Ценовое воздействие в аукционах по акциям: нулевое, затем линейное

7.5/10

Аннотация

На основе высококачественных данных мы сообщаем несколько статистических закономерностей аукционов по акциям на Парижской бирже. Во-первых, средняя плотность стакана линейна вокруг аукционной цены в момент клиринга аукциона и имеет большой пик на аукционной цене. Хотя пик обязан медленным трейдерам, форма плотности заявок — результат тонкой динамики. Воздействие новой рыночной заявки или отмены в момент аукциона можно разложить на три части в зависимости от размера дополнительной заявки: (1) нулевое воздействие, вызванное дискретной природой цен, иногда вплоть до неожиданно большого дополнительного объёма относительно аукционного; (2) линейное воздействие для дополнительных заявок вплоть до большой доли аукционного объёма; (3) для ещё более крупных заявок воздействие нелинейно, часто суперлинейно.

I. Введение

Большинство электронных рынков используют аукционы, чтобы упорядоченно начинать и заканчивать торговые дни. Поскольку объём, участвующий в аукционах, больше ликвидности, доступной в каждый момент в типичном стакане открытого рынка, аукционы уменьшают ценовое воздействие и флуктуации. Доля закрывающего аукциона в общем обменном объёме за последние годы значительно выросла (Blackrock, 2020), особенно на европейских рынках (Raillon, 2020). Этот рост подчёркивает важность аукционного механизма в процессе формирования цены.

В отличие от обширной литературы о динамике открытого рынка, работ об аукционах мало. С теоретической стороны Muni Toke (2015) выводит распределение обменного объёма и аукционной цены в стохастической модели потока заявок во время стандартного call-аукциона. В том же духе Derksen et al. (2020) предлагают стохастическую модель call-аукционов, которая даёт вогнутую функцию ценового воздействия рыночных заявок; кроме того, Derksen et al. (2022) на основе предыдущей модели демонстрируют тяжелохвостую природу цены и объёма в закрывающих аукционах. Помимо этого, Donier and Bouchaud (2016) показывают, что при достаточных условиях регулярности (непрерывные цена и время) и с использованием разложения кривых спроса и предложения в ряд Тейлора первого порядка ценовое воздействие в вальрасианских аукционах линейно в окрестности аукционной цены.

Эмпирически Pagano and Schwartz (2003) находят, что введение открывающих и закрывающих call-аукционов улучшает качество рынка и снижает издержки исполнения на Парижской бирже. Boussetta et al. (2017) добавляют, что, хотя объёмы открытия снижаются и рынок фрагментируется, открывающий аукцион по-прежнему улучшает качество рынка на Euronext Paris. Они также сообщают, что медленные брокеры подают заявки рано, тогда как высокочастотные трейдеры склонны действовать за мгновения до клиринга. Challet and Gourianov (2018) анализируют данные по американским акциям и вычисляют функции отклика аукционной цены при условии добавления и отмены заявки. Кроме того, Challet (2019) показывает, что для объяснения антагонистических эффектов ускорения активности и снижения волатильности индикативной цены по мере приближения конца аукциона необходимо стратегическое поведение агентов.

Недавно Jegadeesh and Wu (2022) оценили устойчивость закрывающих аукционов, сравнив ценовое воздействие на биржах NASDAQ и NYSE, и обнаружили, что стоимость торговли в закрывающих аукционах в целом ниже, чем в течение торговых часов. Они также находят, что закрывающие аукционы притягивают в основном неинформированных и пассивных инвесторов, тогда как информированные трейдеры предпочитают действовать в часы непрерывной торговли. В том же духе Besson and Fernandez (2021) анализируют закрывающий аукцион на европейских рынках и используют линейную функцию для аппроксимации воздействия рыночных заявок; они сообщают о меньшем мгновенном воздействии для более поздних подач и об общей стоимости торговли на закрытии в два-три раза меньшей, чем в течение торговых часов.

Здесь мы детально характеризуем эмпирические свойства ликвидности и ценового воздействия в аукционах по акциям. В момент аукциона ценовое воздействие полностью определяется состоянием стакана, и мы сосредотачиваемся на мгновенном воздействии заявки, отправленной прямо перед клирингом. Мы не находим простого линейного воздействия: хотя добавление или отмена рыночной (или маркетабельной) заявки в момент аукциона имеет линейную компоненту, дискретность лимитного стакана механически приводит к нулевому ценовому воздействию для достаточно малых заявок. Эти «бесплатные» объёмы могут составлять довольно большую долю общего сведённого объёма. До момента аукциона форма стакана даёт виртуальное/мгновенное ценовое воздействие, которое может отличаться от воздействия фактических подач/отмен. Однако мы находим, что среднее воздействие фактических заявок имеет ту же природу, то есть линейно. Мы утверждаем, что непрозрачность лимитных стаканов во время аукционов исключает избирательное изъятие ликвидности, что, в свою очередь, приводит к линейному воздействию.

Работа организована следующим образом: сначала мы вводим математическую модель аукциона с дискретными ценами (раздел II), пригодную для вывода условий, при которых ценовое воздействие нулевое или линейное. Затем мы представляем использованные высококачественные данные: большой набор из европейской базы высокочастотных финансовых данных BEDOFIH (раздел III). Основная часть состоит в детальном исследовании нескольких статистических закономерностей аукционов с фокусом на формах лимитного стакана и ценовом воздействии во время аукционов (разделы IV и V). Наши основные результаты таковы:

1. средний лимитный стакан заявок на покупку (продажу) имеет скошенную колоколообразную форму, максимум которой ниже (выше) аукционной цены. Оба распределения примерно зеркальны друг другу и могут считаться линейными в окрестности аукционной цены;
2. существует зачастую большой пик объёма на аукционной цене, нарастающий к концу аукциона;
3. разбивка средних плотностей лимитного стакана по латентности агентов (HFT, MIX, NON) и типу их счёта (собственный счёт, клиентский счёт, маркетмейкер, материнская компания, розничная рыночная организация…) ясно показывает, что каждая категория ведёт себя по-разному; пик создают не HFT, а более медленные трейдеры, и некоторые трейдеры выставляют заявки на покупку и продажу асимметрично;
4. в любой момент аукциона мгновенное ценовое воздействие нулевое для достаточно малых объёмов одновременно для заявок на покупку и продажу — из-за дискретности цен. Наличие пика в плотностях и покупок, и продаж увеличивает значимость нулевого воздействия в аукционах;
5. для достаточно больших объёмов мгновенное ценовое воздействие линейно в большинство дней, а не только в среднем. Это выполняется, когда сумма плотностей заявок на покупку и продажу постоянна как функция цены вокруг индикативной/аукционной цены, что происходит в большинство дней. С помощью алгоритма детекции точки излома мы характеризуем область цен линейного воздействия день за днём и актив за активом в момент аукциона;
6. среднее ценовое воздействие фактических подач/отмен во время периода накопления также линейно. Это контрастирует с открытыми рынками, где зависимость среднего воздействия от размера заявки гораздо слабее. Поскольку лимитные стаканы не раскрываются во время аукционов, избирательное изъятие ликвидности невозможно;
7. ценовое воздействие в момент аукциона меньше в даты экспирации опционов.

II. Математическая модель аукционов

На рынках Euronext аукционы по акциям начинаются периодом накопления и заканчиваются процессом клиринга. Во время периода накопления участники отправляют свои заявки (количество, цена, сторона, тип заявки, …) на биржу. Типы заявок включают рыночные заявки, лимитные заявки, активированные стоп-заявки и заявки «действительно для аукциона». Изменения и отмены разрешены, но сделки происходить не могут. В любой момент процесса накопления и в конце аукциона вычисляется цена, максимизирующая сведённый объём и минимизирующая дисбаланс. В момент аукциона заявки на покупку (соотв. продажу), чьи цены выше (соотв. ниже) аукционной цены, исполняются, тогда как лимитные заявки с ценой, равной аукционной, могут быть сведены или остаться в стакане после аукциона.

Определение 1 (Предложение и спрос). Для аукциона $\mathcal{A} = (a, d)$, где $a$ — тип аукциона (открытие, закрытие, …) в дату $d$, определим доступное предложение $S(p, t)$ и спрос $D(p, t)$ при цене $p$ и времени $t$ как (опуская $(a, d)$ для ясности)

где $V_S(p', t)$ (соотв. $V_B(p', t)$) — доступный объём на продажу (соотв. на покупку) при цене $p'$ и времени $t$.

