Интерпретируемое машинное обучение для высокочастотного исполнения

9/10

Аннотация

Тактика размещения заявок играет ключевую роль в высокочастотных торговых алгоритмах, и её устройство опирается на понимание динамики книги заявок. Используя качественные высокочастотные данные и набор микроструктурных признаков, мы демонстрируем сильную зависимость функции вероятности исполнения (fill probability) от состояния рынка. Мы обучаем нейронную сеть восстанавливать эту функцию на фиксированном горизонте. Поскольку цель — высокочастотный контур исполнения, архитектура намеренно простая. К функции потерь применено взвешивание, чтобы модель училась на цензурированных данных. Сравнивая численные результаты на централизованных криптобиржах (CEX) и на фондовых рынках, мы разбираем различия важности признаков между small-tick криптопарами и акциями Euronext. Практическое применение показано на задаче исполнения с фиксированным горизонтом: характеризуются и решение «выставить лимитку или исполнить немедленно», и оптимальное расстояние размещения. Мы обсуждаем важность точной оценки clean-up cost — издержки при неисполнении — и показываем, что она хорошо приближается гладкой функцией рыночных признаков. Наконец, результативность оценивается бэктестом, который избегает вставки гипотетических заявок и позволяет тестировать алгоритм размещения заявками, реалистично влияющими на процесс формирования цены.

Ключевые слова: оптимальное исполнение; вероятность исполнения; анализ выживаемости; книга лимитных заявок; высокая частота.

1. Введение

Оценка вероятности исполнения при предоставлении ликвидности необходима и для маркетмейкинга, и для оптимального исполнения. Недавние многообещающие методы опираются на сложные архитектуры глубокого обучения, применяемые к сырым или синтетическим данным, когда наблюдения отсутствуют или цензурированы. Однако использование сложных признаков и простых нейронных архитектур одновременно быстрее и интерпретируемее.

На рынках с непрерывным двойным аукционом можно добавлять ликвидность, выставляя лимитную заявку — с риском неисполнения, если рыночная цена не достигнет лимитной, — либо забирать ликвидность рыночной (marketable) заявкой, что дороже из-за пересечения спреда. В зависимости от цели и функции полезности агента алгоритм может предпочитать один тип заявки другому и подстраивать цену лимитки по заранее заданным правилам. Например, стратегия маркетмейкинга управляет риском инвентаря и избегает неблагоприятного отбора, регулируя расстояния котирования вокруг справедливой цены. Алгоритм исполнения ищет дисконтированную цену исполнения на одной стороне книги, стремясь к целевому объёму за заданный горизонт, который может быть произвольно мал — от миллисекунд до секунд. Хотя эти стратегии различны по природе, они разделяют центральный источник неопределённости — случайность исполнения.

В конечном счёте выбор между лимитной и рыночной заявкой требует знания вероятности исполнения лимитки. Она зависит от рыночных переменных: bid-ask спреда, волатильности, режима потока заявок и т.д. Сам поток заявок крайне чувствителен ко многим рыночным переменным; их можно разбить на два класса: snapshot-переменные, составляющие марковскую часть модели (например, спред), и дифференциальные переменные, составляющие немарковскую часть (изменение проторгованного объёма за период или реализованная волатильность). Модель fill probability должна черпать предсказательную силу из обоих классов, чтобы уловить главные объясняющие признаки динамики потока заявок.

При размещении лимитки в книге риск неисполнения в сочетании с волатильностью цены может породить дополнительные издержки — clean-up cost, — если целевой объём не набран к концу горизонта. Если целевой объём должен быть исполнен любой ценой, рыночная заявка в конце периода потенциально пройдёт по худшей цене, чем если бы её отправили в начале, из-за неблагоприятного движения цены. Оценка такого движения в случае неисполнения принципиальна: она задаёт границу решения тактики размещения, а её чувствительность к рыночным переменным приводит к сложному взаимодействию с функцией fill probability в процессе принятия решений. Интуитивно и fill probability, и clean-up cost растут с реализованной волатильностью, вынуждая агента искать компромисс между рыночным риском и вероятностью исполнения. Поэтому, чтобы выбрать между лимитной и рыночной заявкой, нужно корректно оценить и вероятность исполнения, и clean-up cost.

1.1. Обзор литературы

Оценка функции fill probability обычно выполняется двумя классами методов. Первый охватывает инструменты анализа выживаемости и применяется к финансовым данным в Cho, Nelling (2000) и Lo et al. (2002), где проводится эмпирический анализ роли ключевых рыночных переменных. Второй класс включает вставку гипотетических лимитных заявок и вычисление их времени первого прохождения (first passage time) — либо по сделкам, либо по пересечению опорной цены.

Распределения времён первого прохождения для негауссовой динамики широко используются в литературе; их эмпирические скейлинговые свойства тщательно изучены в Perelló et al. (2011). Хвостовые показатели first passage time, а также эмпирических time-to-fill и time-to-cancel анализируются в Eisler et al. (2012); авторы предполагают, что более толстые хвосты first passage time объясняются отменами. Они также предлагают простую модель, улавливающую эти стилизованные факты. Зависящая от состояния модель fill probability предложена в Maglaras et al. (2022): рекуррентная сеть вычисляет вероятность исполнения синтетических лимиток как функцию рыночных признаков. В более поздней работе Arroyo et al. (2024) авторы строят глубокую нейросетевую структуру для оценки полной функции выживания. В качестве функции потерь используется правоцензурированное правдоподобие, а для оценки качества — proper scoring rules. Хотя модель применяется к рыночным данным, единственные интерпретируемые признаки — спред, волатильность и дисбаланс лучших очередей. Анализ важности признаков приводится, но малое число предсказаний для Shapley-значений и использование сырых объёмов и цен как входов снижают интерпретируемость результатов.

В Maglaras et al. (2022) авторы отмечают, что использование реальных лимиток для вычисления fill probability вносит смещение отбора, природа которого — неоднородность информации в потоке заявок. Поскольку лимитки выставляют и информированные, и неинформированные трейдеры с разными стратегиями и временными масштабами, анализ таких заявок нельзя использовать для fill probability неинформированного агента с конкретным горизонтом. Проблема в том, что на практике вставка лимитки воздействует на книгу и, следовательно, на сам ценовой процесс; см. Weber, Rosenow (2005); Hautsch, Huang (2012); Bacry et al. (2016); Said et al. (2017); Brogaard et al. (2019). Наконец, размер заявки влияет на глубину рынка и дисбалансы потока и тем самым на саму вероятность исполнения. Это тем более верно в HFT, и классический метод first passage time не улавливает эти факты: главная гипотеза — отсутствие воздействия выставленных лимиток. Следуя результатам Lo et al. (2002) и приведённым рассуждениям, мы предпочитаем fill probability, скорректированную на рыночное воздействие, т.е. вероятности по реальному потоку заявок — снятию смещения отбора.

Оптимальные тактики размещения лимиток изучаются в разных каркасах (Wald, Horrigan, 2005; Avellaneda, Stoikov, 2008; Laruelle et al., 2013; Bayraktar, Ludkovski, 2014; Markov, 2014; Cartea, Jaimungal, 2015; Cont, Kukanov, 2017). Динамика LOB часто характеризуется интенсивностью исполнения, убывающей с расстоянием. Одномерное представление вероятности исполнения, безусловно, нереалистично и ограничительно, но всё же даёт достаточно информации для алгоритмов размещения. В Lehalle, Mounjid (2017) авторы строят каркас стохастического управления и изучают влияние риска неблагоприятного отбора и латентности на оптимальное размещение. Есть также работы по оценке позиции в очереди: Moallemi, Yuan (2016); Donnelly, Gan (2018).

В машинном обучении недавние работы предложили state-of-the-art архитектуры для анализа выживаемости в высокой размерности. Lee et al. (2018) предложили глубокую сеть для competing risks, Katzman et al. (2018) — более изощрённый подход, сочетающий классический Cox-каркас с глубоким обучением. Wang, Sun (2022) предложили модель на трансформерах для конкурирующих событий. Мы выбираем простую feed-forward архитектуру: цель — контуры исполнения, пригодные для HFT. Сложные архитектуры могут работать лучше, но обычно не приспособлены к живой высокочастотной среде, где лишняя микросекунда tick-to-trade латентности из-за вычислений модели может привести к существенным потерям.

