Проектирование ставок финансирования для бессрочных фьючерсов на криптовалютных рынках

5/10

Аннотация

На криптовалютных рынках ключевая задача эмитентов perpetual futures — поддерживать согласованность цены контракта с целевым значением (target value). В этой работе исследуется связь между funding rates и ценами perpetual futures. Показано, что при надлежащем проектировании funding rates цена perpetual future может оставаться привязанной к целевому значению. Построены реплицирующие портфели для perpetual futures, дающие эмитентам эффективный метод хеджирования позиций. Предложены path-dependent funding rates как практическая альтернатива; исследована разница между исходным и path-dependent вариантами. Для получения результатов используются path-dependent бесконечно-горизонтные BSDE в сочетании с теорией арбитражного ценообразования. Основные теоремы основаны на доказательстве существования и единственности решений этих BSDE и анализе поведения решений при больших временах.

1. Введение

1.1. Обзор

Perpetual futures — одни из наиболее торгуемых деривативов на криптовалютных рынках. С момента запуска BitMEX в 2016 году они получили огромную популярность и значительный объём торгов. Совокупный объём превысил \$90 трлн, превосходя объёмы базовых криптовалют; на долю perpetual futures приходится около 93% рынка крипто-фьючерсов (Ruan and Streltsov, 2024). Центральный элемент — funding mechanism, эффективно работающий в непрерывной торговле 24/7. На традиционных рынках funding используется реже из-за более высоких транзакционных издержек и жёсткого регулирования. Несмотря на ключевую роль funding, исследований относительно мало; изучение фундаментальных основ механизма своевременно и необходимо.

Funding mechanism проектируется для минимизации отклонения цены фьючерса от целевого значения. Периодически между long и short позициями обмениваются денежные потоки, чтобы цена perpetual future оставалась согласованной с target value. Этот поток — funding fee — определяется целевым значением и текущей ценой контракта. Цель работы — построить теоретические основы perpetual futures, прояснив связь funding rates и цен. Структура perpetual futures схожа со стандартными опционами: держатель получает выплату в виде funding fee. Это мотивирует применение стандартной теории ценообразования деривативов.

Однако по сравнению с обычными деривативами, особенно европейскими опционами, perpetual futures существенно отличаются. Во-первых, у них нет даты экспирации — контракт можно покупать и продавать в любой момент, long-позицию можно удерживать сколь угодно долго. Во-вторых, поток выплат периодичен на протяжении всего срока, тогда как у стандартных опционов выплата только в конце. Это возможно благодаря круглосуточной торговле крипторынка. В-третьих, поток зависит и от базового актива, и от цены perpetual future, тогда как у стандартных опционов — только от базового актива. Эти особенности затрудняют применение стандартной риск-нейтральной оценки и создают существенное различие подходов к ценообразованию.

Работа содержит четыре вклада.

Первый. Метод проектирования funding rates, обеспечивающий привязку цены perpetual future к целевым значениям — как торгуемым, так и неторгуемым. Это была серьёзная проблема для эмитентов из-за сложности структуры контрактов. Решение — арбитражный подход в сочетании с методом BSDE. Задача концептуально проста, но формальное строгое доказательство сложно. Впервые выведены единственные цены perpetual futures, привязанные к неторгуемым target values.

Второй. Path-dependent funding rate для практической реализации. На большинстве бирж funding fee вычисляется как среднее значений за прошлые 8 часов, а не по текущему spot — funding rate по сути path-dependent. Мгновенный spot funding rate идеально гарантирует совпадение цены с target, path-dependent версия — реалистичное приближение. Показано, что цена единственно определена при path-dependent funding rates и близка к цене при мгновенном spot rate. Такая форма path-dependent rate ранее не изучалась.

Третий. Построение реплицирующих портфелей. Практически — метод хеджирования для эмитентов; теоретически — доказательство отсутствия арбитража полученной цены. Для традиционных деривативов с конечным горизонтом репликация хорошо известна; отсутствие терминальной даты усложняет задачу. Показано, что реплицирующие портфели можно построить и без терминальной даты.

Четвёртый. Новый подход — метод бесконечно-горизонтных BSDE, дающий новые insights в perpetual futures. Методология проясняет funding mechanism, показывая, как funding rates влияют на цены. Связь драйвера и решения бесконечно-горизонтной BSDE зеркально отражает связь funding rates и цен. Математически это достигается доказательством существования и единственности решений; такие BSDE ранее не изучались, разработаны новые теоретические результаты.

Path-dependent подход принят по двум причинам. Во-первых, он позволяет работать с path-dependent рыночными моделями, выходящими за рамки марковских, включая non-Markovian динамику. Во-вторых, он даёт анализ path-dependent funding rates как интегралов за прошлые 8 часов. Это приводит к path-dependent BSDE, для которых стандартные марковские техники неприменимы. Анализ опирается на path-dependent framework Ekren et al. (2014), Bally et al. (2016), Dupire (2019) и Viens and Zhang (2019).

Теоретическая литература по ценообразованию perpetual futures скудна. He et al. (2022) рассмотрели пропорциональные funding rates для контрактов, привязанных к торгуемой цене актива; выведены арбитражные цены во frictionless рынках и границы при торговых издержках. Angeris et al. (2023) проанализировали perpetual futures в непрерывном времени, arbitrage-free, frictionless рынке; получены model-free формулы funding rates и стратегии репликации, особенно при непрерывных положительных ценах активов; расширение на jump-модели. Ackerer et al. (2024) вывели arbitrage-free цену различных perpetual контрактов; цена определяется risk-neutral ожиданием spot в случайный момент. Dai et al. (2025) исследовали отклонение цен perpetual futures от базовых активов; clamping function — ключевой фактор; model-free no-arbitrage bounds. Эмпирические работы: Alexander et al. (2020), Christin et al. (2022), Wang and Zhang (2025).

1.2. План

Стратегия решения задачи состоит из нескольких шагов.

Шаг 1. Вводятся funding portfolios и соответствующие процессы богатства — фундаментальный теоретический каркас для реплицирующих портфелей. Рассматривается полный рынок из нескольких активов $X = (X(s))_{s \geq 0}$ и денежного счёта. Пусть $F = (F(s))_{s \geq 0}$ — заданный процесс funding rate. $F$-funding portfolio состоит из позиций в активах и денежном счёте, на который начисляется funding fee $F(s)\,ds$. Процесс богатства $Y = (Y(s))_{s \geq 0}$ описывает эволюцию стоимости такого портфеля.