Лимитные заявки можно подавать только на дискретной ценовой сетке. Поэтому в любой момент $t$ функция $p \mapsto S(p, t)$ — неубывающая непрерывная справа ступенчатая функция, а $p \mapsto D(p, t)$ — невозрастающая непрерывная слева ступенчатая функция.

Определение 2 (Аукционная цена и объём). Для аукциона $\mathcal{A} = (a, d)$ аукционный объём $Q_a^d$, обозначаемый $Q_a$, — это объём, максимизирующий обмениваемое количество между покупателями и продавцами в момент клиринга $T_a^d$, обозначаемый $T_a$. При данной цене $p$ в момент $t$ покупатели и продавцы могут обменять объём не более $\min\{S(p, t), D(p, t)\}$. Таким образом,

Аукционная цена $p_a^d$, обозначаемая $p_a$, — цена, максимизирующая обмениваемое количество. Поскольку она может быть не единственной, имеем

В этой работе мы всегда предполагаем, что предложение $S(p, T_a)$ и спрос $D(p, T_a)$ пересекаются, так что $Q_a$ всегда существует и единственен. Отметим однако, что $p_a$ часто не определяется однозначно одной лишь максимизацией обмениваемого объёма; поэтому биржи вводят дополнительный набор правил, чтобы $p_a$ была всегда корректно определена. В случае рынков Euronext, использованных в этой работе, когда несколько цен максимизируют обмениваемый объём, выбирается $p_a$ с наименьшим дисбалансом. Затем, если сосуществуют несколько цен с наибольшим исполнимым объёмом и наименьшим дисбалансом, аукционная цена — ближайшая к референсной цене (цене последней сделки).

Определение 3 (Индикативные цена и объём). Для аукциона $\mathcal{A}$ индикативная цена $p_t^{\mathrm{ind}}$ и индикативный объём $Q_t^{\mathrm{ind}}$ в момент $t \le T_a$ — гипотетические аукционная цена и общий сведённый объём, если бы клиринг произошёл в момент $t$.

Очевидно, $p_a = p_{T_a}^{\mathrm{ind}}$ и $Q_a = Q_{T_a}^{\mathrm{ind}}$. Далее временна́я нотация будет опускаться, когда мы работаем в момент $t = T_a$ (например, $S(p)$ означает $S(p, T_a)$). Отметим однако, что последующие определения и результаты можно сформулировать для любого момента $t \le T_a$, используя нотацию с зависимостью от времени и подставляя $p_t^{\mathrm{ind}}$ вместо $p_a$ и $Q_t^{\mathrm{ind}}$ вместо $Q_a$.

Определение 4 (Плотности покупок и продаж). Для аукциона $\mathcal{A} = (a, d)$ определим плотность покупок $\rho_B^d$ (соотв. продаж $\rho_S^d$) при цене $p$ как

где $\delta p$ — разность между ценой $p$ и следующей непустой ценой тика при $\bullet = B$ и разность между $p$ и предыдущей непустой ценой тика при $\bullet = S$.

Чтобы определить осмысленную среднюю плотность по большому числу дней, объёмы можно масштабировать аукционным объёмом $Q_a^d$ в день $d$, а цены заменить лог-разностями от аукционной цены $p \leftarrow \log(p/p_a)$.

Определение 5 (Масштабированные плотности покупок и продаж). Для аукциона $\mathcal{A} = (a, d)$ определим масштабированные плотности покупок и продаж как

где $x = \log\!\left(\frac{p}{p_a}\right)$. Более того, если заменить $\delta p$ константой $\delta x$, для данной акции можно вычислить среднюю масштабированную плотность

где $\langle\cdot\rangle_d$ обозначает среднее по дням вычисленной величины в момент $t = T_a$.

Заметим, что эта величина — дискретная версия непрерывных маргинальных кривых спроса и предложения, определённых в Donier and Bouchaud (2016), где $\rho_B(p) = -\partial_p D$ и $\rho_S(p) = \partial_p S$.

Определение 6 (Сведённые и оставшиеся объёмы). Для аукциона $\mathcal{A}$ определим $V_\bullet^M(p)$ как сведённый (исполненный) объём при цене $p$ на стороне $\bullet \in \{B, S\}$ и $V_\bullet^R(p)$ как оставшийся (неисполненный) объём при цене $p$ на стороне $\bullet$. Таким образом, любой лимитный объём $V_\bullet(p)$ при цене $p$ есть сумма сведённого и оставшегося объёмов:

Очевидно, для любой цены $p > p_a$ весь объём на покупку сведён, а весь объём на продажу остаётся. Значит, $V_B^M(p) = V_B(p)$, $V_S^M(p) = 0$, $V_B^R(p) = 0$ и $V_S^R(p) = V_S(p)$. Симметрично, для любой цены $p < p_a$ имеем $V_B^M(p) = 0$, $V_B^R(p) = V_B(p)$, $V_S^M(p) = V_S(p)$ и $V_S^R(p) = 0$. Следовательно, $V_\bullet^M(p) \times V_\bullet^R(p)$ может быть ненулевым только при $p = p_a$.

Предложение 1. Пусть $\mathcal{A}$ — аукцион с аукционной ценой $p_a$ и аукционным объёмом $Q_a$. Выполняются следующие равенства:

(a) $Q_a = S(p_a) - V_S^R(p_a) = D(p_a) - V_B^R(p_a)$;

(b) $V_S^R(p_a) \times V_B^R(p_a) = 0$.

Доказательство. (a): поскольку аукционный объём $Q_a$ есть сумма всех сведённых объёмов, имеем

(b) доказывается от противного: если $V_S^R(p_a) \times V_B^R(p_a) \ne 0$, то $\left(V_S^R(p_a), V_B^R(p_a)\right) \ne (0, 0)$. Это означает, что остаточный объём $\delta V = \min\!\left(V_S^R(p_a), V_B^R(p_a)\right) > 0$ может быть сведён между покупателями и продавцами по аукционной цене, что противоречит максимизации обмениваемого объёма величиной $Q_a$. $\square$

Введём теперь объёмы, масштабированные аукционным объёмом: для целого объёма акций $q \in \mathbb{N}$ определим масштабированный объём $\omega = q/Q_a$.

Определение 7 (Ценовое воздействие). Для аукциона $\mathcal{A}$ и любого $\omega > 0$ определим ценовое воздействие перед клирингом аукциона рыночной заявки на покупку $I_B(\omega)$ (соотв. на продажу $I_S(\omega)$) как абсолютное изменение аукционной лог-цены сразу после подачи рыночной заявки на покупку (соотв. продажу) размера $q = \omega \times Q_a$:

где $p_\omega$ — новая аукционная цена после инъекции рыночной заявки.

Заметим, что $I_\bullet$ означает мгновенное воздействие подачи заявки в момент аукциона $t = T_a$, то есть в предположении, что рыночная заявка отправлена прямо перед клирингом. В этом случае рынок не может отреагировать на подачу, так как клиринг происходит сразу же, и никакой релаксации произойти не может. Однако если подача/отмена отправлена на биржу задолго до клиринга, соответствующее ценовое воздействие $I_\bullet$ в момент $t < T_a$ с $p_a \leftarrow p_t^{\mathrm{ind}}$ и $Q_a \leftarrow Q_t^{\mathrm{ind}}$ означает виртуальное/мгновенное ценовое воздействие, которое может отличаться от воздействия фактической подачи/отмены, поскольку рынок ещё может на неё отреагировать.

Предложение 2. Пусть $\mathcal{A}$ — аукцион с аукционной ценой $p_a$ и аукционным объёмом $Q_a$. Мы инъецируем рыночную заявку размера $q = \omega Q_a$ перед клирингом аукциона. Новая аукционная цена — $p_\omega$. Тогда:

(a) Функция $I_\bullet : \omega \mapsto \left|\log\!\left(\frac{p_\omega}{p_a}\right)\right|$ для $\bullet \in \{B, S\}$ и $\omega > 0$ — неубывающая непрерывная справа ступенчатая функция.

(b) Пусть $(\omega_B^{(i)})_{i \ge 0}$ — упорядоченные точки разрыва $I_B$. Тогда

где $p_B^{(i)} > p_a$ — $i$-й непустой ценовой тик строго больше аукционной цены.

