Маркетмейкинг и транзиентный импакт на спот-рынке FX

5/10

Александр Барзыкин · HSBC, 8 Canada Square, Canary Wharf, London E14 5HQ, United Kingdom · 17 января 2026

Оригинал: Barzykin, A. «Market Making and Transient Impact in Spot FX», 2026 — arxiv.org/abs/2601.13421 (PDF).

Рисунки воспроизведены из оригинальной публикации. Оригинал распространяется по лицензии CC BY 4.0; перевод выполнен на её условиях, изменение по отношению к оригиналу — перевод на русский язык. Рисунки приведены из оригинальной публикации.

Ключевые слова: маркетмейкинг; стохастическое оптимальное управление; рыночное воздействие; алгоритмическая торговля.

Аннотация

Дилеры на валютных рынках предоставляют клиентам цены bid и ask, по которым они готовы соответственно покупать и продавать. Чтобы управлять риском, дилеры могут скьюить свои котировки, а также хеджироваться на межбанковском рынке. Хеджирование даёт определённость, но сопряжено с транзакционными издержками и рыночным воздействием. Оптимальный маркетмейкинг с исполнением ранее рассматривался в рамках модели рыночного воздействия Алмгрена–Кришша, с мгновенной и постоянной компонентами. Однако есть подавляющее количество эмпирических свидетельств транзиентной природы рыночного воздействия, где мгновенное и постоянное воздействие возникают как два предельных случая. В этой заметке мы рассматриваем промежуточный сценарий и изучаем взаимодействие между управлением риском и восстановлением рынка после импакта.

1. Введение

Валютные рынки (FX) по-прежнему функционируют преимущественно на внебиржевой (OTC) основе, где дилеры предлагают клиентам цены bid и ask двусторонне или через агрегаторы. Дилер стремится заработать спред, но вынужден управлять инвентарным риском, возникающим из-за асинхронности клиентского потока и рыночной волатильности. Чтобы привлечь поток, снижающий риск, дилер может скьюить свои котировки, но в конечном счёте может предпочесть захеджировать избыточный инвентарь на межбанковском рынке. Хеджирование даёт определённость, но сопряжено с транзакционными издержками и рыночным воздействием.

Оптимальные стратегии, балансирующие извлечение спреда и управление риском, стали предметом активных недавних исследований (Avellaneda and Stoikov, 2008; Guéant et al., 2013; Cartea et al., 2014; Butz and Oomen, 2019; Bergault and Guéant, 2021; Barzykin et al., 2023, 2025a). В фокусе, в частности, находилась дилемма интернализации против экстернализации (Butz and Oomen, 2019), а для описания исполнения на межбанковском рынке привлекалась модель Алмгрена–Кришша (2001) с мгновенной издержкой и линейным постоянным воздействием (Barzykin et al., 2023). Один из выводов этого направления — существование зоны чистой интернализации, в которой дилеру не оптимально исполнять сделки вовне. Порог по инвентарю, за которым дилер начинает исполнять, зависит от неприятия риска, волатильности, клиентского потока и — что важно — от транзакционных издержек и рыночного воздействия.

Существует подавляющее количество эмпирических свидетельств транзиентной природы рыночного воздействия, причём суть явления схватывает модель пропагатора Bouchaud et al. (2018). Частный случай экспоненциальной релаксации в модели Обижаевой–Ванга (2013) получает ясное объяснение в терминах восстановления лимитного стакана. В то же время исполнение крупных заявок демонстрирует универсальную зависимость вида квадратного корня от суммарного исполненного объёма (Tóth et al., 2011; Sato and Kanazawa, 2025). Оба эффекта оказываются очень важными в задаче оптимального исполнения (Neuman and Voß, 2022; Hey et al., 2023; Webster, 2023). Так почему же Алмгрен–Кришш?

Во-первых, закон квадратного корня — это мета-свойство, возникающее для сравнительно крупных родительских заявок из-за латентной ликвидности (Bucci et al., 2019) и/или искушённых трейдеров, способных воспользоваться чрезмерной реакцией рынка на мета-ордер (Durin et al., 2023). Для меньших размеров и меньших коэффициентов участия воздействие оказывается линейным (Bucci et al., 2019; Durin et al., 2023). Основной путь снижения риска у дилера — интернализация, поэтому линейность воздействия при хеджировании является естественным предположением, обеспечивающим отсутствие динамического арбитража (Gatheral, 2010).

