Аксиомы для автоматических маркетмейкеров: математический фреймворк в FinTech и децентрализованных финансах

6.5/10

Ключевые слова: децентрализованные финансы, FinTech, децентрализованная биржа, automated market makers, divergence loss, блокчейн

Классификация arXiv: q-fin.MF

Аннотация

В этой работе мы рассматриваем аксиоматический фреймворк для автоматических маркетмейкеров (AMM). AMM — смарт-контракты, задающие цены свопов на пуле активов. Накладывая разумные аксиомы на базовую функцию полезности, мы характеризуем свойства размера свопа активов и получающегося ценового оракула. Вводя эти общие аксиомы, мы определяем новую меру ценового воздействия (price impact), позволяющую количественно сравнивать издержки между разными конструкциями AMM. Мы проанализировали множество существующих AMM и показали, что подавляющее большинство удовлетворяет нашим аксиомам. Также рассмотрены комиссии и divergence loss; предложена новая структура комиссий, делающая AMM индифферентным к разбиению транзакций. Наконец, предложен новый AMM с хорошими аналитическими свойствами и широким диапазоном, на котором divergence loss отсутствует.

1. Введение

Децентрализованные финансы (DeFi) — новая парадигма, заменяющая традиционных посредников инновационными финтех-технологиями на блокчейне. DeFi-компании предоставляют кредитование, страхование и торговлю без классических финансовых посредников. В этой работе фокус — на построении рынков для торговли финансовыми инструментами; в частности, automated market makers (AMM) — децентрализованный подход к созданию финансовых рынков. Ключевая идея — пул ликвидности, против которого трейдер совершает своп по цене, определяемой AMM через функцию инвариантности. Любой может инвестировать в пул и разделить выгоды от предоставления ликвидности.

Структура. Раздел 1.1 — мотивация DeFi и AMM. Раздел 1.2 — обзор литературы. Раздел 1.3 — основные вклады. Раздел 2 — желаемые экономические свойства рынков AMM. Раздел 3 — математическая конструкция generic AMM; свойства свопов и ценового оракула. Раздел 4 — валидация аксиом на реальных AMM и новая математическая структура. Раздел 5 — сбор комиссий пулом и риски LP (divergence / impermanent loss). Раздел 6 — заключение. Доказательства — в Приложении C.

1.1. Мотивация

На пике в ноябре 2021 года совокупная капитализация DeFi-проектов достигала почти $180B. После «crypto winter» 2022 года риски DeFi стали очевидны: крах алгоритмического стейблкоина TerraUSD, банкротство Celsius (~$12B AUM). TVL на DEX резко упал — например, Curve с ~$3B (январь 2022) до ~$300M (июнь 2022). Сейчас — подходящее время количественно оценить риски AMM и выделить выгоды для инвесторов и LP.

AMM демократизируют маркетмейкинг: любой может стать LP и «акционером» пула. Но с инвестицией приходит риск; мы формализуем аксиомы AMM. Например, типичные AMM без комиссий всегда имеют divergence loss — неблагоприятно для LP. [31] отмечает: «потеря исчезает только когда пропорции активов в пуле точно совпадают с моментом депозита — редкий случай». Комиссии нужны как подушка, но не каждая структура комиссий работает: некоторые приводят к меньшим сборам при крупных сделках. Влияние комиссий на оптимальное поведение инвесторов ранее мало изучалось.

Мы постулируем интуитивные аксиомы и выводим следствия для трейдеров и LP. Математический фундамент позволяет исследовать реальные AMM и предлагать новые, удовлетворяющие аксиомам; изучать комиссии и предложить структуру, индифферентную к исполнению (bulk vs split).

1.2. Обзор литературы

AMM для криптоактивов существуют с 2018 года (Uniswap). Whitepapers [32, 3] описывают constant product rule: произведение резервов до и после свопа постоянно. [24] сравнивает constant product market с LOB. Идея инвариантности функции резервов обобщена в constant function market making; формализация — [8]; FX-применение — [26]. [7] — мультиактивные пулы; [19] — торговля против нескольких пулов; [12] — обобщённая структура взаимодействий. [31] — обзор терминологии. [10] — параметризованные AMM и price stability. [13] — экономическая прибыльность AMM. Риски и хеджирование: divergence loss Uniswap V2 [4], V3 [18], [16, 6], [27]. [11] — AMM, реплицирующие дериватив. AMM для prediction markets — [22] (terminal time, принципиально иная постановка).

Обобщённые AMM с математической точки зрения: [13] — достаточные условия для constant function; [20, 28] — аксиомы (первый слабо, второй — prediction markets); [9] — геометрические аксиомы. Сравнение — Приложение F.

1.3. Основные вклады

• Аксиоматическое определение AMM и экономические следствия для размера свопа и ценового оракула (Раздел 3). Многие prior works накладывают жёсткие структурные ограничения; некоторые popular AMM их нарушают, тогда как наши аксиомы выполняются (Раздел 4.1).
• Новая структура комиссий (Раздел 5): логическая индифферентность к исполнению сделки; математическое описание divergence loss (impermanent loss).
• Математическая характеризация widely-used AMM (Раздел 4, Прил. B): какие аксиомы выполняются/нарушаются. Новые конструкции, расширяющие реальные AMM.

2. Дизайн рынка

При создании финансового рынка желательны свойства эффективного использования ликвидности. Рассматриваем свойства для любого рынка и специфичные для AMM.

Свойства традиционного рынка (LOB) [8, 25, 1]:

• (No Arbitrage) — немедленная покупка и продажа не увеличивают стоимость; нулевая оплата не даёт активов.
• (Path Independent) — без комиссий объём покупки при одной крупной сделке равен сумме малых (аналогично для ликвидации).
• (No Wasted Liquidity) — вся ликвидность доступна за конечную (возможно бесконечную) цену.
• (Positive Marginal Return) — больше активов при больших тратах cash (и наоборот).
• (Decreasing Marginal Return) — рыночные цены неубывают в объёме покупки (не возрастают при продаже).

Свойства AMM:

• (Infinite Liquidity) — рынок контрагент для любой сделки; активы всегда доступны.
• (Monotone in Liquidity) — рост ликвидности одного актива снижает его цену; рост numéraire повышает цены остальных.
• (Pooling Increases Liquidity) — большие резервы при той же начальной цене снижают издержки покупки и повышают выручку от продажи.

В Разделе 3 формально вводим математическую структуру AMM и аксиомы, гарантирующие эти свойства. Связь аксиом и свойств — Таблица 2 (Прил. A, Definition 3.1). Некоторые аксиомы избыточны для желаемых рыночных свойств.

