Оптимальные динамические комиссии в автоматизированных маркетмейкерах

5.5/10

Аннотация

Автоматизированные маркетмейкеры (AMM) становятся популярной децентрализованной торговой площадкой. Ключевое недавнее развитие технологии — динамические комиссии. Мы характеризуем оптимальные динамические комиссии в constant function market maker, находим приближённые решения в замкнутой форме и изучаем оптимальную структуру комиссий. Обнаруживаются два различных режима: в одном AMM ставит более высокие комиссии, чтобы отпугнуть арбитражёров, в другом снижает их, чтобы увеличить волатильность и привлечь шумовых трейдеров. Когда ценообразование происходит внутри AMM, эти режимы исчезают, и оптимальная структура становится постоянной. Динамические комиссии, линейные по инвентарю и отслеживающие изменения внешней цены, хорошо приближают оптимум и годятся как рабочие кандидаты при проектировании AMM. В каркасе со стохастической глубиной пула те же качественные режимы сохраняются, причём более глубокие пулы берут меньшие комиссии.

Ключевые слова: децентрализованные финансы; автоматизированные маркетмейкеры; оптимальные комиссии; арбитражёры; шумовая торговля. MSC 2020: 93E20, 91B70. JEL: C61, G23, D53.

1. Введение

В последние годы AMM изменили способ предоставления и обмена ликвидности в DeFi. Это децентрализованная площадка, где предоставление и изъятие ликвидности заданы смарт-контрактами. К 2025 году самый популярный AMM — Uniswap: массовое принятие началось с v2, сейчас — v4 (Adams et al., 2020, 2021, 2024; обзор v4 — Bachu et al., 2025).

Ранние работы Capponi, Jia (2021), Bartoletti et al. (2021), Angeris, Chitra (2020), Angeris et al. (2021), Cartea et al. (2022), Angeris et al. (2023) объясняют, как работают эти биржи, и ставят задачу предоставления ликвидности. Как показывают Cartea et al. (2023, 2024b), Milionis et al. (2022) и Fukasawa et al. (2025), без комиссий LP несут убытки двух хорошо понятых типов: loss-versus-rebalancing (LVR) и impermanent loss (IL). Milionis et al. (2024) описывают LVR как убыток LP относительно стратегии ребалансировки, которая держит те же рисковые позиции, что и пул, но торгует по рыночным ценам, а не по ценам AMM. IL — разница стоимости активов внутри пула и вне его; «непостоянный», потому что при возврате рыночных условий убыток исчезает.

Два подхода к IL: перепроектировать AMM с учётом волатильности спота (oracle-based AMM Bergault et al., 2024, где ценообразование не определяется только liquidity takers) и искать стратегии LP (оптимальный выход — Capponi, Zhu, 2025; хедж взвешенным variance swap — Fukasawa et al., 2023; суперхедж независимо от динамики внешней цены — Fukasawa et al., 2024; полный хедж европейскими путами и коллами — Sepp et al., 2024).

По LVR литература улучшает дизайн AMM, чтобы LP были менее уязвимы к арбитражу: auction-managed AMM Adams et al. (2025); оптимальные торговые функции из убеждений LP — Goyal et al. (2023); обобщение CFMM в DLP — Cartea et al. (2024a); оптимальная динамическая кривая против LVR — Nadkarni et al. (2024). Milionis et al. (2024) показывают, что LVR можно частично или полностью хеджировать сбором комиссий. Поэтому оптимальные комиссии — важный вопрос с ранних работ. Evans et al. (2021) — G3M; Fritsch (2021) — конкурирующие пулы; He et al. (2024) — LP, распределяющий капитал между AMM и CEX. Эти работы ищут постоянные комиссии. Sabate-Vidales, Šiška (2023) ставят динамические комиссии без доказательства оптимальности. Hasbrouck et al. (2022) находят, что более высокие комиссии на DEX могут увеличить объём, привлекая LP. Aqsha et al. (2026) решают стохастическую игру лидер–ведомый между AMM и LP: в равновесии LP добавляют ликвидность, только когда она в среднем привлекает больше шума; комиссия площадки пропорциональна размеру сделки.

Мы ищем оптимальные динамические комиссии. Cao et al. (2023) аргументируют, что комиссии должны подстраиваться под рыночные условия; Uniswap v4 это делает возможным через hooks. Комиссии — главный стимул LP компенсировать IL; площадка, оптимизирующая сбор, лучше компенсирует LP и укрепляет позицию.

