Прогноз криптовалют на процессе Хоукса по данным лимитного стакана
Раффаэле Джузеппе Честари, Филиппо Барки, Риккардо Бузетто, Симоне Форментин · Department of Electronics, Information, and Bioengineering, Politecnico di Milano, Milano, Italy
Даниеле Мараццина · Department of Mathematics, Politecnico di Milano, Italy · 21 декабря 2023
Оригинал: Cestari, R.G., Barchi, F., Busetto, R., Marazzina, D. and Formentin, S. «Hawkes-based cryptocurrency forecasting via Limit Order Book data», 2023 — arxiv.org/abs/2312.16190 (PDF).
Рисунки воспроизведены из оригинальной публикации. Оригинал распространяется по лицензии CC BY 4.0; перевод выполнен на её условиях, изменение по отношению к оригиналу — перевод на русский язык.
Ключевые слова: financial systems; time series forecasting; machine learning in finance; cryptocurrencies.
Аннотация
Точный прогноз направления финансовой доходности — трудная задача в силу непредсказуемости финансовых временных рядов. На криптовалютных доходностях она ещё сложнее из-за хаотичной и запутанной природы крипторынков. В этой работе мы предлагаем новый алгоритм прогноза на данных лимитного стакана (LOB), основанный на модели Хоукса — классе точечных процессов. В связке с моделью continuous output error (COE) подход даёт точный прогноз знака доходности, опираясь на предсказания будущих финансовых взаимодействий. Используя неравномерно дискретизированную структуру исходного ряда, стратегия превосходит бенчмарки и по точности прогноза, и по кумулятивной прибыли в торговой среде. Эффективность подтверждена симуляциями Монте-Карло на 50 сценариях. Исследование опирается на измерения LOB централизованной криптобиржи, где стейблкоин Tether обменивается на доллар США.
1. Введение
Надёжное предсказание знака доходности в высокочастотной торговле (HFT) при разработке автоматических алгоритмов остаётся открытой проблемой. Повышение точности прогноза напрямую увеличивает выручку. В этом контексте один из главных источников информации — максимально полное использование информативного содержания лимитного стакана.
LOB — электронная запись в реальном времени, где участники рынка фиксируют намерения купить или продать. Лимитные заявки — инструкции купить или продать заданное количество актива с указанием максимальной цены покупки или минимальной цены продажи. Когда bid-цена $P^{\mathrm{bid}}$ превышает или совпадает с ask-ценой $P^{\mathrm{ask}}$, сделка совершается между покупателем и продавцом. Все неисполненные заявки — bid или ask — хранятся в LOB. Каждая запись содержит цены и объёмы, заданные трейдерами. По мере изменения рыночных условий заявки в книге непрерывно обновляются, отражая эволюцию спроса и предложения. Учитывая этот объём информации, в литературе LOB признан ценным инструментом для попыток предсказать цену акции; см. Cao et al. (2009). Существует множество работ, использующих данные стакана для прогноза цены: от простой логистической регрессии (Zheng et al., 2012) до свёрточных нейросетей DeepLOB (Zhang et al., 2019).
Наша опорная работа — Busetto and Formentin (2023): авторы исследуют корреляцию новой переменной base imbalance (BI) с будущими доходностями и строят модель continuous output error (COE), связывающую BI с будущими доходностями. Исследование даёт обнадёживающие результаты при прогнозе знака доходности, но опирается на допущение, что момент следующего события известен для вычисления будущих доходностей. В данной статье мы снимаем это допущение. Идея — извлекать ценную информацию также из моментов, в которые заявки размещаются в LOB: так можно использовать дополнительные ресурсы, потенциально повышающие точность модели, и одновременно сохранить исходную, неравномерно дискретизированную во времени структуру данных. Это достигается моделями точечных процессов, в частности процессами Хоукса.