3. Constant function market maker

CFMM — наиболее распространённые AMM (Uniswap). Часто отождествляем AMM и CFMM. CFMM — многомерная (здесь двумерная) функция полезности, кодирующая ценность портфеля для LP. Она обеспечивает ликвидность через свопы и служит pricing oracle. Конструкция и аксиомы — Раздел 3.1. Трейдер обменивает \(x\) единиц A на \(Y(x)\) единиц B так, что \(u(a+x, b-Y(x)) = u(a,b)\) при резервах \((a,b)\) — Раздел 3.2. Pricing oracle — маржинальный своп \(Y'(0)\) — Раздел 3.3. Доказательства — Прил. C.

3.1. Аксиомы

AMM — bivariate utility function, определяющая price impacts и spot prices. Для соответствия utility theory [30] практические AMM часто задаются как экспонента формулировок herein (Пример 3.2). Индексы A, B — частные производные по первому/второму аргументу.

Definition 3.1. AMM — функция полезности \(u : \mathbb{R}^2_+ \to \mathbb{R} \cup \{-\infty\}\), которая может удовлетворять:

• (UfB) Unbounded from below: \(u(x,0)=u(0,y)=-\infty\), \(u(z)>-\infty\) для \(z \in \mathbb{R}^{2}_{++}\).
• (UfA) Unbounded from above: \(\lim_{\bar x\to\infty} u(\bar x,y)=\lim_{\bar y\to\infty} u(x,\bar y)=\infty\).
• (SM) Strictly monotonic: \(u(z)>u(\bar z)\) если \(z-\bar z \in \mathbb{R}^2_+\setminus\{0\}\).
• (C) Continuous.
• (QC) Quasiconcave.
• (SI) Scale invariant: \(u(z)\ge u(\bar z) \Rightarrow u(tz)\ge u(t\bar z)\), \(t\ge 0\).
• (I+) Inada+: дифференцируемость; пределы производных на 0 и \(\infty\) как в оригинале (строгая монотонность по одному аргументу при росте другого).
• (SC) Single crossing: \(C^2\), \(u_A,u_B>0\), условия \(u_B u_{AA} \le u_A u_{AB}\), \(u_A u_{BB} \le u_B u_{AB}\).

Example 3.2. Uniswap V2: \(F(x,y)=xy\); herein \(u(x,y)=\log F(x,y)=\log x + \log y\). Удовлетворяет всем аксиомам Definition 3.1.

Remark 1. (SC) влечёт (SM), (C) и при строгом неравенстве — (QC). Monotone differences (\(u_{AA},u_{BB}\le 0\), \(u_{AB}\ge 0\)) из Assumption 1 [13] не выполняется многими real-world AMM; свойства [13] сохраняются при более слабом (SC). Подробнее — Прил. F.

Remark 2. (I+) — усиленные Inada conditions.

Remark 3. Theorem 3.12(1) интерпретирует (SC) как single crossing для \(f^A((x,y),\delta):=u(a+\delta+x,b-y)\) и \(f^B\).

Definition 3.3. При резервах \((a,b)\) swap values:

Remark 4. При равенстве \(u(a+x,b-Y(x))=u(a,b)\) — indifference price [14]. Аксиомы Definition 3.1 интерпретируются как в utility theory [30].

Example 3.4. Uniswap V2: \(Y(x;a,b)=\frac{bx}{a+x}\), \(X(y;a,b)=\frac{ay}{b+y}\).

Definition 3.5. Pricing oracle \(P(a,b):=Y'(0;a,b)\) — маржинальные единицы B за маржинальную единицу A.

Example 3.6. Uniswap V2: \(P(a,b)=b/a\).

3.2. Свопы

Изучаем свойства \(Y\) при обмене A на B; для \(X\) — симметрично.

Lemma 3.7. Fix \(a,b>0\), \(x\ge 0\): (1) (C) \(\Rightarrow u(a+x,b-Y(x))\ge u(a,b)\); (2) (C) и \(Y(x)\ne b\) \(\Rightarrow\) equality (CFMM structure); (3) (UfB)+(C) \(\Rightarrow Y(x)<b\) — (Infinite Liquidity).

Lemma 3.8. (1) (SM) \(\Rightarrow Y(0)=0\); (2) (SM) \(\Rightarrow Y\) nondecreasing; + (UfB)+(C) \(\Rightarrow\) strictly increasing — (Positive Marginal Return); (3) (UfA)+(SM)+(C) \(\Rightarrow \lim_{x\to\infty}Y(x)=b\) — (No Wasted Liquidity).

Lemma 3.9. (1) (C) \(\Rightarrow Y\) upper semicontinuous; (2) (C)+(QC) or (SC) \(\Rightarrow Y\) concave, a.e. differentiable — (Decreasing Marginal Return); (3) (C)+(SI) \(\Rightarrow Y(tx;ta,tb)=tY(x;a,b)\); (4) (SM)+(C)+(QC or SC) \(\Rightarrow Y\) subadditive (frozen snapshot; отличается от Path Independent).

Definition 3.10. \(Y'(x;a,b)\) — предел разностного отношения или implicit differentiation: \(Y'(x;a,b)=\frac{u_B(a+x,b-Y(x))}{u_A(a+x,b-Y(x))}\).

Lemma 3.11. (1) (UfB)+(SM)+(C) \(\Rightarrow Y(x_1+x_2;a,b)=Y(x_1;a,b)+Y(x_2;a+x_1,b-Y(x_1;a,b))\) — (Path Independent); (2) (SM)+(C) \(\Rightarrow\) no round-trip arbitrage; + (UfB) — equalities.

Remark 7. Наивные комиссии могут нарушить Path Independent (Remark 24, Прил. D). Lemma 3.9(4): split с recovery pool даёт большую выручку.

Theorem 3.12. Assume (UfB)+(SC): (1) (Monotone in Liquidity): \(Y_a\le 0\), \(Y_b\in[0,1)\); (2) \(\lim_{\bar a\searrow 0}Y(x;\bar a,b)=b\), \(\lim_{\bar b\searrow 0}Y(x;a,\bar b)=0\); (3) + (QC)+(I+): \(\lim_{\bar a\to\infty}Y=0\), \(\lim_{\bar b\to\infty}Y=\infty\).

3.3. Пулинг и ценовой оракул

Remark 8. При (SM) и differentiability — нет bid-ask spread: \(P=Y'(0)=1/X'(0)\).

Proposition 3.13. (SC): (1) \(P_A\le 0\), \(P_B\ge 0\); (2)+(UfB)+(QC)+(I+): \(b\mapsto P(a,b)\) nondecreasing, surjective на \(\mathbb{R}_{++}\); (3) симметрично для \(a\); (4)+(SI): \(P(ta,tb)=P(a,b)\).

Remark 9. (Infinite Liquidity) — цены могут колебаться в \(P\subseteq\mathbb{R}_{++}\) с inf=0, sup=\(\infty\). Prop 3.13(2)(3) — полная кривая цен достижима манипуляцией резервов.