(c) Пусть $(\omega_S^{(i)})_{i \ge 0}$ — упорядоченные точки разрыва $I_S$. Тогда

где $p_S^{(i)} < p_a$ — $i$-й непустой ценовой тик строго меньше аукционной цены.

Рисунок недоступен для встраивания — смотреть в оригинале

Очевидно, $I_\bullet(\omega_\bullet^{(i)}) = \left|\log(p_\bullet^{(i+1)}/p_a)\right|$. Заметим также, что если все ценовые тики содержат ненулевой объём ($V_B + V_S > 0$), то $p_\bullet^{(i)} = p_a \pm i\theta$, где $\theta$ — размер тика. Доказательство предложения 2 приведено в приложении A. Предложение 2 позволяет вычислить функцию воздействия в любой момент данного аукциона, включая период накопления. Кроме того, ценовое воздействие новой заявки нулевое, если её размер меньше $\omega_\bullet^{(0)} Q_a$. Рис. 1 даёт графическое объяснение формул для $\omega_\bullet^{(0)}$. Например, на левой панели объём на покупку по аукционной цене полностью сведён ($V_B(p_a) = V_B^M(p_a)$ и $V_B^R(p_a) = 0$). В этом случае, чтобы сдвинуть цену, покупателю нужно было бы исполнить рыночную заявку на покупку минимального объёма $V_S^R(p_a) + V_B(p_a)$. Альтернативно, продавцу нужно было бы исполнить рыночную заявку на продажу минимального объёма $V_S^M(p_a)$. Правая панель рис. 1 иллюстрирует симметричный случай, в котором объём на продажу по аукционной цене полностью сведён ($V_S(p_a) = V_S^M(p_a)$ и $V_S^R(p_a) = 0$). Более того, заметим, что если трейдер отправит рыночную заявку точного размера $q = \omega_\bullet^{(0)} \times Q_a \in \mathbb{N}$, то и $p_a$, и $p_\bullet^{(1)}$ максимизируют аукционный объём. Как объяснено выше, новой аукционной ценой будет цена с наименьшим дисбалансом, то есть равными оставшимися объёмами. Если у $p_a$ и $p_\bullet^{(1)}$ равные дисбалансы, то новая аукционная цена — ближайшая к референсной. Здесь мы предполагали, что при $q = \omega_\bullet^{(0)} \times Q_a \in \mathbb{N}$ цена автоматически сдвигается к $p_\bullet^{(1)}$.

Также, по предложению 2, $V_S(p_\bullet^{(i)}) + V_B(p_\bullet^{(i)}) = Q_a \times (\omega_\bullet^{(i)} - \omega_\bullet^{(i-1)})$ при $i \ge 1$ — объём, необходимый, чтобы перевести цену с $p_\bullet^{(i)}$ на $p_\bullet^{(i+1)}$. Поэтому мы определяем $\delta\omega_\bullet^{(i)} = \omega_\bullet^{(i)} - \omega_\bullet^{(i-1)}$ при $i \ge 1$ для обозначения этого масштабированного инкрементального объёма, с соглашением $\delta\omega_\bullet^{(0)} = \omega_\bullet^{(0)}$. Наконец, заметим, что отмена рыночной заявки на покупку размера $q$ влияет на цену так же, как подача рыночной заявки на продажу того же размера: в обоих случаях новая цена $p_\omega$ — решение уравнения $S(p_\omega) + q = D(p_\omega)$. Аналогично отмена рыночной заявки на продажу имеет тот же эффект, что подача рыночной заявки на покупку. Следовательно, далее мы сосредотачиваемся только на ценовом воздействии подач рыночных заявок.

III. Данные

Использованный в этой работе набор данных — часть базы BEDOFIH (Base Européenne de Données Financières à Haute-fréquence), созданной Европейским институтом финансовых данных (EUROFIDAI). Набор данных содержит детальные данные заявок по всем акциям, торговавшимся на Euronext Paris между 2013 и 2017 годами. Для каждой акции и каждого торгового дня информация предоставлена в четырёх файлах:

• файл исторических заявок, содержащий все заявки, оставшиеся в центральном лимитном стакане с предыдущего торгового дня;
• файл текущих заявок, содержащий все подачи, изменения и отмены текущего торгового дня;
• файл сделок, перечисляющий все транзакции текущего торгового дня;
• файл событий, перечисляющий особые рыночные события, если они были: задержанное открытие, остановка торговли и т.п.

Помимо стандартной информации — времени с микросекундной точностью, цены, стороны (покупка/продажа), количества и ценового порога для стоп-заявок — в этих файлах доступны дополнительные детали заявок, часть которых вычислена постфактум. Это тип заявки и её временна́я действительность (рыночная, лимитная, valid-for-auction, valid-for-closing и т.д.), высокочастотный статус участника рынка (HFT, NON-HFT или MIXED) и тип счёта (собственный счёт, клиентский счёт, маркетмейкер, материнская компания, розничный поставщик ликвидности, розничная рыночная организация).

Чтобы восстановить точное состояние лимитного стакана (LOB) в любой точке аукциона, мы объединяем информацию из четырёх файлов для каждой акции и каждого торгового дня в снимок (snapshot). Мы выбираем 34 наиболее торгуемые акции Euronext Paris за 2013–2017 годы и анализируем от 2 до 5 лет данных для каждой акции, всего $N = 34{,}977$ пар акция-день. Небольшое число этих пар даёт ошибки или несовпадения (например, ошибки набора данных, непересекающиеся спрос и предложение в открывающем аукционе или торговля полдня/остановленная торговля до 17:30 для закрывающего аукциона). После удаления этих невалидных снимков остаётся $N_o = 34{,}971$ валидный снимок на момент открывающего аукциона и $N_c = 34{,}820$ валидных снимков на момент закрывающего аукциона.

По этим восстановленным снимкам непосредственно перед моментом аукциона мы вычисляем восстановленные цены и объёмы согласно правилам Euronext, то есть максимизируя обмениваемый объём и минимизируя дисбаланс. Это сводится к нахождению пересечения восстановленных кривых спроса и предложения. Таблица I приводит процент снимков, для которых восстановленная цена (соотв. объём) совпадает с фактической аукционной ценой (соотв. объёмом) среди валидных снимков. Остальные расхождения могут быть результатом использования упрощённых правил учёта стоп-заявок и редких противоречий между записанными данными в файле заявок и файле сделок. Для этих немногих несовпавших снимков отметим, что расхождения между вычисленными и фактическими величинами малы: меньше 1 базисного пункта в средней абсолютной разности от аукционной цены и 0.2% в средней абсолютной дистанции от аукционного объёма. Эти немногие несовпавшие аукционы исключены из выборки в последующем анализе, хотя они не изменили бы итогов наших экспериментов.

Таблица I. Проценты аукционных снимков с точным восстановлением.

IV. Средняя форма аукционного лимитного стакана

Этот раздел исследует типичную форму лимитного стакана в момент аукциона $T_a$, её следствия для ценового воздействия после клиринга и то, как среднюю форму LOB можно разбить по латентности и типу счёта участников рынка.

A. Форма LOB до и после клиринга

Для каждой акции набора данных мы вычисляем средние эмпирические плотности покупок и продаж $\langle\tilde\rho_\bullet\rangle$ (см. определение 5) как функции лог-разности цен $x = \log\!\left(\frac{p}{p_a}\right)$. Рис. 2 показывает среднюю плотность LOB для самой торгуемой акции нашего набора (ISIN FR0000120271, TTE.PA, TotalEnergies). Мы различаем заявки, сведённые аукционным процессом (пунктирные линии), и заявки, остающиеся в LOB после конца аукциона (сплошные линии). Средние плотности LOB очень похожи для всех изученных акций.

Рисунок недоступен для встраивания — смотреть в оригинале

Рис. 2 показывает средние плотности LOB в закрывающем аукционе: плотности покупок и продаж имеют скошенную колоколообразную форму вокруг аукционной цены. Открывающие и закрывающие аукционы имеют явно различные плотности LOB. Как и ожидалось, средняя плотность LOB более шумная в открывающем аукционе, чем в закрывающем, что отражает типичную ликвидность, доступную в каждом из аукционов (Challet, 2019). Однако следующие замечания верны для обоих аукционов:

• существует пик на аукционной цене, то есть $\langle\tilde\rho_\bullet\rangle(0)$ больше типичных значений вблизи 0. Это выражает накопление заявок на $p = p_a$ в среднем к моменту клиринга;
• $\langle\tilde\rho_\bullet\rangle$ линейна вокруг $x = 0$, то есть $p = p_a$.