Во-вторых, воздействие, хотя и транзиентное, известно своей высокой персистентностью (Bouchaud et al., 2018), тогда как типичный временной масштаб релаксации риска у FX-дилеров короток (Butz and Oomen, 2019). Таким образом, предположение о постоянном воздействии (на масштабе времени релаксации риска) также правдоподобно. Тем не менее можно обоснованно предположить, что по крайней мере часть затухания воздействия должна быть сопоставима с затуханием риска, поскольку сделки исполнения могут оказаться в инвентаре другого маркетмейкера; и действительно, на спот-рынке FX есть свидетельства быстрого затухания воздействия (Schmidt, 2016). В таком сценарии взаимодействие между восстановлением после импакта и управлением риском может стать значимым.

Cartea et al. (2026) недавно изучили равновесие по Нэшу между дилером и двумя клиентами — информированным и неинформированным трейдером — в непрерывной постановке, включив хеджирующую активность дилера на лит-рынке с экспоненциальным ядром рыночного воздействия. Они наблюдали фундаментальное изменение траекторий инвентаря информированного трейдера в зависимости от значения параметра затухания и обнаружили диапазон значений, при которых трейдеру может быть выгодно «ехать» на ценовом воздействии.

Мы начинаем с демонстрации того, что OTC-торговля действительно подразумевает воздействие пропагаторного типа, как в модели Обижаевой–Ванга (2013), что перекликается с результатами Eisler and Bouchaud (2016), полученными на другом рынке. Затем мы вводим состояние восстанавливающегося воздействия в модель маркетмейкинга и решаем соответствующее уравнение Гамильтона–Якоби–Беллмана (ГЯБ), находя оптимальные управления как численно, так и аналитически, в рамках квадратичного приближения в духе Bergault et al. (2021). Используя параметры, релевантные институциональному рынку FX, мы обнаруживаем заметный выигрыш в результативности при управлении риском крупных инвентарей и учёте восстановления после импакта.

2. Транзиентное воздействие клиентских сделок с дилером

Покажем, что сама модель маркетмейкинга подразумевает транзиентное воздействие: как только клиент совершает сделку с маркетмейкером, цена скачком смещается, а затем возвращается к исходному значению. Мы рассматриваем стандартную OTC-модель маркетмейкинга Авельянеды–Стойкова (2008) с расширением Берго–Гюана (2021) на лестницу размеров. Дилер предлагает клиентам цены bid/ask $S_t^{n,b/a} = S_t \mp \delta_t^{n,b/a}$ для набора размеров сделки $\Delta^n$ ($0 < \Delta^1 < \ldots < \Delta^N$, $N \ge 1$). Здесь средняя цена $S_t$ моделируется броуновским движением, а дельты — управления дилера, оптимизирующие скорректированный на риск P&L на конечном горизонте $T$ (Cartea et al., 2014). Мы рассматриваем пуассоновские приходы сделок с симметричной по сторонам интенсивностью $\lambda^{n,b/a}(\delta) = \lambda^n(\delta)$.

Эта формулировка стандартна, и соответствующее базовое уравнение ГЯБ для функции ценности $V(t,q)$ в момент $t$ при инвентаре $q$ имеет вид (Guéant et al., 2013; Cartea et al., 2015; Guéant, 2016)

\[ 0 = \partial_t V - \frac{\gamma \sigma^2 q^2}{2} + \sum_n \Delta^n \left( H_{\text{OTC}}^n \left[ D_{q+}^n V(t, q) \right] + H_{\text{OTC}}^n \left[ D_{q-}^n V(t, q) \right] \right) \tag{1}\]

где $t \in [0, T]$ и на $t = T$ задано подходящее терминальное условие1, $\sigma$ обозначает волатильность, $\gamma$ — коэффициент неприятия риска, и

\[ D_{q\pm}^n V(t,q) = \frac{V(t,q) - V(t,q \pm \Delta^n)}{\Delta^n} \tag{2}\] \[ H_{\text{OTC}}^{n}(p) = \sup_{\delta \in \mathbb{R}} \lambda^{n}(\delta)(\delta - p) \tag{3}\]