Theorem 3.14 (Pooling Increases Liquidity). (SC): pooling \((\alpha,\beta)\) с \(P(a+\alpha,b+\beta)=P(a,b)\) увеличивает ликвидность (3.1) если: (1) (SI); или (2) \(u\) thrice differentiable, (UfB), (QC), (I+), и

Remark 10. Постоянная цена необходима: \(P=Y'(0)=1/X'(0)\). При (SI) — «пропорционально резервам» [13].

Remark 11. (3.2) — математическое условие на \(P\); все AMM herein его удовлетворяют (Раздел 4.2 — контрпример независимости). Следует из (SC) + log-convex \(u_A,u_B\), \(u_{AB}\ge 0\). Uniswap V2: \(u_A=1/a\), \(u_B=1/b\) log-convex, \(u_{AB}=0\).

Example 3.15. Uniswap V2 удовлетворяет (3.2); product form \(F_A=b\), \(F_B=a\) не log-convex, но (3.2) инвариантен к монотонным преобразованиям.

Corollary 3.16. Price impacts \(I_Y(x;a,b)=P(a,b)x-Y(x;a,b)\), \(I_X(y;a,b)=y/P(a,b)-X(y;a,b)\). Under Theorem 3.14 pooling снижает impacts (3.3). Линейная часть \(P(a,b)x\) инвариантна к pooling.

Definition 3.17. Price impact oracle \(I(z):=-\tfrac{1}{2}Y''(0;z)=\tfrac{1}{2}[P(z)P_B(z)-P_A(z)]\).

Proposition 3.18. Thrice differentiable AMM:

Empirically на Uniswap pool квадратичная аппроксимация точна (Рис. 1).

Corollary 3.19. (SC): \(I_Y(x;a,b) \le I(a,b)x^2\), \(I_X(y;a,b) \le \frac{I(a,b)}{P(a,b)^3}y^2\) для \(x,y\) в neighborhood 0.

Proposition 3.20. (SC): \(I_A \le 0\), \(I_B \ge 0\); + (SI): \(I(ta,tb)=t^{-1}I(a,b)\).

4. AMM на практике

4.1. Существующие AMM

Сводка AMM из практики — Приложение B, Таблица 1.

Две базовые структуры:

• Uniswap V2 — \(u(x,y)=\log x+\log y\). Все аксиомы выполнены; высокий price impact на хвостах (infinite liquidity).
• mStable — \(u(x,y)=\log(x+y)\), нулевой price impact; нарушает (UfB), (I+).

Комбинации концентрируют ликвидность при «балансе» пула:

• StableSwap — \(u(x,y)=\log(C(x+y)+xy)\); меньше impact, но не (UfB), (SI), (I+).
• Curve — implicit \(u(x,y)=\log D(x,y)\); (UfB), (SI), но не (3.4), (3.5).
• L.StableSwap — \(u(x,y)=C\log(x+y)+\log x+\log y\); все фундаментальные аксиомы, низкий impact у balance, но не (3.4), (3.5) на краях.
• Balancer — weighted Uniswap: \(u(x,y)=w\log x+(1-w)\log y\).
• Uniswap V3 — virtual reserves: \(u(x,y)=\log(\alpha+x)+\log(\beta+y)\); концентрированная ликвидность; static \(\alpha,\beta\) — не (UfB), (SI), (I+); dynamic form восстанавливает (SI) [2].
• Dodo — proprietary oracle-based (Прил. B.7).

Remark 14. Для balanced price \(p>0\): \(\bar u_p(x,y):=u(px,y)\), \(\bar P^p(x,y)=pP(px,y)\).

Remark 15. [13] assumes monotone differences; mStable, StableSwap, Curve, Dodo нарушают. Визуальное сравнение — Прил. B.8.

4.2. Symmetric Decomposable AMM (SDAMM)

Новый класс:

Обобщение Uniswap V2 при \(U(z)=\log z\).

Proposition 4.1. SDAMM с thrice differentiable \(U\): (1) \(U(0)=-\infty\), \(U(z)>-\infty\) \(\Rightarrow\) (UfB); (2) \(\lim U=\infty\) \(\Rightarrow\) (UfA); (3) strictly increasing \(U\) \(\Rightarrow\) (SM); (4) concave \(U\) \(\Rightarrow\) (QC); + increasing \(\Rightarrow\) (SC); (5) Inada on \(U'\) \(\Rightarrow\) (I+); (6) log-convex \(U'\) \(\Rightarrow\) (3.2); (7) \(3U''^2 \ge U'U'''\ge 0\) \(\Rightarrow\) (3.4), (3.5).

Remark 16. (7) — absolute risk aversion \(U\) не падает слишком быстро. Pricing oracle: \(P(x,y)=U'(x)/U'(y)\). Pooling сложнее без (SI) [29, Theorem 8]: (SI) iff power utility.

Example 4.2. \(U(z)=\log(\sinh(Cz^q))\), \(C>0\), \(q\in(0,1]\). При больших пулах \(\to\) mStable; extreme price stability at 1; не (3.4), (3.5) (и не (SI) при \(q<1\)). Unbalanced pool — высокий impact для infinite liquidity.

5. Комиссии и divergence loss

До сих пор — AMM без явных комиссий. Предлагаем новую структуру сбора комиссий [11] и изучаем costs LP — impermanent / divergence loss [31]. Tradeoff fees vs adverse selection — [24].

Assumption 5.1. Далее AMM с (UfB), (QC), (I+), (SC).

5.1. Комиссии на маржинальной цене

Комиссия \(\gamma\in[0,1]\) на каждую маржинальную единицу покупки — через pricing oracle \(P\), как bid-ask spread [17].

Definition 5.2.

AMM индифферентен к размеру транзакции: серия малых сделок = одна крупная (Lemma D.1 — existence/uniqueness). \(\gamma=0\): \(Y_0\equiv Y\). Proposition D.3: fees monotonic in \(\gamma\). Сравнение с [8, 26] — Remark 24, Прил. D.

5.2. Divergence loss

Divergence loss (impermanent loss) [4, 18] — opportunity cost пулинга vs buy-and-hold. Отличается от accounting P&L [27 — LVR].

Definition 5.3. Pool \((a,b)\), fee \(\gamma\), pooling \((\alpha,\beta)\) с \(P(a+\alpha,b+\beta)=P(a,b)\). Divergence loss \(\Delta(p)\):

где \(x_p, y_p\) определяются условиями на \(p\) и oracle.

Remark 18. Accounting profits: \(\Pi_H(p)=(p-P(a,b))\alpha\), \(\Pi_L=\Pi_H-\Delta\). LP и арбитражёр могут одновременно иметь accounting profit — не zero-sum (Прил. E).

