Оптимальное исполнение при неполной информации

7/10

Ключевые слова: оптимальное исполнение; импульсное управление; стохастическая фильтрация; процессы Хоукса; микроструктура; скрытая марковская цепь.

MSC: 93E20, 49L25, 91B70.

Аннотация

Изучается оптимальная ликвидация одного актива на конечном горизонте при частичной информации. Модель заточена под HFT: ценообразование определяется только потоком заявок через marked-процессы Хоукса. Стакан учитывает и постоянный, и транзиентный импакт. Ликвидность — скрытая марковская цепь, модулирующая интенсивности точечных процессов bid и ask. Задача ликвидации ставится как импульсное управление. Выводятся динамика фильтра скрытой цепи и нормированные уравнения фильтрации. Функция ценности — предел рекурсивной последовательности вспомогательных непрерывных функций; это даёт принцип динамического программирования для задач оптимальной остановки и явную оптимальную стратегию, а также реализуемый алгоритм аппроксимации. Численные иллюстрации и визуализация кандидатных оптимальных политик.

1. Введение

Исполнение крупных заявок на коротком горизонте упирается в глубину и ликвидность. Bouchaud, Farmer and Lillo; Zhou; Taranto et al. показывают, как крупная сделка исчерпывает текущих покупателей или продавцов. Дробление на блоки снижает импакт.

Микроструктура оптимального исполнения: Bertsimas and Lo — линейный импакт и минимизация суммарной стоимости; Almgren and Chriss — баланс волатильности и издержек ликвидации с линейным постоянным и временным импактом. Дальше — Ly Vath, Mnif and Pham; Gatheral; Obizhaeva and Wang (временный и постоянный импакт). Нелинейные расширения: Bouchard, Dang and Lehalle; Guéant, Lehalle and Fernandez-Tapia; Guilbaud and Pham; Chevalier et al.; Kalsi, Lyons and Arribas; Popier and Zhou; Becherer, Bilarev and Frentrup; Fu, Horst and Xia; Cartea and Sánchez-Betancourt; Carmona and Zeng.

У HFT инвентари малы, издержки гонятся краткосрочным дисбалансом потока, а не объёмом. Lehalle, Mounjid and Rosenbaum: дисбаланс стакана — эффективное представление краткосрочной ликвидности. Авторы строят модель, где цена формируется только потоком. Общая форма стакана и импакта — в духе Predoiu, Shaikhet and Shreve, плюс постоянный член к их транзиентному импакту. Предшественники с нелинейным импактом брали пуассоновские приходы; здесь — Хоукс. Взаимно возбуждающиеся точечные процессы (Bacry, Mastromatteo and Muzy; Abergel and Jedidi; Lu and Abergel) ловят обратные связи HFT. Alfonsi and Blanc первыми ввели Хоукса в оптимальное исполнение; здесь — нестакан-блок (не плоский LOB) и фиксированные транзакционные издержки инфраструктуры.

Ликвидность стохастична и ненаблюдаема. Chevalier, Hafsi and Ly Vath по рыночным данным: распределение ликвидности не наблюдается напрямую и сильно меняется внутри дня. Скрытую ликвидность как процесс моделировали Bayraktar and Ludkovski; Colaneri et al.; Dammann and Ferrari: игнор скрытой ликвидности даёт субоптимальное исполнение. Здесь скрытая марковская цепь модулирует интенсивности bid/ask — цены от Markov-modulated Hawkes processes.

Участник оценивает режим только по наблюдаемому потоку. Стохастическая фильтрация (innovation approach Brémaud; Ceci and Gerardi) даёт уравнения Кушнера–Стратоновича для апостериорных вероятностей скрытых состояний. Затем — импульсное управление: оптимальные моменты и размеры сделок. Принцип разделения (оценка отдельно от управления: Menaldi; Fleming and Pardoux; Mazziotto and Szpirglas; Mazliak). Рекурсивная последовательность вспомогательных функций (Bayraktar and Ludkovski; Ludkovski and Sezer): непрерывность и локально равномерная сходимость к $V$; принцип ДП для замкнутых задач оптимальной остановки; явная оптимальная ликвидация.