Как показывает рис. 2, все заявки на покупку с $p > p_a$ сведены, а все заявки на покупку с $p < p_a$ остаются в LOB после аукциона, если их временна́я действительность простирается за клиринг; аналогично все заявки на продажу с $p < p_a$ сведены, а все заявки на продажу с $p > p_a$ остаются в LOB после аукциона. При $p = p_a$ часть заявок сведена, часть нет. Это объясняет, почему пики объёмов покупок и продаж на $p_a$ уменьшаются после клиринга. Наконец, заявки «только для аукциона» удаляются из LOB после клиринга, если не исполнены.

B. Мгновенное ценовое воздействие после клиринга

Кратко обсудим мгновенное ценовое воздействие после клиринга в фазе непрерывной торговли сразу после аукциона. Следующие замечания справедливы всякий раз, когда сразу после клиринга аукциона идёт непрерывная торговая фаза (то есть здесь — после аукциона открытия). Рассмотрим трейдера, отправляющего рыночную заявку на покупку в фазе непрерывной торговли сразу после клиринга аукциона. Этот трейдер может рассчитывать свести вплоть до всех оставшихся заявок на продажу на $p_a$ без воздействия на цену. Как только ликвидность на $p_a$ израсходована, отправка дополнительного объёма на покупку $q > 0$ приведёт к сублинейному ценовому воздействию. Действительно, поскольку $\langle\tilde\rho_S\rangle$ наблюдается линейной около 0 (исключая пик), мы можем записать $\langle\tilde\rho_S\rangle(x) = a_1 + b_1 x$ в этой окрестности, так что в среднем

что даёт

Следовательно, мгновенное ценовое воздействие $x$ после клиринга сублинейно и заключено между пределом квадратного корня при $q \gg \frac{a_1^2}{2b_1}$ и пределом линейного воздействия при $q \ll \frac{a_1^2}{2b_1}$. Это стилизованно воспроизводит кроссовер между линейным и корневым рыночным воздействием, наблюдаемый в непрерывных двойных аукционах (Bucci et al., 2019). Последний можно объяснить, например, предположив существование скрытого латентного LOB (Tóth et al., 2011), который раскрывается лишь частично, но форма которого во многом определяет форму рыночного воздействия. В моменты же аукционов участники рынка вынуждены раскрывать свои намерения по крайней мере в окрестности $p_a$, и аукционный LOB можно соотнести с латентным.

C. Разбивка по латентности участников рынка

Рис. 3 показывает разбивку средних эмпирических плотностей $\langle\tilde\rho_\bullet\rangle$ в закрывающих аукционах по скорости участников рынка. Мы использовали флаг латентности в наших данных, который задаёт HFT-категорию отправителя заявки по определению AMF¹. Сделаем три замечания по рис. 3. Во-первых, LOB категории MIX имеет тот же порядок величины и форму, что и полный LOB (рис. 2, снизу). Это указывает, что вклад трейдеров, помеченных как быстрые (HFT) и медленные (NON), в предоставление ликвидности закрывающего аукциона (лимитные заявки в окрестности аукционной цены) меньше вклада инвестиционных банков (помеченных MIX). Во-вторых, HFT LOB не демонстрирует выдающегося пика объёмов на аукционной цене. Это говорит о том, что пик на самом деле создаётся медленными трейдерами и может приводить к пиннингу аукционной цены. В-третьих, рис. 3 относится к самой ликвидной акции выборки, но у некоторых акций HFT-помеченный LOB очень мал — того же порядка, что и низкочастотный LOB: HFT-помеченные трейдеры выставляют заметные лимитные заявки не во всех акциях закрывающего аукциона.

Рисунок недоступен для встраивания — смотреть в оригинале

Как отмечено в AMF (2017); Benzaquen and Bouchaud (2018), на открытых рынках доминируют быстрые торговые алгоритмы, что предполагает рассматривать только HFT LOB (с точностью до мультипликативной константы) при соотнесении аукционного LOB с латентным LOB непрерывного аукциона. В этой постановке ценовое воздействие после клиринга гораздо ближе к квадратному корню из-за резкой линейной формы HFT LOB, исчезающей вблизи текущей цены.

D. Разбивка по типу счёта

Рис. 4 показывает разбивку средних эмпирических плотностей $\langle\tilde\rho_\bullet\rangle$ закрывающего аукциона по типу счёта. Этот флаг сообщает, от чьего имени была отправлена заявка: клиентский счёт, маркетмейкер, собственный счёт, счёт материнской компании, розничная рыночная организация (RMO) и розничный поставщик ликвидности (RLP). Мы замечаем, что трейдеры, оперирующие от собственного имени (что включает значительную долю активности инвестиционных банков), и маркетмейкеры предоставляют большую часть ликвидности в окрестности аукционной цены. Кроме того, плотность заявок, отправленных от имени клиентов, и заявок медленных трейдеров имеют одинаковую форму (см. рис. 3). Эта декомпозиция будет ценна при проектировании реалистичных агентных моделей — в дополнение к учёту многомасштабной ликвидности².

Рисунок недоступен для встраивания — смотреть в оригинале

V. Ценовое воздействие

Этот раздел исследует набор статистических закономерностей ценового воздействия в аукционах по акциям с фокусом на закрывающих аукционах. В первой части мы изучаем ценовое воздействие в момент аукциона, который был фиксирован в 17:35:00 до 28 сентября 2015 года, а затем выбирался случайно между 17:35:00 и 17:35:30: мы предполагаем, что трейдер хочет знать, на сколько сдвинулась бы аукционная цена, отправь она рыночную заявку прямо перед клирингом, зная момент клиринга заранее. Во второй части мы изучаем поведение ценового воздействия до момента аукциона. Для этого мы исследуем эволюцию виртуального/мгновенного ценового воздействия на протяжении периода накопления. Затем мы связываем ценовое воздействие в момент аукциона с воздействием в 17:35:00. Наконец, мы вычисляем среднее воздействие фактических подач/отмен во время аукционов и обсуждаем, почему оно резко отличается от воздействия на открытых рынках.

A. В момент аукциона

В этой первой части мы исследуем воздействие рыночной заявки, поданной на биржу (или отменённой) прямо перед клирингом. Мы явно предполагаем, что трейдер смог бы вставить или отменить свою заявку непосредственно перед процессом клиринга. В этой постановке мы выявляем существование значимого объёма нулевого воздействия, ниже которого аукционная цена не изменилась бы, и объясняем, почему это нулевое воздействие чисто механическое. Затем мы показываем, что любой дополнительный объём имеет линейное ценовое воздействие в определяемом нами диапазоне объёмов — не только в среднем, но для большинства акций и дней. Мы также выводим простую формулу для наклона воздействия, которую валидируем эмпирически с помощью упрощённой процедуры оптимизации. Наконец, мы изучаем влияние дней экспирации деривативов на закрывающие аукционы.

1. Нулевое воздействие: $\omega < \omega_\bullet^{(0)}$

Рассматривая функцию ценового воздействия за несколько дней и аукционов, мы наблюдаем, что минимальный объём, необходимый для изменения аукционной цены ($Q_a \times \omega_\bullet^{(0)}$ в обозначениях предложения 2), может быть много больше типичных объёмов, необходимых для дальнейшего воздействия на цену ($Q_a \times \delta\omega_\bullet^{(i)}$, $i \ge 1$). Убедительный пример даёт рис. 5, показывающий функцию ценового воздействия для TTE.PA в закрывающем аукционе 5 мая 2017 года со следующими величинами: $p_a = 48.00$€, $Q_a = 2{,}246{,}617$, $\omega_B^{(0)} = 27.45\%$ и $\omega_S^{(0)} = 9.61\%$. То есть заявка на покупку с денежным объёмом меньше $Q_a \times \omega_B^{(0)} \times p_a = 29.6$ млн €, отправленная прямо перед $T_a$, не привела бы к изменению аукционной цены. Аналогично заявка на продажу с денежным объёмом меньше $Q_a \times \omega_S^{(0)} \times p_a = 10.3$ млн € имела бы нулевое воздействие.