Вдохновляясь каркасом маркетмейкинга Avellaneda, Stoikov (2008) (монографии Cartea et al., 2015; Guéant, 2016), формулируем задачу стохастического управления: площадка максимизирует суммарные комиссии в пуле из рискового актива $Y$ и безрискового $X$. Контроли — $p$ и $m$: комиссии при продаже и покупке $Y$ liquidity takers. Они меняют курс для taker: покупка $Y$ требует больше $X$, продажа $Y$ даёт меньше $X$. Поток заявок — от шумовых трейдеров и арбитражёров. Шум подаёт заявки по причинам, независимым от комиссий AMM (но интенсивность зависит от комиссий) и независимым от централизованной reference-цены — точечные процессы с экзогенными интенсивностями. Арбитражёры реагируют на расхождения курсов AMM и цены на централизованной площадке: продают $Y$ в пул, когда это достаточно привлекательно относительно CEX ask, и покупают, когда привлекательно относительно CEX bid. Агрегируем обе популяции в представительного liquidity taker: продажи и покупки — два управляемых точечных процесса $\{N^{+,p}_t\}$ и $\{N^{-,m}_t\}$, интенсивности которых зависят от комиссий, курсов и состояния пула.

Полная задача неуправляема; изучаем два случая с замкнутыми решениями. (1) Исчезающая вязкость: $S_t$ трактуется как параметр, Теорема 4.1 даёт оптимальные политики и функцию ценности. (2) Линейно-квадратичное разложение экспонент в HJB — Теорема 5.2. В обеих аппроксимациях один вывод: площадке оптимальны два режима комиссий — высокие, чтобы отпугнуть арбитражёров, и низкие, чтобы увеличить волатильность и привлечь шум.

Симуляции: оптимальные комиссии существенно обгоняют постоянные; линейная аппроксимация почти неотличима по выручке. Оптимум балансирует выручку с сделки и квадратичную вариацию маржинальной цены (привлечение шума). Затем расширяем модель на стохастическую глубину пула: LP добавляют и выводят капитал. Глубина на конечной сетке; те же два режима устойчивы, плюс более глубокие пулы оптимально берут меньший процент — больший размер сделки позволяет собрать сопоставимую выручку, оставаясь конкурентнее. Наконец, по оптимальным расписаниям изучаем равновесную ликвидность: LP сравнивают полученные комиссии с IL своей позиции.

Структура: раздел 2 — модель и критерий; 3 — оптимальные политики; 4–5 — функции ценности двух аппроксимаций и симуляции; 6 — стохастическая глубина и равновесная ликвидность.

2. Модель

AMM с горизонтом $T>0$: CFM-пул с безрисковым $X$ и рисковым $Y$. Глубина $p_2>0$, торговая функция $f:\mathbb{R}_+\times\mathbb{R}_+\to\mathbb{R}_+$ строго возрастает и дважды дифференцируема. Условие торговли $f(x,y)=p_2$. Эквивалентно level-функция $\phi$ с $f(\phi(y),y)=p_2$: дифференцируема, убывает; предполагаем выпуклость, чтобы исключить round-trip арбитраж (Cartea et al., 2024b). Это выполнено для самых популярных CFM, в частности constant product: $f(x,y)=xy$, $\phi(y)=p_2/y$.

Количество $Y$ на конечной сетке $\{y^{-N}:=\underline y,\ldots,y^0,\ldots,y^N:=\overline y\}$ с $0<\underline y<y^0<\overline y$ (резервные ограничения). Количество $X$: $\{x^{-N}:=\phi(y^{-N}),\ldots,x^N:=\phi(y^N)\}$ — сетка $Y$ возрастает, сетка $X$ убывает.

Три базовых курса $Y$ в единицах $X$ при количестве $y^i$ непосредственно перед сделкой taker:

• Маржинальный (инфинитезимальная сделка): $Z(y^i):=-\phi'(y^i)$.
• Покупка (изъятие) $\Delta_-(y^i):=y^i-y^{i-1}$ единиц $Y$: $Z_-(y^i)=(\phi(y^{i-1})-\phi(y^i))/\Delta_-(y^i)$.
• Продажа (внесение) $\Delta_+(y^i):=y^{i+1}-y^i$: $Z_+(y^i)=(\phi(y^i)-\phi(y^{i+1}))/\Delta_+(y^i)$.

Тождество: $Z_-^i = Z_+^{i-1}$.