1.2. Вклад и организация статьи

Вместо изощрённых моделей глубокого обучения, которые извлекают релевантные признаки, но могут быть трудны в обучении, наш подход сочетает рукотворные признаки и простые feed-forward сети, чтобы уловить ключевые зависимости и при этом легко встроиться в процесс принятия решений об исполнении. Это упрощает структуру модели, повышая прозрачность и воспроизводимость результатов.

Наши вклады таковы:

• Мы определяем три новых микроструктурных признака для прогноза fill probability: дисбаланс потока лимитных заявок, индекс агрессивности и приоритетный объём. Методами анализа выживаемости мы даём эмпирические свидетельства гладкой зависимости fill probability от этих переменных.
• Мы применяем метод взвешивания обратной вероятностью цензурирования (IPCW) к обучению нейронной сети, позволяя ей учиться на цензурированных данных.
• Приводится подробный анализ важности признаков, демонстрирующий ключевые различия между small-tick криптовалютами и акциями Euronext в предсказательной силе интерпретируемых переменных. Насколько нам известно, наша работа первой анализирует важность признаков fill probability в зависимости от размещения заявки: внутри спреда, в текущей лучшей очереди или глубже в книге.
• Мы ставим задачу оптимального исполнения, где агент выбирает между выставлением лимитки и отправкой рыночной заявки. Предлагаем новую методологию бэктеста, которая по построению учитывает рыночное воздействие вставки лимитки для более корректной оценки результативности.

Структура работы: Раздел 2 представляет высокочастотные наборы данных. Раздел 3 обсуждает два метода анализа выживаемости для вычисления fill probability на данных уровня 3 и даёт эмпирические свидетельства гладкой нелинейности fill probability как функции рыночных признаков. Собрав эти ингредиенты, в Разделе 4 мы представляем модель fill probability и, наконец, изучаем алгоритм размещения, включающий и функцию fill probability, и модель clean-up cost. Результаты об оптимальной политике размещения и специфичном для исполнения бэктесте приводятся перед обсуждением роли латентности и того, как её можно встроить в функцию издержек.

2. Данные

Работа использует два высокочастотных набора с гранулярностью Level-3 (полные детали заявок) — по цифровым активам и по зрелому фондовому рынку.

Данные по цифровым активам предоставлены проприетарными feed handler'ами SUN ZU Lab. Немногие централизованные биржи дают API «рынок по заявкам»; среди наиболее популярных — Coinbase, Bitstamp и Bitfinex. Мы выбрали Coinbase по двум причинам. Во-первых, размер тика остаётся очень малым на всём покрытом периоде, чего нет, например, у Bitstamp, где тики были укрупнены в 2022 году. Во-вторых, Coinbase даёт метку времени с микросекундной точностью и порядковый номер с каждым сообщением, что позволяет уверенно восстанавливать книгу. В нашем распоряжении месяц данных, с 2022-11-05 по 2022-12-05, по BTC-USD и ETH-USD. Несколько дней (2022-11-07–2022-11-10) исключены из анализа из-за экстремальной волатильности. Фондовые данные — из BEDOFIH (Base Européenne de Données Financières à Haute-fréquence), построенной European Financial Data Institute (EUROFIDAI). Эта база даёт детальные данные по заявкам всех акций, торгуемых на Euronext Paris в 2013–2017. Для анализа мы берём последний доступный год, январь–декабрь 2017, по двум ликвидным французским акциям: BNPP и LVMH. Это ленты Level 3 с полной последовательностью событий по заявкам. Можно проследить жизнь каждой заявки и определить, когда она была исполнена или отменена. Однако книгу нужно восстанавливать из индивидуальных событий. Таблица 1 суммирует описательную статистику. Спред явно различается между small-tick активами (BTC-USD, ETH-USD) и large-tick активами (BNPP, LVMH). Размер тика — 0.01 USD для BTC-USD и ETH-USD, что составляет примерно $10^{-6}$ BTC-USD и $10^{-5}$ ETH-USD. Для BNPP и LVMH размер тика зависит от цены по правилам MiFID. В Huang et al. (2016), Laruelle et al. (2019) различие проводится по среднему спреду 1.6 тика, но мы всё же классифицируем BNPP как large-tick актив относительно цифровых активов.

В Таблице 2 приведена описательная статистика времени жизни заявок в секундах. Большинство заявок криптопар имеют существенно меньшее время жизни, чем у акций. Расхождение медианы и среднего указывает на распределения с толстыми хвостами.

^a Bid-ask спред в числе тиков. ^b Размер сделки в USD для криптопар и в числе акций для фондовых. Метрики считаются по объёму записанных рыночных заявок и служат ориентиром среднего размера сделки (ATS). ^c Дневной объём в USD для криптопар и в числе акций для фондовых.

3. Непараметрический анализ рисков исполнения и отмены

Роль этого раздела — ввести три новых микроструктурных признака и показать, что они сильно влияют и на исполнения, и на отмены. Непараметрическая оценка проводится в каркасе конкурирующих рисков, который мы сначала кратко напомним.

3.1. Отмена как конкурирующий риск

Далее мы работаем в фильтрованном вероятностном пространстве $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{F} := (\mathcal{F}_t)_t, \mathbb{P})$. Состояние ожидающей лимитки моделируется $\mathbb{F}$-адаптированным процессом $(X_t)_{t\ge 0}$ со значениями в дискретном пространстве состояний $\mathcal{S}$ и таким, что $X_0 = 0$ п.н. Заявка жива в момент $t$, если $X_t = 0$, и мертва, если $X_t \ne 0$. Следовательно, время жизни полностью характеризуется случайной величиной $L := \inf\{t > 0 : X_t \ne 0\}$. Естественно, все состояния, кроме 0, поглощающие: каждое означает смерть заявки. Далее обсудим спецификацию $\mathcal{S}$ в парадигме непрерывной торговли. Также обозначим для $t \ge 0$ функции $F(t) := \mathbb{P}(L \le t)$ и $S(t) := 1 - F(t)$ — функцию распределения и функцию выживания (дополнительную функцию распределения) времени жизни $L$.

Лимитная заявка рассматривается как сущность «рождение–смерть», для которой смерть — удаление из книги — может быть вызвана либо полным исполнением, либо отменой. Случай частичного исполнения здесь не рассматривается и должен трактоваться иначе: это не поглощающее состояние, заявка остаётся живой в книге. Когда смерть заявки не наблюдается, говорим, что заявка правоцензурирована. Цензурирование присутствует и на финансовых рынках, и в данных крипто-CEX. Пример цензурированной заявки — она не отменена и не полностью исполнена к концу периода наблюдения. С точки зрения практика одна из главных причин цензурирования на CEX — разрывы feed handler'а, зависящие от площадки (это случается и на традиционных рынках, но в меньшей степени). При разрыве лента останавливается на случайное время от миллисекунд до секунд или даже часов при отключении API. В фондовом наборе цензурирование возникает на закрытии торгового дня и поэтому существенно меньше.

Как отмечено в Eisler et al. (2009), наличие отмен играет значительную роль в различии эмпирических распределений first passage time (FPT) и time to fill (TTF), приводя к более толстым хвостам FPT. Поскольку мы хотим анализировать и вероятность исполнения, и вероятность отмены, мы трактуем отмену как конкурирующий риск относительно исполнения, а не как цензурирование: после отмены будущее исполнение уже невозможно. Когда же происходит цензурирование, интересующее событие всё ещё может случиться позже, но остаётся ненаблюдаемым.

Исходя из этого, задаём пространство состояний $\mathcal{S} := \{0, 1, 2\}$ и определяем пространство состояний смерти $\mathcal{S}^\dagger := \{1, 2\}$, где 1 означает полностью исполненную заявку, а 2 — отменённую. Определяем cause-specific интенсивность для $t \ge 0$, $i \in \mathcal{S}^\dagger$:

Определяем кумулятивную функцию инцидентности (CIF) для $t \ge 0$, $i \in \mathcal{S}^\dagger$:

где последнее равенство получается элементарным исчислением из уравнения (1).

3.2. Непараметрическая оценка

Предположим, что мы наблюдаем либо время жизни, либо цензурирование $N$ лимитных заявок, подверженных взаимно исключающим причинам смерти: исполнению и отмене.