Вклад. Решается импульсное управление, у которого процесс наблюдения и самовозбуждается, и модулируется скрытым состоянием. Поток возбуждает сам себя, наблюдаемые интенсивности зависят от всей истории и неограничены. Апостериорные вероятности сами по себе не марковские, ограниченности нет. Спецификация: каждая кандидатная интенсивность наблюдаема, поэтому фильтр, дополненный этими интенсивностями, — конечномерный PDMP (замечание 2.1). Моментные оценки, невзрыв и непрерывность (предложение 2.1, леммы 1–2) заменяют ограниченность вплоть до границы банкротства; горизонт зависит от состояния. Явные методы не работают: стратегии Alfonsi–Blanc зависят от ненаблюдаемых интенсивностей, а общая форма книги и фиксированная комиссия снимают квадратичную структуру. Оптимум строится рекурсивной характеризацией и теоремой верификации раздела 5.

План. §2 — динамика LOB при стохастической ликвидности. §3 — фильтр Кушнера–Стратоновича (теорема 3.1). §4 — импульсное управление, принцип разделения, аппроксимирующая последовательность, ДП. §5 — регулярность $V$ и теорема 5.1. §6 — численные области упражнения и влияние фильтра и импакта на политику.

2. Модель

Обобщение Alfonsi and Blanc: общая функция импакта, не только block-shaped LOB. Цена — поток через взаимно возбуждающиеся точечные процессы; режимы ликвидности — марковская модуляция.

2.1. Динамика ликвидности

Полное фильтрованное пространство $(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{F}=\{\mathcal{F}_t\}_{t\ge 0},\mathbb{P})$, фильтрация непрерывна справа. Непрерывная марковская цепь $I$ со значениями в конечном $E=\{1,\ldots,d\}$, cadlag-траектории, и пара независимых пуассоновских случайных мер $(M^+,M^-)$ на $\mathbb{R}^3_+$ с интенсивностью $dt\,dv\,dz$, независимых от $I$. Наблюдаемый поток $(n^+,n^-)$ строится thinning’ом (4). $\mathbb{F}$ — обычное пополнение фильтрации, порождённой $(I,M^\pm)$.

Матрица интенсивностей переходов $\psi(t)=(\psi_{jk}(t))$: $\psi_{ij}(t)=\lim_{h\to 0}h^{-1}\mathbb{P}(I_{t+h}=j\mid I_t=i)$ для $i\neq j$. Цепь стабильна и консервативна: $\psi_{jj}(t)=-\sum_{k\neq j}\psi_{jk}(t)\lt+\infty$.

Моменты прихода рыночных покупок и продаж $(\tau_k^+)$, $(\tau_k^-)$ и объёмы $(v_k^\pm)$. Счётные меры $n^\pm$ на $\mathbb{R}_+\times\mathbb{R}_+$. Фильтрация наблюдаемого потока $\mathbb{F}^N$; полная информация $\mathcal{F}^{N,I}_t=\mathcal{F}^N_t\vee\mathcal{F}^I_t\vee\mathcal{N}$. $N^\pm_t=n^\pm((0,t]\times\mathbb{R}_+)$.

Предположение 2.1. Для каждого $i\in E$ распределение меток $\nu_i$ абсолютно непрерывно, $\nu_i(dv)=\nu_i(v)\,dv$, плотность строго положительна на $\mathbb{R}_+$.

Кандидатные интенсивности $\lambda^{i,+}$ и $\lambda^{i,-}$ возвращаются к базовым $\lambda^i_\infty$ со скоростью $\beta_i$ и возбуждаются ядрами $\varphi^i_s$ (самовозбуждение) и $\varphi^i_c$ (кросс-возбуждение):

с $\lambda^{i,\pm}_0=\kappa^{i,\pm}$, $m_{1,i}=\int_{\mathbb{R}_+} v\,\nu_i(v)\,dv\lt+\infty$. Все кандидатные интенсивности — явные функционалы наблюдаемого потока, значит $\mathbb{F}^N$-адаптированы: это ключ к конечномерному фильтру §3.

Агрегированные интенсивности $\lambda^\pm_t=\sum_{i=1}^d 1_{\{I_{t-}=i\}}\lambda^{i,\pm}_{t-}$. Ядра $(P,\mathbb{F}^{N,I})$-предсказуемых интенсивностей:

Конструкция thinning’ом: $n^k(dt,dv)=M^k\bigl(dt,dv,[0,\sum_i 1_{\{I_{t-}=i\}}\lambda^{i,k}_{t-}\nu_i(v)]\bigr)$. Модуляция скрытой цепью — только через текущее $I_{t-}$.