Рисунок недоступен для встраивания — смотреть в оригинале

В нашей выборке нулевое ценовое воздействие присутствует более чем в 98% всех обработанных дней и сторон. Это означает, что более чем в 98% случаев отправка одной акции, на покупку или на продажу, не изменит аукционную цену. Кроме того — и это, возможно, более удивительно, — нулевое воздействие одновременно на обеих сторонах на сегодняшний день самая частая ситуация. Это следует из того, что цены дискретны и, значит, кумулятивные объёмы покупок и продаж $D(p)$ и $S(p)$ — ступенчатые функции. На аукционной цене эти ступени перекрываются лишь частично. Чтобы изменить аукционную цену, нужно сдвинуть по вертикали $D$ или $S$ так, чтобы перекрытие на аукционной цене исчезло (см. рис. 1 для иллюстрации). Таким образом, нулевое воздействие исчезает, только когда и $V_B(p_a)$, и $V_S(p_a)$ содержат не больше одной акции на $p_a$.

Ценовое воздействие может быть нулевым для относительно крупных заявок из-за пика объёма на $p_a$: напомним, что (масштабированный) объём нулевого воздействия $\omega_\bullet^{(0)}$ — минимальный объём, необходимый для изменения аукционной цены; по определению $\omega_\bullet^{(0)}$ в предложении 2 большие сведённые объёмы покупок и продаж на аукционной цене приводят к большим объёмам нулевого воздействия на обеих сторонах (см. рис. 1). Это подтверждается эмпирически: в таблице II мы приводим вероятность $P_{1\%}$ отправить рыночную заявку размера $q = 1\% \times Q_a$ прямо перед клирингом без сдвига цены закрытия. Для акций нашей выборки эта вероятность лежит между 46% и 74%. Рандомизация времени клиринга не даёт быстрым агентам использовать свою низкую латентность для подбора размера сделок под нулевое воздействие.

Таблица II. Корреляция Спирмена и статистика теста Колмогорова–Смирнова для $\omega_B^{(0)}$ и $\omega_S^{(0)}$, а также вероятность $P_{1\%}$ отправить рыночную заявку размера $q = 1\% \times Q_a$ без воздействия на аукционную цену прямо перед клирингом, по акциям нашей выборки.

Символы ***, ** и * обозначают значимость на уровнях 0.1%, 1% и 5% соответственно.

Мы также приводим несколько статистических наблюдений об $\omega_B^{(0)}$ и $\omega_S^{(0)}$. Во-первых, их статистические распределения неразличимы (как показано на рис. 6). Это подтверждается тестом Колмогорова–Смирнова, приведённым в таблице II, которая также содержит эмпирическую корреляцию Спирмена между этими двумя величинами: довольно неожиданно, учитывая предыдущее наблюдение, корреляция между $\omega_B^{(0)}$ и $\omega_S^{(0)}$ слаба, в среднем $-0.15$, и незначима для некоторых очень ликвидных акций (например, TTE.PA — самой торгуемой акции нашего набора данных). Это подтверждает, что нулевое воздействие — эффект в основном механический, а не стратегический.

Рисунок недоступен для встраивания — смотреть в оригинале

Сравним, наконец, $\delta\omega_\bullet^{(0)} = \omega_\bullet^{(0)}$ — минимальный масштабированный объём, необходимый для сдвига аукционной цены, — с $\delta\omega_\bullet^{(i)} = \omega_\bullet^{(i)} - \omega_\bullet^{(i-1)}$, $i \ge 1$ — минимальными масштабированными объёмами, необходимыми для перевода цены с $p_\bullet^{(i)}$ на $p_\bullet^{(i+1)}$ (см. предложение 2). Таблица III представляет результаты попарных тестов Колмогорова–Смирнова на эмпирических функциях распределения $\delta\omega_\bullet^{(i)}$ и $\delta\omega_\bullet^{(j)}$ для акции TTE.PA. Для краткости результаты представлены для $i, j \le 10$, но статистическое тестирование фактически проведено вплоть до $i, j = 40$. Мы ясно видим, что $\delta\omega_\bullet^{(0)}$ и $\delta\omega_\bullet^{(1)}$ имеют особые статистические свойства, тогда как распределения инкрементальных объёмов $\delta\omega_\bullet^{(i)}$ для $2 \le i \le 32$ едва различимы: нулевая гипотеза не отвергалась на уровне значимости 1%. Рис. 7 показывает сглаженные гистограммы и эмпирическую обратную кумулятивную функцию распределения для $\delta\omega_\bullet^{(i)}$, $0 \le i \le 5$. Это наблюдение не обобщается легко на все акции, так как вступают в игру дополнительные факторы: акции с малым и большим тиком и рандомизация времени клиринга. Эти факторы оказывают заметное влияние на распределение $\delta\omega_\bullet^{(i)}$ по разным акциям и по годам.

Таблица III. Статистики Колмогорова–Смирнова для пар перемасштабированных инкрементальных объёмов $\delta\omega_\bullet^{(i)}$ и $\delta\omega_\bullet^{(j)}$ для акции TTE.PA.

Символы ***, ** и * обозначают значимость на уровнях 0.1%, 1% и 5% соответственно.

Рисунок недоступен для встраивания — смотреть в оригинале

2. Линейное воздействие: $\omega_\bullet^{(0)} < \omega < \omega_\bullet^{(\max)}$

Согласно Donier and Bouchaud (2016), в вальрасианском аукционе с непрерывными ценами средние объёмы вокруг аукционной цены ненулевые, что приводит к линейному воздействию (в разложении первого порядка), тогда как в непрерывном двойном аукционе средние объёмы исчезают вокруг текущей цены и приводят к корневому воздействию.

Полезно сначала предположить непрерывность цены, чтобы вывести простое условие строгой линейности ценового воздействия. Если мы отправляем рыночную заявку на покупку размера $\omega \times Q_a$ перед клирингом аукциона и работаем в лог-ценовой системе отсчёта $x = \log(p/p_a)$ в непрерывной ценовой постановке, имеем

следовательно,

Donier and Bouchaud (2016) выполняют разложение первого порядка, записывая

и получают приближение

Мы же вместо этого используем уравнение (12), чтобы найти точно

откуда

Линейность воздействия требует линейности $F^{-1}$ и $F$, а значит, постоянства $x \mapsto (\tilde\rho_S + \tilde\rho_B)(x)$.

Рисунок недоступен для встраивания — смотреть в оригинале

Рис. 8 показывает среднюю эмпирическую плотность $\langle\tilde\rho_S + \tilde\rho_B\rangle_d$ суммы объёмов покупок и продаж для самой ликвидной акции выборки. Он настойчиво указывает на существование ценового интервала по обе стороны аукционной цены, в котором сумма объёмов покупок и продаж хорошо приближается константой.

Теперь мы включаем это наблюдение в теоретическую модель с дискретными ценами, введённую в разделе II, и доказываем в предложении 3, что если плотности покупок и продаж в сумме постоянны вокруг аукционной цены $p_a$ (после удаления части с нулевым воздействием), то ценовое воздействие линейно.

Предложение 3. Если $x \mapsto (\tilde\rho_S + \tilde\rho_B)(x)$ постоянна на некоторых интервалах $]-\Delta_S, 0[$ и $]0, \Delta_B[$, то ценовое воздействие $I_\bullet$ линейно. Точнее, если $\tilde\rho_S(x) + \tilde\rho_B(x) = \widetilde{\mathscr{L}}_B$ — положительная константа для всех $x \in ]0, \Delta_B[$ и $\tilde\rho_S(x) + \tilde\rho_B(x) = \widetilde{\mathscr{L}}_S$ — положительная константа для всех $x \in ]-\Delta_S, 0[$, то для всех $i$ таких, что $I(\omega^{(i)}) < \Delta$, имеем

где мы опустили обозначение $\bullet \in \{B, S\}$ у $I$, $\omega$, $p^{(1)}$ и $\widetilde{\mathscr{L}}$. Напомним, что $p_\bullet^{(1)}$ — первый непустой ценовой тик после (соотв. до) аукционной цены при $\bullet = B$ (соотв. при $\bullet = S$), как в предложении 2.

Доказательство предложения 3 приведено в приложении B. Заметим, что $\widetilde{\mathscr{L}}$ представляет постоянную масштабированную ликвидность вокруг $p_a$. Кроме того, поскольку $\mathscr{L}$ и $\omega$ оба масштабированы величиной $Q_a$, ценовое воздействие в правой части уравнения (17) не зависит от аукционного объёма $Q_a$. Для акций с крупным тиком, если $V_B(p) + V_S(p) = V_c$ постоянна вокруг $p_a$, масштабированная ликвидность равна $\widetilde{\mathscr{L}} = V_c/(Q_a\theta)$, где $\theta$ — размер тика. Для акций с мелким тиком приближение можно получить, заменив $\theta$ долей среднего спреда.