Lemma 5.4. + (SI): \(\Delta\) упрощается с \(\alpha=\delta a\), \(\beta=\delta b\): (1) \(\gamma=0\): \(\Delta(p)\ge 0\), strict if \(p\ne P(a,b)\); (2) \(\gamma\in(0,1]\): exists interval \((p_*,p^*)\) where \(\Delta(p)<0\).

Example 5.5. Uniswap V2 с fees: closed forms \(Y_\gamma\), \(X_\gamma\); divergence gain region для LP при ненулевой комиссии.

Численное сравнение AMM без (SI) — Рис. 2–3: SDAMM hyperbolic sine может иметь zero divergence loss на широком диапазоне.

Remark 20. Conjecture: при (SI) divergence loss strictly positive без fees для well-studied AMM. SDAMM без (SI) — counterexample с zero loss region.

6. Заключение

Мы построили аксиоматический фреймворк AMM: аксиомы на utility \(\Rightarrow\) свойства swap size и pricing oracle; novel price impact oracle \(I(z)\); валидация на real-world AMM; новая fee structure (path independence с комиссиями); новый SDAMM с analytical properties и zero divergence loss region.

Расширения: (1) rigorous study Remark 20 conjecture; (2) incomplete preference relation \(\succeq\) вместо single \(u\) — endogenize fees; (3) новые AMM minimizing divergence loss; (4) AMM для деривативов и complex securities.

Приложение A. Сводная таблица основных результатов

Таблица 2 связывает желаемые рыночные свойства с аксиомами и ссылками на результаты:

• (No Arbitrage) — Lemma 3.11(2): (SM), (C), + (UfB).
• (Path Independent) — Lemma 3.11(1): (UfB), (SM), (C).
• (No Wasted Liquidity) — Lemma 3.8(3): (UfA), (SM), (C).
• (Positive Marginal Return) — Lemma 3.8(2): (SM), + (UfB), (C).
• (Decreasing Marginal Return) — Lemma 3.9(2): (C), (QC) or (SC).
• (Infinite Liquidity) — Lemma 3.7(3): (UfB), (C).
• (Monotone in Liquidity) — Theorem 3.12(1): (UfB), (SC); Prop 3.13(1): (SC).
• (Pooling Increases Liquidity) — Theorem 3.14: (SC), + (SI) or (3.2).

Приложение B. Детали существующих AMM

B.1. Uniswap V2

\(u(x,y)=\log x+\log y\). \(P(x,y)=y/x\), \(I(x,y)=y/x^2\). Pooling at current reserve ratio. Все аксиомы — Table 1.

B.2. Balancer

\(u(x,y)=w\log x+(1-w)\log y\), \(w\in(0,1)\). \(P=\frac{wy}{(1-w)x}\), \(I=\frac{wy}{2(1-w)^2 x^2}\). Lower impact than V2 for \(w\in(0,\tfrac{1}{2})\).

B.3. Uniswap V3

\(u(x,y)=\log(\alpha+x)+\log(\beta+y)\), virtual reserves \(\alpha,\beta>0\). \(P=\frac{\beta+y}{\alpha+x}\), \(I=\frac{\beta+y}{(\alpha+x)^2}\). Dynamic \(\alpha,\beta\) for price bands \(P_L,P_U\). Static form: not (UfB), (SI), (I+); dynamic form restores (SI).

B.4. mStable

\(u(x,y)=\log(x+y)\). \(P=1\), \(I=0\). Constant price; not (UfB), (I+).

B.5. StableSwap и L.StableSwap

B.5.1 StableSwap: \(u(x,y)=\log(C(x+y)+xy)\). Hybrid V2+mStable in log.

B.5.2 L.StableSwap: \(u(x,y)=C\log(x+y)+\log x+\log y\). Analytical; satisfies fundamental axioms except (3.4), (3.5).

B.6. Curve

Implicit: \(u(x,y)=\log D(x,y)\), \(D^3+4(C-1)xyD-4C(x+y)xy=0\), \(C\ge 1\). (UfB), (SI); not (3.4), (3.5); high tail impacts.

B.7. Dodo

Oracle-based proprietary AMM; partial axiom satisfaction (Table 1).

B.8. Визуальное сравнение

Графики \(P\), \(I\), swap curves для всех AMM — см. Рис. 3 и supplementary material оригинала.

Приложение C. Доказательства

Полные доказательства всех lemmas, propositions, theorems. Краткий outline:

C.1–C.3: Lemmas 3.7–3.9 — monotonicity, concavity, homogeneity из аксиом (C), (SM), (QC), (SC), (SI), (UfA), (UfB).

C.4: Lemma 3.11 — path independence via strict monotonicity и continuity; no-arbitrage round-trip.

C.5–C.6: Theorem 3.12, Proposition 3.13 — implicit differentiation swap functions; limits at boundary reserves.

C.7: Theorem 3.14 — pooling increases liquidity; ключ (3.2) из sensitivity \(\alpha\mapsto\beta(\alpha)\).

C.8–C.9: Corollaries 3.16, 3.19, Proposition 3.18, 3.20 — Taylor expansion price impacts; bounding via \(I(z)\).

C.10: Proposition 4.1 — SDAMM axioms from univariate \(U\).

C.11: Lemma 5.4 — divergence loss under (SI); fee threshold for gain region.

Приложение D. Комиссии

Lemma D.1. Existence and uniqueness \(Y_\gamma, X_\gamma\) for \(\gamma\in[0,1]\) — ODE formulation [23].

Example D.2. Uniswap V2 closed-form \(Y_\gamma, X_\gamma\).

Proposition D.3. Monotonicity in \(\gamma\); path independence with fees (Definition 5.2).

Remark 24. Сравнение с fee-on-input/output [8, 26]: prior structures break path independence; bulk trades may pay lower effective fees.

Приложение E. Прибыль LP и арбитражёров

E.1 Liquidity Providers. Accounting P&L \(\Pi_L(p)\) vs buy-and-hold \(\Pi_H(p)\). LP — effective long A (B numéraire). При \(p>P(a,b)\) и \(\gamma\in(0,1)\): \(\bar\Pi_L(y)>0\). Uniswap V2: \(\Pi_L(p)=\frac{2\alpha y}{a+\alpha p}>0\). Divergence loss может существовать при positive accounting profit (Fig 2a).

E.2 Arbitrageurs. Direction-agnostic. Buy A at \(p<(1-\gamma)P\) или sell at \(p>(1-\gamma)^{-1}P\). No profit inside bid-ask \((1-\gamma)P < p < (1-\gamma)^{-1}P\). LP и arb могут оба profit if price rises — split buy-and-hold, not zero-sum.

