Стратегическая информированная торговля и ценность частной информации

5/10

Ключевые слова: informed trading, price impact, asymmetric information, certainty equivalent, market signal.

Классификация arXiv: q-fin.TR

Аннотация

Рассматривается рынок рискованных финансовых активов с информированным трейдером, представительным неинформированным трейдером и шумными поставщиками ликвидности. Доказывается существование равновесия с расчисткой рынка, когда инсайдер учитывает своё влияние на цены, а неинформированный трейдер принимает цены как данные. По сравнению с ассоциированной конкурентной экономикой в равновесии инсайдер стратегически раскрывает более зашумлённый сигнал, а цены менее чувствительны к публично доступной информации. Кроме того, — в прямом контрасте с родственной литературой, — косвенная полезность инсайдера монотонно растёт с точностью сигнала. Следовательно, инсайдер мотивирован не только получить, но и уточнить свой сигнал. Наконец, по сравнению с конкурентной экономикой internalization price impact повышает полезность неинформированного трейдера, но, несколько неожиданно, может снижать полезность самого инсайдера — при достаточно высокой risk aversion инсайдера относительно неинформированного и при достаточно низком качестве сигнала.

Введение

Хорошо задокументировано, что крупные финансовые институты способны влиять на рынки (см., например, Koijen and Yogo [2019] и Rostek and Yoon [2024]). По сравнению с другими трейдерами заявки крупных инвесторов влияют и на цены сделок, и на объёмы; эти инвесторы осознают это влияние (Rostek and Weretka [2015a]). Кроме того, финансовые институты вкладывают значительный капитал в получение информации о выплатах торгуемых активов (Kacperczyk and Pagnotta [2019]). В сумме естественно предполагать, что крупные инвесторы одновременно осознают своё влияние на цены и обладают частной информацией.

Однако не секрет, что крупные инвесторы — информированные трейдеры (Subrahmanyam [1991]). Другие участники рынка, даже не имея частной информации, знают о превосходстве информации «инсайдеров» и учитывают его. Значит, в равновесии ожидается частичная передача частной информации — это показано и в конкурентной экономике, и в моделях price impact (начиная с Grossman and Stiglitz [1980] и Kyle [1985]): частный сигнал инсайдера о терминальной выплате рискованных активов частично раскрывается всем через равновесные цены, формируя рыночный (публичный) сигнал. Разумно также предполагать, что неинформированные трейдеры знают: частная информация инсайдера хотя бы частично проявится в рыночных ценах.

Исходя из этого, мы изучаем, как осознание инсайдером price impact влияет на формирование равновесной цены и передачу информации, а также на косвенную полезность инсайдера и неинформированного трейдера. Работаем в однопериодной normal-CARA модели, ищем линейное price-impact равновесие, где риск-аверсный инсайдер торгует портфелем рискованных активов с массой неинформированных риск-аверсных трейдеров и поставщиками ликвидности (noise traders). Инсайдер отличается двумя способами: (i) обладает частной информацией; (ii) учитывает влияние своей торговой активности на цены. Модель предсказывает, насколько сигнал инсайдера раскрывается рынку и как неинформированные трейдеры корректируют спрос. Сравниваем равновесные величины с соответствующей конкурентной (price-taking) моделью, чтобы оценить, насколько снижается информационное содержание цен и что это означает для спроса трейдеров.

Особый интерес — косвенная полезность трейдеров, определяемая как certainty equivalent от оптимальной торговли. Мотивация — знаменитый результат Grossman and Stiglitz [1980] (аналогичные выводы — в Verrecchia [1982] и недавней Nezafat and Schroder [2023]): косвенная полезность инсайдера необязательно растёт с качеством сигнала. Точнее, если $G = X + Z_I$, где $X$ — выплата актива, а $Z_I$ — шум с точностью $p_I$, отображение «$p_I \to$ косвенная полезность инсайдера» принимает одну из двух форм на рис. 1.

Это проблематично: либо получение сигнала никогда не выгодно, либо выгодно лишь при точности ниже некоторого порога. Поскольку производство сигнала, по-видимому, стоит денег и/или усилий, первый случай делает price-taking равновесия с частными сигналами несколько искусственными; второй требует от инсайдера оценки параметров модели (в частности, связанных с другими трейдерами), чтобы решить, стоит ли уточнять сигнал.