Шаг 2. Рассматривается funding rate вида $F^{\Phi}(s) := \Phi(s, X_s, Y(s))$. Возникает вопрос: существует ли $F^{\Phi}$-funding portfolio? Задача преобразуется в framework бесконечно-горизонтных BSDE; доказывается существование и единственность через анализ BSDE.

Шаг 3. Проектируются funding rates для согласованности цены с $\varphi(s, X_s)$. Форма $\Phi(s, X_s, Y(s))$ из (4.1) порождает funding portfolio с wealth process $\varphi(s, X_s)$ — реплицирующий портфель.

Шаг 4. Path-dependent funding rate:

На практике $\delta = \frac{1}{1095}$ (8 часов). Доказывается существование $\Phi^{\delta}$-funding portfolio, выводится $Y^{\delta}$, оценивается $|Y^{\delta} - Y|$.

Иллюстративный пример. Некоррелированная $m$-мерная Black–Scholes с нулевой ставкой. Под risk-neutral мерой $dX_i(s) = \sigma_i X_i(s)\,dB_i(s)$, $i = 1,\ldots,m$. Эмитент хочет $Y(s) = X_1^2(s)$. При $F(s) = \Phi(X(s))$:

No-arbitrage даёт $\Phi(X(s)) = -\sigma_1^2 X_1^2(s)$, но funding rate не единственен: $Y = 2X_1 + X_1^2$ и др. тоже допустимы. Добавление $\ell(X_1^2(s) - Y(s))$:

обеспечивает единственность и $Y(s) = X_1^2(s)$ — ядро подхода работы.

Далее: раздел 2 — обозначения; раздел 3 — funding portfolios; раздел 4 — spot и path-dependent rates; раздел 5 — приложения; раздел 6 — заключение; доказательства — в приложениях A–D.

2. Предварительные сведения

Вводятся базовые обозначения path-dependent SDE и PDE (Ekren et al., 2014; Bally et al., 2016; Dupire, 2019; Viens and Zhang, 2019). Пусть $(\Omega, \mathcal{F}, P)$ — полное вероятностное пространство с $m$-мерным броуновским движением $W$, $(\mathcal{F}_s)_{s \geq 0}$ — augmented $\sigma$-алгебра. $L^0(\mathbb{R}^m)$ — прогрессивно измеримые процессы в $\mathbb{R}^m$. Для $p \gt 0$, $T \gt 0$:

и $S^p(0,\infty;\mathbb{R}^m) = \cap_{T\gt 0} S^p(0,T;\mathbb{R}^m)$, $H^p(0,\infty;\mathbb{R}^m) = \cap_{T\gt 0} H^p(0,T;\mathbb{R}^m)$. Аналогично $S^p(s,T;\cdot)$, $H^p(s,T;\cdot)$, $S^p(s,\infty;\cdot)$, $H^p(s,\infty;\cdot)$.

$\hat{\Lambda} := D([0,\infty), \mathbb{R}^m)$ — càdlàg функции. Для $\gamma \in \hat{\Lambda}$: $\gamma(s)$ — значение; $\gamma_s = \gamma(s \wedge \cdot)$ — остановленный путь. Полунорма, норма, псевдометрика:

Отображение $\varphi : [0,\infty) \times \hat{\Lambda} \to \mathbb{R}$ — non-anticipative functional, если $\varphi(s,\gamma) = \varphi(s,\gamma_s)$. Полиномиальный рост порядка $p$: $| \varphi(s,\gamma)| \leq L(1 + \|\gamma\|_s^p)$.

Горизонтальная производная: $\partial_s \varphi(s,\gamma) := \lim_{h \to 0^+} (\varphi(s+h,\gamma_s) - \varphi(s,\gamma_s))/h$. Вертикальные: $\partial_i \varphi(s,\gamma) := \lim_{h \to 0} (\varphi(s,\gamma_s + h e_i \mathbf{1}_{[s,\infty)}) - \varphi(s,\gamma_s))/h$. Обозначаем $\partial_x \varphi = (\partial_i \varphi)_{1 \leq i \leq m}$, $\partial_{xx}^2 \varphi = (\partial_i \partial_j \varphi)_{1 \leq i,j \leq m}$.

Пространства (2.2): $\mathcal{A}$, $\mathcal{C}$, $\mathcal{C}_p$, $\mathcal{C}_p^{1,2}$ на $[0,\infty) \times \hat{\Lambda}$. $\Lambda := C([0,\infty);\mathbb{R}^m) \subset \hat{\Lambda}$ — замкнутое подпространство. $\mathcal{C}_p^{1,2}([0,\infty) \times \Lambda)$ — функционалы с продолжением $\hat{\varphi} \in \mathcal{C}_p^{1,2}([0,\infty) \times \hat{\Lambda})$; производные не зависят от выбора $\hat{\varphi}$ (Cont and Fournié, 2013).

3. Ценообразование perpetual futures

3.1. Funding portfolios

Рынок из $m+1$ активов: $m$ процессов богатства (акции, золото, криптовалюты, их линейные комбинации) как решение path-dependent SDE

и денежный счёт $G = (e^{\int_0^s r(u,X_u)\,du})_{s \geq 0}$ для non-anticipative $r : [0,\infty) \times \Lambda \to \mathbb{R}$. Модель допускает отрицательные значения богатства (short, линейные комбинации, отрицательные цены нефти — Corbet et al., 2021).

Предположение 3.1. Non-anticipative $\mu$, $\sigma$ удовлетворяют: (i) $|\mu(s,0)| + |\sigma(s,0)| \leq C_1$; (ii) Lipschitz по $d$: $|\mu(s,\gamma) - \mu(s',\gamma')| \leq C_2 d((s,\gamma),(s',\gamma'))$, аналогично для $\sigma$ с $C_3$.

Предположение 3.2. $r$ ограничена: $|r(s,\gamma)| \leq C_r$ для всех $(s,\gamma)$.

Теорема 3.1. При предположении 3.1 для любого $x \in \mathbb{R}^m$ и $p \geq 1$ существует единственное решение SDE (3.1) в $S^p(0,\infty;\mathbb{R}^m)$ (Protter, 2005, Theorem 7, Ch. 5).

Портфель $h = (\phi_0(s), \phi(s))_{s \geq 0}$ — $(m+1)$-мерный прогрессивно измеримый процесс; стоимость $V^h(s) := \phi_0(s)G(s) + \phi(s)X(s)$.

Определение 3.1. Пусть $F = (F(s))_{s \geq 0}$ — прогрессивно измеримый процесс.