Приложение F. Сравнение с prior axioms

Таблица 3: [13] — positive derivatives, convexity (\(u_{AA},u_{BB}<0\), \(u_{AB}>0\)), homogeneous degree \(l\), surjective price; [20] — (SM), (QC) only; [28] — eight axioms including scale/homogeneity/translation invariance; [9] — geometric reachable set \(S_z\).

Наши (SC), (I+), (3.2) часто слабее convexity [13], но достаточны для market properties. (SI) не necessary для fundamental financial markets (Remark at end §4).

Литература

• [1] Adams, A., Chan, B. Y., Markovich, S., and Wan, X.: The costs of swapping on the uniswap protocol, arXiv:2309.13648 (2023).
• [2] Adams, H., Zinmeister, N., Salem, M., Keefer, R., and Robinson, D.: Uniswap v3 core (2021).
• [3] Adams, H., Zinsmeister, N., and Robinson, D.: Uniswap v2 core (2020).
• [4] Aigner, A. A. and Dhaliwal, G.: Uniswap: Impermanent loss and risk profile of a liquidity provider, arXiv:2106.14404 (2021).
• [5] Aliprantis, C. D. and Border, K. C.: Infinite Dimensional Analysis: A Hitchhiker's Guide, Springer (2007).
• [6] Cartea, Á., Drissi, F., and Monga, M.: Decentralised finance and automated market making: Execution and speculation, SSRN 4144743 (2022).
• [7] Angeris, G., Agrawal, A., Evans, A., Chitra, T., and Boyd, S.: Constant function market makers: Multi-asset trades via convex optimization, arXiv:2107.12484 (2021).
• [8] Angeris, G. and Chitra, T.: Improved price oracles: Constant function market makers, ACM AFT (2020).
• [9] Angeris, G., Chitra, T., Diamandis, T., Evans, A., and Kulkarni, K.: The geometry of constant function market makers (2023).
• [10] Angeris, G., Evans, A., and Chitra, T.: When does the tail wag the dog? curvature and market making, arXiv:2012.08040 (2020).
• [11] Angeris, G., Evans, A., and Chitra, T.: Replicating market makers, arXiv:2103.14769 (2021).
• [12] Bartoletti, M., Chiang, J. H., and Lluch-Lafuente, A.: A theory of automated market makers in defi, Springer (2021).
• [13] Capponi, A. and Jia, R.: The adoption of blockchain-based decentralized exchanges, arXiv:2103.08842 (2021).
• [14] Carmona, R.: Indifference pricing: theory and applications, Princeton University Press (2008).
• [15] Chen, Y. and Pennock, D. M.: A utility framework for bounded-loss market makers, arXiv:1206.5252 (2012).
• [16] Clark, J.: The replicating portfolio of a constant product market, SSRN 3550601 (2020).
• [17] Demsetz, H.: The cost of transacting, QJE 82(1) (1968).
• [18] Deng, J. and Zong, H.: Static replication of impermanent loss for concentrated liquidity provision, arXiv:2205.12043 (2022).
• [19] Engel, D. and Herlihy, M.: Composing networks of automated market makers, ACM AFT (2021).
• [20] Ferreira, M. V. X. and Parkes, D. C.: Credible decentralized exchange design via verifiable sequencing rules, arXiv:2209.15569 (2023).
• [21] Frongillo, R., Papireddygari, M., and Waggoner, B.: An axiomatic characterization of cfmms and equivalence to prediction markets, arXiv:2302.00196 (2023).
• [22] Hanson, R.: Logarithmic markets coring rules, J. Prediction Markets 1(1) (2007).
• [23] Hartman, P.: Ordinary Differential Equations, SIAM (2002).
• [24] Lehar, A. and Parlour, C. A.: Decentralized exchange: The Uniswap automated market maker, SSRN 3905316 (2021).
• [25] Li, X. and Vaughan, J. W.: An axiomatic characterization of adaptive-liquidity market makers, ACM EC (2013).
• [26] Lipton, A. and Sepp, A.: Automated market-making for fiat currencies, arXiv:2109.12196 (2021).
• [27] Milionis, J., Moallemi, C. C., Roughgarden, T., and Zhang, A. L.: Automated market making and loss-versus-rebalancing, arXiv:2208.06046 (2022).
• [28] Schlegel, J. C., Kwaśnicki, M., and Mamageishvili, A.: Axioms for constant function market makers, SSRN (2023).
• [29] Skiadas, C.: Scale or translation invariant additive preferences (2016).
• [30] Von Neumann, J. and Morgenstern, O.: Theory of games and economic behavior (1947).
• [31] Xu, J., Paruch, K., Cousaert, S., and Feng, Y.: Sok: Decentralized exchanges with AMM protocols, arXiv:2103.12732 (2021).
• [32] Zhang, Y., Chen, X., and Park, D.: Formal specification of constant product market maker (2018).

Corollary 5.6 и Remark 20–21

Corollary 5.6. AMM с Assumption 5.1, \(\gamma=0\), pooling \((\alpha,\beta)\), \(P(a+\alpha,b+\beta)=P(a,b)\). Существует \(p\ne P(a,b)\) с \(\Delta(p)<0\) iff \(\alpha/\beta \ne a/b\).

Remark 21. При (SI) pooling implies \(\alpha/\beta=a/b\) (Remark 10) — воспроизводит Lemma 5.4 для \(\gamma=0\). Без (SI) typically \(\alpha/\beta\ne a/b\). Конtrast с [27], где divergence loss на entire pool: при (SI) эквивалентно single LP; без (SI) — нет.

Remark 20 (conjecture). Under (SI) с fees \(\gamma\in(0,1)\): \(\Delta(p)>0\) для \(p\notin[p_*,p^*]\). Example 5.5 подтверждает для Uniswap V2. Generic proof — open (non-monotonicity \(Y_\gamma(x)-P(\cdot)x\)).

Example 5.5 (детали). Uniswap V2 с fees \(\gamma\in(0,1)\):

Pooling \(\alpha=\delta a\), \(\beta=\delta b\). Пороги divergence gain: \(t^*\in(0,1-\gamma)\) решает \(1-2t^{1-\gamma}+t^{2-\gamma}=0\). Тогда

Для \(z\ge 0\): \(\bar\Delta(z)<0\) iff \(z\in(0,x^*)\). Аналогично для \(z<0\). Рис. 2a — divergence loss для V2, StableSwap, L.StableSwap, Curve, SDAMM; Fig 2b — accounting profits LP, buy-and-hold, arbitrageur при StableSwap.

Таблица 1. Popular AMM и аксиомы

†: Under conditions Proposition 4.1. *: Verified numerically.

Раздел 3 — дополнительные результаты

Proposition 3.20. Assume (SC): (1) \(I_A \le 0\), \(I_B \ge 0\); (2) + (SI): \(I(ta,tb)=t^{-1}I(a,b)\).