Предыдущие обозначения естественно индексируются: время жизни $n$-й заявки — $L_n$, её функция распределения — $F$; заявка может подвергаться независимому правому цензурированию, моделируемому случайной величиной $C_n$, независимой от $L_n$. Таким образом, фактически наблюдается реализация случайных величин $T_n := \min(L_n, C_n)$ и $\mathbf{1}_{\{L_n \le C_n\}}$, а $t_n$ обозначает наше наблюдение цензурированного времени жизни $T_n$. Пусть $(t_{(k)})_{1\le k\le K}$ — упорядоченная последовательность наблюдаемых и цензурированных времён жизни, такая что для $1 \le n \le N$ выполняется $t_n \in \{t_{(k)}, 1 \le k \le K\}$. В основополагающей работе Kaplan, Meier (1958) введён непараметрический оценщик функции выживания при цензурированных данных:

где $d_k$ — число смертей в момент $t_{(k)}$, а $n_k$ — число ожидающих заявок в момент $t_{(k)}^-$. Таким образом, после каждого $t_{(k)}$ число ожидающих заявок становится $n_{k+1} = n_k - (c_k + d_k)$, где $c_k$ — число правоцензурированных наблюдений в $t_{(k)}$.

Непараметрический оценщик CIF предложен в Aalen (1976) и Aalen, Johansen (1978). Оценщик Аалена–Йохансена определяется для $t > 0$ и $i \in \mathcal{S}^\dagger$ как

с соглашением $t_{(0)} := 0$ и обозначением $d_{ik}$ — числа смертей от причины $i$ в момент $t_{(k)}$. Естественно, кривая Каплана–Мейера $\hat S(\cdot)$ считается без различения причин смерти, так что для $1 \le k \le K$ выполняется $d_k = d_k^1 + d_k^2$. Оценщик Аалена–Йохансена строится суммированием произведения функции выживания Каплана–Мейера и приращений оценщика кумулятивной интенсивности Нельсона–Аалена; см. Aalen (1978), Nelson (1969, 1972).

Теория считающих процессов даёт математические выражения доверительных интервалов для оценщика Аалена–Йохансена. Используемая здесь процедура опирается на оценщик Грея (Pintilie, 2006) дисперсии CIF, записанный для $t > 0$, $i \in \mathcal{S}^\dagger$:

где $m_{ik} := (n_k - d_{ik})/n_k$.

Известно, что этот оценщик слегка завышает истинную дисперсию (Braun, Yuan, 2007). Как предлагают Kalbfleisch, Prentice (2011), мы используем log-log метод для доверительного интервала. Эта методология ограничивает границы интервала отрезком $[0, 1]$, тогда как линейные интервалы могут этот ограничитель нарушить. Пусть $\alpha$ — уровень доверия, а $z_x$ — $x$-квантиль стандартного нормального распределения. Если определить для $t > 0$ и $i \in \mathcal{S}^\dagger$

то $\alpha$-доверительный интервал $\mathrm{CI}_\alpha(\hat F_i(t))$ получается как

3.3. Эмпирический анализ

В следующих экспериментах мы анализируем и пассивный поток лимиток, т.е. заявки, не меняющие спред при выставлении, и агрессивный поток, т.е. заявки, формирующие новую лучшую очередь. Во втором случае частично исполненные рыночные лимитки не изучаются и оставляются для дальнейших исследований; их можно трактовать как особый случай агрессивных лимиток, поскольку они меняют обе лучшие цены. Мы отбрасываем заявки, выставленные слишком далеко в книге: порог 10% по обе стороны от mid-цены для криптовалют. Для акций фокусируемся на первых 10 уровнях книги.

Цель — исследовать влияние микроструктурных признаков на fill probability. Поэтому горизонт fill time должен быть мал, но достаточно велик, чтобы охарактеризовать риск исполнения. Слишком короткий горизонт привёл бы к крайне несбалансированным классам и высокой (относительной) ошибке оценки. Горизонт зависит от актива и особенно от частоты сделок. Мы наблюдали, что горизонт 1 секунда для криптопар и 10 секунд для акций даёт удовлетворительные и сопоставимые результаты. При этих горизонтах доля наблюдаемых исполнений среди выставленных лимиток составляет 2% для криптопар и 4% для акций.

Введём теперь три новые переменные и проанализируем чувствительность вероятностей исполнения и отмены к ним. Используем оценщик Аалена–Йохансена из уравнения (5); 95%-ные доверительные интервалы считаются по уравнению (8).

3.3.1. Дисбаланс потока лимитных заявок

Эта мера количественно описывает дисбаланс объёма лимиток, выставленных за последние $m$ событий сразу после вставки текущей заявки, и указывает, сосредоточены ли новые намерения купить/продать на одной стороне LOB. Она отличается от дисбаланса потока заявок в Su et al. (2021) и Cont et al. (2023): отмены и сделки в её вычисление не входят. При вставке заявки суммируем объёмы, добавленные на стороне bid $\Delta_m Q^{\mathrm{bid}}$ и на стороне ask $\Delta_m Q^{\mathrm{ask}}$ за последние $m$ событий (включая эту заявку). Заметим, что $\Delta_m Q^{\mathrm{bid}} \ge 0$, $\Delta_m Q^{\mathrm{ask}} \ge 0$ и $\Delta_m Q^{\mathrm{bid}} + \Delta_m Q^{\mathrm{ask}} > 0$, поскольку текущая выставленная лимитка учитывается. Определяем

Насколько нам известно, наша работа первой изучает влияние этой переменной на fill probability. Число событий $m$ равно 50. Размер окна выбран так, чтобы получить гладкие монотонные функции вероятности. Показатель легко расширить, придавая больший вес и релевантным уровням, и более свежим наблюдениям.

Результаты для BTC-USD и ETH-USD показаны на Рис. 1. Fill probability симметрично монотонна как функция дисбаланса потока лимиток — форма, похожая на ту, что получилась бы по дисбалансу лучших очередей. Для вероятности отмены наблюдается обратная зависимость: агенты сильно обусловливают политику отмен мерами изменения глубины рынка. Аналогичных эмпирических свидетельств для акций получить не удалось, что намекает: предсказательная сила этой меры может различаться по типам активов.

3.3.2. Индекс агрессивности

Для анализа fill probability агрессивного потока, т.е. заявок внутри спреда, определяем метрику степени агрессивности вновь вставленной заявки. Поэтому рассматриваем случай, когда спред до вставки (существенно) больше 1 тика, ограничивая область применения нового индикатора small-tick активами. Включаем заявки «at touch», т.е. в текущей лучшей очереди. Они пассивны, но для удобства могут классифицироваться как агрессивные с нулевым индексом агрессивности.

Пусть $\psi$ — bid-ask спред до вставки заявки, а $\delta$ — расстояние заявки относительно лучшей очереди: $\delta > 0$, если заявка вставлена внутрь книги, $\delta = 0$, если выставлена at touch, и $-\psi < \delta \le -1$, если она агрессивна. И $\psi$, и $\delta$ выражены в числе тиков. Определяем индекс агрессивности как

Индекс $\omega = 0$ соответствует заявке по текущей лучшей цене, а значение 1 — сужению спреда до минимума, т.е. 1 тика. Ту же меру можно выразить через новый спред после вставки $\psi^-$ ($\psi^- \le \psi$):

Выставляя заявку внутри спреда (и тем самым создавая новую лучшую очередь), трейдеры ожидают более высокую вероятность исполнения и минимизируют риск неисполнения, торгуя при этом по лучшей цене, чем при рыночной заявке, и экономя taker-комиссии. Для small-tick активов почти всегда можно котировать внутри спреда и создать новую лучшую очередь, поскольку спред обычно больше одного тика. Поэтому трейдеры, желающие исполниться быстро с минимальным проскальзыванием, могут выставлять агрессивные заявки, что приводит к существенному сужению спреда: многие из них конкурируют одновременно. Как отмечено в Eisler et al. (2009), агрессивные заявки мгновенно повышают интенсивность изъятия ликвидности и быстро становятся похожими на любую заявку, покоящуюся в лучшей очереди.

Результаты по вероятности исполнения — на Рис. 2, по вероятности отмены — на Рис. 3. Чем больше индекс агрессивности, тем выше fill probability, и чем агрессивнее заявка, тем менее вероятно, что её отменят. Это подчёркивает как минимум два явления. Во-первых, склонность нетерпеливых агентов оптимизировать ценовой приоритет, выставляя заявку лучше текущей лучшей котировки. При этом возникает обратная связь: несколько заявок последовательно вставляются друг перед другом, потеря ценового приоритета вынуждает агрессивных агентов отменять заявку и выставлять её снова, и так далее. Во-вторых, pinging-активность на криптоплощадках: заявки выставляются внутри спреда при $\delta = -1$ и вскоре отменяются.