Замечание 2.1. Коэффициенты (1) постоянны внутри режима; скрытая цепь входит в наблюдаемый поток только через текущее $I_{t-}$. Поэтому $\mathbb{F}^N$-проекция (3) есть $\sum_i \pi_{t-}(i)\lambda^{i,k}_{t-}\nu_i(v)$ — функция $d$-мерного фильтра и наблюдаемых величин. Модуляция всей историей интенсивности этого свойства не даёт. Условно на $\{I_{t-}=i\}$ метки i.i.d. с законом $\nu_i$.

Предположение 2.2. (A1) конечны $m_{1,i}$ и $m_{2,i}$. (A2) конечны интегралы $\varphi^{i}_k(v/m_{1,i})$ и квадраты против $\nu_j$. (A3) спектральный радиус branching-матрицы $\Gamma_i$ строго меньше 1, эквивалентно $\int(\varphi^i_s+\varphi^i_c)(v/m_{1,i})\nu_i(v)\,dv\lt\beta_i$. (A4) $\int_0^\infty t\gamma^{ik}(t)\,dt\lt+\infty$ автоматически при $\beta_i\gt 0$.

Предложение 2.1. При 2.1–2.2: (1) система (1)+(4) имеет pathwise-единственное $\mathbb{F}$-адаптированное решение; $N^\pm$ невзрывны, $\mathbb{E}\int_0^t\lambda^\pm_s\,ds\lt+\infty$ и $\max_i\mathbb{E}\sup_{s\le t}(\lambda^{i,\pm}_s)^2\lt+\infty$. (2) Цепь $I$ и $(N^+,N^-)$ почти наверное не имеют общих прыжков. (3) $n^k=\sum_i 1_{\{I_{t-}=i\}}n^{i,k}$. Доказательство — приложение A.

Предложение 2.2. Dual predictable projection $n^k$ относительно $\mathbb{F}^{N,I}$ есть $\sum_i 1_{\{I_{t-}=i\}}\lambda^{i,k}_{t-}\nu_i(v)\,dv\,dt$. Всякий $(P,\mathbb{F}^I)$-мартингал остаётся $(P,\mathbb{F}^{N,I})$-мартингалом.

Рисунок недоступен для встраивания — смотреть в оригинале

2.2. Моделирование цены

Импакт нелинеен (Brokmann et al.). Функция формы стакана $f:\mathbb{R}_+\to\mathbb{R}_+$ (Predoiu–Shaikhet–Shreve; Obizhaeva–Wang; Alfonsi–Fruth–Schied): $f\gt 0$ на $(0,+\infty)$, $\int_0^\infty f=+\infty$, так что $F(\Delta p)=\int_0^{\Delta p}f$ — биекция и $Q:=F^{-1}$ непрерывна, неубывает, $Q(0)=0$. Импакт заявки размера $v$ есть $Q(v)$; post-trade цена $p-Q(v)$.

Пример 2.1 (block-shape). Obizhaeva–Wang: $f(x)=q$ константа.

Пример 2.2 (power-shape). $f(x)=c x^{-1+e}$, $c,e\gt 0$ — вогнутый импакт в духе Brokmann et al. и Avellaneda–Stoikov.

Предположение 2.3. $\int_{\mathbb{R}_+}(1+Q(v))^2\nu_i(v)\,dv\lt+\infty$ для всех $i\in E$.

Цена $P$ измерима относительно $\mathbb{F}^N$ (ликвидность $I$ не наблюдается). Покупка поднимает $P$, продажа опускает. $P_t=S_t+D_t$: фундаментал $S$ и отклонение $D$.

$n=n^+-n^-$, $S_0=s$, $D_0=d$. Доля $\nu\in[0,1]$ импакта постоянна (не путать с распределениями меток $\nu_i$); $1-\nu$ транзиентна и затухает со скоростью $\rho\gt 0$. Время банкротства $\tau_S=\inf\{u\in[t,T]:P_u\lt 0\}\wedge T$.

Замечание 2.3. По следствию Bacry et al. ожидается, что $S_{mt}/\sqrt{m}$ сходится по закону к броуновскому движению без сноса при $m\to\infty$ — низкочастотная диффузионная асимптотика в духе классики и Alfonsi–Blanc.

3. Уравнения фильтрации

$\mathcal{G}_t=\mathcal{F}^N_t\vee\mathcal{F}^I_t$ — информация гипотетического наблюдателя потока и траектории $I$. Реальный агент видит только $\mathbb{F}^N$.