Точечные и hawkes-процессы применяются в эпидемиологии и распространении болезней (Garetto et al., 2021), нейронауке (Reynaud-Bouret et al., 2013), сейсмологии (Kwon et al., 2023), взаимодействиях пользователей в соцсетях (Alvari and Shakarian, 2019) и в финансах. Одним из пионеров использования процесса Хоукса для финансовых данных был Cao et al. (2009): автор показал двунаправленные связи между моментами сделок и колебаниями mid-quote. В Cartea et al. (2014) процесс Хоукса моделирует приход рыночных заявок, но полный поток заявок — лимитные и отмены — не учитывается. Sjogren (2022) использует класс hawkes-процессов как краткосрочные индикаторы движения цены и ресурс для более длинного прогноза. Chen (2017) вводит 4-мерный процесс Хоукса для LOB и оценивает вероятности движения mid-price симуляциями Монте-Карло. Rambaldi et al. (2017) применяют многомерный процесс Хоукса к взаимодействию времени прихода заявок и их размера. Morariu-Patrichi and Pakkanen (2022) изучают state-dependent Hawkes processes — сочетание процессов Хоукса и цепей Маркова на высокочастотных данных LOB, показывая динамическое взаимодействие потока заявок и состояния книги.
В этой работе мы интегрируем hawkes-модель прогноза, демонстрирующую хорошую точность предсказания момента следующего изменения цены, с COE-моделью Busetto and Formentin (2023). Качество архитектуры оценивается на задаче HFT в реальном времени: 50 фрагментов по 2 минуты фактических LOB-данных криптовалюты Tether. Точность прогноза знака доходности сравнивается для нескольких альтернатив прогноза времени следующего события относительно модели Хоукса:
- Oracle — идеальное знание времени события (эталон);
- Naive — следующее событие ровно через 1 с (минимальное разрешение системы);
- Moving Average (MA) — следующее событие в средний момент прихода за прошлые $W=60$ с.
Мы показываем, что стратегия на Хоуксе превосходит бенчмарки и по точности приближается к идеальному Oracle. На тех же 50 сценариях валидации проводится симуляция вставки стратегий в парадигму HFT: hawkes-подход даёт более высокую среднюю прибыль, чем бенчмарки.
Основные вклады работы:
- Впервые, насколько нам известно, построена модель прогноза знака доходности на процессах Хоукса для оценки времени следующей заявки в LOB; предсказанная информация сочетается с COE-моделью. Показано, что парадигма превосходит бенчмарки и по точности знака доходности, и по прибыли при одном торговом каркасе.
- Стратегии прогноза применены к реальным криптовалютным данным LOB.
- Доказано, что регрессор Base Imbalance (Busetto and Formentin, 2023) подходит и для LOB криптовалют, отличных от акционного стакана, на котором он разрабатывался.
Далее: раздел 2 — обозначения; раздел 3 — разведочный анализ LOB; подраздел 3.1 — корреляция BI и доходностей; раздел 4 — математическая формулировка (4.1 — точечные процессы, 4.2 — Хоукс, 4.3 — COE, 4.4 — алгоритм); раздел 5 — численные симуляции (5.1 — точность знака, 5.2 — торговля); раздел 6 — ограничения, выводы и перспективы.
2. Обозначения
Кратко вводим обозначения, используемые далее. Таблица 1 — основные переменные. Ниже — определения mid-price, доходности и base imbalance.