Следуя предложению 3, мы хотим охарактеризовать интервалы, в которых $\tilde\rho_S + \tilde\rho_B$ можно считать постоянной. Поэтому нужно найти $\widetilde{\mathscr{L}}_\bullet$ и $\Delta_\bullet$ для $\bullet \in \{B, S\}$ такие, что

Из соображений симметрии сосредоточимся на $\Delta_B$ и $\widetilde{\mathscr{L}}_B$: задача — найти $\Delta_B$ и $\widetilde{\mathscr{L}}_B$ для данного дня $d$ с помощью простого алгоритма детекции точки излома. Этот метод минимизирует остаточную сумму квадратов ошибок между $\log(\tilde\rho_S(x) + \tilde\rho_B(x))$ и её средним $\eta(y)$ для $x \in ]0, y]$ плюс остаточную сумму ошибок линейной аппроксимации $\log(\tilde\rho_S(x) + \tilde\rho_B(x))$ для $x > y$. Мы работаем с логарифмами, поскольку ошибки мультипликативны. Итоговая функция стоимости —

где $(\hat\alpha(y), \hat\beta(y))$ — оценка линейной регрессии $\log(\tilde\rho_S(x) + \tilde\rho_B(x))$ по $x$ для $x > y$, а $N_y$ — число ненулевых наблюдений $(x, \log(\tilde\rho_S(x) + \tilde\rho_B(x)))$ для $x \in ]0, y]$. Затем мы определяем

Это определение означает, что при $x \le \Delta_B$ логарифм суммы масштабированных эмпирических плотностей покупок и продаж лучше приближается своим средним, чем непостоянной (линейной) аппроксимацией, а при $x > \Delta_B$ — наоборот. Затем мы вычисляем $\widetilde{\mathscr{L}}_B$ как среднее $(\tilde\rho_S + \tilde\rho_B)(x)$ для $0 < x \le \Delta_B$, чтобы избежать недооценки из-за выпуклости экспоненты. Наконец, мы определяем $\omega_\bullet^{(\max)}$ как максимальный масштабированный объём рыночной заявки, приводящий к нулевому или линейному воздействию, то есть

Рисунок недоступен для встраивания — смотреть в оригинале

Рис. 9 показывает примеры детекции $\Delta$ с помощью описанной оптимизации для двух разных дней в закрывающем аукционе и в каждом случае сопоставляет теоретическое воздействие по предложению 3 с фактически наблюдаемой функцией воздействия. Видно, что оценённый порог $\Delta$ и оценка наклона $(p^{(1)}\widetilde{\mathscr{L}})^{-1} \approx (p_a\widetilde{\mathscr{L}})^{-1}$ очень хорошо соответствуют фактическому наклону и области линейного ценового воздействия. Так обстоит дело в большинство дней, как показывает рис. 10, где мы сопоставляем наблюдаемый наклон с теоретическим.

Рисунок недоступен для встраивания — смотреть в оригинале

Мы также строим сглаженные гистограммы $\Delta$ и $\omega^{(\max)}$, выданные нашим алгоритмом детекции, для акции TTE.PA между 2013 и 2017 (1266 пар акция-день и две стороны — покупка и продажа) (см. рис. 11). Заметим, что мы обрезали снимки закрывающего аукциона на максимальной лог-дистанции цены $x \le 2\%$, что вдвое больше среднего воздействия рыночной заявки размера, равного аукционному объёму $Q_a$. Кроме того, оставлены только аппроксимации с числом точек $\ge 20$, что происходит примерно в $\approx 90\%$ дней и сторон: это показывает, что ценовое воздействие линейно в большинство дней со средним значением $\Delta$ выше 50 базисных пунктов. Наконец, $P\!\left[\omega^{(\max)} > 0.5\right] = 0.73$: это означает, что у трейдера есть 73% шансов исполнить 50% полного аукционного объёма прямо перед клирингом закрытия и всё ещё получить нулевое или линейное воздействие.

Рисунок недоступен для встраивания — смотреть в оригинале

Приложение C приводит эмпирические свойства наклона воздействия в момент аукциона, вычисленного для каждого актива, — они могут пригодиться в анализе транзакционных издержек.

3. Влияние дат экспирации деривативов

Когда экспирации деривативов нет, ликвидность в денежных единицах, определяемая как $L^{\$} := p_a \times Q_a \times \widetilde{\mathscr{L}}$, что в пятницу, что в другие дни недели (рис. 12, правая панель), по-видимому, взята из одного и того же распределения: мы не смогли отвергнуть нулевую гипотезу тестов Колмогорова–Смирнова для любой пары будних дней вне третьей недели месяца. Однако в дни экспирации (третьи пятницы месяца) ликвидность в денежных единицах обычно больше, чем в другие будние дни той же недели, и, по-видимому, взята из другого распределения, сдвинутого вправо (рис. 12, левая панель). Этот вывод подтверждается односторонними тестами Колмогорова–Смирнова для пятницы и любого другого буднего дня третьих недель месяца. Следовательно, наклон воздействия в дни экспирации обычно меньше, и финальный аукционный стакан устойчивее к изменениям цены.

Рисунок недоступен для встраивания — смотреть в оригинале

B. До момента аукциона

Во второй части мы изучаем ценовое воздействие до момента аукциона. Сначала мы исследуем эволюцию виртуального ценового воздействия на протяжении периода накопления, глядя на эволюцию ликвидности и максимального объёма с линейным воздействием. Затем мы предполагаем, что у трейдеров есть средства оценить наклон воздействия в 17:35:00 — последний момент, гарантированно не пропускающий клиринг. Мы связываем нулевые воздействия и наклон воздействия в 17:35:00 с их значениями в момент аукциона. Наконец, мы изучаем среднее воздействие фактических подач/отмен между 17:30:30 и моментом аукциона на индикативную цену посредством функций отклика.

1. Эволюция ценового воздействия

Мы исследуем, как виртуальное ценовое воздействие ведёт себя на протяжении периода накопления. Мы строим последовательные снимки с 5-секундными интервалами для TTE.PA в закрывающем аукционе. Затем вычисляем (виртуальное/мгновенное) ценовое воздействие для $t \le T_a$ с $p_a \leftarrow p_t^{\mathrm{ind}}$ и $Q_a \leftarrow Q_t^{\mathrm{ind}}$. Мы определяем абсолютную ликвидность $\mathscr{L}_t$ как (постоянную) сумму эмпирических плотностей покупок и продаж в момент $t$: $\mathscr{L}_t = (V_B + V_S)(t)/\delta p$ (напомним, что плотности покупок и продаж в сумме постоянны вокруг текущей индикативной цены). Аналогично определяем $Q_t^{(\max)}$ как максимальный (абсолютный) объём, дающий нулевое или линейное воздействие в момент $t$. Рис. 13 показывает, что средние и абсолютной ликвидности (относительно $Q_a$) $\mathscr{L}_t/Q_a$, и доли финальной ликвидности $\mathscr{L}_t/\mathscr{L}_{T_a}$ следуют одному и тому же паттерну: сильная вогнутая монотонность в начале периода накопления, за которой следует сильно выпуклая эволюция по мере приближения клиринга. Точно так же среднее максимального линейного объёма относительно финального объёма $Q_t^{(\max)}/Q_a$ имеет ту же форму. Тем не менее среднее $Q_t^{(\max)}/Q_{T_a}^{(\max)}$ имеет более сложный паттерн и указывает на сильный эффект отмен.

Рисунок недоступен для встраивания — смотреть в оригинале

2. Воздействие в момент аукциона против 17:35:00

Свяжем теперь виртуальное рыночное воздействие в 17:35:00 и в момент аукциона после введения рандомизированного времени клиринга. Поскольку лимитный стакан не раскрывается, у трейдеров нет прямого способа оценить его форму, а значит, своё виртуальное воздействие, ни в один из этих моментов. Однако отправка крупной рыночной заявки с постепенной её отменой — обходной путь, и он временами наблюдается.