Мотивированные рис. 1, мы спрашиваем: даёт ли наша модель аналогичный результат или internalization price impact гарантирует монотонный рост косвенной полезности инсайдера в точности сигнала? Положительный ответ означал бы, что улучшение обусловлено сочетанием доступа к лучшей информации и учёта price impact.

Методология и основные вклады. Модифицируем однопериодную CARA-normal постановку Grossman and Stiglitz [1980], позволяя инсайдеру internalize price impact при price-taking неинформированных трейдерах и поставщиках ликвидности. По аналогии с Kyle [1985], Rochet and Vila [1994] изучаем линейное impact-равновесие: инсайдер воспринимает рыночную цену как аффинную функцию суммы её спроса и спроса noise traders; аффинные коэффициенты определяются endogenously через market clearing.

В теореме 1.2 доказываем существование линейного price impact (PI) равновесия; коэффициенты задаются единственным положительным корнем кубического уравнения (6). Для сравнения в предложении 1.3 суммируем price-taking (PT) результаты Grossman and Stiglitz [1980]. В обоих случаях устанавливаем равновесия без частной информации как предел нулевой точности (предложение 1.4).

Сравнивая PI и PT, показываем (как Kacperczyk et al. [2024]), что публичный сигнал в PI равновесии «размытее» (предложение 2.1): инсайдер стремится скрыть сигнал в заявке, снижая точность сигнала, раскрываемого ценами. Неинформированные трейдеры это учитывают и реагируют менее эластичной функцией спроса; цена PI менее чувствительна к публичной информации, чем PT (согласуется с adverse selection у Kyle [1989] и Lou and Rahi [2023]). Вывод устойчив по параметрам, включая risk aversion. Предполагая price taking инсайдера, неявно предполагают более точный публичный сигнал и более реактивные цены, чем при internalization impact.

Главный результат по полезности: ex-ante полезность инсайдера монотонно растёт с точностью частного сигнала (теорема 3.2). Отношения рис. 1 — когда все агенты price takers (Grossman and Stiglitz [1980]) или все internalize impact (Nezafat and Schroder [2023]) — в нашей модели не возникают. Всегда есть стимул уточнять сигнал, если инсайдер отличается и по internalization impact, и по асимметрии информации.

Интересно также, как эти два канала определяют полезность инсайдера. Рис. 1 указывает, что асимметрия информации снижает полезность; наивно internalization impact должна её повышать. Неочевидно, улучшает ли PI равновесие полезность относительно PT. Без частной информации internalization impact улучшает полезность инсайдера для любой реализации спроса noise traders (предложение 3.6). С частным сигналом обычно выигрыш от internalization перевешивает потери от асимметрии информации, но не всегда: при достаточной risk aversion инсайдера, достаточной risk tolerance неинформированных и достаточно низкой дисперсии шумового спроса доминируют негативные эффекты асимметрии, и PI модель хуже PT. Единого порядка полезности между PI и PT нет; в разделе 4 объясняем механизм через функцию спроса инсайдера.

Лучший сигнал улучшает полезность инсайдера в PI, но не обязательно в PT. Пока инсайдер internalize impact, PI цена не может быть приведена к соответствующей PT цене: неинформированный трейдер, будучи price taker, при оптимизации спроса учитывает, что инсайдер internalize impact. Снижение точности публичного сигнала делает спрос менее эластичным; инсайдер торгует против другого residual demand. PT равновесие не является частным случаем PI.

Связь с литературой. Работа вносит вклад в литературу price-impact равновесий при асимметричной информации, полезности участников и информативности цен.

В PI равновесии инсайдер не price taker. Обычно price taking — для tractability; иначе нужна модель impact, и равновесия могут быть трудны. В Kyle [1985], Back [1992], Rochet and Vila [1994] спрос инсайдера объединяется с exogenous noise demand и передаётся risk-neutral market maker, который ценообразует конкурентно. В Subrahmanyam [1991] market makers risk averse и котировки на utility indifference, но инсайдер не знает спрос noise traders до подачи заявки (как в Kyle [1985]). Наш анализ обновляет Subrahmanyam [1991] в двух направлениях: неинформированный трейдер — utility optimizer; инсайдер идентифицирует спрос noise traders через публичную равновесную цену (Rochet and Vila [1994]).

