Конкуренция за ликвидность между брокерами и информированным трейдером

5/10

Ключевые слова: информированная торговля; маркетмейкинг; равновесие; алгоритмическая торговля.

Аннотация

Изучается мультиагентная постановка, в которой брокеры торгуют с информированным трейдером. Через последовательную игру типа Штакельберга брокеры управляют издержками торговли и adverse selection. Предоставляя ликвидность информированным, брокеры могут спекулировать на информации о потоке. Одновременно они минимизируют инвентарный риск и издержки торговли на лит-рынке исходя из информированного потока — стратегия интернализации–экстернализации. В замкнутой форме решена торговая стратегия, которую информированный использует с каждым брокером; предложена система уравнений, классифицирующая равновесные стратегии брокеров. Численное решение позволяет изучить равновесные стратегии. Наконец, формулируется конкурентная игра между брокерами за цены ликвидности при предварительном обязательстве; численный пример показывает, что равновесие не является Парето-эффективным.

1. Введение

На финансовых рынках у сторон разная информация — информационная асимметрия. При потоке от информированных контрагенты, как правило, подвергаются adverse selection и предоставляют ликвидность в убыток. Ранние модели: Glosten and Milgrom (1985) и Kyle (1985). У Кайла информированный знает payoff актива, шумовые торгуют случайно; оба взаимодействуют с дилером, задающим цены исполнения от совокупного потока. Равновесие — между ценовой стратегией дилера и стратегией потока информированного.

Herdegen et al. (2023) изучают одношаговую конкуренцию Нэша произвольного числа одинаковых дилеров за поток клиента: при котировании дилеры не знают тип клиента, только распределение. Cartea and Sánchez-Betancourt (2025) характеризуют равновесие Штакельберга с полной информацией между брокером и клиентами — информированным и неинформированным — на OTC. В отличие от Herdegen et al. (2023), брокер различает типы, котирует индивидуально и извлекает сигнал из информированного потока. Другая линия — оптимизация при экзогенном токсичном потоке: Barzykin et al. (2024) — центральный стол агрегирует клиентский inflow с ненаблюдаемой токсичностью, задача разгрузки как частично наблюдаемое стохастическое управление. Детекция токсичного потока: Cartea et al. (2023); Easley et al. (2011).

Помимо использования информации, агенты минимизируют издержки и инвентарный риск. Оптимальное исполнение: Bertsimas and Lo (1998); Almgren and Chriss (2001) — дискретное время, постоянный и временный импакт; непрерывное — Guéant et al. (2012); Forsyth et al. (2012). Адаптации к торговле по сигналу (стат-арб): Cartea et al. (2014) — маркетмейкинг с mean-reverting альфой; сигналы по имбалансу стакана — Cartea et al. (2018); Donnelly and Lorig (2020).

Действия одного агента влияют на остальных. Мультиагентное исполнение: Schied and Zhang (2019); Huang et al. (2019); Donnelly and Lorig (2020). Наша модель обобщает постановку одного брокера и одного информированного из Cartea and Sánchez-Betancourt (2025). Bergault and Sánchez-Betancourt (2025) — mean-field расширение с большой группой информированных и одним брокером; здесь конечное число брокеров торгует стратегически с одним информированным.

Брокеры — поставщики ликвидности. Клиенты: информированный и неинформированный, оба торгуют со всеми брокерами одновременно по индивидуальным котировкам. Информированный знает трендовую компоненту цены; неинформированный не имеет информационного преимущества, его сделки экзогенны и ненаправленны. Брокеры извлекают привилегированную информацию из информированного потока и спекулируют по сигналу на лит-рынке, одновременно экстернализуя поток обоих типов. Все максимизируют ожидаемое богатство при штрафе за инвентарь. На горизонте непроданное остаётся с salvage-стоимостью. После определения оптимальных действий брокеры выбирают цену ликвидности для информированного через равновесный механизм.

Дальше: раздел 2 — модель и задачи брокера и информированного; сначала замкнутая форма стратегии информированного, затем задача брокеров. Раздел 3 — численная симуляция. Раздел 4 — выбор цен ликвидности в равновесии и влияние риск-аверсии. Раздел 5 — заключение.