(i) Портфель $h$ — $F$-funding portfolio, если $\phi_0$, $F$ локально интегрируемы, $\phi$ локально квадрат-интегрируема и

(ii) Портфель $\rho$-admissible, если $\|V^h\|_T \leq L(1 + \|X\|_T^{\rho})$ для некоторой $L \gt 0$ и всех $T \geq 0$.

Определение аналогично consumption portfolio; при $F = 0$ портфель self-financing.

Определение 3.2. (i) Perpetual future с funding rate $F$ — инструмент, где short платит funding fee $F(s)\,ds$ long до закрытия контракта; цена $Y = (Y(s))_{s \geq 0}$. (ii) Perpetual future replicable, если существует $F$-funding portfolio $h$ с $Y = V^h$. При отрицательном $F$ short получает $-F(s)\,ds$ от long.

Wealth process $F$-funding portfolio выражается как бесконечно-горизонтная BSDE. Для $h = (\phi_0, \phi)$:

где $\theta(s,X_s) := \sigma^{-1}(s,X_s)(\mu(s,X_s) - X(s)r(s,X_s))$, $Z(s) := \phi(s)\sigma(s,X_s)$. При $Y(s) = V^h(s)$:

для $0 \leq s \leq T \lt \infty$ — форма бесконечно-горизонтной BSDE.

Работаем с funding rates, зависящими от $X$ и $Y$.

Определение 3.3. Если $F(s) = \Phi(s, X_s, Y(s))$ для non-anticipative $\Phi : [0,\infty) \times \Lambda \times \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, то $\Phi$ — funding rate functional, обозначение $F^{\Phi}$.

Цель: для подходящего $\Phi$ доказать существование и единственность $F^{\Phi}$-funding portfolio. Если $\Phi = \Phi(s,X_s)$ не зависит от $Y$, задача проще; при зависимости от $Y$ — сложно. Преобразуем в бесконечно-горизонтную BSDE:

Существование и единственность $F^{\Phi}$-funding portfolios эквивалентны существованию и единственности решений BSDE (3.3).

3.2. Риск-нейтральные pricing BSDE

Предположение 3.3. $\sigma$ обратима; локальный мартингал $(e^{-\int_0^s \theta(u,X_u)\,dW(u) - \frac{1}{2}\int_0^s |\theta(u,X_u)|^2\,du})_{s \geq 0}$ — мартингал.

Risk-neutral мера $Q_s$ на $\mathcal{F}_s$: $\frac{dQ_s}{dP} = e^{-\int_0^s \theta(X_u)\,dW(u) - \frac{1}{2}\int_0^s \theta^2(X_u)\,du}$ (Girsanov). $X^i/G$ — мартингалы. Броуновское движение под $Q$:

$Q$-динамика $X$:

BSDE (3.2) под $Q$:

Обозначение $E = E_Q$. Под risk-neutral мерой BSDE (3.3) упрощается:

— risk-neutral pricing BSDE для perpetual future. Существование и единственность $F^{\Phi}$-funding portfolios эквивалентны решению (3.6).

Неравенство BDG (3.7): для $q \geq 1$ существуют $m_q, M_q \gt 0$ такие, что для всех $T \geq 0$, $\eta \in H^q(0,T;\mathbb{R}^m)$:

Предположение 3.4. Для non-anticipative $\Phi$ положим $f(s,\gamma,y) := -r(s,\gamma)y + \Phi(s,\gamma,y)$. Требуется:

(i) $f$ непрерывна, non-anticipative; (ii) $|f(s,\gamma,0)| \leq C_4(1 + \|\gamma\|_s^{\rho})$; (iii) Lipschitz по $y$ равномерно в $(s,\gamma)$; (iv) $\exists\, \ell \gt 0$: $(y-y')(f(s,\gamma,y) - f(s,\gamma,y')) \leq -\ell|y-y'|^2$; (v) $\ell \gt \inf_{K\gt 0}(K + \frac{1}{2}(\frac{C_r}{\sqrt{2K}} + M_{\rho \vee 2} C_3)^2)^{\rho}$.

Теорема 3.2. При предположениях 3.1–3.4 BSDE (3.6) имеет единственное решение $(Y,Z) \in S^2(0,\infty;\mathbb{R}) \times H^2(0,\infty;\mathbb{R}^m)$ с $\|Y\| \leq L(1 + \|X\|^{\rho})$ для некоторой $L \gt 0$. Доказательство — приложение A.

Методология отличается от стандартного ценообразования: у perpetual futures нет терминальной даты, поэтому martingale representation неприменима. Задача сводится к бесконечно-горизонтной BSDE. Анализ возможен и под физической мерой (3.3), но сложнее и при более жёстких условиях.

Теорема 3.3 (Feynman–Kac). При предположениях 3.1–3.4 и Lipschitz-непрерывности $(s,\gamma) \mapsto r(s,\gamma)\gamma(s)$. Для $(s,\gamma)$ пусть $X^{s,\gamma}$ — решение

(i) Бесконечно-горизонтная BSDE

имеет единственное решение $(Y^{s,\gamma}, Z^{s,\gamma})$ в $S^2(s,\infty;\mathbb{R}) \times H^2(s,\infty;\mathbb{R}^m)$ с $\|Y^{s,\gamma}\| \leq L(1 + \|X^{s,\gamma}\|^{\rho})$. (ii) $\varphi(s,\gamma) := Y^{s,\gamma}(s)$ непрерывна и — viscosity solution PPDE

(iii) Если $\varphi \in \mathcal{C}_{\rho}^{1,2}([0,\infty) \times \Lambda)$ — классическое решение (3.10), то $(Y^{0,x}, Z^{0,x}) = (\varphi(s,X_s^{0,x}), \sigma^{\top}\partial_x \varphi(s,X_s^{0,x}))_{s \geq 0}$. Доказательство — приложение B.

4. Проектирование funding rates

Ключевые вопросы funding mechanism. Эмитент хочет поддерживать цену perpetual future в согласованности с target value $\varphi(s, X_s)$. Типичный пример: $\varphi(s,\gamma) = c_0 + \sum_{i=1}^m c_i \gamma_i(s)$ — индекс составных активов. Target value $\varphi(s,X_s)$ не обязательно торгуем. Вопрос: как спроектировать funding rate? Ответ для любого $p \geq 1$ и $\varphi \in \mathcal{C}_p^{1,2}([0,\infty) \times \Lambda)$.

4.1. Мгновенные spot funding rates

Анализируются мгновенные spot funding rates — идеальный механизм привязки цены к target.