3.3.3. Приоритетный объём

Приоритетный объём $V_{\mathrm{prior}}$ считается суммированием объёма заявок по лучшим ценам и заявок на том же уровне цены с лучшим временным приоритетом. Эта метрика дополняет расстояние размещения лимитки $\delta$. Чем меньше приоритетный объём, тем выше приоритет исполнения, когда рыночная заявка попадает в книгу.

Результаты показаны на Рис. 4 для акций и на Рис. 5 для криптопар. Для визуального ориентира добавлены функции, пропорциональные $V_{\mathrm{prior}}^{-\alpha}$ с $\alpha \in \{0.4, 1, 2\}$, которые выглядят прямыми на log-log графике. Примечательно, что функции fill probability двух акций очень похожи, как и функции криптопар. Для обоих классов активов вероятность медленно убывает с объёмом, но для валидации конкретной параметрической формы нужны дополнительные исследования. Существенное различие между классами активов — в механизмах исполнения относительно ранее стоящей ликвидности. Small-tick книги разрежены: в них много пробелов ликвидности, т.е. многие цены не котируются, тогда как уровни large-tick активов обычно котируются вплоть до некоторой глубины. Поэтому расстояние — разумный прокси ценового приоритета в large-tick книге, но может вводить в заблуждение в small-tick книге: большое расстояние может сочетаться с малым приоритетным объёмом.

4. Модель fill probability для тактического размещения заявок

Цель — обучить простую искусственную нейронную сеть на хорошо выбранных признаках, используя только сырые данные. Это позволяет применять explainable AI для интерпретации влияния каждого признака. Затем применяем модель к оптимальному размещению и предлагаем методологию бэктеста для оценки результативности такого типа стратегий.

4.1. Замечание о данных для обучения моделей fill probability

Цель — оценить по вектору признаков $Z$ вероятность исполнения на фиксированном горизонте $T$: 1 секунда для криптопар и 10 секунд для акций. Главное предположение — заявка не отменяется в пределах горизонта $T$. Тем не менее, вместо простого отбрасывания лимиток, отменённых в пределах горизонта, мы оставляем их для процедуры взвешивания потерь, описанной ниже. Наша процедура отличается от Maglaras et al. (2022): мы не генерируем синтетические заявки, а обучаем модель на историческом потоке заявок. Несмотря на подверженность смещению отбора, выгода этого подхода тройная.

Во-первых, как указано в Lo et al. (2002), fill probability гипотетических лимиток не даёт точных оценок фактической вероятности исполнения. Для рыночных заявок это вполне ясно; выставление лимитки также вызывает реакцию рынка и ценовое воздействие (см., напр., Eisler et al. (2012) для согласованного анализа импакта). Метод first passage time заведомо завысил бы истинную fill probability. Ещё хуже при выставлении заявки вблизи mid-цены: это меняет дисбаланс ликвидности — ключевой признак в прогнозе знака следующей сделки. Если считать fill probability по «бесконечно малым» заявкам, использование такой модели с заявками, способными инвертировать дисбаланс лучших очередей, даст смещённые результаты. Поэтому крайне важно учитывать этот стилизованный факт при построении модели. Интуитивный способ — обучать модель на наборе реальных лимиток. На практике трейдер мог бы использовать собственную торговую историю, чтобы учесть тактику отмен. Во-вторых, и это самое важное, реальный поток заявок позволяет построить модель для агрессивных лимиток — задачу, невыполнимую методом first passage time. Наконец, сырой размер выставленной заявки становится ключевым признаком модели, поскольку очевидно играет существенную роль в высокочастотной постановке, и модель может выучить тонкости его роли в реакции рынка.

4.2. Обучение модели и важность признаков

4.2.1. Конвейер обучения

Формулируем оценку fill probability как задачу бинарной классификации с подходящей процедурой взвешивания потерь для учёта цензурированных данных. Для набора с матричным представлением $Z := (z_{ij})_{1\le i\le N,\ 1\le j\le d}$ из $N$ наблюдений (строк) и $d$ признаков (столбцов) обозначим через $y := (y_i)_{1\le i\le N}$ вектор меток, где $y_i = 0$ означает, что $i$-я заявка не исполнена за горизонт $T$, а $y_i = 1$ — что исполнена. Поскольку интересующий горизонт мал, мы отбросили лимитки, выставленные слишком далеко в книге, чтобы убрать шумные наблюдения. Порог глубины рынка зафиксирован на 20 базисных пунктах mid-цены для цифровых активов и 5 ценовых уровнях для акций.

В Разделе 3 мы показали, что функция fill probability имеет гладкие нелинейные зависимости от трёх новых микроструктурных признаков, что делает задачу подходящей для обучения нейронных сетей. Используем feed-forward сеть с сигмоидной активацией на выходном слое. Мы тестировали несколько архитектур — все давали очень похожие результаты. Для приводимых здесь результатов использовали 3 слоя по 32 нейрона с ReLU и dropout 25% на каждом слое для улучшения обобщения. К набору признаков из Раздела 3 добавляем другие интерпретируемые переменные:

• расстояние заявки до лучшей очереди;
• дисбаланс лучших очередей: если $q^b$ — размер лучшей bid-очереди, а $q^a$ — лучшей ask-очереди, то дисбаланс BBO равен $(q^b - q^a)/(q^b + q^a)$;
• размер заявки;
• bid-ask спред;
• знаковый поток лимиток $\Delta_m Q^b - \Delta_m Q^a$ в обозначениях Раздела 3;
• знаковый поток заявок и дисбаланс потока заявок с учётом и добавления ликвидности (вставка лимитки), и изъятия (отмена ожидающей заявки или сделка), по последним 50 событиям;
• знаковый проторгованный объём и дисбаланс проторгованного объёма по последним 50 сделкам. Принимаем точку зрения забирающего ликвидность: если $V_{\mathrm{bid}}$ и $V_{\mathrm{ask}}$ — проторгованные объёмы на сторонах bid и ask за последние 50 сделок, то знаковый проторгованный объём есть $V_{\mathrm{ask}} - V_{\mathrm{bid}}$, а дисбаланс — $(V_{\mathrm{ask}} - V_{\mathrm{bid}})/(V_{\mathrm{ask}} + V_{\mathrm{bid}})$;
• время с последней сделки и медианная длительность последних 50 сделок, которые можно охарактеризовать интенсивностью некоторого самовозбуждающегося точечного процесса;
• волатильность по высокочастотному оценщику на основе модели зон неопределённости Robert, Rosenbaum (2011), считаемая по ценам сделок в скользящем окне из 50 сделок.

Переменные масштабируем классическим преобразованием Бокса–Кокса с последующим z-score. Гиперпараметр преобразования Бокса–Кокса выбирается так, чтобы статистика теста Колмогорова–Смирнова против стандартного нормального была минимальна.

Существенное присутствие правого цензурирования в наборе приводит нас к методологии взвешивания потерь. Простое отбрасывание заявок, отменённых до горизонта $T$, привело бы к существенному завышению функции fill probability. Мы используем метод «взвешивания обратной вероятностью цензурирования» (IPCW). Это хорошо известная техника (Mark, Robins, 1993), успешно применявшаяся во многих прикладных задачах; см. Vock et al. (2016) и Gonzalez Ginestet et al. (2021) для деталей метода и сравнительного анализа. В Satten, Datta (2001) показано, что IPC-взвешенная версия оценщика функции выживания без цензурирования эквивалентна оценщику Каплана–Мейера, что обосновывает построение методологии. Насколько нам известно, наша работа первой применяет IPCW к обучению модели fill probability.

Обозначим через $w_i$ вес, связанный с наблюдением $y_i$, $C_i$ — время цензурирования (отмена или иные причины) и $E_i$ — время исполнения. IPC-веса определяются как

Высокочастотная активность происходит в основном вблизи mid-цены, поэтому вводим зависимость весов от расстояния размещения лимиток. Такая модификация увеличит вес заявок, выставленных вблизи лучших цен, и ещё сильнее — заявок, которые остаются в книге до горизонта $T$. Для заявок внутри спреда предлагаем обусловливать на индексе агрессивности из уравнения (11), чтобы учесть высокую долю отмен менее агрессивных заявок. Функция выживания цензурирования считается оценщиком Каплана–Мейера из уравнения (4), но в этом специфическом случае отмена и правое цензурирование трактуются как смерть, а исполнение — как правое цензурирование.