Следуя Bergault et al. (2021), мы ищем приближённое решение через разложение гамильтониана до второго порядка и квадратичный анзац для функции ценности, что приводит к ОДУ Риккати. Таким образом, мы записываем2 $V(t,q) = -A(t)q^2 - C(t)$ и получаем стационарное решение:3

\[ A_0 = \lim_{T \to \infty} A(0) = \sigma \sqrt{\frac{\gamma}{8\xi}}, \qquad \xi = \sum_n H_{\text{OTC}}^{n''}(0) \Delta^n \tag{4}\]

где

\[ H_{\text{OTC}}^{n''}(0) = \frac{\lambda^n(\delta_0^n)}{\delta_0^n c^n}, \qquad c^n = 2 - \frac{\lambda^n(\delta_0^n)\lambda^{n''}(\delta_0^n)}{(\lambda^{n'}(\delta_0^n))^2} \tag{5}\] \[ \delta_0^n = \operatorname*{argmax}_{\delta \in \mathbb{R}} \delta \lambda^n(\delta) \tag{6}\]

Следовательно, оптимальные котировки равны

\[ \delta_*^{n,b/a} \simeq \delta_0^n + \frac{A_0}{c^n} \left( \Delta^n \pm 2q \right) \tag{7}\]

где $\pm$ соответствует b/a соответственно. Это приближённое решение хорошо известно, хотя, возможно, оно не появлялось в явном виде в ранней литературе. Оно даёт корректное разложение в пределе малого неприятия риска и может служить отправной точкой для итерации по политике — эффективного метода численного решения ГЯБ.

Мы сразу видим в оптимальных котировках сигнатуру мгновенного воздействия. Равновесная издержка (полуспред) для размера $\Delta^n$ равна $\delta_0^n + A_0 \Delta^n/c^n$, но как только сделка совершена, средняя цена смещается скачком на $2A_0 \Delta^n/c^n$, что обеспечивает отсутствие арбитража.4 При стационарном управлении ОДУ для среднеполевого инвентаря $\bar{q}_t = \mathbb{E}[q_t]$ принимает вид

\[ \dot{\bar{q}}_t = \sum_n \Delta^n \left( \lambda^n \left( \delta_*^{n,b}(\bar{q}_t) \right) - \lambda^n \left( \delta_*^{n,a}(\bar{q}_t) \right) \right) \simeq -\omega \bar{q}_t \tag{8}\]

где

\[ \omega = \sigma \sqrt{2\gamma \xi} \tag{9}\]

что представляет собой экспоненциальную релаксацию. После инвентарного шока величиной $q_0$ позиция дилера релаксирует как $\bar{q}_t = q_0 \exp(-\omega t)$, и так же ведёт себя оптимальное ценообразование. По существу это OTC-эквивалент модели Обижаевой–Ванга (2013).

Хотя это, разумеется, внутреннее транзиентное воздействие на ценообразование конкретного дилера, известно, что скьюинг потенциально способен влиять и на внешний рынок через считывание цены (Barzykin et al., 2025a), не говоря уже о прямом рыночном воздействии внешней хеджирующей активности. Отметим, что схожие аргументы применимы и к пассивному OTC-воздействию (Barzykin et al., 2025b), где дилер скьюит в ожидании потока, чтобы исполнить пассивную клиентскую заявку, а не в ответ на изменение инвентаря из-за клиентской сделки. Хотя амплитуда воздействия в этом случае иная и определяется рядом факторов, включая ожидания дилера относительно свойств пассивного потока, а также любые договорённости о фасилитации потока, время релаксации по-прежнему происходит из асимметрии франшизного потока, вызванной скьюингом.

3. Хеджирование при транзиентном воздействии

Вернёмся теперь к задаче оптимизации маркетмейкера. Помимо скьюинга, дилер может торговать на межбанковском рынке, чтобы хеджировать свой риск. Как и в Barzykin et al. (2023), предполагается, что хеджирование непрерывно, со скоростью $v_t$ и транзакционной издержкой $L(v) = \psi |v| + \eta v^2$. Хеджирование также вызывает рыночное воздействие, которое затухает экспоненциально со временем, как в модели Обижаевой–Ванга (2013). Таким образом, для эволюции средней цены мы записываем

\[ dS_t = \sigma dW_t + dx_t, \qquad dx_t = (-\beta x_t + kv_t)dt \tag{10}\]