| Символ | Описание |
|---|---|
| $k\in\mathbb{N}_+$ | индекс события LOB |
| $K\in\mathbb{N}_+$ | число прогнозируемых событий LOB |
| $t_k$ | время $k$-го события |
| $i\in[1,L]$ | индекс уровня LOB; $L$ — число уровней |
| $\lambda(t)$ | функция интенсивности |
| $\mu$ | базовая компонента $\lambda(t)$ |
| $\alpha$ | скорость самовозбуждения $\lambda(t)$ |
| $\beta$ | скорость затухания $\lambda(t)$ |
| $\theta=[\mu,\alpha,\beta]$ | параметры Хоукса |
| $\theta_{\mathrm{COE}}$ | параметры COE |
| $t_0$ | начальное время |
| $T^{\mathrm{H}}_{\mathrm{train}}$ | время обучения Хоукса |
| $T^{\mathrm{COE}}_{\mathrm{train}}$ | время обучения COE |
| $T_{\mathrm{sim}}$ | время симуляции |
| $T_{\mathrm{warm}}$ | время прогрева Хоукса |
| $\Delta T$ | окно прогноза Хоукса |
| $P$ | mid-price |
| $R$ | доходность |
| $\mathrm{BI}$ | base imbalance |
Используем обозначения Busetto and Formentin (2023):
\[ P_k=\frac{p^{\mathrm{ask}}_{k,1}+p^{\mathrm{bid}}_{k,1}}{2}\quad\text{— mid-price на событии LOB }k; \] \[ R_k=\frac{P_{k+1}-P_k}{P_k}\quad\text{— будущая финансовая доходность}; \] \[ \mathrm{BI}_k=\frac{(P^{\mathrm{bid}}_{k,1}-P^{\mathrm{bid}}_{k,10})-(P^{\mathrm{ask}}_{k,10}-P^{\mathrm{ask}}_{k,1})}{(P^{\mathrm{bid}}_{k,1}-P^{\mathrm{bid}}_{k,10})+(P^{\mathrm{ask}}_{k,10}-P^{\mathrm{ask}}_{k,1})}\quad\text{— base imbalance.} \]3. Разведочный анализ данных
Описываем характеристики криптовалютных LOB-данных. Tether (USDT) — стейблкоин, поддерживаемый близким к 1 USD значением; он облегчает криптотранзакции и снижает волатильность относительно Bitcoin или Ether (Barucci et al., 2022, 2023). Основан на блокчейне, обеспечивающем безопасность сделок. Рассматриваем рынок централизованной биржи, где USDT торгуется против USD; цена USDT/USD — сколько долларов нужно для покупки/продажи одного USDT.
Данные получены через провайдера CryptoTick с биржи Bitfinex. Период: 13 апреля – 7 мая 2019, всего $1\,615\,982$ записей LOB. Глубина до 50-го уровня, для каждой записи — метка времени. Разрешение событий — не менее 1 с. Таблица 2 суммирует заголовки и свойства датасета Tether.
| Поле | Значение |
|---|---|
| Дней | 25 |
| Формат даты | hh:mm:ss:fffffff |
| Записей | 1 615 982 |
| Уровней $L$ | 50 |
| Заголовки уровня (4) | Ask price/size, Bid price/size |
На рисунке 2 — первые 10 уровней LOB на сторонах ask и bid. Каждому уровню соответствуют цена и глубина — накопление заявок на этой цене; уровень может состоять из заявок разных участников. Детальное описание LOB выходит за рамки статьи. Нас интересуют моменты размещения событий в LOB и одновременный учёт влияния спреда через регрессор base imbalance.
3.1. Корреляционный анализ
Исключаем записи с доходностью $R_k=0$ как неинформативные — это около 80% данных. Среди оставшихся у 34% есть пропуски на одну минуту. По Goldstein et al. (2021) ненулевой поднабор доходностей делим на децили; для каждого дециля считаем средний BI и среднюю доходность $R$. Коэффициент корреляции Пирсона по децилям $\rho=-0{,}96$. Результат подтверждает связь BI и $R$ и интуицию Busetto and Formentin (2023) о значимости base imbalance как регрессора знака доходности — в том числе на других источниках данных (не только акции, но и криптовалюты). Это позволяет применить ту же COE-модель, что в Busetto and Formentin (2023).
4. Математическая формулировка
Вводим математическую формулировку архитектуры: точечные процессы вообще и процесс Хоукса в частности, их роль в прогнозе неравномерно дискретизированных моментов событий; напоминаем COE-модель и описываем её использование вместе с прогнозами Хоукса для знака финансовой доходности.