Процедура IPCW деформирует fill probability аналогично функции Каплана–Мейера, придавая дополнительные веса заявкам, не исполненным за горизонт или выставленным в сильно цензурированных конфигурациях.

Фокусируемся на стороне bid для BTC-USD и BNPP. Криптомодель обучаем на 5 днях — с 2022-11-11 по 2022-11-15 — и валидируем на 2022-11-16. Тот же тест проведён для других пар: все дали похожие результаты, что подчёркивает универсальность предсказательной силы предлагаемых признаков. Для акций модель обучаем на 8 месяцах — с 1 января 2017 по 31 августа 2017 — и валидируем на 1.5 месяцах — с 1 сентября по 15 октября 2017. Гораздо большая календарная длительность компенсирует гораздо более низкую торговую активность акций.

4.2.2. Важность признаков

Важность признаков анализируем значениями Shapley, посчитанными по вневыборочным наблюдениям с помощью библиотеки SHAP (Lundberg, Lee, 2017). Анализ разделён на три части и показывает, как предсказательная сила признаков меняется от типа заявки к типу: для агрессивных, at-touch и пассивных заявок. Диаграммы Shapley приведены на Рис. 6.

1. Пассивное выставление ($\delta > 0$). Расстояние и размер заявки входят в тройку важнейших признаков и для BTC-USD, и для BNPP. Интересно, что самый важный признак для small-tick актива — $V_{\mathrm{prior}}$. Наше понимание: одного расстояния недостаточно, чтобы корректно охарактеризовать приоритет в small-tick книгах из-за их разреженности. При равных значениях приоритетного объёма разные расстояния означают разный уровень разреженности книги. Если малый объём котируется при большом расстоянии $\delta$, другие участники рынка с высокой вероятностью выставят новые цены на меньших расстояниях, чем $\delta$, в пределах горизонта. Исходя из этого, мы считаем обе переменные неразделимыми при вычислении fill probability для small-tick активов. Приоритетный объём важен и для акции, но идёт после дисбаланса потока заявок и волатильности.
2. Выставление в текущую лучшую очередь ($\delta = 0$). При выставлении в текущую лучшую очередь bid-ask спред и размер заявки оказываются важнейшими признаками и для BTC-USD, и для BNPP. Интересно, что важность дисбаланса BBO меньше, чем важность дисбаланса потока заявок для BNPP, что показывает значение динамических признаков, позволяющих модели улавливать изменения потока.
3. Агрессивное выставление ($-\psi < \delta < 0$). Когда создаётся новая лучшая очередь, bid-ask спред и индекс агрессивности — важнейшие признаки для пары BTC-USD, тогда как для BNPP наиболее предсказательны размер заявки и медианная длительность сделки. Поскольку спред small-tick активов обычно больше одного тика, fill probability агрессивной заявки обусловлена силой сужения спреда, которое она вызывает. Кроме того, дисбаланс потока лимиток даёт важный вклад для криптопары, подчёркивая предсказательную силу этой меры дисбаланса.

5. Приложение: оптимальное размещение заявок

5.1. Подход через функцию издержек

Сосредотачиваемся на тактическом аспекте оптимальной торговли. Рассматриваем агента, стремящегося купить малый объём $q$ актива за фиксированный горизонт $T$ от миллисекунд до секунд. «Малый объём» означает, что транзакционный объём будет обработан одной заявкой — рыночной или лимитной. Мы показываем, что включение глубокого знания о вероятности исполнения может улучшить процесс принятия решений и тем самым результативность.

5.1.1. Каркас и обозначения

Работаем в каркасе оптимизации Implementation Shortfall: опорная цена алгоритма исполнения — начальная mid-цена $p_0$, а расписание исполнения должно минимизировать ожидаемую разницу между ценой исполнения (включая комиссии) и этой опорной ценой. Прежде чем детализировать процесс решения, введём полезные обозначения: обозначим через $(p_t^b)_t$, $(p_t^a)_t$, $(p_t)_t$, $(\psi_t)_t$ соответственно процессы лучшей bid-цены, лучшей ask-цены, mid-цены и bid-ask спреда. Размер тика в единицах котировки обозначается $\alpha$, и для $0 \le t \le T$ вариация лучшей цены $\bullet$ на $[0, t]$ есть $\Delta p_t^\bullet := p_t^\bullet - p_0^\bullet$ для $\bullet \in \{b, a\}$. Агент наблюдает вектор рыночного состояния $z \in \mathbb{R}^d$. Обозначим через $\varepsilon^-$ и $\varepsilon^+$ taker- и maker-комиссии соответственно, $\varepsilon^- > \varepsilon^+$, и определим комиссионные множители $f^- := 1 + \varepsilon^-$ и $f^+ := 1 + \varepsilon^+$. Заметим, что на CEX фиксированные комиссии убывают как функция проторгованного объёма, часто считаемого по 30-дневному скользящему окну.

Агент имеет доступ к книге лимитных заявок и в начальный момент 0 выбирает между двумя тактиками.

• Тактика немедленного исполнения. Агент пересекает спред, отправляя рыночную заявку, и получает немедленное исполнение по цене $p_0^a$. Издержки этой тактики детерминированы и обозначаются $\mathcal{M}$. Предполагаем, что $q$ достаточно мал, чтобы цена исполнения была лучшей ask-ценой $p_0^a$, т.е. нет мгновенного рыночного воздействия.
• Тактика «выставить и ждать» (PW). Агент выставляет лимитку на покупку по цене $p_0^b - \alpha\delta$ и ждёт исполнения до горизонта $T$. Параметр $\delta$ — расстояние до лучшей bid-цены в числе тиков. Время жизни этой заявки обозначается $L^{\delta,q}$ в соглашениях Раздела 3. Оно индексируется $\delta$ и $q$, поскольку связано с заявкой размера $q$, размещённой на расстоянии $\delta$ от лучшего bid. Обозначим через $F_T^{\delta,q,z} := \mathbb{P}(L^{\delta,q} \le T \mid Z = z)$ её fill probability в пределах горизонта $T$ условно на рыночном состоянии $z$. Функция издержек тактики «выставить и ждать» случайна и обозначается $\mathcal{W}(T, \delta, q)$.

Поскольку полное исполнение в случае PW не гарантировано, агент отправит рыночную заявку для немедленного исполнения в конце периода, если лимитка к тому моменту не исполнена, что повлечёт дополнительные транзакционные издержки при неблагоприятном движении цены. И fill probability, и clean-up cost растут с волатильностью: агенту нужно найти компромисс между определённостью исполнения и управлением clean-up cost, порождаемым рыночным риском.

Далее убираем множитель размера $q$ из функций издержек ради ясности; кроме того, $\mathbb{E}_z[\cdot]$ соответствует условному ожиданию $\mathbb{E}[\cdot \mid z]$. Ожидаемые издержки исполнения двух тактик записываются как

и

Случай частичного исполнения не учитывается: это маловероятное событие при малых заявках. Эмпирически мы проверили, что пренебрежимо малая доля заявок исполняется лишь частично за выбранный горизонт $T$.

Ожидаемое сокращение издержек, если агент выбирает тактику «выставить и ждать» вместо немедленного исполнения, обозначаемое $\mathcal{S}$, определяется как

Элементарным исчислением получаем

где

— ожидаемая вариация лучшей ask-цены за период, условно на неисполнении ожидающей заявки. Чтобы лучше понять роль всех переменных, мы разложили уравнение (16) на две части в зависимости от судьбы заявки:

• (a) если лимитка полностью исполнена, агент экономит спред между начальной лучшей ask-ценой нетто комиссий, по которой произошло бы немедленное изъятие ликвидности, и нетто-комиссий bid-ценой исполненной заявки;
• (b) в случае неисполнения агент несёт транзакционные издержки, которые могут быть больше, чем при немедленном исполнении в начале. Этот clean-up cost неизвестен в начале периода и характеризуется функцией $\mathcal{V}$.

Функция $\mathcal{V}$ демонстрирует существенную чувствительность ко многим переменным, в частности к реализованной волатильности. Это интуитивно: clean-up cost по сути отражает меры волатильности. Для дополнительной интуиции о поведении этой функции заметим, что мы ожидаем её как неубывающую функцию полного объёма, ожидающего по лучшим ценам, чем цена выставленной заявки. Действительно, если заявка выставлена в текущую лучшую очередь и не исполняется за период, это указывает, что рынок, возможно, двинулся в другую сторону, порождая дополнительные издержки. Эта чувствительность ещё сильнее с агрессивностью. Если заявка выставлена далеко от лучшей цены, неисполнение не обязательно указывает на неблагоприятное движение противоположной лучшей цены. Учитывая всё это, трактовать clean-up cost как константу в целевой функции минимизации было бы упрощением.