где $x_t$ обозначает состояние восстанавливающегося воздействия. Очевидно, $\beta = 0$ возвращает нас к Алмгрену–Кришшу (2001). Соответствующее ГЯБ для функции ценности $V(t, q, x)$ имеет вид (после стандартной подстановки, устраняющей ценовую диффузию):

\[ 0 = \partial_t V - \beta x (q + \partial_x V) - \frac{1}{2} \gamma \sigma^2 q^2 + H_{\mathcal{E}}(p_{\mathcal{E}}) + \sum_n \Delta^n \left( H_{\text{OTC}}^n \left[ D_{q+}^n V \right] + H_{\text{OTC}}^n \left[ D_{q-}^n V \right] \right) \tag{11}\]

с нулевым терминальным условием и

\[ H_{\rm E}(p) = \sup_{v \in \mathbb{R}} pv - L(v) = \frac{(|p| - \psi)_+^2}{4\eta} \tag{12}\] \[ p_{\rm E} = k(q + \partial_x V) + \partial_q V \tag{13}\]

Члены $-\beta x(q + \partial_x V)$ происходят из управляемого сноса в $S$ и сноса состояния $x$. Оптимальные котировки задаются (с использованием теоремы об огибающей)

\[ \delta_*^{n,b/a} = (\lambda^n)^{-1} \left( -H_{\text{OTC}}^{n'} \left[ D_{q\pm}^n V(t,q,x) \right] \right) \tag{14}\]

а оптимальная скорость исполнения равна

\[ v_* = \begin{cases} \operatorname{sign}(p_{\mathrm{E}}) \dfrac{|p_{\mathrm{E}}| - \psi}{2\eta}, & \text{если } |p_{\mathrm{E}}| > \psi, \\[6pt] 0, & \text{иначе.} \end{cases} \tag{15}\]

Для качественного понимания снова последуем Bergault et al. (2021): приблизим $H^n_{\text{OTC}}(p)$ до второго порядка по $p$ и затем используем квадратичный анзац для функции ценности5

\[ V(t,q,x) = -A(t)q^{2} - B(t)qx - C(t) \tag{16}\]

Гамильтониан исполнения $H_{\rm E}(p)$ при аппроксимации функции ценности отбрасывается из-за издержки спреда.6 Таким образом, ГЯБ сводится к системе Риккати для коэффициентов, и стационарное решение даётся выражением7

\[ B_0 = \lim_{T \to \infty} B(0) = \frac{\beta}{\beta + \omega} \tag{17}\]

где $A_0$ совпадает с определённым ранее в уравнении (4). Величина $B_0$ напрямую отражает конкуренцию между восстановлением после импакта и релаксацией риска через клиентский поток. Оптимальные котировки получаются из уравнения (14). Оставляя только первую значимую поправку, получаем

\[ \delta_*^{n,b/a}(q,x) \simeq \delta_0^n + \frac{A_0}{c^n} (\Delta^n \pm 2q) \pm \frac{B_0}{c^n} x \tag{18}\]

с дополнительной линейной зависимостью от состояния воздействия. Оптимальная скорость исполнения определяется значением $p_{\rm E}$, которое теперь задаётся как

\[ p_{\rm E}(q,x) = -(2A_0 - k(1 - B_0))q - B_0x \tag{19}\]

Условие $|p_{\rm E}(q,x)| = \psi$ определяет границу зоны чистой интернализации.

4. Численные примеры

В качестве иллюстрации рассмотрим стандартную лестницу размеров $\Delta^n = (1, 2, 5, 10, 20, 50)$ млн номинала и сигмоидальную функцию интенсивности $\lambda^n(\delta) = \lambda_0^n (1 + \exp(a^n + b^n \delta))^{-1}$ с амплитудами $\lambda_0^n = (2000, 800, 600, 400, 100, 50)$ день$^{-1}$ и одинаковыми параметрами $a^n = -1$, $b^n = 7$ бп$^{-1}$. Здесь бп означает базисные пункты.8

Этот набор параметров соответствует ликвидной валютной паре с дневным оборотом $\simeq 5$ млрд номинала и спредом на вершине книги $\simeq 0.5$ бп. Мы также предполагаем дневную волатильность 100 бп и коэффициент неприятия риска $\gamma = 10^{-3}$ бп$^{-1}$·млн$^{-1}$. Параметры, связанные с исполнением: $\psi = 0.2$ бп, $\eta = 1.5$ бп·с/млн, $k = 0.005$ бп/млн и $\beta = 1000$ день$^{-1}$. Скорость затухания воздействия была намеренно выбрана сопоставимой со временем релаксации риска ($\omega \simeq 560$ день$^{-1}$ в этом случае).