Предположение 4.1. $H : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$: (i) $H(y_1,y_2) = 0$ при $y_1 = y_2$; (ii) Lipschitz по $y_2$ равномерно в $y_1$; (iii) $\exists\, \ell \gt 0$: $(y_2 - y_2')(H(y_1,y_2) - H(y_1,y_2')) \leq -\ell|y_2 - y_2'|^2$.

Теорема 4.1. При предположениях 3.1–3.2 и 4.1, для $p \geq 1$, $\varphi \in \mathcal{C}_p^{1,2}([0,\infty) \times \Lambda)$ определим funding rate functional

Тогда: (i) $(s,\gamma) \mapsto \Phi(s,\gamma,0)$ имеет полиномиальный рост; $\exists\, \rho \geq p$, $C_{\Phi} \gt 0$: $|\Phi(s,\gamma,0)| \leq C_{\Phi}(1 + \|\gamma\|_s^{\rho})$; (ii) если

то BSDE (3.6) имеет единственное решение $(Y,Z) \in S^2(0,\infty;\mathbb{R}) \times H^2(0,\infty;\mathbb{R}^m)$ с $\|Y\| \leq L(1 + \|X\|^{\rho})$, причём $Y(s) = \varphi(s,X_s)$, $Z(s) = (\partial_x \varphi \cdot \sigma)(s,X_s)$ для $s \geq 0$. Доказательство — приложение C.

$p$-admissible funding portfolio — $p$-admissible по определению 3.1. Единственность $F^{\Phi}$-funding portfolio среди всех $\rho$-admissible портфелей. При росте $\ell$ можно выбирать больший $\rho$ — класс допустимых портфелей расширяется. Эмитент контролирует $\ell$ и обеспечивает единственность цены и реплицирующего портфеля.

Следствие 4.2. При $\rho = p+2$ и $\ell$, удовлетворяющем (4.2) с $M_{p+2}$, те же выводы с $\|Y\| \leq L(1 + \|X\|^{p+2})$.

Funding rate (4.1) состоит из трёх компонент: $H(\varphi(s,\gamma), y)$, $-L\varphi(s,\gamma)$, $r(s,\gamma)y$, где

$H(\varphi, y)$ — центральная роль. При $Y = \varphi(s,X_s)$ из (i) предположения 4.1: $H(\varphi(s,X_s), Y(s)) = 0$ — транзакция не происходит на практике, но член необходим для единственности цены (BSDE) и экономически — закон спроса и предложения. При $r = 0$, $\varphi = \gamma_1$, $H(y_1,y_2) = \ell(y_1 - y_2)$: $\Phi = \ell(X_1 - Y)$. Если $Y \lt X_1$, long получает положительный поток; если $Y \gt X_1$ — платит. Параметр $\ell$ должен быть достаточно большим (4.2).

Контрпример. Двумерная uncorrelated Black–Scholes, $r = 1$, $\varphi = \gamma_1$, $H(y_1,y_2) = y_1 - y_2$ ($\ell = 1$). Условие (4.2) не выполнено; $\Phi \equiv 0$. BSDE

имеет множество решений: $(2X_1, 2\sigma_1 X_1, 0)$, $(X_1 + 2X_2, \sigma_1 X_1, 2\sigma_2 X_2)$, $(X_1^{-2/\sigma_1^2}, \ldots)$. Выбор достаточно большого $\ell$ критичен.

Model-free форма (4.1):

Здесь $r(s,X_s) = \frac{d}{ds}\ln G_s$, $(\sigma\sigma^{\top})_{i,j}(s,X_s) = \frac{d}{ds}\langle X_i, X_j \rangle_s$ (Angeris et al., 2023, Remark 4). Знание $r, \mu, \sigma$ не требуется.

Предположение 4.1 охватывает широкий класс: линейные $\ell(y_1 - y_2)$, кусочно-линейные, стохастические коэффициенты $(\ell(s))$, ограниченные снизу. Наиболее распространён — constant proportion funding rate $H(y_1,y_2) = \ell(y_1 - y_2)$. Впервые получены единственное ценообразование и реплицирующие портфели для широкого класса funding schemes.

4.2. Path-dependent funding rates

Constant proportion funding rate и path-dependent вариант. Краткосрочная ставка $r$ — константа.

Определение 4.1. Если $F(s) = \Phi(s, X_s, Y_s)$ для non-anticipative $\Phi : [0,\infty) \times \Lambda \times C([0,\infty);\mathbb{R}) \to \mathbb{R}$, то $\Phi$ — path-dependent funding rate functional, обозначение $F^{\Phi}$.

Для $p \geq 1$, $\ell \gt 0$, $\delta \gt 0$, $\varphi \in \mathcal{C}_p^{1,2}([0,\infty) \times \Lambda)$:

$\Phi$ — spot constant proportion rate; $\Phi^{\delta}$ — среднее за окно $\delta$ (на биржах $\delta = \frac{1}{1095} \approx 8$ ч). $\Phi^{\delta}$ — практическое приближение $\Phi$.

Path-dependent rate порождает delayed BSDE. Из (3.5) с $F(s) = \Phi^{\delta}(s,X_s,Y_s)$:

Прямое вычисление даёт

где

Член $\int_{u-\delta}^{u} Y(v)\,dv$ делает BSDE delayed; бесконечно-горизонтный случай ранее не изучался. Процессы $Y \in S^2(0,\infty;\mathbb{R})$ продлеваются на $[-\delta,0]$: $Y(s) = Y(0)$ для $s \in [-\delta,0]$.

Предположение 4.2. Для $\Phi$, $\Phi^{\delta}$ из (4.3)–(4.4), $\rho \geq p$, $|\Phi(s,\gamma,0)| \leq C_{\Phi}(1 + \|\gamma\|_s^{\rho})$. Пусть $\ell$, $0 \lt \delta \lt 1$:

(i) $\ell \gt 1 + \inf_{K\gt 0}(K + \frac{1}{2}(\frac{r}{\sqrt{2K}} + M_{\rho \vee 2} C_3)^2)^{\rho}$;

(ii) $\frac{1}{3|6(\ell-r)^2 - 2\ell + 2|}(e^{|6(\ell-r) - 2\ell + 2|\delta} - 1) \lt 1$; $\frac{1}{2}e^{\rho}((\ell-r)^2 + \frac{1}{2}|\ell-r|\ell + 2|\ell-r|)\delta \lt 1$.

Теорема 4.3. При предположениях 3.1–3.3 и 4.2:

(i) BSDE (3.6) с $\Phi$ из (4.3) имеет единственное решение $(Y,Z)$; $Y(s) = \varphi(s,X_s)$, $Z(s) = (\partial_x \varphi \cdot \sigma)(s,X_s)$.