2. Модель

Рынок из $N$ брокеров, информированного и неинформированного трейдера.¹ Ликвидность стримят только брокеры. Информированный и неинформированный подают сделки всем брокерам одновременно. Брокеры знают идентичность клиентов и котируют по-разному; кроме того, они торгуют на лит-рынке.

Горизонт $T\gt 0$, $\mathcal{T}=[0,T]$. Вероятностное пространство $(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{F}=(\mathcal{F}_t)_{t\in\mathcal{T}},\mathbb{P})$ поддерживает $N+2$ броуновских движений $W^S$, $W^\alpha$ и $W^{U,j}$, $j=1,\ldots,N$. $W^S$ и $W^\alpha$ независимы от остальных; $\{W^{U,j}\}$ имеют постоянную корреляционную матрицу $\rho=(\rho_{i,j})$. Mid на лит-рынке:

где $\sigma,\eta,\theta,b_j\gt 0$. Первые $N$ членов дрейфа — импакт брокеров: $\nu^j$ — скорость торговли брокера $j$ на лит-рынке, $b_j$ — параметр постоянного импакта. Последний член дрейфа — альфа информированного, mean-reverting по (2).

Временный импакт: цена сделки брокера $j$ равна $\hat S^j_t = S^\nu_t + k_j\nu^j_t$, $k_j\gt 0$. Информированный и неинформированный на лит не торгуют, а подают брокерам скорости $\omega^j_t$ и $u^j_t$. Котировки (цены исполнения)

$\kappa_j\gt 0$ известны информированному, $c_j\gt 0$ — неинформированному; положительная скорость — покупка.

2.1. Стратегия информированного трейдера

Анализ в духе Cartea and Sánchez-Betancourt (2025), но с многомерным управлением — распределение сделок между брокерами. После вывода оптимальных скоростей показывается, что каждый брокер восстанавливает совокупный поток, наблюдая только сделки к себе.

Информированный знает альфу (2), но не скорости брокеров $\nu^j$ на лит-рынке. Его фильтрация $\mathcal{F}^I_t=\sigma(\{S_u\}_{u\le t},\{\alpha_u\}_{u\le t})$. Из-за ненаблюдаемости сделок брокеров он вводит неоднозначность модели: мера $\mathbb{P}^I$, при которой

Допустимые стратегии $\mathcal{A}^I$: $\mathbb{P}^I$-прогрессивно измеримые $\omega=(\omega^1,\ldots,\omega^N)$ с $\mathbb{E}^{\mathbb{P}^I}\int_0^T|\omega_s|^2 ds\lt\infty$. Инвентарь и кэш:

с нулевыми начальными условиями.

Информированный знает, что дрейф при $\mathbb{P}^I$ неполный, и рассматривает эквивалентные меры $\mathbb{Q}^I(y^S)$ с производной Радона–Никодима

При $\mathbb{Q}^I$ дрейф mid становится $(\alpha_t-\sigma y^S_t)\,dt$. Штраф за отклонение от эталона — относительная энтропия

где $\psi_I\gt 0$ — параметр ambiguity aversion: малое $\psi_I$ — уверенность в эталоне (при $\psi_I\to 0$ альтернативы отвергаются); большое $\psi_I$ — сильная неоднозначность (при $\psi_I\to\infty$ — worst-case).

Задача информированного:

Уравнение Гамильтона–Якоби–Беллмана–Исаакса (HJBI):

с терминальным условием $H^I(T,\alpha,S,q^I,x^I)=x^I+S q^I-a_I(q^I)^2$, где $\mathcal{L}^\alpha=-\theta\alpha\partial_\alpha+\tfrac12\eta^2\partial_{\alpha\alpha}$ — генератор $\alpha$. Оптимизаторы:

Подстановка даёт PDE (8) оригинала.