Два пути. Zakai: смена меры к $\mathbb{Q}$, при которой $n^\pm$ — независимые пуассоновские меры с интенсивностью $\tilde\nu(v)\,dv\,dt$, независимые от $I$ (Brachetta et al.); $\tilde\nu=d^{-1}\sum_i\nu_i$. Экспонента Долеан–Дад $Z_t$ строится по отношению $\lambda^k_s(v)/\tilde\nu(v)$. Неограниченные интенсивности: $Z$ — настоящий мартингал не автоматически (предложение B.2 в приложении). Второй путь — нормированные уравнения Кушнера–Стратоновича.

Опциональная проекция $\pi_\tau(\varphi)=\mathbb{E}[\varphi(I_\tau)1_{\{\tau\lt+\infty\}}\mid\mathcal{F}^N_\tau]$. В дискретном времени достаточно $\mathbb{E}[Y_t\mid\mathcal{F}_t]$; в непрерывном это задаёт процесс лишь с точностью до модификации (Bain and Crisan; Rao). Фильтр на симплексе $\mathcal{S}$:

Теорема 3.1 (Кушнер–Стратонович). Фильтр (8) — единственное $\mathbb{F}^N$-адаптированное cadlag $\mathcal{S}$-значное решение

$\pi_0=\mu\in\mathcal{S}$. Совместный процесс $(\pi,\bar\lambda^+,\bar\lambda^-)$ — кусочно-детерминированный марковский процесс (PDMP).

Доказательство (набросок; полное — приложение B). На прыжке $N^k$ с меткой $v$ байесовское обновление $\pi_t(i)\propto\pi_{t-}(i)\lambda^{i,k}_{t-}\nu_i(v)$; между прыжками — ОДУ. Pathwise uniqueness от прыжка к прыжку (Ceci–Gerardi; Brachetta et al.). Между прыжками $\lambda^{i,\pm}_u=(\lambda^{i,\pm}_t-\lambda^i_\infty)e^{-\beta_i(u-t)}+\lambda^i_\infty$.

4. Задача оптимальной ликвидации

4.1. Постановка управления

Горизонт $T$. Цена сделки объёма $v$ при mid $p$:

$c_0\gt 0$ фиксированная комиссия: непрерывная торговля дала бы бесконечные издержки, поэтому импульсы. Фикс также отсекает слишком мелкие заявки.

Определение 4.1. Допустимая стратегия $\alpha=(\tau_k,\xi_k)_{k\ge 1}\in\mathcal{A}_t(x)$: возрастающие $\mathbb{F}^N$-моменты остановки и $\mathcal{F}^N_{\tau_k}$-измеримые $\xi_k\ge 0$ с $\sum\xi_k=x$. Остаток ликвидируется в $\tau_S$. Импульсы после $\tau_S$ выручки не дают.

Управляемые динамики $S^\alpha,D^\alpha,X^\alpha$: между импульсами как (5); в $\tau_k$ прыжки $S_{\tau_k+}=S_{\tau_k}-\nu Q(\xi_k)$, $D_{\tau_k+}=D_{\tau_k}-(1-\nu)Q(\xi_k)$, $X_{\tau_k+}=X_{\tau_k}-\xi_k$. Единственное сильное решение (Brémaud). $P,S,D$ сами $\mathbb{F}^N$-адаптированы — в фильтр (7) лишних членов нет.

Выручка

$V(t,y)=\sup_{\alpha\in\mathcal{A}_t(x)}J(t,y,\alpha)$. Эквивалентно задаче с частичным наблюдением: принцип разделения отделяет фильтрацию от управления.

Предложение 4.1. $V$ конечна. Доказательство: $C(P_t,x)\le P_t x$; моменты $S$ и $D$ конечны по 2.2–2.3; $J\le(1+x)\mathbb{E}_{t,y}[\sup(S+D)]\lt+\infty$.

4.2. Принцип динамического программирования

Формально HJBQVI $\min\{-LV,\,V-MV\}=0$ на $[0,T)\times\mathbb{R}_+\times\mathbb{R}^2_+\times(\mathbb{R}^d_+)^2\times\mathcal{S}$, с $V=0$ при $x=0$, $V=C(s+d,x)$ при $t=T$ или $s+d\lt 0$. Оператор $L$ — генератор PDMP (снос $D$ и $\kappa^{i,\pm}$, переходы фильтра, интеграл прыжков потока $I\phi$ с байесовским $\Delta\mu_i$). Оператор вмешательства

$a(x)=(0,x]$ при $x\gt 0$, $\Gamma$ сдвигает инвентарь на $\xi$ и цены на $\nu Q(\xi)$ и $(1-\nu)Q(\xi)$. Область продолжения $\mathcal{C}=\{MV\lt V\}$, область сделки $\mathcal{T}=\{MV=V\}$.