(ii) BSDE (4.5) имеет единственное решение $(Y^{\delta}, Z^{\delta})$ с $\|Y^{\delta}\| \leq L(1 + \|X\|^{\rho})$. При $\delta \to 0$:

для всех $T \geq 0$. Если $|\Phi(s,\gamma,0) - \Phi(s',\gamma',0)| \leq C_5(1 + \|\gamma_s\|_{s \vee s'}^{\rho-1} + \|\gamma'_{s'}\|_{s \vee s'}^{\rho-1})(|s-s'| + \|\gamma_s - \gamma'_{s'}\|_{s \vee s'})$, то для констант $L_1,\ldots,L_5$:

Доказательство — приложение D; уточнённые границы $L_1,\ldots,L_5$ — в D.2.

5. Примеры применений

5.1. Perpetual power index futures

Рынок: денежный счёт с $r \geq 0$ и $m$ торгуемых активов — решение (3.1). Предположения 3.1, 3.3. Эмитент привязывает цену к power index: $\varphi(s,\gamma) = c_0 + \sum_{i=1}^m c_i \gamma_i(s)^{p_i}$ для $c_0, c_1,\ldots,c_m \in \mathbb{R}$, $p_1,\ldots,p_m \in \mathbb{N}$.

По теореме 4.1 funding rate functional:

где $\partial_{xx}^2 \varphi$ — диагональная матрица с $(i,i)$-элементом $c_i p_i(p_i-1)\gamma_i^{p_i-2}$. При $H$, удовлетворяющем 4.1 с $\ell \gt \inf_{K\gt 0}(K + \frac{1}{2}(\frac{r}{\sqrt{2K}} + M_{2 \vee \rho} C_3)^2)^{\rho}$, $\rho := \max_i p_i$, единственное решение:

Реплицирующий портфель: $\phi(s) = Z(s)\sigma^{-1}(s,X_s)$. Path-dependent $\Phi^{\delta}$ из (4.3)–(4.4) при предположении 4.2 даёт $Y^{\delta}$, $\phi^{\delta}$, близкие к $Y$, $\phi$ по (4.7).

Black–Scholes. $dX(s) = rX(s)\,ds + \sigma X(s)\,dB(s)$, $m = 1$, $r = 0.02$, $\sigma = 0.3$, $c_0 = 0$, $c_1 = 1$, $p_1 = 1$. (4.2) выполнено при $\ell \gt 0.26227$. Для $\Phi^{\delta}$: $\delta = \frac{1}{1095}$, $1.26227 \lt \ell \lt 15.75125$. Численно (4.7), (D.23):

Произведение степеней. $\varphi(s,\gamma) = \prod_{i=1}^m \gamma_i(s)^{p_i}$, $\rho := \sum_i p_i$. Для $m = 2$:

$\partial_{xx}^2 \varphi = \begin{pmatrix} p_1(p_1-1)\gamma_1^{p_1-2}\gamma_2^{p_2} & p_1 p_2 \gamma_1^{p_1-1}\gamma_2^{p_2-1} \\ p_1 p_2 \gamma_1^{p_1-1}\gamma_2^{p_2-1} & p_2(p_2-1)\gamma_1^{p_1}\gamma_2^{p_2-2} \end{pmatrix}$. Цена $Y = X_1^{p_1} X_2^{p_2}$; репликация $\phi = (p_1 X_1^{p_1-1} X_2^{p_2}, p_2 X_1^{p_1} X_2^{p_2-1})\sigma^{-1}$.

5.2. Perpetual foreign exchange futures

$m = 1$. $r_d$, $r_f$ — domestic/foreign short rates; $U(s) = U(0) + \int_0^s b(u,U_u)\,du + \int_0^s v(u,U_u)\,dW(u)$ — exchange rate. $X = (Ue^{r_f s})$ — wealth process с $\mu(s,\gamma) = r_f \gamma(s) + e^{r_f s}b(s, e^{-r_f(\cdot \wedge s)}\gamma_s)$, $\sigma(s,\gamma) = e^{r_f s} v(s, e^{-r_f(\cdot \wedge s)}\gamma_s)$. $\varphi(s,\gamma) = e^{-r_f s}\gamma(s)$, $U(s) = \varphi(s,X_s)$.

Funding rate: $\Phi(s,\gamma,y) = H(\varphi,y) - (r_d - r_f)\varphi(s,\gamma) + r_d y$. При $H$ с $\ell \gt \inf_{K\gt 0}(K + \frac{1}{2}(\frac{r_d}{\sqrt{2K}} + M_2 C_3)^2)^2$: цена $Y = U$, репликация $\phi(s) = e^{-r_f s}$. Path-dependent $\Phi^{\delta}$ даёт $Y^{\delta}$, $\phi^{\delta} \approx e^{-r_f s}$ по (4.7).

5.3. Geometric mean constant function market maker (CFMM)

По Angeris and Chitra (2020), Evans (2020), Angeris et al. (2023). Multi-dimensional Black–Scholes, $r \geq 0$, $dX(s) = D(X(s))\mu\,ds + D(X(s))\sigma\,dW(s)$, $\sigma$ обратима. Под $Q$: $dX(s) = D(X(s))r\mathbf{1}\,ds + D(X(s))\sigma\,dB(s)$.

Депозит \$1 в geometric mean CFMM на момент $s$:

При $X_1(0) = \cdots = X_m(0) = 1$: $\varphi(s,\gamma) = \prod_i \gamma_i(s)^{p_i}$. Funding rate:

при $\ell \gt \inf_{K\gt 0}(K + \frac{1}{2}(\frac{r}{\sqrt{2K}} + M_2 C_3)^2)^2$. Репликация: $\phi = (p_1 X_1^{p_1-1}\cdots X_m^{p_m}, \ldots, p_m X_1^{p_1}\cdots X_m^{p_m-1})$.