При подходящих условиях регулярности функцию $\mathcal{S}$ можно максимизировать по множеству допустимых расстояний $\mathcal{A}_{\psi_0} := \{\delta \in \mathbb{Z} : \delta > -\psi_0\}$, чтобы найти оптимальную стратегию размещения при фиксированных $T$ и $q$, что приводит к задаче оптимизации

Единственность максимума сама по себе вызов: мы имеем дело с сильно нелинейными зависимостями, выведенными нейронной сетью. Поэтому этот вопрос оставляем для будущих исследований.

5.1.2. Игрушечная модель

Прежде чем перейти к оценке $\mathcal{V}$, введём упрощённую версию модели размещения с экспоненциальной функцией fill probability, как в Avellaneda, Stoikov (2008), Laruelle et al. (2013). Ради ясности положим $f^- = f^+ = 1$ и рассмотрим модифицированное расстояние $\delta^a := \psi_0 + \delta$ заявки до лучшей ask-цены в момент 0, выраженное в тиках. Положим $\mathcal{V}$ константой и для всех $\delta^a \ge 1$

Ожидаемая функция сэкономленных издержек записывается:

При условии $k(1+\mathcal{V}) \le 1$ и дифференцировании по $\delta^a$ получаем следующее оптимальное расстояние размещения:

и связанный максимум функции сэкономленных издержек:

Уравнение (21) указывает, что в этом простом каркасе оптимальное расстояние должно линейно масштабироваться с ожидаемым неблагоприятным движением цены $\mathcal{V}$ и обратно пропорционально скорости затухания fill probability. Эта модель далее используется как бенчмарк для оценки результативности полного алгоритма исполнения.

5.1.3. Влияние комиссионной политики CEX на стратегию

При торговле на CEX агенты могут сталкиваться с очень разными комиссиями в зависимости от месячного оборота. Строим пример, иллюстрирующий сильную чувствительность стратегии к комиссионной политике.

Рассматриваем агента, выставляющего лимитку на покупку в книгу по текущей лучшей bid-цене $p_0^b = 19\,999.50$ USD при спреде 1.00 USD. Предположим, модель предсказывает clean-up cost $\mathcal{V} = 2.00$ USD (что соответствовало бы аннуализированной волатильности примерно 56%). Комиссионную политику Coinbase представляем в Таблице 3. На Рис. 7 показана карта решений алгоритма исполнения как функция уровня комиссий и вероятности исполнения. Ясно видно, что при фиксированной вероятности исполнения уровень комиссий сильно влияет на оптимальное решение.

5.1.4. Оценка ожидаемого неблагоприятного движения цены $\mathcal{V}$

Предлагаем простую методологию оценки функции clean-up cost $\mathcal{V}$. По данным уровня 3 отслеживаем динамику лучшей ask-цены после каждой вставки заявки и записываем её вариацию на окне $[0, T]$, когда заявка не исполнена. Убираем заявки, отменённые, исполненные или цензурированные до $T$: нас интересуют только события $\{L^{\delta,q} > T\}$. Так мы можем построить корзины признаков и посчитать среднее движение цены по корзине. Пример формы оценщика $\mathcal{V}$ относительно реализованной волатильности $\sigma$ представлен на Рис. 8. Наблюдается гладкая зависимость, указывающая, что функция $\mathcal{V}$ разделяет аналогичные свойства с функцией fill probability и может оцениваться нейронной сетью — снова с простой архитектурой. Эта мера тесно связана с волатильностью, что делает её гораздо более предсказуемой, чем сырые движения цены.

Обучаем нейронную сеть той же архитектуры, что и модель fill probability, но с линейной активацией на выходном слое. Используя обе обученные сети, функция сэкономленных издержек $\mathcal{S}$ наконец оценивается по уравнению (16). Дальнейший анализ важности каждой переменной в процессе принятия решений — в Приложении, Рис. 12. Помимо ключевых признаков, описанных для функции fill probability, дисбаланс потока лимиток оказывается играющим главную роль для крипто в оценке функции сэкономленных издержек в трёх рассматриваемых конфигурациях: пассивное выставление, выставление в текущую лучшую очередь и агрессивное выставление.

5.2. Бэктест маршрутизатора размещения заявок

Исторические бэктесты часто вводят в заблуждение по многим практическим причинам, в частности из-за отсутствия рыночного воздействия, которое алгоритм безусловно вызвал бы на реальном рынке. Например, вставка новой лимитки в первую очередь неблагоприятно изменила бы дисбаланс лучших очередей и негативно повлияла бы на исход исполнения стратегии. Рассмотрение бесконечно малых размеров заявок не очень помогает: в продакшене так не будет. Это тем более верно для агрессивных заявок, поскольку они вызывают мгновенное сужение спреда и тем самым гораздо большую реакцию рынка. Отсутствие рыночного воздействия завышает истинную вневыборочную результативность, и для высокочастотных алгоритмов исполнения нужно предложить другое решение.

5.2.1. К бэктесту, скорректированному на импакт

Отбираем реальные лимитки, выставленные в книгу, и считаем их ожидаемые сэкономленные издержки $\mathcal{S}$. Каждая заявка должна быть либо исполнена за горизонт $T$, либо оставаться в книге как минимум время $T$. Характеристики отобранных заявок должны отражать характеристики заявок, выставляемых стратегией. Например, если тактика исполнения выставляет заявки размером от 100 до 1 000 USD и на расстояниях меньше 5 базисных пунктов, набор должен состоять из заявок с этими ограничениями. Для каждой лимитки в этом тестовом наборе знак $\mathcal{S}$ укажет, выставил бы алгоритм исполнения заявку, т.е. $\mathcal{S} > 0$, или предпочёл бы немедленное исполнение, т.е. $\mathcal{S} < 0$. Этот шаг приводит к гипотетическому решению $d = \mathbf{1}_{\{\mathcal{S} > 0\}}$. Затем к горизонту $T$ наблюдается один из трёх исходов.

1. Лимитка исполнена. Истинное оптимальное решение $\hat d = 1$.
2. Лимитка не исполнена за $T$, но вариация лучшей ask-цены отрицательна, что приводит к улучшенной цене исполнения. Истинное оптимальное решение $\hat d = 1$.
3. Лимитка не исполнена за $T$, и вариация лучшей ask-цены положительна, что приводит к дополнительным транзакционным издержкам. Истинное оптимальное решение $\hat d = 0$.

Эта процедура разметки позволяет вывести метрики бинарной классификации для оценки способности модели принимать правильное решение, сравнивая предсказанное $d$ с наблюдаемым $\hat d$. Важно отметить: так мы тестируем алгоритм принятия решений, но не эффективность оптимального расстояния вставки.

Процедура бэктеста иллюстрируется диаграммой на Рис. 9.

5.2.2. Постановка эксперимента

Для базы CEX обе модели — fill probability и clean-up cost — обучаются на 5 днях, валидируются на двух и тестируются на следующей неделе, что даёт 3 тестовых периода за месяц. Фондовая модель обучается на 8 месяцах, валидируется на 1.5 и тестируется на 2.5 месяцах.

Опишем три модели, которые будут тестироваться и сравниваться ниже. Выбранная комиссионная политика для криптоалгоритма — уровень 9, т.е. $\varepsilon^- = 5$ базисных пунктов, $\varepsilon^+ = 0$.

• Модель I. Игрушечная модель из 5.1.2 даёт замкнутое выражение сэкономленных издержек для любого расстояния размещения $\delta$, см. уравнение (20). Параметры fill probability $A$ и $k$ оцениваются подгонкой экспоненциальной формы к функции Каплана–Мейера, трактуя отмену как правое цензурирование, а $\mathcal{V}$ считается как среднее движений лучшей ask-цены, наблюдаемых на горизонте, по всем лимиткам обучающего набора, которые не исполнены. Более изощрённую процедуру оценки можно адаптировать, например учитывая внутридневную сезонность рыночной активности.
• Модель II. Функция fill probability для этого бенчмарка — нейросетевая модель из Раздела 4, а $\mathcal{V}$ — константа, считаемая как в экспоненциальном игрушечном бенчмарке. Таким образом, единственное отличие от полной модели — в оценке $\mathcal{V}$.
• Модель III. Комбинация двух нейросетевых моделей для fill probability и ожидаемого движения лучшей цены на горизонте.