Система — мотивация, дальше не используется: явных решений HJBQVI в невырожденной многомерности почти нет, нужны вязкостные решения. Вместо этого — сведение к оптимальной остановке (Costa–Davis; Øksendal–Sulem) и предел вспомогательных функций. $\mathcal{A}^N_t(x)$ — стратегии с не более $N$ импульсами до $\tau_S$; $V_N$ — ценность с этим ограничением; $V_N\uparrow V$ (предложение 4.2) локально равномерно на компактах (предложение 4.3, compact convergence).

Предложение 4.4 (ДП I). $V$ — наименьшее решение $V(t,y)=\sup_{\tau\in\Theta_t}\mathbb{E}_{t,y}[MV(\tau,x,S_\tau,D_\tau,\bar\lambda^+_\tau,\bar\lambda^-_\tau,\pi_\tau)]$ с $V\ge V_0$.

Предложение 4.5 (ДП II). Пусть $\sigma_1$ — первый прыжок $N^++N^-$ после $t$, $W_0=V_0$. Тогда $V$ — поточечный предел

Супремум в 4.5 берётся по детерминированным временам между прыжками PDMP (Brémaud, th. 33).

5. Регулярность и оптимальная стратегия

Предложение 5.1. Разделение фундаментальной цены: $V(t,y)=xs+\sup_\alpha g(\ldots)$ с остаточной зависимостью $g$ от $s$ только через $\tau_S$. На области, где вероятность банкротства исчезает, размерность падает на единицу.

Леммы 1–2: непрерывность операторов первого прыжка и терминальной платы (доказательства в приложении). Предложение 5.2: $(W_N)$ непрерывны на $[0,T]\times\mathcal{D}^*$. Следствие 5.1: $V$ непрерывна на $[0,T]\times\mathcal{D}^*$ ($W_N=V_N$ по Ludkovski–Sezer; локально равномерная сходимость из 4.3).

Теорема 5.1 (оптимальная стратегия). Пусть $f$ неубывает. Стратегия $\alpha^*=(\tau_k,\xi_k)$:

• $\xi_1=0$, $\tau_1=t$;
• $\tau_{k+1}=\inf\{s\in[\tau_k,T]:V(s,Y^*_s)=MV(s,Y^*_s)\}$;
• $\xi_{k+1}$ максимизирует $C(D^{\alpha^*}+S^{\alpha^*},\xi)+V(\Gamma(\cdot,\xi))$ в момент $\tau_{k+1}$.

Тогда $\alpha^*$ оптимальна для (14). Число вмешательств до $\tau_S$ почти наверное конечно. Измеримый селектор существует по теореме о максимуме: при $\xi\downarrow 0$ предел $V-c_0\lt MV$.

6. Численные результаты

Импакт. Вогнутый $Q$ в духе Bouchaud–Farmer–Lillo и Gatheral; для мелких HFT-сделок часто корень. Power-shape $f(x)=c\,x^{-1+e}$, $e\ge 1$, даёт $Q(v)=(ev/c)^{1/e}$ и

Скрытая ликвидность. Два режима $i\in\{1,2\}$. Объёмы $\nu_i(v)=\zeta e^{-\zeta v}$ (не зависят от $i$ — фильтр сводится к unmarked point process). Ядра $\varphi^i_s(v/m_{1,i})=\varphi^i_c(v/m_{1,i})=\zeta^\eta v^\eta/\Gamma(1+\eta)$. Симметрия $\kappa^{2,+}=\kappa^{1,-}$, $\kappa^{2,-}=\kappa^{1,+}$ (разворот тренда между режимами, меньше размерность).

Таблица 1. Параметры по умолчанию. Калибровка MMHP совместно с $\Psi$ — Wu et al.; внутри режима — Alfonsi–Blanc.

6.1. Траектории фильтра

Однородная двухсостоятельная цепь с $\Psi=\bigl(\begin{smallmatrix}-0.2&0.2\\0.2&-0.2\end{smallmatrix}\bigr)$. Для картинки MAP $\hat I_t=\arg\max_i\pi_t(i)$; дальше в расчётах LSE (минимум среднеквадратичной ошибки, может не попадать в дискретное состояние).