$\varphi \notin \mathcal{C}_p^{1,2}$ в начале координат (нет дифференцируемости / полиномиального роста). Обход: $Y(s) = e^{-\kappa s + \sum_i (r p_i - \frac{1}{2}p_i|\sigma_i|^2)s + p_i \sigma_i B_i(s)} = e^{-\kappa s}\hat{X}(s)$, где $\hat{X}(s) = e^{rs - \frac{1}{2}|\Sigma|^2 s + \Sigma B(s)}$, $\Sigma = \sum_i p_i \sigma_i$. $\hat{X}$ — wealth process self-financing портфеля $\hat{\pi}(s) = e^{\kappa s}(p_1 Y/X_1, \ldots, p_m Y/X_m)$. Определяем $\hat{\varphi}(s,\hat{\gamma}) = e^{-\kappa s}\hat{\gamma}(s) \in \mathcal{C}_1^{1,2}$; $\hat{\Phi}(s,\hat{\gamma},y) = H(\hat{\varphi},y) - (r-\kappa)\hat{\varphi} + ry$. Тогда $\Phi(s,X_s,Y(s)) = \hat{\Phi}(s,\hat{X}_s,Y(s))$ — те же BSDE и цены; $\hat{\phi}(s) = e^{-\kappa s}$ эквивалентно $\phi = \hat{\phi}\hat{\pi}$.

6. Заключение

Работа анализирует funding rate mechanism для perpetual futures на криптовалютных рынках. При надлежащем проектировании funding rates контракты остаются согласованными с target values. Построены реплицирующие портфели — robust стратегия хеджирования для эмитентов. Введены path-dependent funding rates для практики; исследованы расхождения с мгновенным spot rate.

Направления расширения: (i) параметр $\ell$ из 4.1 (iii) должен быть достаточно большим; условие (4.2) необходимо, но не оптимально — поиск более tight lower bounds; (ii) более общие path-dependent funding rates помимо constant proportion averaging.

Приложение A. Доказательство теоремы 3.2

Предложение A.1. (вариант Confortola et al., 2019, Lemma 2.1) При предположениях 3.1–3.2, $X$ — решение (3.1). Тогда $X \in S^p(0,\infty;\mathbb{R}^m)$ для любого $p \geq 1$, и существуют $L_6$ (зависит только от $p$), $L_7, L_8, L_9$ (от $C_1, C_r, C_3, p$):

для всех $T \in (0,\infty)$, $\delta \in (0,1)$, $s \in [0,T]$.

Доказательство предложения A.1. SDE (A.2) с той же $\sigma$ имеет решение $\tilde{X} \in S^p$ (Protter, 2005). Стоп-время $\tau_n = \inf\{s : |X(s)| \geq n \text{ или } |\tilde{X}(s)| \geq n\}$; $\hat{X} = X - \tilde{X}$ удовлетворяет интегральному уравнению на $[0, s \wedge \tau_n]$. BDG + Jensen дают $E[\sup_{0 \leq r \leq s}|\hat{X}(r \wedge \tau_n)|^2] \leq L(1+s)E[\int_0^s \sup_{0 \leq r \leq u}|\hat{X}(r \wedge \tau_n)|^2\,du]$. Grönwall: $\Psi(s) = 0$, откуда $X = \tilde{X}$.

Для (A.1) при $p \geq 2$: разложение $X(r)$, Minkowski + BDG, умножение на $e^{-K(T-s)}$, оценка интегралов через $(e^{-K(u-s)}E[\|X\|_u^p])^{1/p}$, Butler and Rogers (1971, Corollary 2), неравенство $T-s \leq \epsilon^{-1}e^{\epsilon(T-s)}$ — получаем (A.3) и первое неравенство. Второе — BDG + Jensen, $\delta^{p-1}\int |X|^p + \delta^{p/2}\int|\sigma|^p$. □

Доказательство теоремы 3.2. $L$ — generic constant от $C_1, C_r, C_3, C_4, \ell, \rho$.

Единственность. Два решения $(Y^1,Z^1)$, $(Y^2,Z^2)$; $\hat{Y} = Y^1 - Y^2$, $\hat{Z} = Z^1 - Z^2$, $\alpha(s) = \frac{f(s,X_s,Y^1) - f(s,X_s,Y^2)}{\hat{Y}(s)}\mathbf{1}_{\{|\hat{Y}|\gt 0\}} - \ell\mathbf{1}_{\{\hat{Y}=0\}} \leq -\ell$. Из (A.4): $E_s[\|X\|_T^{\rho}] \leq (L_6\|X\|_s^{\rho} + L_7)e^{L_8(T-s)}$ при $L_8 \lt \ell$. Тогда $| \hat{Y}(s)| \leq L e^{-(\ell - L_8)(T-s)}(\|X\|_s^{\rho} + 1)$; $T \to \infty$ даёт $\hat{Y} = 0$, $\hat{Z} = 0$.

Существование. Для каждого $n$ — решение $(Y^n, Z^n)$ на $[0,n]$ BSDE с $Y^n(s) = Z^n(s) = 0$ при $s \gt n$. Для $m \gt n$: $\tilde{Y} = Y^m - Y^n$, аналогично $\tilde{\alpha} \leq -\ell$; $| \tilde{Y}(s)| \leq L(1 + \|X\|_s^{\rho})(e^{-(\ell-L_8)(n-s)} - e^{-(\ell-L_8)(m-s)})$. Cauchy в $S^2(0,T;\mathbb{R})$; Itô даёт Cauchy для $(Z^n)$ в $H^2(0,T;\mathbb{R}^m)$. Предел $(Y,Z)$ — решение (3.6) (dominated convergence).

Оценка: $\alpha(s) = \frac{f(s,X_s,Y^n) - f(s,X_s,0)}{Y^n(s)}\mathbf{1}_{\{|Y^n|\gt 0\}} - \ell\mathbf{1}_{\{Y^n=0\}}$; $|Y^n(s)| \leq L(1 + \|X\|_s^{\rho})$ (A.5). □

Приложение B. Формула Feynman–Kac

Path-dependent PDE (PPDE). Для non-anticipative $r, \sigma, f$:

Определение B.1. $\varphi \in \mathcal{C}_p^{1,2}$: (i) классическое subsolution (supersolution), если левая часть (B.1) $\leq 0$ ($\geq 0$); (ii) классическое решение — и subsolution, и supersolution.

Для $s \geq 0$: $\Lambda^s = C([0,s];\mathbb{R}^m)$, $\Lambda_s^{s+1} = C([s,s+1];\mathbb{R}^m)$; $(\mathcal{F}_u^s)$ — фильтрация $(B(u)-B(s))\mathbf{1}_{u \geq s}$; $\mathcal{T}^{s+1,+}$ — $(\mathcal{F}_u^s)$-stopping times $\tau \gt s$.