Рисунок 1 иллюстрирует оптимальные управления $\delta_*^{1,a}$ и $v_*$ как функции инвентаря дилера $q$ и состояния воздействия $x$ (закодировано цветом). Решение получено численным решением ГЯБ явной схемой Эйлера (занимает доли секунды в jax). Общая форма выглядит похоже на оптимальное решение с воздействием Алмгрена–Кришша (Barzykin et al., 2023), но зависимость от состояния воздействия существенна. В частности, зона чистой интернализации зависит от состояния воздействия, что также показано на рисунке 2, и это объяснимо, поскольку релаксация воздействия представляет собой своего рода предсказание цены. Приближённое решение в замкнутой форме, полученное подстановкой квадратичного разложения функции ценности в уравнения (14) и (15), качественно воспроизводит оптимальное решение, но отклоняется при больших инвентарях, чего и следовало ожидать.

**Рисунок 2.** Двумерный график оптимальной скорости исполнения $v_*$ как функции инвентаря $q$ и состояния воздействия $x$ для набора параметров, определённого в тексте.

Рисунок 3 показывает, как эволюционируют P&L, позиция, скорость исполнения и состояние воздействия после инвентарного шока (крупной клиентской сделки). Результаты получены посредством симуляций Монте-Карло с $10^4$ траекториями с использованием соответствующего СДУ и оптимальных управлений (численно точных). Как и ожидалось, мы видим уменьшение инвентаря за счёт скьюинга и хеджирования, причём абсолютная скорость исполнения также уменьшается вместе с инвентарём, тогда как абсолютное воздействие проходит через максимум. P&L скачкообразно растёт в нулевой момент, поскольку дилер зарабатывает полуспред, затем снижается из-за воздействия, но затем снова возрастает благодаря продолжающейся монетизации потока.

Мы сравниваем результативность оптимальных управлений при транзиентном воздействии с управлениями при постоянном воздействии (то есть ГЯБ решается при $\beta = 0$), тогда как в обоих случаях фактическое базовое воздействие является транзиентным. Выигрыш от учёта восстановления после импакта в этом случае очень отчётлив. Однако, если крупные сделки редки, большая часть клиентского потока будет интернализована, так что состояние воздействия редко будет достаточно велико, чтобы вызвать значимую разницу в суммарном ожидаемом P&L. Поэтому модель Алмгрена–Кришша всё же может быть разумным приближением. Тем не менее управление риском более крупных сделок обычно находится под пристальным вниманием деска, и именно здесь учёт восстановления после импакта становится важным.

Благодарность

Автор выражает искреннюю признательность Оливье Гюану (Université Paris Cité) и Леандро Санчесу-Бетанкуру (University of Oxford) за плодотворные обсуждения и ценные замечания, а также Ричарду Энтони (HSBC) за поддержку на протяжении всего проекта. Высказанные взгляды принадлежат автору и не обязательно отражают взгляды или практики HSBC.

Сноски

Терминальный штраф не изменяет оптимальные управления в момент 0, когда $T$ достаточно велико, поэтому можно положить $V(T,q)=0$. ↩
Линейный член исчезает в силу симметрии. ↩
$C(t)$ не влияет на управления и потому не приводится. ↩
Средневзвешенная цена исполнения двух последовательных заявок размера $\Delta^n$ должна равняться цене одной заявки размера $2\Delta^n$. ↩
Линейные члены обращаются в нуль в силу симметрии, а член с $x^2$ мал. ↩
В качестве альтернативного приближения можно пренебречь спредом и оставить квадратичную издержку, но разница незначительна. ↩
Свободный член не влияет на управления и потому не приводится. ↩
Это подразумевает геометрическое броуновское движение, тогда как здесь мы имеем дело с простым броуновским движением. Разница пренебрежимо мала в маркетмейкинге на FX из-за коротких торговых горизонтов. ↩