4.1. Точечные процессы
Точечные процессы — стохастические процессы для предсказания наступления событий во времени. Их можно описать как считающие процессы: $N(t)$ — накопленное число событий до $t$, т.е. число событий на $(0,t]$. Вводим $\Delta N_{(t_1,t_2]}=N(t_2)-N(t_1)$ — число событий на $(t_1,t_2]$ (Laub et al., 2015). Общий для всех точечных процессов параметр — функция интенсивности, задающая ожидаемое число событий на окне $T$:
\[ \lambda(t\mid H_t)=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{\Pr\bigl(\Delta N_{(t,t+\Delta t]}=1\mid H_t\bigr)}{\Delta t}, \]где $H_t$ — история событий до $t$, а $\Pr(\Delta N_{(t,t+\Delta t]}=1\mid H_t)$ — мгновенная условная вероятность события. Классы точечных процессов различаются функциями интенсивности. Наиболее распространён — процесс Пуассона с history-independent интенсивностью (свойство Маркова). Renewal-процессы вводят базовую зависимость от истории. Для моделирования динамики LOB наиболее уместен процесс Хоукса — см. следующий раздел.
4.2. Процесс Хоукса
Процессы Хоукса — подкласс точечных процессов. Выбор обусловлен способностью улавливать самовозбуждение LOB (Lu and Abergel, 2018): при постановке новых заявок «оживление» рынка растёт и вероятность следующих заявок увеличивается. По Hawkes (1971) интенсивность:
\[ \lambda(t)=\mu+\sum_{t_k\lt t}\alpha\, e^{-\beta(t-t_k)}, \]где $\mu$ — базовая интенсивность (частота событий без прошлого), $\alpha$ — вес каждого события, $\beta$ — скорость экспоненциального затухания. Вектор $\theta=[\mu,\alpha,\beta]$ идентифицируется при обучении Хоукса. $\theta^*=[\mu^*,\alpha^*,\beta^*]$ оценивается методом максимального правдоподобия (MLE) на окне $T^{\mathrm{H}}_{\mathrm{train}}$ исторических данных. MLE максимизирует совместную вероятность наблюдений — функцию правдоподобия $L_n(\theta)$:
\[ \theta^*=\arg\max_{\theta\in\Theta} L_n(\theta;y), \]где $y$ — наблюдения, $\Theta$ — пространство параметров (Myung, 2003). При текущей эволюции $\lambda$ до момента $t$ момент следующего события $\hat t_{k+1}$ прогнозируется так: из экспоненциального распределения с mean $1/\lambda(t,\theta)$ извлекается случайное $x$, которое прибавляется к $t$:
\[ x\sim\mathrm{Exp}(\lambda(t,\theta)),\quad \mathbb{E}[x]=\frac{1}{\lambda(t,\theta)},\qquad \hat t_{k+1}=t+x. \]Операция повторяется каждую секунду с обновлением обучающей выборки скользящим окном. Прогноз должен попасть в окно $\Delta T$; если внутри $\Delta T$ несколько прогнозов, сохраняется только первый.