Предложение 1 (решение HJBI). Уравнение (8) допускает анзац

где $h^I_0(t,\alpha)=f^I_0(t)+\alpha^2 f^I_2(t)$, $h^I_1(t,\alpha)=\alpha m^I(t)$ и

с агрегатом $1/\kappa=\sum_{j=1}^N 1/\kappa_j$, $\Phi=\tfrac12\psi_I\sigma^2+\varphi_I$, $\gamma=\sqrt{\Phi/\kappa}$, $\zeta=(a_I+\sqrt{\kappa\Phi})/(a_I-\sqrt{\kappa\Phi})$. Функции $m^I$, $f^I_2$, $f^I_0$ задаются явными интегралами оригинала (прямая подстановка в (8)).

Теорема 2 (верификация). Задача (4) имеет классическое решение. Функция ценности — (9); оптимальная скорость с брокером $j$ в форме обратной связи

Оптимальная смена меры: $y^{S*}_t=\psi_I\sigma\,Q^{I,\omega^*}_t$. Доказательство аналогично теореме 2.2 в Cartea and Sánchez-Betancourt (2025) с многомерным управлением.

Замечание 3. Коэффициент $\omega^j_1(t)$ всегда отрицателен: второе слагаемое в (10) управляет инвентарным риском и ликвидацией на горизонте. При $t\to T$ функция $\omega^j_0(t)$ стремится к нулю: вблизи терминала доминирует ликвидация, эксплуатация альфы затухает.

При $\psi_I\to\infty$ оптимальный дрейф уходил бы в $\pm\infty$ по знаку инвентаря; конечные границы на дрейф допускают бесконечную ambiguity, качественное поведение скоростей сохраняется.

Из (7) и (10): $\kappa_i\omega^{i*}_t=\kappa_j\omega^{j*}_t$ для всех $i,j$ — временный импакт (и цены исполнения) у всех брокеров равны. Совокупная скорость

Поэтому брокер $j$, видя поток к себе, восстанавливает совокупную скорость и инвентарь информированного интегрированием.² Из пропорциональности (13) он также восстанавливает скорости к остальным брокерам.

2.2. Стратегия брокеров

Брокеры знают модель информированного, параметры и его начальный инвентарь.³ Они наблюдают mid лит-рынка, но не альфу напрямую. Сигнал «покупается» торговлей с информированным: из (13)–(14) альфа извлекается как

Неинформированный поток к брокеру $i$ — Орнштейн–Уленбек $du^i_t=-\theta_i u^i_t dt+\eta_i dW^{U,i}_t$.⁴ Для простоты $u^j$ видно брокеру $i$ и при $j\neq i$. Кэш и инвентарь брокера $i$:

Ищем равновесие стратегий. Каждый брокер предполагает, что остальные играют марковски; наблюдая весь неинформированный поток, он восстанавливает скорости остальных на лит-рынке и тем самым их кэш, инвентарь и скорости. Фильтрация брокера $i$ включает mid, альфу, кэш и инвентари всех брокеров, инвентарь информированного и все $u^j$. Допустимые $\mathcal{A}^i$: марковские $\nu^i$ с $\mathbb{E}\int_0^T(\nu^i_s)^2 ds\lt\infty$. Функция ценности (17): супремум ожидаемого $X_T+Q_T S_T-a_i(Q_T)^2-\varphi_i\int(Q_u)^2 du$ при фиксированных стратегиях остальных $\nu^{-i}$.

Скорость информированного к брокеру $j$ — функция $\omega^j(t,\alpha,Q^I)$ вида (10). HJB брокера $i$ — уравнение (18) оригинала; оптимизатор

Подставляя аналогичные выражения для всех брокеров и анзац $H^i=x^i+q^i S+h^i(t,\alpha,q^I,q^B,u)$, получаем систему PDE (22) на $h^i$ с $h^i(T)=-a_i(q^i)^2$.

Предложение 4. Квадратичный анзац

сводит (22) к замкнутой системе ОДУ (23) оригинала на коэффициенты $f^i,g^i,m^i,n^i,p^i,d^i,v^i,w^i,x^i,y^i,z^i$. Все терминальные условия нулевые, кроме $n^i_{r,s}(T)=-a_i\delta_{r,s,i}$. Проверка — подстановка и группировка по состояниям.