Определение B.2 (viscosity). $\varphi \in \mathcal{C}_p$: subsolution (supersolution), если для всех $(s,\gamma)$ и $\psi \in \underline{\mathcal{A}}_{\varphi}(s,\gamma)$ ($\overline{\mathcal{A}}_{\varphi}$):

$\underline{\mathcal{A}}_{\varphi}(s,\gamma) = \{\psi \in \mathcal{C}_p^{1,2} \mid \exists\, \tau \in \mathcal{T}^{s+1,+}: 0 = \psi(s,\gamma) - \varphi(s,\gamma) = \min_{\tilde{\tau}} E[(\psi - \varphi)(\tau \wedge \tilde{\tau}, X^{s,\gamma})]\}$; $\overline{\mathcal{A}}_{\varphi}$ — с $\max$.

Теорема B.1. При непрерывных $r, \sigma, f$ и $\varphi \in \mathcal{C}_p^{1,2}$: классическое subsolution (supersolution) $\Leftrightarrow$ viscosity subsolution (supersolution).

Доказательство B.1. Viscosity subsolution $\Rightarrow$ классический: $\varphi \in \underline{\mathcal{A}}_{\varphi}$. Обратно: если не viscosity subsolution, $\exists\, (s,\gamma)$, $\psi \in \underline{\mathcal{A}}_{\varphi}$ с $-M := \partial_s \psi + \cdots + f(s,\gamma,\psi) \lt 0$. Стоп-время $\hat{\tau}$ — первый момент, когда drift $\gt -M/2$. Functional Itô (теорема C.1) для $Y^1 = \psi(v,X_v^{s,\gamma})$, $Y^2 = \varphi(v,X_v^{s,\gamma})$; на $[s,\hat{\tau}]$ drift $\leq -M/2$; $\hat{Y}(\hat{\tau}) \leq -\frac{M}{2}(\hat{\tau}-s) + \int \hat{Z}\,dB$; $E[\hat{Y}(\hat{\tau})] \lt 0$ противоречит $\psi \in \underline{\mathcal{A}}_{\varphi}$. □

Доказательство теоремы 3.3. (i) Аналогично теореме 3.2 для BSDE (3.9) на $[s,n]$; оценки (B.4); Cauchy; предел $(Y^{s,\gamma}, Z^{s,\gamma})$.

(ii) $\varphi_n(s,\gamma) := Y^{n,s,\gamma}(s)$; Cordoni et al. (2020): $\varphi_n$ непрерывна, $Y^{n,0,x}(v) = \varphi_n(v,X_v^{0,x})$; локально равномерная сходимость $\varphi_n \to \varphi$; $\varphi(v,X_v^{0,x}) = Y^{0,x}(v)$. Viscosity subsolution: предположим обратное; $\exists\, \psi \in \underline{\mathcal{A}}_{\varphi}$ с $-M \lt 0$ (B.5); стоп-время $\hat{\tau}$; Itô для $\hat{Y} = \psi - Y^{s,\gamma}$; Lipschitz $f$ с константой $C_f$; $E[\hat{Y}(\hat{\tau})] \lt 0$ — противоречие.

(iii) Классическое решение + теорема C.1: $\varphi(v,X_v^{0,x})$ удовлетворяет (3.9); $| \varphi| \leq L(1 + \|X^{0,x}\|_v^{\rho})$; единственность теоремы 3.2. □

Приложение C. Доказательства результатов раздела 4.1

Теорема C.1 (Functional Itô). (Bally et al., 2016) Для непрерывного semimartingale $X$ и $F \in \mathcal{C}_p^{1,2}([0,\infty) \times \Lambda)$:

Доказательство теоремы 4.1. (i) $H(y_1,0)$ имеет линейный рост: $H(y_1,y_2) = g(y_1,y_2)(y_1-y_2)$; Lipschitz по $y_2$ даёт $|y_1 g(y_1,0)| \leq C_H |y_1|$, $|g(y_1,0)| \leq C_H$. Члены в $\Phi(s,\gamma,0)$ имеют рост $p, p, p+2, p+1$ — итого $\rho \geq p$.

(ii) Единственное решение $(Y,Z)$ теоремы 3.2. $(Y',Z') = (\varphi(s,X_s), (\partial_x \varphi \cdot \sigma)(s,X_s))$ — решение: functional Itô даёт (3.6) с $\Phi(u,X_u,Y'(u))$; $|Y'| \leq L(1+\|X\|^p)$, $p \leq \rho$; единственность: $Y = Y'$, $Z = Z'$.

Доказательство следствия 4.2. $|\Phi(s,\gamma,0)| \leq C_{\Phi}(1 + \|\gamma\|_s^{p+2})$ — рост $p+2$; применяем 4.1 с $\rho = p+2$. □

Приложение D. Доказательства результатов раздела 4.2

D.1. Конечно-горизонтные delayed BSDE

Теорема D.1. При предположениях 3.1, 3.3, 4.2, для $T \gt 0$, $\xi \in L^2(\mathcal{F}_T;\mathbb{R})$ существует единственное решение $(Y,Z) \in S^2(0,T;\mathbb{R}) \times H^2(0,T;\mathbb{R}^m)$ BSDE

При $\xi \equiv 0$: $|Y(s)| \leq L(1 + \|X\|_s^{\rho})$.

Доказательство. Оператор $\Gamma(U) = Y$, где

Well-definedness: внутренний интеграл $\in H^2$ (Zhang, 2017). Норма $\|Y\| := (E[|Y(0)|^2 + \int_0^T e^{Mu}|Y(u)|^2\,du])^{1/2}$, $M := 2 - 2\ell + 6(\ell-r)^2$. Itô для $e^{Ms}|\hat{Y}|^2$: $3ab \leq 3a^2 + b^2/3$; оценка $\int_0^T e^{Mu}\int_{u-\delta}^{u}|\hat{U}|^2\,dv\,du \leq \frac{e^{M\delta}-1}{3M\delta}(E[|\hat{U}(0)|^2] + 2E[\int e^{Mu}|\hat{U}|^2])$. При предположении 4.2 (ii) — contraction; Banach $\Rightarrow$ fixed point $Y \in S^2 \times H^2$.

Picard $(Y^k, Z^k)$, $Y^0 = 0$: рекурсия (D.2); оценки (D.3)–(D.4) через (A.3); последовательности $(a_k), (b_k)$ из (D.5)–(D.7) сходятся (induction + $L_6((\ell-r)^2 + \frac{1}{2}|\ell-r|\ell + 2|\ell-r|)\delta \lt 1$); $|Y^k(s)| \leq a_k\|X\|_s^{\rho} + b_k$ независимо от $k$; $Y^k \to Y$. □

Следствие D.2. Picard $(Y^k)$ для (D.1) сходится $Q \otimes ds$-a.s. к единственному $Y$.