После Kyle [1989] развиты normal-CARA модели с price impact и асимметричной информацией: Vayanos [2001], Rostek and Weretka [2015a,b], Malamud and Rostek [2017], Anthropelos and Kardaras [2024], Bergemann et al. [2021] и др. Там стратегические агенты подают demand schedules → Nash equilibrium; private information часто в endowments. Обзор — Rostek and Yoon [2024].

Теоретических работ, обосновывающих положительную связь между качеством информации и выигрышем от торговли, мало. Hirshleifer [1971], Morris and Shin [2002] — конкурентные рынки; Vives [2011, 2014], Rostek and Weretka [2012] — неконкурентные. Nezafat and Schroder [2023] — двухстадийная модель выбора точности сигнала; там и инсайдер, и неинформированные стратегические → «тонкий» рынок и utility-deteriorating private information. У нас неинформированные price takers → zero-information равновесия невозможны; частная информация имеет положительную ценность для инсайдера.

Kacperczyk et al. [2024] — стратегический информированный и price-taking неинформированный трейдеры, роль endowments. Gong et al. [2022] — risk-neutral инсайдер и market maker с квадратичной целью; линейное равновесие, цена недореагирует на публичный сигнал. Lou and Rahi [2023] — без liquidity providers, информативность цен не меняется из-за impact. Goldstein et al. [2025] — sharing сигналов снижает выигрыш инсайдера.

Структура работы. Раздел 1 — модель и существование равновесий. Раздел 2 — передача информации и чувствительность сигналов и цен. Раздел 3 — полезность. Раздел 4 — структура равновесия по ценам и распределению риска. Раздел 5 — интуиция и предсказания. Обобщение на многомерный случай — приложение A; доказательства — приложение B.

1. Равновесие

Представляем модель и строим равновесие. Чтобы изолировать эффекты internalization price impact и асимметрии информации и упростить нотацию, рассматриваем упрощённую модель с одним рискованным активом, выплата которого имеет нулевое среднее и единичную дисперсию, а начальные endowments — Pareto-оптимальны при отсутствии частной информации. Одноактивная модель и все основные результаты обобщаются в приложении A на многомерный случай с общими средними и ковариациями.

Модель и неопределённость. Однопериодная модель; все случайные величины на $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$, beliefs $\mathbb{P}$ общие. Рискованный актив с терминальной выплатой $X \sim \mathcal{N}(0,1)$ и положительным supply $\Pi > 0$. Безрисковый актив в нулевом net supply, цена нормирована к 1. Инсайдер $I$ в момент 0 получает частный сигнал $G$ — зашумлённую версию $X$:

где $E_I \sim \mathcal{N}(0,1)$ независима от $X$, $p_I > 0$ — точность сигнала. Масса неинформированных трейдеров не получает частный сигнал, но в равновесии получит рыночный сигнал через цену в момент 0. Неинформированные — price takers; представительный агент $U$. Оба трейдера с экспоненциальными предпочтениями и risk tolerances $\alpha_I$, $\alpha_U$. Поставщики ликвидности (noise traders) $N$ с exogenous спросом $Z_N = E_N/\sqrt{p_N}$, $E_N \sim \mathcal{N}(0,1)$ независима от $X$ и $E_I$. $p_N$ — точность спроса noise traders (proxy объёма price-inelastic спроса, Kovalenkov and Vives [2014]).

Трейдеры $I$ и $U$ endowed позициями $\{\pi_{i,0}\}$, Pareto-оптимальными без частной информации:

Pareto-оптимальность означает существование эквивалентной меры $Q_0$ с плотностью, пропорциональной marginal utility от endowed wealth. При экспоненциальных предпочтениях:

В момент 0 $I$ и $U$ выбирают позиции $\pi_I$, $\pi_U$, финансируя сделки безрисковым активом. Для risk-aversion adjusted стратегий $\psi_i := \pi_i / \alpha_i$ условие clearing:

Adjusted terminal wealth:

Price-impact равновесие. Ожидаем линейное impact-равновесие: при изменении позиции с $\pi_{I,0} = \alpha_I \psi_{I,0}$ на $\pi_I = \alpha_I \psi_I$ инсайдер воспринимает цену как аффинную функцию своей сделки и спроса noise traders:

с константами $V_{p,\iota}$, $M_{p,\iota}$, определяемыми в равновесии (индекс «$\iota$» — impact). По Rochet and Vila [1994] инсайдер видит частный сигнал и, для данной сделки $\psi$, цену $p_\iota$ — следовательно, $Z_N$ тоже раскрыт. Допустимые политики $\mathcal{A}_I$: $\psi = \psi(G, Z_N)$; при фиксированных $V_{p,\iota}$, $M_{p,\iota}$ оптимальный спрос решает $\inf_{\psi \in \mathcal{A}_I} \mathbb{E}[e^{-\psi_{I,0} p_\iota(\psi, Z_N) - \psi(X - p_\iota(\psi, Z_N))} \mid \sigma(G, Z_N)]$.