4.3. Модель continuous output error
По Chen et al. (2013) для прогноза знака будущей доходности применяется упрощённый refined instrumental variable method (SRIVC) для непрерывно-временных моделей. Предполагается COE-модель, связывающая BI и будущие доходности:
\[ R(t)=\frac{B_0(p)}{A_0(p)}\cdot \mathrm{BI}(t)+e(t), \]где $p$ — оператор дифференцирования, $p^i F(t)=\dfrac{d^i F(t)}{dt^i}$,
\[ A_0(p)=p^{n_a}+a_1 p^{n_a-1}+\cdots+a_{n_a},\quad B_0(p)=b_0 p^{n_b}+b_1 p^{n_b-1}+\cdots+b_{n_b}, \]при $n_a=2\ge n_b=1$, $e(t)$ — гауссовский шум. Параметры COE оцениваются как
\[ \theta^*_{\mathrm{COE}}=\arg\min_{\theta_{\mathrm{COE}}}\sum_{k=1}^{N}\zeta(t_k)\bigl(R_n(t_k)-\varphi^\top(t_k)\theta_{\mathrm{COE}}\bigr)^2, \]где $\theta_{\mathrm{COE}}=[a_1,\ldots,a_{n_a},b_0,b_1,\ldots,b_{n_b}]^\top$,
\[ \varphi^\top(t_k)=[-R^{n_a-1}(t_k),\ldots,-R(t_k),\mathrm{BI}^{n_b}(t_k),\ldots,\mathrm{BI}(t_k)] \]— инструментальная переменная. При известных BI и векторе времён событий LOB (в Busetto and Formentin, 2023 они известны; здесь прогнозируются Хоуксом) модель предсказывает знак доходности.
4.4. Прогноз доходности на базе Хоукса и COE
Полный алгоритм объединяет выход точечного процесса — hawkes-прогнозы $\hat t_{k+1}$ (уравнения (4)–(5)) — с COE-моделью (6). Для прогноза $\hat R_{k+1}$ (и знака) нужны не только $\hat t_{k+1}$, но и последний $\mathrm{BI}_k$ на момент прогноза. Эталонная доходность для сравнения — ближайшая по абсолютной временной дистанции: $R^{\mathrm{ref}}_{k+1}$ при минимальном $|t_{k+1}-\hat t_{k+1}|$.
Замечание. Перед использованием идентифицированной интенсивности для прогноза следующих событий LOB нужен период прогрева $T_{\mathrm{warm}}$, чтобы интенсивность «увидела» смоделированные события и на шаге прогноза не обязательно равнялась базовой $\mu$. Алгоритм 1 показывает процедуру на каждой итерации; для компактности обозначения см. таблицу 1.
Алгоритм 1. Hawkes-based COE Return Prediction
- Инициализировать $t_0$.
- Собрать обучающую выборку Хоукса $[t_0-T^{\mathrm{H}}_{\mathrm{train}}\cdot 60,\,t_0]$.
- Идентифицировать модель Хоукса $\theta^*$ по (3).
- Для $t=0,\ldots,T_{\mathrm{sim}}-1$:
- Вычислить $\lambda(t_0+t,\theta^*)$ по (2).
- Извлечь $x$ из $\mathrm{Exp}(1/\lambda(t_0+t,\theta^*))$.
- Предсказать $\hat t_{k+1}=t_0+t+x$.
- Обновить индекс события $k=k+1$.
- Собрать обучающую выборку COE $[t_0-T^{\mathrm{COE}}_{\mathrm{train}}\cdot 60,\,t_0]$.
- Идентифицировать COE $\theta^*_{\mathrm{COE}}$ по (7).
- Для $k=1,\ldots,K$:
- Вычислить $\mathrm{BI}_k$.
- Вычислить $\hat R_{k+1}$ по (6).
5. Численные симуляции и результаты
Оцениваем производительность архитектуры на 50 валидационных сценариях длительностью 2 минуты, извлечённых из доступного датасета. Сравниваем с тремя бенчмарками прогноза времени события (каждый интегрирован с одной и той же COE-моделью):
- Oracle — идеальное знание времени следующего события (эталон для знака доходности).
- Naive — следующее событие ровно через 1 с от момента прогноза; совпадает с минимальным разрешением системы, т.к. в датасете события разделены минимум 1 с (табл. 3).
- Moving Average (MA) — следующее событие в средний момент прихода за предыдущие $W=60$ с.