Corollary 3.19 (детали). Fix \((a,b)\). For small \(x\): \(I_Y(x;a,b) \le I(a,b)x^2\). For small \(y\): \(I_X(y;a,b) \le \frac{I(a,b)}{P(a,b)^3}y^2\). Quadratic bound from Taylor expansion Proposition 3.18.

Lemma 3.7 (proof sketch). (1) By construction \(Y\) maximizes output s.t. utility constraint. (2) Strict inequality in reserves \(\Rightarrow\) strict equality at optimum if \(Y(x)<b\). (3) (UfB) prevents depletion: \(u(a+x,0)=-\infty\) forces \(Y(x)<b\).

Lemma 3.9(4) vs Path Independent. Subadditivity: все sub-trades at frozen \((a,b)\). Path Independent Lemma 3.11: reserves update after each sub-trade. Fees break naive path independence (Remark 24).

Equation (3.1). Pooling increases liquidity:

Equation (3.3). Pooling decreases price impacts:

Приложение B — расширенные формулы

StableSwap (B.5.1): \(u(x,y)=\log(C(x+y)+xy)\), \(C>0\).

L.StableSwap (B.5.2): \(u(x,y)=C\log(x+y)+\log x+\log y\).

Curve (B.6): \(D(x,y)\) — unique nonnegative root of

Dodo (B.7): Exogenous oracle \(P\); \(u(x,y)=\log(P\alpha(x,y)+\beta(x,y))\) с price matching \(P\alpha=\beta\) и equilibrium pooling. Withdrawal fees заменяют divergence loss. Не предоставляет endogenous pricing oracle in standard sense.

Uniswap V3 price bands: Virtual reserves from bounds \(P_L, P_U\):

Приложение C — расширенные доказательства

C.1 Proof of Lemma 3.7. (1) Feasible set \(\{y: u(a+x,b-y)\ge u(a,b)\}\) closed; supremum attained. (2) If \(Y(x)<b\), boundary not binding \(\Rightarrow\) equality. (3) If \(Y(x)=b\), then \(u(a+x,0)=-\infty<u(a,b)\) contradicts (UfB) constraint.

C.2 Proof of Lemma 3.8. (1) \(x=0\): (SM) gives strict improvement only with payment. (2) Monotonicity from larger feasible set as \(x\) increases. Strict under (UfB). (3) (UfA): utility unbounded above in \(y\) direction forces \(Y(x)\to b\).

C.3 Proof of Lemma 3.9. Concavity: \(u\) quasiconcave + (SC) \(\Rightarrow\) convex hypograph of \(Y\) as value function. Subadditivity: concavity + \(Y(0)=0\).

C.4 Proof of Lemma 3.11. Path independence: induction on decomposition using (SM) and constant utility level sets. No arbitrage: round-trip cannot increase both assets by (SM).

C.5 Proof of Theorem 3.12. Implicit function theorem on \(u(a+x,b-Y(x;\cdot))=const\). Signs of \(Y_a, Y_b\) from (SC) single crossing.

C.6 Proof of Proposition 3.13. Differentiate \(P(a,b)=Y'(0;a,b)\). Surjectivity from (I+) limits.

C.7 Proof of Theorem 3.14. Key: compare swap values before/after proportional pooling. (SI) case: homogeneity. General case: condition (3.2) ensures \(\beta(\alpha)\) sensitivity dominates.

C.8 Proof of Proposition 3.18. Taylor expand \(Y(x)\) around 0: \(Y(x)=P(a,b)x - I(a,b)x^2 + O(x^3)\). Similarly for \(X\).

C.9 Proof of Corollary 3.19. Convexity/concavity of remainder term.

C.10 Proof of Proposition 4.1. Direct computation on \(u(x,y)=U(x)+U(y)\). (SC) from log-convexity of \(U'\) when \(U\) concave increasing. (3.2) from Remark 11 applied to separable structure.

C.11 Proof of Lemma 5.4. Under (SI), pooling proportional: scale reserves by \(1+\delta\). Divergence loss scales; sign analysis on \(Y_\gamma(x_p)-px_p\). Fee \(\gamma>0\) creates region where pooling beats hold.

Приложение D — комиссии (расширение)

Lemma D.1. For \(\gamma\in[0,1]\), equations (5.1)–(5.2) are ODEs in \(x\) (resp. \(y\)) with Lipschitz \(P\) under Assumption 5.1. Picard–Lindelöf / Hartman [23] gives unique solution on \([0,a]\) (resp. \([0,b]\)).

Example D.2. Uniswap V2: integrate \(P=\frac{b-Y}{a+z}\) with discount \((1-\gamma)\) yields closed form in Example 5.5.

Proposition D.3. (1) \(Y_{\gamma_2}(x)\le Y_{\gamma_1}(x)\le Y_0(x)=Y(x)\) for \(\gamma_1<\gamma_2\). (2) Fee structure preserves aggregate path independence: splitting with fees same as bulk when no state change between trades.

Remark 24 (fee comparison). Prior literature [8, 26]: fee on input tokens or output tokens. Bulk trade may achieve lower effective fee rate than split trades — violates economic path independence. Our marginal-price fee aligns with bid-ask interpretation [17].

Приложение E — расширение

Accounting profits (Remark 19).

LP long A. \(\bar\Pi_L'(y)\ge 0\) under Assumption 5.1: LP profits when selling A into pool increases. Numéraire choice matters (footnote 16): buy-and-hold value in B increasing in \(p_A/p_B\); in A — decreasing.

Arbitrageur strategy (E.2). Buy external if \(p<(1-\gamma)P\): profit \(\Pi_A = Y_\gamma(x_{(1-\gamma)^{-1}p}) - px_{(1-\gamma)^{-1}p}\). Sell if \(p>(1-\gamma)^{-1}P\). No trade in spread. LP cannot profit off arb at \(p<P(a,b)\) (footnote 17).

Приложение F — расширение

[13] Assumption 1 vs ours. Positive derivatives \(\subset\) (SC). Convexity \((u_{AA},u_{BB}<0, u_{AB}>0)\Rightarrow\)(SC) if also positive derivatives. Homogeneous degree \(l\): \(c^l u(z)=u(cz)\) strictly stronger than (SI). Surjective price related to (Infinite Liquidity) via Prop 3.13 under (UfB), (QC), (I+), (SC).

[20]. Only (SM)+(QC) — insufficient for most Table 2 properties (see Table 2 empty cells).

[28] eight axioms. Existence of marginal prices \(\Leftrightarrow\) (C) partial; aversion to permanent loss \(\Leftrightarrow\) (QC); sufficient funds \(\Leftrightarrow\) (UfB); scale invariance \(\Leftrightarrow\) (SI); homogeneity \(u(tz)=tu(z)\) stronger; translation/one invariance for prediction markets [15]; symmetry \(u(a,b)=u(b,a)\) — all Section 4 examples satisfy.