Из линейного impact и exponential-Gaussian структуры оптимальная политика $\widehat{\psi}_{I,\iota}$ аффинна в $G$ и $Z_N$:

для констант $V_{I,\iota}$, $M_{I,\iota}$, $\Lambda_\iota$ (явно в (9)), зависящих от $V_{p,\iota}$, $M_{p,\iota}$. Левая часть публично наблюдаема → рынок получает сигнал $H_\iota = G + \Lambda_\iota Z_N$, цена $p_\iota(H_\iota)$. Политики неинформированного $\mathcal{A}_U$: $\psi(H_\iota)$; как price taker он решает $\inf_{\psi \in \mathcal{A}_U} \mathbb{E}[e^{-\psi(X - p_\iota(H_\iota))} \mid \sigma(H_\iota)]$. Оптимальная политика аффинна в $H_\iota$. Market clearing (3) даёт $0 = V_{H,\iota}(V_{p,\iota}, M_{p,\iota}) + M_{H,\iota}(V_{p,\iota}, M_{p,\iota}) \times H_\iota$ п.н. Если найти $V_{p,\iota}$, $M_{p,\iota}$ с $V_{H,\iota} = M_{H,\iota} = 0$, существует линейное PI равновесие.

Как в Subrahmanyam [1991] (quintic), у нас равновесные величины задаются положительными корнями кубического уравнения:

где $\kappa := \alpha_I^2 p_N$ — точность $Z_N/\alpha_I$; $\lambda := \alpha_I/(\alpha_I + \alpha_U)$ — доля risk tolerance инсайдера.

Предложение 1.1. Существует единственное строго положительное решение $\widehat{y}$ уравнения (6).

Теорема 1.2. $\widehat{y}$ из предложения 1.1 порождает PI равновесие. Рыночный сигнал:

$H_\iota$ той же формы, что $G$, но с меньшей точностью:

Равновесная цена $p_\iota(h_\iota)$:

где $p_{Q_0} := \mathbb{E}_{Q_0}[X] = -\widehat{\Pi}$ — цена без частной информации (8). Оптимальные политики:

Коэффициенты в (5): $M_{p,\iota} = \widehat{y}/(1 + p_I)$, $V_{p,\iota} = -\widehat{\Pi} = p_{Q_0}$.

Price-taking равновесие. Для сравнения — все агенты price takers (Grossman and Stiglitz [1980]). Рыночный сигнал $H$ через цену $p = p(H)$; инсайдер использует $\sigma(H, G)$, неинформированный — $\sigma(H)$. Оптимизация (14). $(H, p(H))$ — PT равновесие, если clearing (3) выполняется для оптимальных политик.

Предложение 1.3. PT равновесие существует. Рыночный сигнал $H = G + \Lambda Z_N$, $\Lambda = 1/(\alpha_I p_I)$. Точность $p_U = p_I \kappa p_I / (1 + \kappa p_I)$. Цена:

Оптимальные политики: $\widehat{\psi}_I(g, z) = p_I g - (1 + p_I)p(h(g, z))$; $\widehat{\psi}_U(h) = p_U h - (1 + p_U)p(h)$.

Равновесия без частного сигнала. Единственная неопределённость — $Z_N$; соответствует $p_I \to 0$.

Предложение 1.4. No-signal равновесия при $p_I = 0$. PT: $p^{\mathrm{ns}}(z) = p_{Q_0} + \lambda z/\alpha_I$; $\widehat{\psi}^{\mathrm{ns}}(z) = \widehat{\Pi} - \lambda z/\alpha_I$. PI: $p^{\mathrm{ns},\iota}(z) = p_{Q_0} + \lambda z/((1-\lambda^2)\alpha_I)$; $\widehat{\psi}^{\mathrm{ns},I,\iota}(z) = \widehat{\Pi} - \lambda z/((1+\lambda)\alpha_I)$; $\widehat{\psi}^{\mathrm{ns},U,\iota}(z) = \widehat{\Pi} - \lambda z/((1-\lambda^2)\alpha_I)$.