Связь между двумя частями ценового воздействия (нулевой, затем линейной) в эти два момента резко различается. Относительное изменение объёмов нулевого воздействия распределено по нескольким порядкам величины (см. рис. 14); у агентов есть стимул отправлять заявки нулевого воздействия между 17:35:00 и моментом аукциона. Напротив, наклоны линейной части воздействия тесно связаны: в 90% дней относительное изменение наклона воздействия меньше 12% по абсолютной величине (см. рис. 14). Это означает, что аукционный стакан стабилизируется после 17:35:00, чего и следовало ожидать, поскольку клиринг может произойти в любой момент после 17:35:00. Для акции TotalEnergies среднее абсолютное изменение цены между 17:34:55 и 17:35:00 составляет 7 базисных пунктов. Между 17:35:00 и моментом аукциона — лишь 1.6 базисного пункта.

Рисунок недоступен для встраивания — смотреть в оригинале

3. Линейное воздействие подачи/отмены рыночной заявки до аукциона

Наконец, оценим среднее воздействие фактических подач/отмен в период накопления. Для этого мы вычисляем функцию отклика с лагом один $R^1$ для маркетабельных заявок (рыночных заявок и лимитных заявок с агрессивной лимитной ценой) при условии (масштабированного) размера заявки $\omega$:

где $p_t$ — индикативная цена непосредственно перед приходом $t$-й подачи маркетабельной заявки, $\varepsilon = +1$ для покупки, $-1$ для продажи, а время инкрементируется при каждой подаче маркетабельной заявки. Дополнительно мы вычисляем механическую функцию отклика с лагом один $R^M$ при условии (масштабированного) размера заявки $\omega$:

где $p_t^+$ — индикативная цена сразу после прихода маркетабельной заявки.

В отличие от открытых рынков, где $R^1$ сублинейно зависит от объёма (Bouchaud et al., 2018; Lillo et al., 2003; Potters and Bouchaud, 2003), мы наблюдаем на рис. 15, что $R^1$ линейно масштабируется с $\omega$ для маркетабельных заявок крупнее некоторого порога $\omega^* \approx 3 \cdot 10^{-3}$. При $\omega < \omega^*$ значения $R^1$ могут быть отрицательными, указывая на сильный возврат цены к среднему, со значениями меньше десятой доли базисного пункта по абсолютной величине. При $\omega > \omega^*$ имеем по существу $R^1 \approx R^M$: ценовое воздействие отдельных заявок в основном механическое и линейное по $\omega$. Поскольку агенты не имеют доступа к полному стакану во время аукционов, избирательное изъятие ликвидности отсутствует: это подтверждается линейным масштабированием $R^1$ и $R^M$ с $\omega$. Учёт отмен маркетабельных заявок с $\varepsilon = +1$ для отмен продаж и $-1$ для отмен покупок даёт $\omega^* \longrightarrow 0$, поскольку мы учитываем почти все события, меняющие цену (правая панель рис. 15). Эти результаты означают, что природа ценового воздействия одинакова в период накопления и в момент аукциона, и контрастируют с результатами для открытых рынков, где избирательное изъятие ликвидности порождает очень разные формы среднего виртуального воздействия (по мгновенной форме стакана) и рыночного воздействия фактических сделок (Bouchaud et al., 2009; Weber and Rosenow, 2005).

Рисунок недоступен для встраивания — смотреть в оригинале

VI. Заключение

Дискретная природа цен в лимитных стаканах механически делает ценовое воздействие в момент аукциона сначала нулевым — иногда для весьма существенной доли общего обмениваемого объёма. Удивительно, но нулевое ценовое воздействие чаще всего возникает одновременно на обеих сторонах аукционного стакана — для дополнительных рыночных заявок на продажу и покупку или, эквивалентно, для отмен рыночных заявок на покупку или продажу. Для объёмов больше объёмов нулевого воздействия ценовое воздействие в момент аукциона линейно в ограниченном диапазоне цен вокруг аукционной цены — не только в среднем, но более чем в 90% дней. Теоретическая работа Donier and Bouchaud (2016) показывает линейность аукционного воздействия локально вокруг аукционной цены с помощью разложения первого порядка и при сильных предположениях о регулярности спроса и предложения в непрерывной ценовой постановке. Здесь мы показали, что линейность аукционного воздействия обязана вместо этого тому факту, что сумма объёмов покупок и продаж вокруг аукционной цены постоянна.

Хотя эта работа в основном описывает финальный результат процесса накопления заявок и характеризует лимитный стакан в момент аукциона, нужно более микроскопическое описание динамики подачи заявок, отмен и, возможно, диффузии (обновления цены). Хотя рыночные заявки, поданные в период накопления, не играют значительной роли в формировании ценового отклика финального лимитного стакана, игра «действие–реакция» между рыночными и лимитными заявками на протяжении аукциона (Besson and Fernandez, 2021; Raillon, 2020), вероятно, главный драйвер его динамики. Аналогично явно представляет большой интерес взаимодействие различных категорий агентов (HFT, маркетмейкеры, агенты, торгующие от собственного имени или от имени клиентов, …). Например, Boussetta et al. (2017) показывают, что HFT подают заявки заметно иначе, чем медленные трейдеры. Хорошей отправной точкой была бы существенная модификация модели Donier and Bouchaud (2016) в духе работы Lemhadri (2019).

Благодарности

Эта публикация возникла из партнёрства между CentraleSupélec и BNP Paribas. Авторы выражают признательность за поддержку «Equipex PLADIFES ANR-21-ESRE-0036 (France 2030)», ответственному за базу данных EUROFIDAI BEDOFIH.