[9] geometric. Reachable set \(S_z=\{\bar z: u(\bar z)\ge u(z)\}\). Non-empty/non-negative \(\Leftrightarrow\) dom \(u\subseteq\mathbb{R}^2_+\). Closed \(\Leftrightarrow\) upper semicontinuity (C). Convex \(\Leftrightarrow\) (QC). Upward closed \(\Leftrightarrow\) nondecreasing (weaker than SM).

Table 3 legend. X: equivalence. \(\Rightarrow\): external implies ours. \(\Leftarrow\): ours imply external. *: convexity + positive derivatives \(\Rightarrow\) (SC). †: upward closed equivalent to nondecreasing.

SDAMM — дополнительные детали

Для \(U(z)=\log z\): \(P(x,y)=y/x\), \(I(x,y)=1/x^2\) — совпадает с Uniswap V2.

Для \(U(z)=\log(\sinh(Cz^q))\): near balance price \(\approx 1\); large pool \(\to\) mStable-like constant price; tail behavior — high impact on unbalanced reserves to maintain (Infinite Liquidity).

Proposition 4.1(7): \(3U''^2 \ge U'U'''\) iff absolute risk aversion \(-U''/U'\) не убывает слишком быстро. Financial interpretation price stability (3.4), (3.5).

Section 4 closing remark: (SI) not necessary for any fundamental financial market property — SDAMM Example 4.2 demonstrates value of dropping (SI) for zero divergence loss region.

Заметки к разделу 2

Footnote 3: (Path Independent) independently [21] as PathIndependence.

Footnote 4: (No Wasted Liquidity) — wealthy trader can buy entire book on LOB.

Footnote 5: (Positive Marginal Return) — [21] NoDominatedTrades.

Footnote 6: (Infinite Liquidity) — [21] BoundedReserves; similar to Liquidation with infinite payout.

Traditional market properties map to AMM axioms via Table 2 (Appendix A). Some axioms (e.g. full (UfA)) not required for practical market function — motivates studying which axioms real AMM satisfy vs violate (Table 1).

Дополнения к введению

DeFi services: lending (Aave, Compound), insurance, derivatives (synthetix), trading (Uniswap, Curve, Balancer). AMM smart contracts on Ethereum and L2s execute swaps atomically; composability with other DeFi protocols.

Mathematical foundation enables: (i) comparing price impacts across protocols via \(I(z)\); (ii) fee design for LP revenue vs trader welfare; (iii) identifying AMM structures with minimal divergence loss for stablecoin pairs; (iv) extension to multi-asset pools [7] and composed networks [19].

NSF support (Bichuch DMS-1736414). Authors thank seminar participants for feedback on early drafts.

Приложение C — полные доказательства (продолжение)

C.7 Proof of Theorem 3.14 (detail). Define \(\beta:[-a,\infty)\to[-b,\infty)\) s.t. \(P(a,b)=P(a+\delta,b+\beta(\delta))\), \(\beta(-a)=-b\). Surjectivity Prop 3.13. \(P(\bar a,\bar b)=Y'(0;\bar a,\bar b)=u_A/u_B\). Implicit diff:

Fix \(x>0\), \(\bar Y(\delta):=Y(x;a+\delta,b+\beta(\delta))\). Implicit diff on \(u(a+\delta+x,b+\beta(\delta)-\bar Y(\delta))=u(a+\delta,b+\beta(\delta))\):

\(\bar Y'(\delta)\ge 0\) if \((**)\ge 0\):

equivalent to (3.2) at \(\hat z=(\hat a+x,\hat b-Y(x;\hat a,\hat b))\). (I+) not necessary for existence of \(\beta\) — footnote 14: if \(\beta\) undefined, use \(\alpha:[-b,\infty)\to[-a,\infty)\).

C.8 Proof of Corollary 3.16. Immediate from (3.1) and definitions \(I_Y, I_X\).

C.9 Proof of Proposition 3.18. Let \(z(x)=(a+x,b-Y(x;a,b))\). Then

Taylor at 0: \(Y(x)=P(a,b)x - I(a,b)x^2 + O(x^3)\) since \(I(a,b)=-\tfrac{1}{2}Y''(0)\). Bound on remainder via thrice differentiability and bounded third derivative near 0.

C.1 Proof of Lemma 3.7 (full). Let \(S(x)=\{y\in[0,b]: u(a+x,b-y)\ge u(a,b)\}\). (C): \(S(x)\) closed. \(Y(x)=\max S(x)\). (2) If \(Y(x)<b\), constraint binds with equality by continuity. (3) If \(Y(x)=b\), then \(u(a+x,0)=-\infty\) by (UfB), cannot meet \(\ge u(a,b)\).

C.2 Proof of Lemma 3.8 (full). (1) \(Y(0)=\max\{y: u(a,b-y)\ge u(a,b)\}=0\) by (SM). (2) \(x_1<x_2\): feasible set for \(x_2\) contains translate of \(x_1\) solution. (3) (UfA): as \(x\to\infty\), must consume all \(b\) to maintain utility level.

C.3 Proof of Lemma 3.9 (full). Concavity: \(u\) quasiconcave \(\Rightarrow\) upper contour convex; \(Y\) is concave envelope. Homogeneity: (SI) scales both trade and reserves. Subadditivity: concave with \(Y(0)=0\).

C.4 Proof of Lemma 3.11 (full). Path independence: by induction, two-step swap equals one-step on updated pool — uses (SM) strict improvement only with payment. No arbitrage: \(X(Y(x))=x\) at equality under (UfB)+(SM)+(C).

C.5 Proof of Theorem 3.12. Differentiate identity \(u(a+x,b-Y(x;a,b))=u(a,b)\) w.r.t. \(a,b\). Signs from (SC) inequalities on \(u_{AA},u_{AB},u_{BB}\).

C.6 Proof of Proposition 3.13. \(P=Y'(0)\); differentiate. Surjectivity: (I+) sends \(P(\cdot,b)\) from \(\infty\) to 0 as first argument sweeps \(\mathbb{R}_{++}\).

C.10 Proof of Proposition 4.1 (full). Separable \(u\): all cross-partials zero; (SC) reduces to univariate curvature of \(U\). Log-convex \(U'\) \(\Rightarrow\) (3.2) via Remark 11. Condition \(3U''^2\ge U'U'''\) equivalent to non-rapid decrease of absolute risk aversion.