Теорема 5 (верификация для брокера). Пусть $H^i$ задано (21) с $h^i$ из предложения 4. Тогда $H^i$ совпадает с функцией ценности (17), а оптимальное управление в обратной связи

Применяется теорема 3.5.2 из Pham (2009): квадратичный рост, измеримость максимизатора, единственность SDE.

Замечание 6. При $t\to T$ коэффициенты при альфе, инвентаре информированного, чужих инвентарях и неинформированном потоке исчезают; собственный инвентарный коэффициент $n^{ii,i}$ — нет. Как у информированного (замечание 3), брокеры вблизи горизонта приоритезируют ликвидацию над эксплуатацией альфы; влияние остальных брокеров и шума становится пренебрежимым.

3. Численные эксперименты

Два брокера, симметричные кроме стоимости ликвидности для информированного: $\kappa_2=2\kappa_1$. Чтобы сфокусироваться на связях процессов, неинформированные скорости равны $u_t:=u^1_t=u^2_t$.⁵ ОДУ предложения 4 решаются явной схемой конечных разностей на 5000 шагах.⁶

Рисунок недоступен для встраивания — смотреть в оригинале

Скорость информированного с брокером 2 вдвое меньше, чем с брокером 1 — численная иллюстрация (13). Скорость брокера 1 на лит ненамного больше по модулю, чем у брокера 2. Зато инвентарь брокера 2 обычно больше по модулю: он меньше торгует с информированным, поэтому чистая торговля крупнее. В первой половине горизонта все эксплуатируют альфу сходным образом; ближе к концу скорости брокеров расходятся с информированным — им ещё нужно переварить неинформированный поток и терминальный штраф.

3.1. Анализ робастности

Стратегия брокеров в обратной связи зависит от инвентаря информированного и тем самым от оценки $Q^I_0$. На рисунке 1 инвентарь информированного к концу близок к нулю: при повторении игры оценка $Q^I_0=0$ разумна. Риск — ненулевой старт. Монте-Карло: информированный играет (10) с истинным $Q^I_0$; все брокеры оценивают $\widehat Q^I_0=0$, строят $\widehat Q^{I}_t$ и $\widehat\alpha_t$ по модифицированному (15) и торгуют $\hat\nu^i_t=\nu^{i*}(t,\widehat\alpha_t,\widehat Q^I_t,Q^{B,\hat\nu}_t,u_t)$. Сравниваются критерий $H$ и ожидаемый P&L при верном и неверном $Q^I_0$.

Рисунок недоступен для встраивания — смотреть в оригинале

Результат максимален при верной оценке; субоптимальность выпукла по ошибке. Точная оценка инвентаря важна, особенно при больших отклонениях от типичного нуля.

4. Конкуренция цен ликвидности между брокерами

До торговли брокеры одновременно выбирают параметры $\kappa_i$ — цены ликвидности для информированного (линейная кривая спроса).⁷ Затем все играют по (25), (10) и (16). Начальная ценность брокера $i$:

Определение 7 (равновесие Нэша по цене ликвидности). Набор $\kappa^*=(\kappa^*_1,\ldots,\kappa^*_N)$ таков, что для всех $i$

Никто не улучшает критерий односторонним отклонением. Ценность информированного в равновесии: $V^I(\kappa^*)=H^I(0,\alpha_0,S_0,Q^I_0,X^I_0;\kappa^*)$ из (9).

4.1. Численный эксперимент

Из-за вычислительной сложности — $N=2$. Алгоритм при фиксированных прочих параметрах $\Theta$:⁸

1. Сетка по времени и по $(\kappa_1,\kappa_2)$; инициализация $\kappa^{(0)}_2$.
2. При данном $\kappa^{(n)}_2$ считаем $V^1(\kappa_1,\kappa^{(n)}_2)$ по сетке $\kappa_1$ (явная схема для ОДУ предложения 4).
3. $\kappa^{(n)}_1=\kappa^*_1(\kappa^{(n)}_2)=\arg\max_{\kappa_1}V^1(\kappa_1,\kappa^{(n)}_2)$.
4. Аналогично $\kappa^*_2(\kappa^{(n)}_1)$.
5. Обновление с малым learning rate $\gamma\in[0,1)$: $\kappa^{(n+1)}_2=(1-\gamma)\kappa^{(n)}_2+\gamma\kappa^*_2(\kappa^*_1(\kappa^{(n)}_2))$ — чтобы гасить осцилляции.
6. Повтор до сходимости в max-норме.

