opportunity cost negligible vs fees.

Tables 4–7 дополняют Tables 1–2: меньше $r+g-\rho-m$ — дольше в пуле. Параметрический анализ показывает устойчивый паттерн: чем меньше разность reward rates и discount rates, тем дольше инвестор остаётся в AMM.

E.2. Free boundary problem

Total payoff для rebasing падает резче с $x$ и $t$ из-за $e^{(r-m-\rho)t}$ в opportunity gain. Reward-bearing: $e^{(-m-\rho)t}$ частично компенсирует. Reward-bearing tolerate higher prices.

Литература

• Angeris, G. and Chitra, T. (2020). Improved price oracles: Constant function market makers.
• Bergault, P. et al. (2024). Automated market making: the case of pegged assets. arXiv:2411.08145.
• Cao, D. et al. (2025). A structural model of automated market making. SSRN 4591447.
• Capponi, A. and Jia, R. (2021). The adoption of blockchain-based decentralized exchanges. arXiv:2103.08842.
• Capponi, A. and Zhu, B. (2025). Optimal exiting for liquidity provision in CFMMs. SSRN 5148585.
• Cartea, F., Drissi, F. and Monga, M. (2025). Decentralised finance and automated market making. arXiv:2307.03499.
• ChainLabo (2024). Liquid staking tokens: A comprehensive guide.
• EigenLayer (2024). Eigenlayer white paper.
• Gogol, K. et al. (2024a,b). LST in AMMs; SoK on LSTs and restaking.
• Heimbach, L. et al. (2023). DeFi lending during the merge. arXiv:2303.08748.
• Jha, P. (2023). Liquid staking solutions now have more TVL than DEXs. Cointelegraph.
• Milionis, J., Moallemi, C.C. and Roughgarden, T. (2023, 2024). AMM fees and LVR.
• Neuder, M., Pai, M. and Resnick, M. (2024). Optimizing exit queues for PoS. arXiv:2406.05124.
• Øksendal, B. (1998). Application to Optimal Stopping. Springer.
• Peskir, G. and Shiryaev, A. (2006). Methods of solution. Birkhäuser.
• Pitman, J. and Yor, M. (2003). Hitting times of one-dimensional diffusions. Bernoulli 9(1).
• Roșu, I. and Saleh, F. (2021). Evolution of shares in PoS cryptocurrency. Management Science.
• Scharnowski, S. and Jahanshahloo, H. (2025). Economics of LST derivatives. Journal of Futures Markets.
• Tang, W. (2022, 2024). PoS stake dynamics and trading.
• Tang, W. and Yao, D.D. (2023a,b). Transaction fee mechanism; trading under PoS.
• Xiong, X. et al. (2024, 2025). LSD market dynamics; leverage staking.

Оригинал статьи: Ma, Cai, Tang and Yao, «Optimal Decisions for Liquid Staking: Allocation and Exit Timing», arXiv:2507.14810