Пропорциональные комиссии: контроли $m$ (покупка) и $p$ (продажа) на сетке $y$. Это согласуется с Uniswap v4 hooks: комиссии могут зависеть от состояния и различать направление. Хотя естественно $m,p\in[0,1]$, ограничение не накладываем: иногда оптимальны отрицательные комиссии — площадка платит taker за торговлю в данном направлении. Комиссии собираются в $X$ вне пула. Курсы с комиссиями:

Механизм AMM независим от комиссий: они идут на счёт площадки. В пуле торговля идёт по $Z_+$, $Z_-$, глубина $p_2$ не меняется; для taker курсы включают комиссии.

Вероятностное пространство $(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{F},\mathbb{P}^{p,m})$ несёт все процессы (слабая формулировка управления, влияющего на интенсивности, опущена для читаемости; см. Barucci et al., 2025, §3.1).

Шумовые трейдеры. Заявки в основном по экзогенным причинам, зависят от комиссий AMM, независимы от централизованной цены. Интенсивности $c_{n+}\exp(-\alpha_+ p_t)$ и $c_{n-}\exp(-\alpha_- m_t)$.

Арбитражёры. Продают $Y$ в пул, когда $Z_+^{p}(y_{t-})>S_t+\zeta$ (CEX ask); покупают из пула, когда $Z_-^{m}(y_{t-})<S_t-\zeta$ (CEX bid). Интенсивности пропорциональны положительной части гэпа, умноженной на размер сделки $\Delta_\pm$.

Независимость позволяет сложить процессы. Для аналитической податливости сумма заменяется одной экспонентой (линейная аппроксимация шума + подстановка $Z_+^p=(1-p)Z_+$):

где $\lambda^\pm$, $k^\pm$ калибруются в окрестности $(y_0,s_0)$. Далее пишем $k^+=k^-=k$ и часто $\zeta=0$ в численных примерах. Централизованная цена $S$ — Ито-процесс с волатильностью $\sigma$ (в аппроксимации исчезающей вязкости $\sigma\to 0$ и $S$ — параметр).

Критерий. Счёт комиссий $C$ растёт на $p Z_+\Delta_+$ при продаже в пул и на $m Z_-\Delta_-$ при покупке из пула. Площадка максимизирует $\mathbb{E}[C_T-\int_0^T \Pi(Y_u,S_u)\,du]$. Штраф $\Pi$ (например $\varphi(Z(y)-s)^2$) удерживает маржинальную цену пула у внешней; главные выводы получены при $\Pi=0$.

3. Характеризация функции ценности

Задача управления $v(t,c,y,s)=\sup_{(m,p)\in\mathcal{A}_t} v^{(m,p)}(t,c,y,s)$ с условным критерием $\mathbb{E}_{t,c,y,s}[C_T-\int_t^T\Pi(Y_u,S_u)\,du]$. Из принципа динамического программирования HJB (3.1) с терминальным условием $v(T,y,c,s)=c$. Слагаемые $v(\ldots,c+p Z_+\Delta_+)-v$ и $v(\ldots,c+m Z_-\Delta_-)-v$ — скачок ценности при сделке: количество $Y$ прыгает на $\pm\Delta_\pm$, площадка получает комиссию (процент $\times$ объём $\times$ курс). Каждая разность умножается на интенсивность прихода.

Анзац $v(t,y,c,s)=g(t,y,s)+c$ сводит HJB к уравнению (3.2) на $g$. Точкаwise максимизация по $p,m$ даёт оптимальные комиссии в форме Avellaneda–Stoikov:

где $w$ — подходящая трансформация $g$ (экспонента матрицы интенсивностей в дискретном инвентаре). На границах сетки соответствующий контроль выключается ($1_{\{y<\overline y\}}$, $1_{\{y>\underline y\}}$).

4. Приближённое решение: исчезающая вязкость

Теорема 4.1. При $\sigma=0$ ($S=s$ — параметр) функция $w(t,y^i,s)=(\exp(A(s)(T-t))\mathbf{1})_i$ задаётся матрицей интенсивностей $A(s)$ размера $(2N+1)\times(2N+1)$ с наддиагональю $\lambda^+ e^{-1}$ (сдвиг инвентаря вверх) и поддиагональю $\lambda^- e^{-1}$ (сдвиг вниз), с поправками на штраф $\Pi$ и курсы $Z_\pm(y^i)-s$. Оптимальные $p^*$, $m^*$ — явные логарифмические отношения соседних компонент $w$, как выше. Доказательство — подстановка анзаца в HJB и решение линейной системы ODE на вектор $w(\cdot,s)$.