Литература

Almgren, R. and Chriss, N., Optimal execution of portfolio transactions. J. Risk, 2001, 3, 5–40.
Avellaneda, M. and Stoikov, S., High-frequency trading in a limit order book. Quant. Finance, 2008, 8, 217–224.
Barzykin, A., Bergault, P. and Guéant, O., Algorithmic market making in dealer markets with hedging and market impact. Math. Finance, 2023, 33, 41–79.
Barzykin, A., Bergault, P., Guéant, O. and Lemmel, M., Optimal Quoting under Adverse Selection and Price Reading, 2025. arxiv.org/abs/2508.20225
Barzykin, A., Boyce, R. and Neuman, E., FX Market Making with Internal Liquidity, 2025. arxiv.org/abs/2512.04603
Bergault, P., Evangelista, D., Guéant, O. and Vieira, D., Closed-form approximations in multi-asset market making. Appl. Math. Finance, 2021, 28, 101–142.
Bergault, P. and Guéant, O., Size matters for OTC market makers: general results and dimensionality reduction techniques. Math. Finance, 2021, 31, 279–322.
Bouchaud, J.-P., Bonart, J., Donier, J. and Gould, M., Trades, Quotes and Prices: Financial Markets Under the Microscope, 2018 (Cambridge University Press).
Bucci, F., Benzaquen, M., Lillo, F. and Bouchaud, J.-P., Crossover from Linear to Square-Root Market Impact. Phys. Rev. Lett., 2019, 122, 108302.
Butz, M. and Oomen, R., Internalisation by electronic FX spot dealers. Quant. Finance, 2019, 19, 35–56.
Cartea, Á., Jaimungal, S. and Ricci, J., Buy low, sell high: A high frequency trading perspective. SIAM J. Financ. Math., 2014, 5, 415–444.
Cartea, Á., Jaimungal, S. and Penalva, J., Algorithmic and High Frequency Trading, 2015 (Cambridge University Press).
Cartea, Á., Jaimungal, S. and Sánchez-Betancourt, L., Nash Equilibrium between Brokers and Traders. Finance Stoch., 2026, doi:10.1007/s00780-026-00595-7
Durin, B., Rosenbaum, M. and Szymanski, G., The two square root laws of market impact and the role of sophisticated market participants, 2023. arxiv.org/abs/2311.18283
Eisler, Z. and Bouchaud, J.-P., Price impact without order book: A study of the OTC credit index market, 2016. arxiv.org/abs/1609.04620
Gatheral, J., No-Dynamic-Arbitrage and Market Impact. Quant. Finance, 2010, 10, 749–759.
Guéant, O., Lehalle, C.-A. and Fernandez-Tapia, J., Dealing with the inventory risk: a solution to the market making problem. Math. Financ. Econ., 2013, 7, 477–507.
Guéant, O., The Financial Mathematics of Market Liquidity: From optimal execution to market making, 2016 (Chapman and Hall/CRC).
Hey, N., Bouchaud, J.-P., Mastromatteo, I., Muhle-Karbe, J. and Webster, K., The cost of misspecifying price impact, 2023. arxiv.org/abs/2306.00599
Neuman, E. and Voß, M., Optimal Signal-Adaptive Trading with Temporary and Transient Price Impact. SIAM J. Financ. Math., 2022, 13, 551–575.
Obizhaeva, A. A. and Wang, J., Optimal trading strategy and supply/demand dynamics. J. Financ. Mark., 2013, 16, 1–32.
Sato, Y. and Kanazawa, K., Strict universality of the square-root law in price impact across stocks: A complete survey of the Tokyo stock exchange. Phys. Rev. Lett., 2025, 135, 257401.
Schmidt, A. B., Impact of trading in the multi-dealer spot foreign exchange. J. Trading, 2016, 11, 68–75.
Tóth, B., Lempérière, Y., Deremble, C., De Lataillade, J., Kockelkoren, J. and Bouchaud, J.-P., Anomalous price impact and the critical nature of liquidity in financial markets. Phys. Rev. X, 2011, 1, 021006.
Webster, K., Handbook of Price Impact Modeling, 2023 (Chapman and Hall/CRC).

Оригинал статьи: Alexander Barzykin, «Market Making and Transient Impact in Spot FX», arXiv:2601.13421 · лицензия CC BY 4.0