Результаты приведены в Таблице 4, которая сообщает соответствующую результативность трёх моделей для BTC-USD и BNPP. Наблюдается явное улучшение процесса принятия решений при использовании рукотворных признаков и нелинейных моделей. Это демонстрирует, что простой и интерпретируемой нейросетевой архитектуры, питаемой хорошо выбранными признаками, может быть достаточно для проектирования приемлемых тактических алгоритмов исполнения. Более того, использование зависящего от состояния рыночного риска $\mathcal{V}$ вместо константы оказывается критичным: F-мера для обоих классов активов резко улучшается. Интересно, что алгоритм работает гораздо лучше на BTC-USD, чем на акции BNPP. Одна из возможных интерпретаций — BTC-USD более предсказуем, чем BNPP.

5.2.3. Анализ оптимального расстояния для small-tick активов

Используя модель III, считаем оптимальное расстояние размещения для BTC-USD и иллюстрируем поведение алгоритма двумя случаями. Первый показан на Рис. 10 и представляет тепловую карту ожидаемых сэкономленных издержек $\mathcal{S}$ как функцию bid-ask спреда и расстояния размещения при комиссионной политике уровня 9: 5 б.п. taker-комиссий и нулевые maker-комиссии. Тепловая карта считается по признакам, наблюдаемым в случайный момент времени. Мы видим, что алгоритм склонен быть агрессивным и котировать внутри спреда. Это указывает, что он исключительно фокусируется на максимизации fill probability и экономии taker-комиссий, даже если лучший способ сделать это — сузить спред и уменьшить ценовой дисконт лимитки. Вторая иллюстрация — на Рис. 11: тоже тепловая карта $\mathcal{S}$, посчитанная в тот же момент времени, но в предположении нулевых комиссий. Алгоритм котирует глубже в книге, чем в предыдущем случае. Итог: алгоритм склонен выставлять агрессивные заявки, когда разрыв taker–maker комиссий $\varepsilon^- - \varepsilon^+$ велик, сдвигая оптимальное расстояние к $-\psi$ с ростом этого разрыва. Этот результат особенно интересен: он демонстрирует, что комиссионная политика CEX склонна подталкивать агентов к большей агрессивности, когда нужно исполниться быстро. Мы считаем, что это даёт новые элементы понимания влияния комиссионной политики на торговую активность и поведение агентов на CEX. Наконец, оптимальное расстояние размещения, даваемое полной моделью, представляется линейным или по крайней мере сублинейным по bid-ask спреду, что согласуется с предсказанием введённой игрушечной модели.

5.2.4. Штраф за агрессивность риском латентности: взгляд практика

В случае small-tick активов мы наблюдали, что результирующая оптимальная политика размещения может выставлять лимитки внутри спреда. Хотя выставление лимитки в спред гарантирует более высокую вероятность исполнения, это действие несёт риск: мгновенную волатильность противоположной лучшей цены. Вернёмся к каркасу, в котором агент хочет купить определённый объём small-tick актива. Если алгоритм вставляет заявку внутри спреда, нет гарантии, что между моментом отправки биржей сообщения об обновлении и моментом вычисления оптимального расстояния и отправки результирующей заявки — то, что обычно называют tick-to-trade латентностью, — другие агенты не выставили новую ask-цену внутри спреда тоже. Следовательно, пересечение этой новой лучшей ask-цены породило бы дополнительные транзакционные издержки: лимитка мгновенно стала бы рыночной, начисляя taker-комиссии. Этот риск латентности следует встроить в функцию издержек торгового алгоритма, чтобы штрафовать крайнюю агрессивность.

Чтобы дать пищу для размышлений о моделировании такого риска в нашем каркасе, обозначим через $\ell > 0$ tick-to-quote латентность алгоритма, т.е. время в секундах, отделяющее момент отправки сообщения площадкой, обработки matching engine и момент выставления заявки, порождённой тактикой исполнения, в LOB. Далее в обсуждении предполагаем, что $\ell$ пренебрежимо мало по сравнению с горизонтом $T$, например $\ell/T < 10^{-3}$. Это условие необходимо не только потому, что результативность высокочастотных стратегий исчезает с латентностью, но и удобно, поскольку можно предположить

где $\square \perp\!\!\perp \triangle$ означает «$\square$ и $\triangle$ — независимые случайные величины».

Обозначим теперь через $\varphi_\ell^z(x) := \mathbb{P}(\Delta p_\ell^a \le x \mid Z = z)$ для вещественного $x$ функцию распределения вариации лучшей ask-цены на $[0, \ell]$ условно на рыночном состоянии $z$. Чувствительная к латентности функция сэкономленных издержек $\mathcal{S}_\ell$ тактики «выставить и ждать» теперь записывается как

где $\mathcal{S}$ дана в уравнении (16).

Последний член представляет ценовой дисконт рыночной лимитки относительно тактики немедленного исполнения из-за улучшения лучшей ask-цены. Мы видим, что значение этой новой ожидаемой функции сэкономленных издержек не обязательно меньше значения свободной от латентности $\mathcal{S}$, но максимум функции, возможно, достигается на другом расстоянии $\delta$.

6. Обсуждение и выводы

В этой работе мы ввели новые микроструктурные признаки для вычисления fill probability: дисбаланс потока лимитных заявок, индекс агрессивности и приоритетный объём. Мы продемонстрировали их предсказательную силу, исследуя гладкую зависимость функций вероятности исполнения и отмены от этих признаков. Показали, как нейронные сети с простыми архитектурами можно использовать для вычисления fill probability и clean-up cost по высокочастотным данным. Сеть обучалась на базе реальных лимиток с набором рукотворных интерпретируемых признаков, и мы проанализировали различия важности признаков между криптопарами CEX и акциями Euronext. Объяснили, почему учёт и приоритетного объёма, и расстояния размещения может быть критичен для small-tick криптовалют из-за разреженной природы их книги. Что касается использования реальных лимиток вместо гипотетических, мы обсудили главное преимущество эксплуатации таких информативных данных и настоятельно предлагаем предпочитать реальный поток заявок синтетическим, чтобы устранить предположение о нулевом рыночном воздействии. Спроектировав функцию издержек для агента, стремящегося купить объём актива за короткий горизонт, мы показали, как встроить такую модель в торговый движок. Предложен новый метод бэктеста, позволяющий учитывать рыночное воздействие лимиток, используя только исторические данные. Мы оценили результативность модели и сравнили её с игрушечной моделью, использующей распространённую форму функции fill probability. Вычисляя решения, которые модель приняла бы при вставке реальных лимиток, метрики классификации позволяют изучить релевантность этих моделей исполнения в процессе принятия решений. Наконец, приведены примеры оптимального расстояния размещения для small-tick актива, и численные эксперименты подсказывают, что комиссионная политика торговой площадки играет решающую роль в агрессивности заявки.

Наши результаты указывают: на CEX при отсутствии латентности выставление крайне агрессивных лимиток часто оптимально. Эффективность такой радикальной тактики объясняется двумя главными факторами: высокой fill probability такой заявки и комиссионной политикой, задающей существенную разницу между maker- и taker-комиссиями. Гипотетически вставка bid-лимитки на 1 тик ниже лучшей ask-цены при спреде порядка нескольких сотен тиков почти наверняка сэкономила бы 5 базисных пунктов торговых издержек. На практике такая тактика подвержена риску латентности, и его можно встроить в вычисление ожидаемой функции издержек.

В многогоризонтном каркасе, например в алгоритмах исполнения с торговым горизонтом от миллисекунд до минут в зависимости от рыночного режима или операционных ограничений, необходима оценка всей функции выживания. В этом случае релевантно оценивать более изощрённые модели — из литературы по survival deep learning или свёрточно-трансформер Arroyo et al. (2024). Но нужна дополнительная работа, чтобы предложить архитектуру, допускающую быстрые вычисления в живой торговой среде (время вычисления < 1 микросекунды). Другое расширение нашего подхода — обучить модель для оценки после вставки. Вкратце, вставка лимитки в книгу повышает интенсивность потока заявок, и это возбуждение затухает со временем. Это приводит к тому, что fill probability заявки в момент вставки отличается от fill probability ожидающей заявки с теми же характеристиками и тем же набором признаков. Вставка ликвидности раскрывает информацию о намерении агента и воздействует на цену, которая с высокой вероятностью двинется в противоположную сторону. Такое расширение можно выполнить, просто добавив ожидающие лимитки в обучающие данные и создав новый признак, характеризующий время с момента их вставки в книгу. Наконец, изучение выпуклости функции сэкономленных издержек высветило бы некоторые условия регулярности, которые можно добавить как нелинейные ограничения в функции потерь нейронной сети, чтобы улучшить вычисление оптимального расстояния.