Замечание о линейности impact. Линейный price impact мотивирован PT случаем. Из (17), (18) следует обратная combined demand function в равновесии — линейный impact, хотя инсайдер не internalize его в PT:

Цена имеет форму (5) с $V_p = p_{Q_0} = -\widehat{\Pi}$ и $M_p = (\alpha_I p_I + \alpha_U p_U)/(\alpha_U(p_I - p_U))$. Как отмечено во введении, пока инсайдер internalize impact и неинформированный это учитывает, PT и PI равновесия не совпадают. Даже если инсайдер подаст PT-оптимальный спрос при internalization, рынок не выйдет на PT цену — если неинформированный игнорирует снижение $p_{U,\iota}$ и полагает $p_U$ постоянным. Существует $y^* > 0$, что $M_{p,\iota}(y^*) = y^*/(1+p_I)$ совпадает с $M_p$; при $M_{p,\iota} = M(y^*)$ и PT-спросе (18) раскрывается тот же сигнал, что в PT. Однако $\widehat{\psi}_I$ из (18) не оптимален для инсайдера в PI модели — равновесия различны.

2. Сравнительный анализ: сигналы и чувствительность цен

Сравниваем публичные сигналы и чувствительность цен PI и PT. Главное сообщение раздела:

Предполагая price taking инсайдера, переоценивают качество публичного сигнала и реактивность равновесных цен.

Доказательства — приложение B.3. Из (9), (15):

Предложение 2.1. Публичный сигнал в PI «шумнее»: $p_U > p_{U,\iota}$. Неинформированный учитывает «искажённый» сигнал инсайдера и реагирует менее эластично (сравните (13) и (19)).

Чувствительность цен. Предложение 2.2. Функции ценообразования:

Наклоны (25): $m_{g,\iota} = p_I \widehat{y}/((1+p_I)(1+2\widehat{y}))$; $m_g = p_I(\kappa p_I + \lambda)/(1 - \lambda + (1+p_I)(\kappa p_I + \lambda))$.

Предложение 2.3. Цена менее чувствительна к рыночному сигналу в PI: $m_{g,\iota} < m_g$. Инсайдер мотивирован «замутнить» публичный сигнал → менее эластичный спрос неинформированного → менее реактивные цены.

Для публично наблюдаемого combined demand $\widehat{\chi}_\iota := \widehat{\psi}_{I,\iota}(G, Z_N) - \psi_{I,0} + Z_N/\alpha_I$ (и аналога $\widehat{\chi}$ в PT) наклоны $m_{\widehat{\chi},\iota} = \widehat{y}/(1+p_I)$, $m_{\widehat{\chi}} = (\lambda + \kappa p_I)/(1-\lambda)$.

Предложение 2.4. Цены менее чувствительны к combined demand в PI: $m_{\widehat{\chi},\iota} < m_{\widehat{\chi}}$.

3. Косвенная полезность

Анализируем косвенную полезность («utility») трейдеров: связь качества сигнала инсайдера с её utility и влияние internalization impact. Utility на ex-ante уровне ($0^-$) и interim ($0$) — через certainty equivalents от wealth (4). Обозначения $\widehat{W}^{I,\iota}$, $\widehat{W}^{U,\iota}$ в PI; $\widehat{W}^I$, $\widehat{W}^U$ в PT. Interim CE:

ex-ante: $\mathrm{CE}^j_{0^-,\iota} = -\alpha_j \log \mathbb{E}[e^{-\widehat{W}^{j,\iota}/\alpha_j}]$, $j \in \{I, U\}$ (аналогично для PT без $\iota$).

Основные выводы: (i) в PI ex-ante utility инсайдера строго растёт в $p_I$; (ii) ex-ante utility инсайдера не всегда выше в PI; (iii) без частной информации internalization impact повышает utility инсайдера на interim уровне; при $\alpha_I = \alpha_U$ порядок $\mathrm{U(PI)} > \mathrm{I(PI)} > \mathrm{U(PT)} = \mathrm{I(PT)}$ — utility неинформированного в PI превышает utility инсайдера.

Определим $\mathrm{CE}^{\mathrm{ns}}_i := -\alpha_i \widehat{\Pi}^2/2$ — CE без частной информации для allocations (1).