Каждый алгоритм прогноза времени события интегрирован с одной и той же COE-моделью для сравнения. Oracle в связке с COE воспроизводит процедуру Busetto and Formentin (2023), но на нашем датасете — по сути, с априорным знанием момента следующего события.
| Settings / Hyperparameters $\Gamma$ | Значение |
|---|---|
| среднее максимальное расстояние между событиями | $t_k-t_{k-1}\le 2{,}2$ с |
| минимальное расстояние | $t_k-t_{k-1}\ge 1$ с |
| события с ненулевой доходностью | $R_k\neq 0$ |
| $T^{\mathrm{H}}_{\mathrm{train}}$ | 20 мин |
| $T^{\mathrm{COE}}_{\mathrm{train}}$ | 50 мин |
| $T_{\mathrm{warm}}$ | 2,5 мин |
| $\Delta T$ | 5 с |
| $T_{\mathrm{sim}}$ | 2 мин |
| глубина LOB | $i=8$ |
Наиболее жёсткое ограничение — на среднее максимальное расстояние между последовательными событиями: нужны горизонты, где происходит разумное число событий в среднем. Каждый гиперпараметр получен анализом чувствительности, минимизирующим среднюю абсолютную разность между фактическим и предсказанным временем события на валидационной выборке 3 мая 2019:
\[ \Gamma=\arg\min\frac{1}{K_v}\sum_{k=1}^{K_v}\bigl|t_k-\hat t_k(\Gamma)\bigr|, \]где $\Gamma$ — набор гиперпараметров, $K_v$ — число событий на валидации. Гиперпараметры COE на валидации настраивались под точность прогноза доходности.
5.1. Точность знака доходности
Классы: TP, TN, FP, FN; положительный класс — $\mathrm{sign}(\hat R_{k+1})\gt 0$, отрицательный — $\mathrm{sign}(\hat R_{k+1})\lt 0$. Точность:
\[ \mathrm{Accuracy}=\frac{\mathrm{TP}+\mathrm{TN}}{\mathrm{TP}+\mathrm{TN}+\mathrm{FP}+\mathrm{FN}}. \]На рисунке 5 — точность разных алгоритмов. Oracle лучший, как и ожидалось, поскольку знает точное время следующего события. За ним следует Хоукс — он превосходит Naive и MA благодаря машинному обучению прогноза времени следующего события.
5.2. Торговая симуляция
Предложенный алгоритм и бенчмарки вставляются в каркас торговой симуляции: при одной COE-модели величина прибыли зависит от качества прогноза момента следующего события. Правило: при положительном (отрицательном) прогнозе знака алгоритм покупает (шортит) USDT на 10 000 USD. Совпадение знака с фактическим даёт прибыль, ошибка — убыток. Комиссии не учитываются.
На рисунке 6 — суммарная прибыль [USD] на тех же 50 сценариях (сумма прибылей минус убытков). Ранжирование как на рис. 5: Oracle статистически даёт наибольшую прибыль — выше медиана и уже разброс между квантилями; Хоукс близок к идеалу, далее MA и Naive.
На рисунке 7 — пример кумулятивной прибыли во времени для разных алгоритмов. Изначально все стратегии колеблются около нуля; затем резкое падение mid-price $P_k$ (нижняя панель) и более волатильный период позволяют более точным стратегиям заработать больше.
6. Ограничения, выводы и дальнейшая работа
Предложенный алгоритм снимает исходное допущение априорного знания времени нового события в LOB: процесс Хоукса обучается на исходном, неравномерно дискретизированном LOB-датасете. На 50 реальных валидационных сценариях методология превосходит бенчмарки по точности знака доходности и, как следствие, по прибыли. Работа подтверждает ценность base imbalance как регрессора на криптовалютных LOB-данных — с высокой корреляцией с доходностями на источниках, отличных от акционного рынка.
Ограничения для следующих шагов: мы отбрасываем события с нулевой доходностью, возможно теряя информацию; сравнение прогноза с ближайшей по абсолютному времени фактической доходностью — приближение (можно брать предыдущее или следующее событие); процедура не применима ко всему датасету — выборка должна удовлетворять ограничениям таблицы 3; комиссии не включены в итоговый баланс прибыли. Тем не менее результаты обнадеживают и ведут к расширенной валидации на криптоданных и сравнению с альтернативами точечным процессам.