Базовые параметры для поверхностей ценности: $\alpha_0=0$, $S_0=100$, $\theta=\eta=\sigma=0.1$, $c_1=c_2=0.1$, $k_1=k_2=0.2$, $b_1=b_2=0.14$, $a_I=1$, $a_1=a_2=40$, $\varphi_I=0.01$, $\psi_I=0.1$, $\varphi_1=\varphi_2=20$, $u^1_0=u^2_0=0$, $\theta_1=\theta_2=0.001$, $\eta_1=\eta_2=0.01$; все начальные инвентари нулевые — ценность идёт от структуры рынка и оптимальных действий, не от стартовых позиций.

Рисунок недоступен для встраивания — смотреть в оригинале

При фиксированном $\kappa_2$ функция $V^1$ вогнута по $\kappa_1$: компромисс между редкой дорогой выручкой и частой дешёвой. При фиксированном $\kappa_1$ ценность растёт по $\kappa_2$: информированный перенаправляет поток к брокеру 1. Кривая $\kappa^*_1(\kappa_2)$ слабо возрастает: если конкурент дорожает, разумно чуть поднять свою цену.

Парето-эффективность: разности $V^i(\kappa_1,\kappa_2)-V^i(\kappa^*_1,\kappa^*_2)$. Область, где обе положительны, — Парето-улучшения относительно равновесия (рисунок 4). Внешнее ограничение (регулирование) могло бы дать группе больше, чем индивидуальный оптимум.

Рисунок недоступен для встраивания — смотреть в оригинале

4.1.1. Влияние текущего штрафа за инвентарь

Фиксируем $\varphi_2$ и прочие параметры, варьируем $\varphi_1$. На рисунке 5 слева $\kappa^*_1$ падает с ростом $\varphi_1$; информированный торгует с брокером 1 больше (справа). Контринтуитивно: казалось бы, при большем штрафе надо дорожать, чтобы отпугнуть поток. Но брокеры монетизируют альфу — спекуляция тоже меняется.

Рисунок недоступен для встраивания — смотреть в оригинале

Чистая скорость брокера $i$: $\tilde\nu^i_t:=\nu^i_t-\omega^i_t-u^i_t$. Для брокера 1 в равновесии

где $r^1_1(t)\alpha_t$ — спекуляция, $r^1_4(t)Q^{I*}_t$ и $r^1_5(t)u^1_t$ — интернализация информированного и шума. Рисунок 6: при $\varphi_1=20$ спекулятивный член сжимается; член с $Q^{I*}$ почти не меняется до окрестности $T$. Рисунок 7: чистая скорость и инвентарь меньше по модулю при большем $\varphi_1$. Брокер принимает больше информированного потока, быстрее его ликвидирует и сокращает спекуляцию.

Рисунок недоступен для встраивания — смотреть в оригинале

Рисунок недоступен для встраивания — смотреть в оригинале

Агрегаты по реализациям: $Z^I=\int_0^T|\omega^1_t|dt$ — объём информированного с брокером 1; $\bar Q=T^{-1}\int_0^T|Q^1_t|dt$ — средний |инвентарь|; $Y^\alpha_{\mathrm{tot}}=\int_0^T|r^1_1(t)\alpha_t|dt$ — спекулятивный объём; $Y^I_{\mathrm{tot}}=\int_0^T|r^1_4(t)Q^{I*}_t|dt$ — объём, связанный с инвентарём информированного. 4000 симуляций, двухвыборочный $t$-тест, $\varphi_1$: 2 против 20.

Таблица 1. $t$-тест (сценарий 1: $\varphi_1=2$; сценарий 2: $\varphi_1=20$).