Предложение 3.1. В PI:

В PT:

Доказательства раздела (кроме предложения 3.3) — приложение B.5.

Utility и точность сигнала инсайдера. В PI достаточно изучить $\phi_\iota(p_I) := (\kappa p_I(1+p_I) + \widehat{y}(p_I)^2)/(\kappa(1+p_I)(1+2\widehat{y}(p_I)))$.

Теорема 3.2. При фиксированных $\kappa > 0$, $\lambda \in (0,1)$ отображение $\phi_\iota$ строго возрастает в $p_I$. Следовательно, $\mathrm{CE}^I_{0^-,\iota}$ строго возрастает в точности $p_I$.

В PT $\phi(p_I) = ((1-\lambda)^2 \kappa p_I + (1+p_I)(\lambda + \kappa p_I)^2)/(\kappa(1 + \lambda p_I + \kappa p_I(1+p_I))^2$ не монотонна: $\phi(0) = \lambda^2/\kappa$, $\phi(\infty) = 0$. При $\lambda > 1/2$ и малом $\kappa$ $\phi$ убывает в нуле. CE с impact и без могут иметь противоположную монотонность по $p_I$ (рис. 2): без internalization utility инсайдера может не расти с качеством сигнала; с internalization — всегда выгодно улучшать сигнал, если стоимость не перевешивает прирост.

Сравнение PI и PT utility. Из предложения 3.1:

Предложение 3.3. Возможны и $\mathrm{CE}^I_{0^-,\iota} > \mathrm{CE}^I_{0^-}$, и $\mathrm{CE}^I_{0^-,\iota} < \mathrm{CE}^I_{0^-}$. Численно — рис. 3: при высоком $\alpha_U$ (неинформированный близок к risk neutrality) и умеренном $p_I \in (0,2)$ utility может снижаться.

Предложение 3.4. Для неинформированного ex-ante internalization impact инсайдера всегда полезна: $\mathrm{CE}^U_{0^-,\iota} \geq \mathrm{CE}^U_{0^-}$.

Предложение 3.5. При фиксированных $p_I$, $p_N$: если $\alpha_I = \alpha_U$, то $\mathrm{CE}^I_{0^-,\iota} \geq \mathrm{CE}^I_{0^-}$. При фиксированном $\alpha_U$ и $\alpha_I \to 0$:

Для малых $\alpha_I$: $\mathrm{CE}^I_{0^-,\iota} \geq \mathrm{CE}^I_{0^-}$ тогда и только тогда, когда $1 + p_I - \alpha_U^2 p_I p_N > 0$. Структурное условие (29):

Utility без частной информации. Предложение 3.6. При $p_I \to 0$ interim utility инсайдера:

interim utility инсайдера всегда растёт при internalization impact. Для неинформированного — аналогично. Замечание 3.7. Любой выигрыш инсайдера в PT над PI обусловлен только частным сигналом. Без сигнала и при $\alpha_I = \alpha_U$ почти наверняка $\mathrm{CE}^U_{0,\iota} > \mathrm{CE}^I_{0,\iota} > \mathrm{CE}^I_0 = \mathrm{CE}^U_0$ — utility неинформированного превышает utility инсайдера в PI.

4. Структура равновесия

Сравниваем равновесные allocations и цены для экономической интуиции эффектов internalization и частного сигнала. Internalization «гасит» размер позиции; частная информация может увеличить allocation риска инсайдера. Четыре случая: PT vs PI × с сигналом vs без.

PT, эффект сигнала. Из (8), (17), (18), (20):

Так как $p_I > p_U$, спрос инсайдера относительно no-signal растёт в $g$ и падает в $z$. Ex-ante:

Clearing (3) даёт противоположный эффект на спрос неинформированного. Итог:

PI, эффект сигнала. Аналогично PT: $\mathbb{E}[\widehat{\psi}_{I,\iota}(G, Z_N) - \widehat{\psi}^{\mathrm{ns},I,\iota}(Z_N)] = p_I \widehat{\Pi}/(1+2\widehat{y})$ (33); $\mathbb{E}[p_\iota(h_\iota(G, Z_N)) - p^{\mathrm{ns},\iota}(Z_N)] = p_I \widehat{y}\widehat{\Pi}/((1+p_I)(1+2\widehat{y}))$. Разность ожидаемых изменений цен PT минус PI: $(m_g - m_{g,\iota})\widehat{\Pi}$ (34). Ex-ante ожидаемое снижение спроса неинформированного: $-p_I \lambda \widehat{\Pi}/((1-\lambda)(1+2\widehat{y}))$.