Литература
- Alvari, H. and Shakarian, P. (2019). Hawkes process for understanding the influence of pathogenic social media accounts. In 2019 2nd International Conference on Data Intelligence and Security (ICDIS), 36–42. IEEE.
- Barucci, E., Giuffra Moncayo, G., and Marazzina, D. (2022). Cryptocurrencies and stablecoins: a high-frequency analysis. Digital Finance, 4(2-3), 217–239.
- Barucci, E., Giuffra Moncayo, G., and Marazzina, D. (2023). Market impact and efficiency in cryptoassets markets. Digital Finance, 1–44.
- Busetto, R. and Formentin, S. (2023). Continuous-time modeling of financial returns based on limit order book data. IFAC World Congress 2023.
- Cao, C., Hansch, O., and Wang, X. (2009). The information content of an open limit-order book. Journal of Futures Markets, 29(1), 16–41.
- Cartea, Á., Jaimungal, S., and Ricci, J. (2014). Buy low, sell high: A high frequency trading perspective. SIAM Journal on Financial Mathematics, 5(1), 415–444.
- Chen, F., Garnier, H., and Gilson, M. (2013). Refined instrumental variable identification of continuous-time oe and bj models from irregularly sampled data. IFAC Proceedings Volumes, 46(11), 80–85.
- Chen, Y. (2017). Modelling Limit Order Book Dynamics Using Hawkes Processes. Ph.D. thesis, The Florida State University.
- Garetto, M., Leonardi, E., and Torrisi, G.L. (2021). A time-modulated Hawkes process to model the spread of covid-19 and the impact of countermeasures. Annual Reviews in Control, 51, 551–563.
- Goldstein, M.A., Kwan, A., and Philip, R. (2021). High frequency trading strategies. Available at SSRN 2973019.
- Hawkes, A.G. (1971). Spectra of some self-exciting and mutually exciting point processes. Biometrika, 58(1), 83–90.
- Kwon, J., Zheng, Y., and Jun, M. (2023). Flexible spatio-temporal Hawkes process models for earthquake occurrences. Spatial Statistics, 54, 100728.
- Laub, P.J., Taimre, T., and Pollett, P.K. (2015). Hawkes processes. arXiv preprint arXiv:1507.02822.
- Lu, X. and Abergel, F. (2018). High-dimensional Hawkes processes for limit order books: modelling, empirical analysis and numerical calibration. Quantitative Finance, 18(2), 249–264.
- Morariu-Patrichi, M. and Pakkanen, M.S. (2022). State-dependent Hawkes processes and their application to limit order book modelling. Quantitative Finance, 22(3), 563–583.
- Myung, I.J. (2003). Tutorial on maximum likelihood estimation. Journal of Mathematical Psychology, 47(1), 90–100.
- Rambaldi, M., Bacry, E., and Lillo, F. (2017). The role of volume in order book dynamics: a multivariate Hawkes process analysis. Quantitative Finance, 17(7), 999–1020.
- Reynaud-Bouret, P., Rivoirard, V., and Tuleau-Malot, C. (2013). Inference of functional connectivity in neurosciences via Hawkes processes. In 2013 IEEE Global Conference on Signal and Information Processing, 317–320. IEEE.
- Sjogren, M.P. (2022). Predictive methods for Hawkes processes in high frequency finance.
- Zhang, Z., Zohren, S., and Roberts, S. (2019). DeepLOB: Deep convolutional neural networks for limit order books. IEEE Transactions on Signal Processing, 67(11), 3001–3012.
- Zheng, B., Moulines, E., and Abergel, F. (2012). Price jump prediction in limit order book. arXiv preprint arXiv:1204.1381.
Оригинал статьи: Cestari et al., «Hawkes-based cryptocurrency forecasting via Limit Order Book data», arXiv:2312.16190 · лицензия CC BY 4.0