C.11 Proof of Lemma 5.4 (full). Under (SI), proportional pooling \(\alpha=\delta a\), \(\beta=\delta b\). Rescale: effective reserves \((1+\delta)(a,b)\). Divergence loss formula from Definition 5.3 with change of numéraire. Sign: convexity/concavity of swap with fees. Threshold \(t^*\) from Uniswap V2 algebra Example 5.5.

Полные формулировки Definition 3.1 (I+)

(I+) Inada+ requires \(u\) differentiable with:

• \(\lim_{\bar x\to\infty} u_A(\bar x,y)=\lim_{\bar y\to\infty} u_B(x,\bar y)=0\),
• \(\lim_{\bar x\to\infty} u_B(\bar x,y)\in(0,\infty)\), \(\lim_{\bar y\to\infty} u_A(x,\bar y)\in(0,\infty)\),
• \(\lim_{\bar x\searrow 0} u_A(\bar x,y)=\lim_{\bar y\searrow 0} u_B(x,\bar y)=\infty\),
• \(\lim_{\bar x\searrow 0} u_B(\bar x,y)<\infty\), \(\lim_{\bar y\searrow 0} u_A(x,\bar y)<\infty\)

for all \(x,y>0\).

Remarks 4–13 (сводка)

Remark 4. Inequality form in Def 3.3 vs equality CFMM [8]; indifference price when equality attained (Lemma 3.7(2)).

Remark 5. Subadditivity vs Path Independent — frozen vs evolving reserves.

Remark 6. Concavity of \(Y,X\) \(\Rightarrow\) sub-differentials a.s. equal derivatives.

Remark 7. Fees Section 5; Remark 24 Appendix D on naive fees.

Remark 8. No bid-ask without fees under (SM).

Remark 9. Infinite Liquidity vs surjectivity of \(P\) in each coordinate.

Remark 10. Constant price pooling necessary for (3.1).

Remark 11. (3.2) mathematical; all practical AMM satisfy; Section 4.2 counterexample to independence.

Remark 12–13. Empirical price impact validation; comparison across AMM via \(I(z)\).

Раздел 4.1 — детали по каждому AMM

Uniswap V2 (B.1): Also SushiSwap, DefiSwap, Quickswap. Criticism: high tail impacts; liquidity reserved for extreme prices. Good for high-volatility pairs.

Balancer (B.2): Bancor, Loopring. Weight \(w\in(0,1)\). Lower impact than V2 for \(w\in(0,\tfrac{1}{2})\). Pooling at reserve ratio.

Uniswap V3 (B.3): KyberSwap, MooniSwap. Virtual \(\alpha,\beta\) dynamic in practice [2]; fixed price band \([P_L,P_U]\). Static \(\alpha,\beta\): fails (UfB), (SI), (I+); dynamic restores (SI). Concentrated liquidity reduces impact near active range.

mStable (B.4): Zero impact; constant \(P=1\). Pooling any ratio or equal split. Loses (UfB), (I+). (SC) with equality only.

StableSwap (B.5.1): Saber, Saddle. Hybrid log of V2+mStable. Pooling at ratio including \(C\). Fails (UfB), (SI), (I+). Good stablecoin pairs.

L.StableSwap (B.5.2): New construction (not yet deployed). Linear combo in log space. All fundamental axioms; fails (3.4), (3.5). Simple closed form vs Curve implicit.

Curve (B.6): Implicit \(D(x,y)\) from (B.1). Functional \(C(x,y)\propto D\cdot xy/(D^2/4)\) for balance measure. (QC), (SC), (3.2) numerical. Low impact near peg; high tail impact.

Dodo (B.7): Oracle \(P\) exogenous; \(f(x,y)\) price modifier. Withdrawal fees vs divergence loss. Partial Table 1 satisfaction under conditions.

Раздел 5 — численные результаты

Figure 2a: \(\Delta(p)\) for five AMM types at \(P(a,b)=2\), specific pooling rule. Uniswap V2, StableSwap, L.StableSwap, Curve show positive \(\Delta\) outside fee-adjusted gain region. SDAMM (Example 4.2) — extended region \(\Delta=0\) or negative (gain).

Figure 2b: StableSwap — LP, buy-and-hold, arbitrageur accounting profits vs price \(p\). Simultaneous LP and arb profit possible when \(p\) rises.

Figure 3: \(I(z)\) and \(P(a,b)\) curves for V2, StableSwap, L.StableSwap, Curve, sinh-SDAMM. SDAMM flattest \(I\) near balance; V2 highest tail impact.

Empirical Fig 1 (Uniswap pool): quadratic \(I(a,b)x^2\) captures >99% of \(I_Y\); relative error Fig 1c < \(10^{-3}\) for typical trade sizes.

Терминология

• AMM — automated market maker; смарт-контракт с pricing rule.
• CFMM — constant function market maker; \(u(a+x,b-Y(x))=u(a,b)\).
• LP — liquidity provider.
• Numéraire — asset B; prices quoted in B per A.
• Pricing oracle — \(P(a,b)=Y'(0)\), marginal exchange rate.
• Price impact oracle — \(I(z)=-\tfrac{1}{2}Y''(0;z)\); novel contribution.
• Divergence loss / impermanent loss — \(\Delta(p)\); opportunity cost vs buy-and-hold.
• SDAMM — symmetric decomposable AMM; \(u(x,y)=U(x)+U(y)\).
• Path independence — split vs bulk equivalent (without fees).

Таблица 2 (Appendix A) — полная

(1) and (2) denote alternative sufficient conditions in Theorem 3.14.

Направления будущих исследований (§6)

Remark 20 conjecture: Strengthen Lemma 5.4(2) to full characterization of \(\Delta>0\) outside \([p_*,p^*]\) under (SI).

Generalized preferences: Incomplete \(\succeq\) on \(\mathbb{R}^2_+\): \(Y(x;a,b)=\sup\{y: (a+x,b-y)\succeq(a,b)\}\) — endogenize fees in preference relation.

New AMM design: Minimize divergence loss / maximize LP revenue as in SDAMM Example 4.2.

Derivatives AMM: Extend beyond spot swap markets to options, structured products on-chain.

Multi-asset: Axioms extend to \(n>2\) assets [7]; geometric approach [9] multi-asset reachable sets.

Prediction markets: Contrast [22, 15, 21] terminal-time markets with spot CFMM herein.

Связь с utility indifference CFMM [dex-liquidity-cfmm]

Fukasawa–Maire–Wunsch [2502.01931] study utility indifference CFMM with concentrated liquidity and fees outside LP — complementary to axiomatic utility characterization herein. Milionis et al. [27] LVR vs divergence loss accounting — Remark 19, Appendix E. Angeris et al. [8, 9, 11] CFMM geometry and replication.

Оригинал статьи: Bichuch and Feinstein, «Axioms for Automated Market Makers: A Mathematical Framework in FinTech and Decentralized Finance», arXiv:2210.01227