И в PT, и в PI частный сигнал ex-ante увеличивает спрос и цену инсайдера (в PI прирост цены меньше) и уменьшает спрос неинформированного.

Internalization без асимметрии информации. По предложению 1.4, $\widehat{\psi}_{I,0} = \widehat{\Pi}$:

Цена: $p^{\mathrm{ns},\iota}(z) - p^{\mathrm{ns}}(z) = \lambda^3 z/((1-\lambda^2)\alpha_I)$ (36). При $z > 0$ инсайдер раскрывает более высокий публичный сигнал — спрос неинформированного растёт, interim цена выше. При $z < 0$ оба покупают: в PI инсайдер покупает меньше, неинформированный — больше по лучшей цене; при $z > 0$ — наоборот при продаже.

Internalization без сигнала → меньшая (бóльшая) позиция инсайдера (неинформированного) по лучшей цене.

Internalization с асимметрией информации. Сигнал ex-ante увеличивает объём заявки инсайдера; internalization без сигнала уменьшает. При $\mathbb{E}[Z_N] = 0$:

Предложение 4.1. Величина (37) положительна при $\alpha_I \to \infty$ и отрицательна при $\alpha_I \to 0$. Internalization ex-ante увеличивает (уменьшает) позицию инсайдера при достаточной risk tolerance (risk aversion). Для цен: $\mathbb{E}[p_\iota(H_\iota) - p(H)] = (m_{g,\iota} - m_g)\widehat{\Pi} < 0$ — internalization ex-ante снижает цену при ожидаемой покупке инсайдера (и наоборот), что выгодно обоим.

Замечание 4.2. (37) положительна также при $p_I \to \infty$ или при $\alpha_U \to 0, \infty$ при достаточно большом $\alpha_I^2 p_I p_N$; отрицательна при $p_I \to 0$ или при $\alpha_U \to 0, \infty$ при достаточно малом $\alpha_I^2 p_I p_N$.

5. Интуиция и предсказания модели

Асимметричная информация ex-ante увеличивает спрос инсайдера: сигнал снижает risk актива. Без стратегической торговли выше спрос → выше цена. Под price impact прирост цены меньше — internalization работает в пользу инсайдера. Именно когда инсайдер internalize impact, а неинформированные price takers, utility инсайдера монотонна по точности сигнала: стратегическая торговля повышает ценность частной информации.

Internalization сохраняет сторону сделки; инсайдер скрывает часть сигнала → меньший спрос и цена (противоположный эффект сигналу). При длинной позиции цена всегда падает из-за impact. При высокой risk aversion инсайдера и условии (29) PI может снижать её utility: неинформированные highly risk tolerant → выше их спрос → ниже доля инсайдера при clearing. При одинаковой risk aversion internalization всегда полезна инсайдеру.

Без частного сигнала internalization повышает utility инсайдера: нет мотива наращивать спрос из-за снижения risk; покупка меньшего объёма по более низкой цене повышает expected utility. Именно асимметрия информации и различие risk aversions могут сделать PI невыгодным для инсайдера.

Пока инсайдер internalize impact, PT цена недостижима: неинформированный, хоть и price taker, снижает perceived precision публичного сигнала → менее эластичный спрос. При Pareto initial allocation он остаётся на той же стороне сделки; более низкие цены при покупке → больший спрос по discount — поэтому price impact ex-ante выгоден неинформированному с асимметрией информации и без неё.

Приложения A и B

Приложение A обобщает модель раздела 1 на $d$ рискованных активов с общими средними и ковариациями; точно количественно описывает аффинные коэффициенты оптимального спроса и выводит кубическое уравнение (6).

Приложение B содержит все доказательства теорем и предложений основного текста, включая предложения B.1–B.4 по certainty equivalents и асимптотикам.

Технические доказательства и длинные алгебраические выкладки опущены в этом переводе. См. оригинал: arxiv.org/pdf/2404.08757 (37 стр., приложения A–B).