D.2. Доказательство теоремы 4.3

Часть (i). Непосредственно из теоремы 4.1.

Часть (ii) — единственность. Два решения $(Y^i, Z^i)$, $|Y^i| \leq L(1+\|X\|^{\rho})$. Picard для $\hat{Y} = Y^1 - Y^2$; последовательности (D.9) с фактором $e^{-(\ell-L_8)(T-s)}$; $L_8 \lt \ell - 1$; $T \to \infty$: $\hat{Y} = 0$.

Существование. Для каждого $n$: решение $(Y^{n,\delta}, Z^{n,\delta})$ на $[0,n]$; продление нулём; Cauchy в $S^2(0,T)$, $H^2(0,T)$ по оценкам с $e^{-(\ell-L_8)(n-s)}$; предел — решение (4.5).

Сходимость $\delta \to 0$. Сравнение $Y^{\delta}$ и $Y$: finite-horizon BSDE (D.10) на $[0,n]$; разность $\hat{Y} = Y^{n,\delta} - Y^n$; Picard (D.14); при $\delta \to 0$ integrals over $[u-\delta,u]$ $\to$ pointwise values; (D.12)–(D.13): $E[\|Y^{\delta} - Y\|_T^2] \to 0$. Itô для $|Z^{\delta} - Z|^2$ (D.18)–(D.19): второе равенство в (4.6).

Неравенства (4.7). Picard для $\hat{Y}^k = Y^{n,\delta} - Y^n$; при $\rho \gt 1$: $a_1 = a(\rho)\sqrt{\delta}$, $b_1 = b(\rho)\sqrt{\delta}$ из оценок Lipschitz $\Phi$ и (D.8); рекурсия (D.20); $\lim_k a_k = L_2\sqrt{\delta}$, $\lim_k b_k = L_1\sqrt{\delta}$; $n \to \infty$: первая строка (4.7). (D.18), (D.21) $\Rightarrow$ (D.23) для $L_3(T), L_4(T), L_5(T)$ — уточнённые границы второго неравенства. Случай $\rho = 1$ — аналогично с $a(1), b(1)$. □

Численные константы (раздел 5.1). Black–Scholes: $r = 0.02$, $\sigma = 0.3$, $\delta = 1/1095$, $\ell \in (1.26227, 15.75125)$. Из (D.23): $\|Y^{\delta} - Y\|_T \leq (3.68432\|X\|_T + 0.84216)\sqrt{\delta}$; оценка для $E[\int |Z^{\delta} - Z|^2]$ как в разделе 5.1.

Литература

• Ackerer, D., Hugonnier, J., and Jermann, U. (2024). Perpetual futures pricing. Technical report, National Bureau of Economic Research.
• Alexander, C., Choi, J., Park, H., and Sohn, S. (2020). BitMEX bitcoin derivatives: Price discovery, informational efficiency, and hedging effectiveness. Journal of Futures Markets, 40(1):23–43.
• Angeris, G. and Chitra, T. (2020). Improved price oracles: Constant function market makers. In Proceedings of the 2nd ACM Conference on Advances in Financial Technologies, pages 80–91.
• Angeris, G., Chitra, T., Evans, A., and Lorig, M. (2023). A primer on perpetuals. SIAM Journal on Financial Mathematics, 14(1):SC17–SC30.
• Bally, V., Caramellino, L., Cont, R., Utzet, F., and Vives, J. (2016). Stochastic integration by parts and functional Itô calculus. Springer.
• Butler, G. and Rogers, T. (1971). A generalization of a lemma of Bihari and applications to pointwise estimates for integral equations. J. Math. Anal. Appl, 33(1):77–81.
• Christin, N., Routledge, B., Soska, K., and Zetlin-Jones, A. (2022). The crypto carry trade. Preprint at http://gerbil.life/papers/CarryTrade.v1, 2.
• Confortola, F., Cosso, A., and Fuhrman, M. (2019). Backward SDEs and infinite horizon stochastic optimal control. ESAIM: Control, Optimisation and Calculus of Variations, 25:31.
• Cont, R. and Fournié, D.-A. (2013). Functional Itô calculus and stochastic integral representation of martingales. The Annals of Probability, pages 109–133.
• Corbet, S., Hou, Y. G., Hu, Y., and Oxley, L. (2021). Volatility spillovers during market supply shocks: The case of negative oil prices. Resources Policy, 74:102357.
• Cordoni, F., Di Persio, L., Maticiuc, L., and Zălinescu, A. (2020). A stochastic approach to path-dependent nonlinear Kolmogorov equations via BSDEs with time-delayed generators and applications to finance. Stochastic Processes and their Applications, 130(3):1669–1712.
• Dai, M., Li, L., and Yang, C. (2025). Arbitrage in perpetual contracts. Available at SSRN 5262988.
• Delbaen, F. and Schachermayer, W. (1994). A general version of the fundamental theorem of asset pricing. Mathematische annalen, 300(1):463–520.
• Deuschel, J.-D. and Stroock, D. W. (1989). Large Deviations, volume 137. Academic Press.
• Dupire, B. (2019). Functional Itô calculus. Quantitative Finance, 19(5):721–729.
• Ekren, I., Keller, C., Touzi, N., and Zhang, J. (2014). On viscosity solutions of path dependent PDEs. The Annals of Probability, 42(1):204–236.
• Evans, A. (2020). Liquidity provider returns in geometric mean markets. arXiv preprint arXiv:2006.08806.
• He, S., Manela, A., Ross, O., and von Wachter, V. (2022). Fundamentals of perpetual futures. arXiv:2212.06888.
• Protter, P. E. (2005). Stochastic integration and differential equations, volume 21 of Stochastic Modelling and Applied Probability. Springer-Verlag, Berlin, second edition.
• Ruan, Q. and Streltsov, A. (2024). Perpetual futures contracts and cryptocurrency market quality. SSRN:4218907.
• Viens, F. and Zhang, J. (2019). A martingale approach for fractional Brownian motions and related path dependent PDEs. The Annals of Applied Probability, 29(6):3489–3540.
• Wang, S. and Zhang, T. (2025). Spot-futures manipulations in cryptocurrency markets. SSRN:5125326.
• Zhang, J. (2017). Backward Stochastic Differential Equations: From Linear to Fully Nonlinear Theory, volume 86. Springer.

Оригинал статьи: Kim & Park, «Designing funding rates for perpetual futures in cryptocurrency markets», arXiv:2506.08573 · лицензия arXiv nonexclusive-distrib 1.0