• $Z^I$: $t=-100.40$, $p=0$, средние $0.16$ и $0.78$;
• $\bar Q$: $t=84.83$, $p=0$, средние $0.17$ и $0.02$;
• $Y^\alpha_{\mathrm{tot}}$: $t=81.17$, $p=0$, средние $1.08$ и $0.35$;
• $Y^I_{\mathrm{tot}}$: $t=4.82$, $p=1.44\times 10^{-6}$, средние $1.42$ и $1.35$ (в таблице 2 масштаб $10^{-5}$).

Таблица 2. Средние и ст. откл.: $Z^I$ $0.16\,(0.08)$ vs $0.78\,(0.38)$; $\bar Q$ $0.17\,(0.11)$ vs $0.02\,(0.01)$; $Y^\alpha_{\mathrm{tot}}$ $1.08\,(0.54)$ vs $0.35\,(0.18)$; $Y^I_{\mathrm{tot}}$ $1.42\times 10^{-5}\,(7.14\times 10^{-6})$ vs $1.35\times 10^{-5}\,(6.75\times 10^{-6})$.

Средний инвентарь падает с 0,17 до 0,02 — торговля подавлена штрафом. Объём информированного с брокером 1 растёт с 0,16 до 0,78; спекуляция падает с 1,08 до 0,35. Сокращение $Y^I_{\mathrm{tot}}$ мало (0,07) по сравнению со спекуляцией (0,73). Все $|t|\gt 2$. Отсюда падение $\kappa^*_1$ по $\varphi_1$ на рисунке 5: брокер режет активность за счёт спекуляции, а не сделок с информированным.

Рисунок недоступен для встраивания — смотреть в оригинале

Оба брокера теряют начальную ценность: брокер 1 — из-за штрафа, брокер 2 — из-за вынужденного снижения комиссии. Информированный выигрывает: больше сделок и меньше спекуляции брокера 1 за альфу.

4.1.2. Влияние терминального штрафа

Фиксируем $a_2$, варьируем $a_1$. Связь равновесия с $a_1$ зависит от текущих штрафов $\varphi_i$. При высоком $\varphi_1$ (рисунок 9 слева) $\kappa^*_1$ растёт с $a_1$: дороже ликвидность — меньше поток — меньше терминальное давление. При низком $\varphi_1$ (справа) $\kappa^*_1$ падает с $a_1$ — контринтуитивно.

Рисунок недоступен для встраивания — смотреть в оригинале

Таблица 3 (средние; $a_1=2$ vs $a_1=20$). При $\varphi_i=10$: $Z^I$ падает (меньше потока при росте $\kappa^*$); при $\varphi_i=1$: $Z^I$ растёт. Спекулятивный объём $Y^\alpha_{\mathrm{tot}}$ при $\varphi_i=1$ падает на 34–56% в одном из столбцов оригинала. Полные строки — в оригинале. Три наблюдения: (i) при высоком текущем штрафе терминальный штраф работает как «отпугивание потока»; (ii) при низком текущем штрафе брокер скорее сохраняет поток и режет спекуляцию; (iii) знак реакции $\kappa^*_1$ на $a_1$ переключается режимом $\varphi$.

Рисунок недоступен для встраивания — смотреть в оригинале

При $\varphi_i=10$ ценность брокера 1 убывает по $a_1$; при $\varphi_i=1$ — растёт, когда $\kappa^*_1$ падает.

5. Заключение

Изучена игра маркетмейкинга брокеров с информированным и неинформированным контрагентами. Игра типа Штакельберга показывает, как информированный выбирает скорость с каждым брокером в зависимости от цены ликвидности, и демонстрирует стратегию интернализации/экстернализации брокера — прямой компромисс между спекуляцией и инвентарным риском. Конкуренция брокеров по ценам ликвидности идёт до последовательной игры со информированным. Численно найдено равновесие, которое не Парето-эффективно. Исследовано влияние параметров (в частности текущего штрафа за инвентарь) на равновесие и благосостояние игроков.

Авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов.