Литература

• M. Anthropelos and C. Kardaras. Price impact under heterogeneous beliefs and restricted participation. Journal of Economic Theory, 215:105774, 2024.
• K. Back. Insider trading in continuous time. Review of Financial Studies, 5(3):387–409, 1992.
• M. Benzi and M. Viviani. Solving cubic matrix equations arising in conservative dynamics. Vietnam Journal of Mathematics, 51(1):113–126, 2023.
• D. Bergemann, T. Heumann, and S. Morris. Information, market power, and price volatility. The RAND Journal of Economics, 52(1):125–150, 2021.
• I. Goldstein, Y. Xiong, and L. Yang. Information sharing in financial markets. Journal of Financial Economics, 163:103967, 2025.
• A. Gong, S. Ke, Y. Qiu, and R. Shen. Robust pricing under strategic trading. Journal of Economic Theory, 199:105201, 2022.
• S. Grossman. On the efficiency of competitive stock markets where trades have diverse information. Journal of Finance, 31(2):573–585, 1976.
• S.J. Grossman and J.E. Stiglitz. On the impossibility of informationally efficient markets. American Economic Review, 70(3):393–408, 1980.
• M.F. Hellwig. On the aggregation of information in competitive markets. Journal of Economic Theory, 22(3):477–498, 1980.
• J. Hirshleifer. The private and social value of information and the reward to inventive activity. American Economic Review, 61(2):561–574, 1971.
• R. Indjejikian, H. Lu, and L. Yang. Rational information leakage. Management Science, 60(11):2762–2775, 2014.
• M.T. Kacperczyk and E.S. Pagnotta. Chasing private information. The Review of Financial Studies, 32(12):4997–5047, 2019.
• M.T. Kacperczyk, J. Nosal, and S. Sundaresan. Market power and price informativeness, 2024.
• R.S.J. Koijen and M. Yogo. A demand system approach to asset pricing. Journal of Political Economy, 127(4):1475–1515, 2019.
• A. Kovalenkov and V. Vives. Competitive rational expectations equilibria without apology. Journal of Economic Theory, 149:211–235, 2014.
• Albert S. Kyle. Continuous auctions and insider trading. Econometrica, 53(6):1315–1335, 1985.
• A.S. Kyle. Informed speculation with imperfect competition. The Review of Economic Studies, 56(3):317–355, 1989.
• Y. Lou and R. Rahi. Information, market power and welfare. Journal of Economic Theory, 214:105756, 2023.
• S. Malamud and M. Rostek. Decentralized exchange. American Economic Review, 107(11):3320–3362, 2017.
• S. Morris and H. S. Shin. Social value of public information. American Economic Review, 92(5):1521–1534, 2002.
• M. Nezafat and M. Schroder. The negative value of private information in illiquid markets. Journal of Economic Theory, 210:105664, 2023.
• J.-C. Rochet and J.-L. Vila. Insider trading without normality. The Review of Economic Studies, 61(1):131–152, 1994.
• M. Rostek and M. Weretka. Price inference in small markets. Econometrica, 80(2):687–711, 2012.
• M. Rostek and M. Weretka. Dynamic thin markets. Review of Financial Studies, 28:2946–2992, 2015a.
• M. Rostek and M. Weretka. Information and strategic behavior. Journal of Economic Theory, 158:536–557, 2015b.
• M. Rostek and J. H. Yoon. Equilibrium theory of financial markets: Recent developments. Prepared for the Journal of Economic Literature, 2024.
• M. Spiegel and A. Subrahmanyam. Informed speculation and hedging in a noncompetitive securities market. The Review of Financial Studies, 5(2):307–329, 1992.
• A. Subrahmanyam. Risk aversion, market liquidity, and price efficiency. The Review of Financial Studies, 4(3):417–441, 1991.
• D. Vayanos. Strategic trading and welfare in a dynamic market. The Review of Economic Studies, 66(2):219–254, 1999.
• D. Vayanos. Strategic trading in a dynamic noisy market. The Journal of Finance, 56(1):131–171, 2001.
• Robert E. Verrecchia. Information acquisition in a noisy rational expectations economy. Econometrica, 50(6):1415–1430, 1982.
• X. Vives. Strategic supply function competition with private information. Econometrica, 79:1919–1966, 2011.
• X. Vives. On the possibility of informationally efficient markets. Journal of the European Economic Association, 12(5):1200–1239, 2014.

Оригинал статьи: Anthropeos and Robertson, «Strategic Informed Trading and the Value of Private Information», arXiv:2404.08757