Локально около $y^0$ оптимум хорошо приближается линейным правилом по инвентарю:

и аналогично $m^{\mathrm{lin}}$, где наклон $\beta_p$ — разностная производная $p^*$ по соседним узлам сетки (явные формулы через $w$ — в оригинале, с. 13). Это сохраняет уровень и наклон около mid и сводит внедрение к линейному скью по инвентарю — тому же, что маркетмейкеры выучивают в классическом A–S / GLFT.

4.1. Оптимальная структура комиссий

Симуляции: CPM $f(x,y)=xy$, $\phi(y)=p_2/y$. Сетка $y^i$ такова, что после каждой сделки $Z(y)$ сдвигается на $0.1$: $y^i=\sqrt{p_2/(Z(y_0)-0.1\,i)}$, $i\in\{-20,\ldots,20\}$. Параметры: $T=1$, $\lambda^\pm=50$, $k=2$, $S_0=100$, $\Pi(y,s)=\varphi(Z(y)-s)^2$, $p_2=10^8$, $y_0=1000$.

Когда количество $Y$ ниже $y_0$, продавать в AMM выгоднее относительно внешней цены — площадка ставит высокие $p$, чтобы штрафовать арбитражёров, и низкие (даже отрицательные) $m$, чтобы шум покупал и поднимал волатильность цены. Симметрично выше $y_0$. В малой окрестности $y_0$ линейная аппроксимация достаточна; ниже показано, что она даёт почти ту же выручку.

Следствие 4.2. При $k\to 0$ масштабированные комиссии $k p^*$ и $k m^*$ сходятся к пределам $p^*_0$, $m^*_0$, не зависящим от $s$:

и аналогично $m^*_0$. Если ценообразование идёт внутри AMM (нет информативного внешнего $S$), режимы «штраф / волатильность» исчезают, оптимум постоянен.

Сравниваемые политики: (i) линейная $p^{\mathrm{lin}},m^{\mathrm{lin}}$; (ii) константные комиссии; (iii) оптимум Теоремы 4.1. Линейная даёт почти ту же выручку, что оптимум.

5. Квадратичная аппроксимация интенсивностей

Возвращаемся к исходному HJB и раскладываем экспоненты до второго порядка по $k(\pm s\Delta \pm Z\Delta + \Delta g)$. Предполагаем постоянные размеры шага $\Delta^\pm=\delta^\pm$ (замечание 5.1: для линейного разложения экспонент можно было бы взять $\Delta$ линейным по $y$). Курсы линеаризуются около $y_0$:

и аналогично $Z_\pm(y)\delta^\pm$. Анзац $g(t,y,s)=y^2 A(t)+y B(t,s)+C(t,s)$ с нулём в $T$.

Теорема 5.2. Существуют константы $\{\psi_i\}_{1\le i\le 26}$, задающие единственное решение: $A$ удовлетворяет уравнению Риккати $A'+\psi_2 A^2+\psi_1 A+\psi_0=0$, $A(T)=0$; коэффициенты $B=b_0(t)+b_1(t)s$ и $C=c_0+c_1 s+c_2 s^2$ — линейным ODE с терминальным нулём. Оптимальные комиссии снова логарифмического / линейно-квадратичного вида по $(y,s)$. Явные $\psi_i$ — в оригинале.

Следствие 5.3. При $k\to 0$ те же режимы выполаживаются, как в следствии 4.2. Рис. 8–11 подтверждают: два режима на Рис. 8a (как Рис. 1a); линейный скью; предел малых $k$; сравнение выручки — оптимум снова бьёт константу, линейная аппроксимация близка.

6. Стохастическая глубина пула и равновесная ликвидность

В реальности ликвидность не фиксирована: LP добавляют и выводят капитал в ответ на условия, ожидаемые комиссии, волатильность и внешние возможности. Моделируем глубину на конечной сетке $\{p_h\}$; к HJB добавляются переходы глубины. Теорема 6.1 — аналог Теоремы 4.1 при фиксированном уровне $p_h$: матрица $A(p_h)$ и те же логарифмические комиссии, зависящие теперь и от глубины.

Равновесная глубина: каждая начальная $p_2$ порождает своё feedback-расписание комиссий. LP оценивают полученные комиссии против IL позиции (экспоненциальная полезность). Равновесие — глубина, в которой LP безразличны между входом и невходом.