Сноски

1. Информированный и неинформированный трактуются как отдельные агенты, но могут представлять агрегат всей соответствующей активности. ↩
2. Нужно, чтобы брокер $j$ знал начальный инвентарь информированного; это допущение ниже и проверяется на робастность. ↩
3. Знание $Q^I_0$ на практике мягкое: трейдеры обычно стремятся закончить день с плоской позицией. ↩
4. $W^{U,i}$ независима от $W^S$ и $W^\alpha$, но коррелирована с $W^{U,j}$ с параметром $\rho_{i,j}$. ↩
5. Отсюда $\theta_1=\theta_2$, $\eta_1=\eta_2$ и $\rho_{1,2}=\rho_{2,1}=1$. ↩
6. Стратегии брокеров считаются явной конечно-разностной схемой для ОДУ предложения 4, 5000 шагов. ↩
7. Цена $\kappa_i$ относится только к информированному; смена $\kappa_i$ не позволяет дополнительно извлекать богатство из неинформированного. Параметры $c_i$ и поток $u^i$ в (16) от $\kappa_i$ не зависят. ↩
8. Существование и единственность равновесия определения 7 не доказаны; в численных экспериментах алгоритм сходится к одному и тому же пределу (в пределах допуска) независимо от инициализации $\kappa^{(0)}_2$. ↩

Литература

• Almgren, R. and Chriss, N., Optimal execution of portfolio transactions. Journal of Risk, 3:5–40, 2001.
• Barzykin, A., Boyce, R. and Neuman, E., Unwinding toxic flow with partial information. arXiv:2407.04510, 2024.
• Bergault, P. and Sánchez-Betancourt, L., A mean field game between informed traders and a broker. SIAM Journal on Financial Mathematics, 16(2):358–388, 2025.
• Bertsimas, D. and Lo, A. W., Optimal control of execution costs. Journal of Financial Markets, 1(1):1–50, 1998.
• Cartea, Á., Donnelly, R. and Jaimungal, S., Enhancing trading strategies with order book signals. Applied Mathematical Finance, 25(1):1–35, 2018.
• Cartea, Á., Duran-Martin, G. and Sánchez-Betancourt, L., Detecting toxic flow. arXiv:2312.05827, 2023.
• Cartea, Á., Jaimungal, S. and Ricci, J., Buy low, sell high: A high frequency trading perspective. SIAM Journal on Financial Mathematics, 5(1):415–444, 2014.
• Cartea, Á. and Sánchez-Betancourt, L., Brokers and informed traders: dealing with toxic flow and extracting trading signals. SIAM Journal on Financial Mathematics, 16(2):243–270, 2025.
• Donnelly, R. and Lorig, M., Optimal trading with differing trade signals. Applied Mathematical Finance, 27(4):317–344, 2020.
• Easley, D., López de Prado, M. M. and O’Hara, M., The microstructure of the “flash crash”. Journal of Portfolio Management, 37(2):118, 2011.
• Forsyth, P. A., Kennedy, J. S., Tse, S. T. and Windcliff, H., Optimal trade execution: a mean quadratic variation approach. Journal of Economic Dynamics and Control, 36(12):1971–1991, 2012.
• Glosten, L. R. and Milgrom, P. R., Bid, ask and transaction prices in a specialist market with heterogeneously informed traders. Journal of Financial Economics, 14(1):71–100, 1985.
• Guéant, O., Lehalle, C.-A. and Fernandez-Tapia, J., Optimal portfolio liquidation with limit orders. SIAM Journal on Financial Mathematics, 3(1):740–764, 2012.
• Herdegen, M., Muhle-Karbe, J. and Stebegg, F., Liquidity provision with adverse selection and inventory costs. Mathematics of Operations Research, 48(3):1286–1315, 2023.
• Huang, X., Jaimungal, S. and Nourian, M., Mean-field game strategies for optimal execution. Applied Mathematical Finance, 26(2):153–185, 2019.
• Kyle, A. S., Continuous auctions and insider trading. Econometrica, 53:1315–1335, 1985.
• Pham, H., Continuous-time Stochastic Control and Optimization with Financial Applications, vol. 61. Springer, 2009.
• Schied, A. and Zhang, T., A market impact game under transient price impact. Mathematics of Operations Research, 44(1):102–121, 2019.

Оригинал статьи: Donnelly and Li, «Liquidity Competition Between Brokers and an Informed Trader», arXiv:2503.08287 · лицензия CC BY 4.0