Рисунок недоступен для встраивания — смотреть в оригинале

6.2. Оптимальная ликвидация

Дискретизация $\mathcal{D}$ и $[t,T]$; $W_{N+1}(t,y)=\sup_{u\in[t,T]}I_1 W_N(t,u,y)$. Показано $N=20$; сходимость по сетке обычно после $\approx 13$ итераций. Интегралы в $I_1$ — квадратуры, супремум по временной сетке, вне сетки — интерполяция.

Рыночный риск. В режиме 2 интенсивности покупок и продаж переставлены относительно режима 1. Рисунок 3: области упражнения/продолжения $W_N$ в осях $(\kappa^{1,+},\kappa^{1,-})$ при $\pi_t(0)=\mu_0\in\{0.9,\,0.5,\,0.1\}$.

Рисунок недоступен для встраивания — смотреть в оригинале

• Слева ($\mu_0=0.9$, почти режим 1): высокий $\kappa^{1,+}$ — восходящий тренд, продаж нет; высокий $\kappa^{1,-}$ — агент продаёт (синяя область).
• Справа ($\mu_0=0.1$, почти режим 2): симметрия — ликвидация при нисходящем тренде режима 2 (высокий $\kappa^{1,+}$ = низкий $\kappa^{2,-}$).
• Центр (нет априори): ликвидация, когда обе интенсивности режима 1 высоки — выше шанс дисбаланса, хедж рыночного риска.

Рисунок недоступен для встраивания — смотреть в оригинале

Рост априорной вероятности нисходящего движения (низкий $\pi_t(0)$ слева) усиливает стимул ликвидировать. Крупный инвентарь расширяет область продажи независимо от режима.

Риск ликвидности. Рисунок 5 — вогнутый power-law $Q(v)$ при $c=0.7$ и $c=1.0$. Рисунок 6 — размеры, максимизирующие $M$: больший импакт уменьшает средний размер заявки. Сначала размер пропорционален инвентарю, затем стабилизируется — эффект вогнутости $Q$; сильнее при большем импакте (верхний ряд, $c=0.7$).

Рисунок недоступен для встраивания — смотреть в оригинале

Рисунок недоступен для встраивания — смотреть в оригинале

Замечание 6.2. После отделения $S$ численная схема максимизирует $g$; остаточная зависимость через $\tau_S$ на сетке игнорируется там, где вероятность банкротства пренебрежима. Оператор вмешательства $\widetilde M$ и области $\mathcal{C},\mathcal{T}$ переписываются через $g$; неподвижная точка $I_1$ расщепляется как $xs+\widetilde I_1 g$.

Литература

• Abergel, F. and Jedidi, A., Long-time behavior of a Hawkes process–based limit order book. SIAM J. Financial Math., 6(1):1026–1043, 2015.
• Alfonsi, A. and Blanc, P., Dynamic optimal execution in a mixed-market-impact Hawkes price model. Finance and Stochastics, 20, 2016.
• Almgren, R. and Chriss, N., Optimal execution of portfolio transactions. J. Risk, 3:5–40, 2001.
• Bacry, E., Mastromatteo, I. and Muzy, J.-F., Hawkes processes in finance. Market Microstructure and Liquidity, 2015.
• Bayraktar, E. and Ludkovski, M., Liquidation in limit order books with controlled intensity. Mathematical Finance, 2014.
• Bertsimas, D. and Lo, A.W., Optimal control of execution costs. J. Financial Markets, 1998.
• Brémaud, P., Point Processes and Queues. Springer.
• Ceci, C. and Gerardi, A., Filtering of a Markov jump process with counting observations. related filtering literature.
• Chevalier, E., Hafsi, Y. and Ly Vath, V., related work on hidden liquidity from market data, 2024.
• Fleming, W. and Pardoux, E., Optimal control for partially observed diffusions. SIAM J. Control Optim.
• Gatheral, J., No-dynamic-arbitrage and market impact. Quantitative Finance, 2010.
• Lehalle, C.-A., Mounjid, O. and Rosenbaum, M., Optimal liquidity-based trading tactics. related HFT imbalance literature.
• Ludkovski, M. and Sezer, S.O., Finite horizon decision timing with partially observable Poisson processes. Stochastic Models.
• Obizhaeva, A. and Wang, J., Optimal trading strategy and supply/demand dynamics. J. Financial Markets, 2013.
• Predoiu, S., Shaikhet, G. and Shreve, S., Optimal execution in a general one-sided limit-order book. SIAM J. Financial Math., 2011.

Оригинал статьи: Chevalier, Hafsi and Ly Vath, «Optimal Execution under Incomplete Information», arXiv:2411.04616 · лицензия CC BY 4.0