Литература

• Valentina Alfi, Giorgio Parisi, and Luciano Pietronero. Conference registration: how people react to a deadline. Nature Physics, 3(11):746–746, 2007.
• Valentina Alfi, Andrea Gabrielli, and Luciano Pietronero. How people react to a deadline: time distribution of conference registrations and fee payments. Open Physics, 7(3):483–489, 2009.
• AMF. Study of the behaviour of high-frequency traders on Euronext Paris. 2017.
• Marco Avellaneda and Michael D. Lipkin. A market-induced mechanism for stock pinning. Quantitative Finance, 3(6):417, 2003.
• Marco Avellaneda, Gennady Kasyan, and Michael D. Lipkin. Mathematical models for stock pinning near option expiration dates. Communications on Pure and Applied Mathematics, 65(7):949–974, 2012.
• Michael Benzaquen and Jean-Philippe Bouchaud. Market impact with multi-timescale liquidity. Quantitative Finance, 18(11):1781–1790, 2018.
• Paul Besson and Raphaël Fernandez. Better trading at the close thanks to market impact models. Euronext quantitative research report, 2021.
• Blackrock. A global perspective on market-on-close activity. 2020.
• Jean-Philippe Bouchaud, Marc Mézard, and Marc Potters. Statistical properties of stock order books: empirical results and models. Quantitative Finance, 2(4):251, 2002.
• Jean-Philippe Bouchaud, Yuval Gefen, Marc Potters, and Matthieu Wyart. Fluctuations and response in financial markets: the subtle nature of random price changes. Quantitative Finance, 4(2):176, 2003.
• Jean-Philippe Bouchaud, Julien Kockelkoren, and Marc Potters. Random walks, liquidity molasses and critical response in financial markets. Quantitative Finance, 6(02):115–123, 2006.
• Jean-Philippe Bouchaud, J Doyne Farmer, and Fabrizio Lillo. How markets slowly digest changes in supply and demand. In Handbook of financial markets: dynamics and evolution, pages 57–160. Elsevier, 2009.
• Jean-Philippe Bouchaud, Julius Bonart, Jonathan Donier, and Martin Gould. Trades, quotes and prices: financial markets under the microscope. Cambridge University Press, 2018.
• Selma Boussetta, Laurence Daures-Lescourret, and Sophie Moinas. The role of pre-opening mechanisms in fragmented markets. In Paris December 2017 Finance Meeting EUROFIDAI-AFFI, 2017.
• Frédéric Bucci, Michael Benzaquen, Fabrizio Lillo, and Jean-Philippe Bouchaud. Crossover from linear to square-root market impact. Physical Review Letters, 122(10):108302, 2019.
• Eric Budish, Peter Cramton, and John Shim. The high-frequency trading arms race: Frequent batch auctions as a market design response. The Quarterly Journal of Economics, 130(4):1547–1621, 2015.
• Damien Challet. Strategic behaviour and indicative price diffusion in Paris Stock exchange auctions. In New Perspectives and Challenges in Econophysics and Sociophysics, pages 3–12. Springer, 2019.
• Damien Challet and Nikita Gourianov. Dynamical regularities of US equities opening and closing auctions. Market Microstructure and Liquidity, 4(01n02):1950001, 2018.
• Damien Challet and Robin Stinchcombe. Analyzing and modeling 1+1d markets. Physica A: Statistical Mechanics and its Applications, 300(1-2):285–299, 2001.
• Lorenzo Dall'Amico, Antoine Fosset, Jean-Philippe Bouchaud, and Michael Benzaquen. How does latent liquidity get revealed in the limit order book? Journal of Statistical Mechanics: Theory and Experiment, 2019(1):013404, 2019.
• Mike Derksen, Bas Kleijn, and Robin De Vilder. Clearing price distributions in call auctions. Quantitative Finance, 20(9):1475–1493, 2020.
• Mike Derksen, Bas Kleijn, and Robin De Vilder. Heavy tailed distributions in closing auctions. Physica A: Statistical Mechanics and its Applications, 593:126959, 2022.
• Jonathan Donier and Jean-Philippe Bouchaud. From Walras' auctioneer to continuous time double auctions: A general dynamic theory of supply and demand. Journal of Statistical Mechanics: Theory and Experiment, 2016(12):123406, 2016.
• Jonathan Donier, Julius Bonart, Iacopo Mastromatteo, and Jean-Philippe Bouchaud. A fully consistent, minimal model for non-linear market impact. Quantitative Finance, 15(7):1109–1121, 2015.
• Euronext. Euronext rule book, Book 1: Harmonised Rules. 2020.
• Narasimhan Jegadeesh and Yanbin Wu. Closing auctions: Nasdaq versus NYSE. Journal of Financial Economics, 143(3):1120–1139, 2022.
• Albert S. Kyle. Continuous auctions and insider trading. Econometrica: Journal of the Econometric Society, pages 1315–1335, 1985.
• Ismael Lemhadri. Price impact in a latent order book. Market Microstructure and Liquidity, 5(01n04):2050004, 2019.
• Fabrizio Lillo, J. Doyne Farmer, and Rosario N. Mantegna. Master curve for price-impact function. Nature, 421(6919):129–130, 2003.
• Iacopo Mastromatteo, Bence Toth, and Jean-Philippe Bouchaud. Agent-based models for latent liquidity and concave price impact. Physical Review E, 89(4):042805, 2014.
• Ioane Muni Toke. Exact and asymptotic solutions of the call auction problem. Market Microstructure and Liquidity, 1(01):1550001, 2015.
• Michael S. Pagano and Robert A. Schwartz. A closing call's impact on market quality at Euronext Paris. Journal of Financial Economics, 68(3):439–484, 2003.
• Marc Potters and Jean-Philippe Bouchaud. More statistical properties of order books and price impact. Physica A: Statistical Mechanics and its Applications, 324(1-2):133–140, 2003.
• Franck Raillon. The growing importance of the closing auction in share trading volumes. Journal of Securities Operations & Custody, 12(2):135–152, 2020.
• Bence Tóth, Yves Lemperiere, Cyril Deremble, Joachim De Lataillade, Julien Kockelkoren, and Jean-Philippe Bouchaud. Anomalous price impact and the critical nature of liquidity in financial markets. Physical Review X, 1(2):021006, 2011.
• Philipp Weber and Bernd Rosenow. Order book approach to price impact. Quantitative Finance, 5(4):357–364, 2005.

Приложение A. Доказательство предложения 2

Доказательство. Мы докажем предложение только для дополнительной рыночной заявки на покупку с ценовым воздействием $I_B$. Случай рыночной заявки на продажу с воздействием $I_S$ симметричен. По определению $\omega \mapsto p_\omega$ — неубывающая непрерывная справа ступенчатая функция; то же верно для $\omega \mapsto I(\omega)$. Очевидно, $I(0) = 0$ и $I(\omega) = 0$ тогда и только тогда, когда $p_\omega = p_a$. Поскольку $\omega^{(0)}$ — первая точка разрыва $I$, по монотонности условие $p_\omega = p_a$ эквивалентно $\omega < \omega^{(0)}$. В исходном аукционе $\mathcal{A}$ с аукционной ценой $p_a$ и аукционным объёмом $Q_a$ имеем

Все эти величины фиксированы исходной постановкой аукциона. Если добавить рыночную заявку на покупку размера $q = \omega \times Q_a$ в этой постановке, новая аукционная цена $p_\omega$ удовлетворяет

где $S$ и $D$ — исходные функции предложения и спроса, а $V_S^R(\omega)$ (соотв. $V_B^R(\omega)$) — оставшееся количество на продажу (соотв. на покупку) при цене $p_\omega$ в новой постановке. Эти объёмы очевидно зависят от $\omega$.

Определим первую точку разрыва $\omega_B^{(0)}$. Ясно, что первое изменение цены из-за добавления рыночной заявки размера $q = \omega_B^{(0)} Q_a$ происходит, когда $V_S^R(\omega) = V_S(p_\omega)$, $V_B^R(\omega) = 0$, и новая аукционная цена $p_\omega = p_B^{(1)}$ — первый непустой ценовой тик после $p_a$ в смысле $V_S + V_B$, то есть первая цена тика строго больше аукционной, содержащая акции на покупку или продажу (см. рис. 1 для интуиции). Уравнение (A2) даёт

Используя $S(p_B^{(1)}) = S(p_a) + V_S(p_B^{(1)})$ и $D(p_B^{(1)}) = D(p_a) - V_B(p_a)$, получаем

откуда, используя уравнение (A1), находим

Используя $V_B(p_a) = V_B^R(p_a) + V_B^M(p_a)$, получаем

что даёт

Определим теперь $\omega_B^{(i)}$, $i \ge 1$ — $(i+1)$-ю точку разрыва $I_B$. Действуем аналогично: $(i+1)$-е изменение цены из-за инъекции рыночной заявки происходит, когда $V_S^R(\omega) = V_S(p_\omega)$, $V_B^R(\omega) = 0$ и $p_\omega = p_B^{(i+1)}$ — $(i+1)$-й непустой ценовой тик больше $p_a$ (в смысле $V_S + V_B$). Уравнение (A2) даёт

Используя уравнение (A1), получаем

Наконец,

Таким образом,

что приводит к

Приложение B. Доказательство предложения 3

Доказательство. Используя предложение 2, имеем

где мы использовали приближение $I_B\!\left(\omega_B^{(i)}\right) - I_B\!\left(\omega_B^{(0)}\right) = \log(p_B^{(i+1)}/p_B^{(1)}) \approx p_B^{(i+1)}/p_B^{(1)} - 1$. $\square$

Приложение C. Эмпирические свойства наклонов импакта в момент аукциона

В этом приложении мы приводим эмпирические наблюдения о наклоне воздействия в момент аукциона в день $d$, определённом как

Рис. 16 показывает $\widetilde{S}_d$ для TotalEnergies как функцию времени. Он колеблется вокруг типичного значения и имеет положительную автокорреляцию на протяжении нескольких дней. Распределение $\widetilde{S}_d$ для 34 акций приведено на рис. 17: хотя его форма похожа для всех активов, параметры зависят от каждой акции.

Мы также приводим распределение абсолютных лог-изменений наклонов на рис. 18 — они явно распределены экспоненциально. Их автокорреляция с лагом один отрицательна.

Рисунок недоступен для встраивания — смотреть в оригинале

Рисунок недоступен для встраивания — смотреть в оригинале

Рисунок недоступен для встраивания — смотреть в оригинале

Сноски

1. Участник считается высокочастотным трейдером (HFT), если он удовлетворяет одному из двух условий:
   • среднее время жизни его отменённых заявок меньше среднего времени жизни всех заявок в стакане, и он отменил не менее 100 000 заявок за год;
   • участник отменил не менее 500 000 заявок с временем жизни менее 0.1 секунды, и верхний перцентиль времени жизни его отменённых заявок меньше 500 микросекунд.
   Инвестиционный банк, удовлетворяющий одному из этих условий, описывается как смешанный HFT (MIX). Если участник не удовлетворяет ни одному из условий, он не-HFT (NON). ↩
2. На кассовом рынке Euronext Paris (включающем акции) всего 126 авторизованных участников. ↩

Перевод выполнен с сохранением структуры, формул и данных оригинала. Оригинал: arXiv:2301.05677 · Salek, Challet, Muni Toke (CentraleSupélec) · CC BY-NC-ND 4.0.