Приложение

Литература

1. Aalen, O. (1976). Nonparametric inference in connection with multiple decrement models. Scandinavian Journal of Statistics, pages 15–27.
2. Aalen, O. (1978). Nonparametric inference for a family of counting processes. The Annals of Statistics, pages 701–726.
3. Aalen, O. and Johansen, S. (1978). An empirical transition matrix for non-homogeneous Markov chains based on censored observations. Scandinavian Journal of Statistics, pages 141–150.
4. Arroyo, A., Cartea, A., Moreno-Pino, F., and Zohren, S. (2024). Deep attentive survival analysis in limit order books: Estimating fill probabilities with convolutional-transformers. Quantitative Finance, 24(1):35–57.
5. Avellaneda, M. and Stoikov, S. (2008). High-frequency trading in a limit order book. Quantitative Finance, 8(3):217–224.
6. Bacry, E., Jaisson, T., and Muzy, J.-F. (2016). Estimation of slowly decreasing Hawkes kernels: application to high-frequency order book dynamics. Quantitative Finance, 16(8):1179–1201.
7. Bayraktar, E. and Ludkovski, M. (2014). Liquidation in limit order books with controlled intensity. Mathematical Finance, 24(4):627–650.
8. Braun, T. M. and Yuan, Z. (2007). Comparing the small sample performance of several variance estimators under competing risks. Statistics in Medicine, 26(5):1170–1180.
9. Brogaard, J., Hendershott, T., and Riordan, R. (2019). Price discovery without trading: Evidence from limit orders. The Journal of Finance, 74(4):1621–1658.
10. Cartea, A. and Jaimungal, S. (2015). Optimal execution with limit and market orders. Quantitative Finance, 15(8):1279–1291.
11. Cho, J.-W. and Nelling, E. (2000). The probability of limit-order execution. Financial Analysts Journal, 56(5):28–33.
12. Cont, R., Cucuringu, M., and Zhang, C. (2023). Cross-impact of order flow imbalance in equity markets. Quantitative Finance, 23(10):1373–1393.
13. Cont, R. and Kukanov, A. (2017). Optimal order placement in limit order markets. Quantitative Finance, 17(1):21–39.
14. Donnelly, R. and Gan, L. (2018). Optimal decisions in a time priority queue. Applied Mathematical Finance, 25(2):107–147.
15. Eisler, Z., Bouchaud, J.-P., and Kockelkoren, J. (2012). The price impact of order book events: market orders, limit orders and cancellations. Quantitative Finance, 12(9):1395–1419.
16. Eisler, Z., Kertesz, J., Lillo, F., and Mantegna, R. N. (2009). Diffusive behavior and the modeling of characteristic times in limit order executions. Quantitative Finance, 9(5):547–563.
17. Gonzalez Ginestet, P., Kotalik, A., Vock, D. M., Wolfson, J., and Gabriel, E. E. (2021). Stacked inverse probability of censoring weighted bagging: A case study in the InfCareHIV register. Journal of the Royal Statistical Society Series C, 70(1):51–65.
18. Hautsch, N. and Huang, R. (2012). The market impact of a limit order. Journal of Economic Dynamics and Control, 36(4):501–522.
19. Huang, W., Lehalle, C.-A., and Rosenbaum, M. (2016). How to predict the consequences of a tick value change? Evidence from the Tokyo Stock Exchange pilot program. Market Microstructure and Liquidity, 2(03n04):1750001.
20. Kalbfleisch, J. D. and Prentice, R. L. (2011). The Statistical Analysis of Failure Time Data. John Wiley & Sons.
21. Kaplan, E. L. and Meier, P. (1958). Nonparametric estimation from incomplete observations. Journal of the American Statistical Association, 53(282):457–481.
22. Katzman, J. L., Shaham, U., Cloninger, A., Bates, J., Jiang, T., and Kluger, Y. (2018). DeepSurv: personalized treatment recommender system using a Cox proportional hazards deep neural network. BMC Medical Research Methodology, 18:1–12.
23. Laruelle, S., Lehalle, C.-A., et al. (2013). Optimal posting price of limit orders: learning by trading. Mathematics and Financial Economics, 7(3):359–403.
24. Laruelle, S., Rosenbaum, M., and Savku, E. (2019). Assessing MiFID II regulation on tick sizes: A transaction costs analysis viewpoint. Market Microstructure and Liquidity, 5(01n04):2050003.
25. Lee, C., Zame, W., Yoon, J., and Van Der Schaar, M. (2018). DeepHit: A deep learning approach to survival analysis with competing risks. In Proceedings of the AAAI Conference on Artificial Intelligence, volume 32.
26. Lehalle, C.-A. and Mounjid, O. (2017). Limit order strategic placement with adverse selection risk and the role of latency. Market Microstructure and Liquidity, 3(01):1750009.
27. Lo, A. W., MacKinlay, A. C., and Zhang, J. (2002). Econometric models of limit-order executions. Journal of Financial Economics, 65(1):31–71.
28. Lundberg, S. M. and Lee, S.-I. (2017). A unified approach to interpreting model predictions. In Advances in Neural Information Processing Systems 30, pages 4765–4774.
29. Maglaras, C., Moallemi, C. C., and Wang, M. (2022). A deep learning approach to estimating fill probabilities in a limit order book. Quantitative Finance, 22(11):1989–2003.
30. Mark, S. D. and Robins, J. M. (1993). A method for the analysis of randomized trials with compliance information. Controlled Clinical Trials, 14(2):79–97.
31. Markov, V. (2014). On the design of sell-side limit and market order tactics. arXiv preprint arXiv:1409.1442.
32. Moallemi, C. C. and Yuan, K. (2016). A model for queue position valuation in a limit order book. Columbia Business School Research Paper.
33. Nelson, W. (1969). Hazard plotting for incomplete failure data. Journal of Quality Technology, 1(1):27–52.
34. Nelson, W. (1972). Theory and applications of hazard plotting for censored failure data. Technometrics, 14(4):945–966.
35. Perelló, J., Gutiérrez-Roig, M., and Masoliver, J. (2011). Scaling properties and universality of first-passage-time probabilities in financial markets. Physical Review E, 84(6):066110.
36. Pintilie, M. (2006). Competing Risks: A Practical Perspective. John Wiley & Sons.
37. Robert, C. Y. and Rosenbaum, M. (2011). A new approach for the dynamics of ultra-high-frequency data: The model with uncertainty zones. Journal of Financial Econometrics, 9(2):344–366.
38. Said, E., Ayed, A. B. H., Husson, A., and Abergel, F. (2017). Market impact: A systematic study of limit orders. Market Microstructure and Liquidity, 3(03n04):1850008.
39. Satten, G. A. and Datta, S. (2001). The Kaplan–Meier estimator as an inverse-probability-of-censoring weighted average. The American Statistician, 55(3):207–210.
40. Su, Y., Sun, Z., Li, J., and Yuan, X. (2021). The price impact of generalized order flow imbalance. arXiv preprint arXiv:2112.02947.
41. Vock, D. M., Wolfson, J., Bandyopadhyay, S., Adomavicius, G., Johnson, P. E., Vazquez-Benitez, G., and O’Connor, P. J. (2016). Adapting machine learning techniques to censored time-to-event health record data. Journal of Biomedical Informatics, 61:119–131.
42. Wald, J. K. and Horrigan, H. T. (2005). Optimal limit order choice. The Journal of Business, 78(2):597–620.
43. Wang, Z. and Sun, J. (2022). SurvTRACE: Transformers for survival analysis with competing events. In Proceedings of the 13th ACM International Conference on Bioinformatics, Computational Biology and Health Informatics, pages 1–9.
44. Weber, P. and Rosenow, B. (2005). Order book approach to price impact. Quantitative Finance, 5(4):357–364.

Перевод выполнен с сохранением структуры, формул и данных оригинала. Оригинал: arXiv:2307.04863 · Fabre, Ragel · CC BY 4.0.