7. Заключение

Мы изучаем, как AMM максимизирует выручку, выставляя оптимальные динамические торговые комиссии. Оптимальное расписание служит двум целям. С одной стороны, отслеживая внешние цены, AMM стратегически поднимает комиссии, чтобы штрафовать арбитражёров. С другой — снижает их, чтобы увеличить волатильность цены, привлечь шумовых трейдеров и стимулировать объём. Этот двойной подход балансирует сдерживание арбитража и поощрение liquidity taking через шумовой поток. Дальнейшая работа: стратегические LP (эндогенная ликвидность), gas, запаздывающие reference-цены и другие трения, concentrated-liquidity AMM — ближе к современным DEX.

Литература

1. Adams, A., Moallemi, C. C., Reynolds, S. and Robinson, D. (2025). am-AMM: An auction-managed automated market maker. arXiv:2403.03367.
2. Adams, H. et al. Uniswap v2 / v3 / v4 core (2020, 2021, 2024).
3. Angeris, G. and Chitra, T. (2020). Improved price oracles: Constant function market makers. AFT.
4. Angeris, G. et al. (2021). An analysis of Uniswap markets. Cryptoeconomic Systems.
5. Angeris, G., Evans, A. and Chitra, T. (2023). Replicating market makers. Digital Finance.
6. Aqsha, A., Bergault, P. and Sánchez-Betancourt, L. (2026). Equilibrium reward for liquidity providers in AMMs. Mathematical Finance.
7. Avellaneda, M. and Stoikov, S. (2008). High-frequency trading in a limit order book. Quantitative Finance, 8(3):217–224.
8. Bachu, B. et al. (2025). An overview of Uniswap v4 for researchers. SSRN.
9. Bartoletti, M. et al. (2021). A theory of automated market makers in DeFi. COORDINATION.
10. Barucci, E., Mathieu, A. and Sánchez-Betancourt, L. (2025). Market making with fads, informed, and uninformed traders. arXiv:2501.03658.
11. Bergault, P. et al. (2024). Automated market makers: Mean-variance analysis of LPs’ payoffs. Digital Finance.
12. Cao, D. et al. (2023). A structural model of automated market making. SSRN.
13. Capponi, A. and Jia, R. (2021). The adoption of blockchain-based decentralized exchanges. arXiv:2103.08842.
14. Capponi, A. and Zhu, B. (2025). Optimal exiting for liquidity provision in CFMMs. SSRN.
15. Cartea, Á., Jaimungal, S. and Penalva, J. (2015). Algorithmic and High-Frequency Trading. CUP.
16. Cartea, Á., Drissi, F. and Monga, M. (2022, 2023, 2024b). DeFi, AMMs, predictable losses of LP. SSRN / Mathematical Finance.
17. Cartea, Á. et al. (2024a). Strategic bonding curves in AMMs. SSRN.
18. Evans, A., Angeris, G. and Chitra, T. (2021). Optimal fees for geometric mean market makers. FC.
19. Fritsch, R. (2021). Concentrated liquidity in AMMs. DeFi@CCS.
20. Fukasawa, M., Maire, B. and Rosenbaum, M. (2023, 2024, 2025). Model-free hedging of IL / LVR.
21. Goyal, M. et al. (2023). Finding the right curve: Optimal design of constant function market makers.
22. Guéant, O. (2016). The Financial Mathematics of Market Liquidity. Chapman & Hall.
23. Hasbrouck, J., Rivera, T. and Saleh, F. (2022). The need for fees at a DEX. SSRN.
24. He, X. et al. (2024). Optimal fees in AMMs vs CEX.
25. Milionis, J., Moallemi, C. C., Roughgarden, T. and Zhang, A. L. (2022, 2024). Automated market making and loss-versus-rebalancing.
26. Nadkarni, V. et al. (2024). Optimal dynamic trading curves against LVR.
27. Sabate-Vidales, M. and Šiška, D. (2023). Dynamic fees without optimality.
28. Sepp, A. et al. (2024). Hedging IL with European options.

Перевод выполнен с сохранением структуры, формул и численных результатов оригинала. Полные матрицы Теорем 4.1 и 6.1 и константы $\psi_i$ Теоремы 5.2 — в оригинале. Оригинал: arXiv:2506.02869 · Baggiani, Herdegen, Sánchez-Betancourt · CC BY 4.0.