Алгебраический каркас моделирования книг лимитных заявок

7/10

Аннотация

Вводится алгебраический каркас моделирования книг лимитных заявок (LOB) инструментами физики и теории стохастических процессов. Каркас описывает рождение и уничтожение заявок, матчинг и временну́ю эволюцию состояния книги, а также допускает композиционные постановки: взаимодействие разнородных трейдеров и разные структуры рынка. Состояние и динамика записываются в нотации Дирака и через обобщённые производящие функции. Полезность каркаса показана симуляциями упрощённых рыночных сценариев: как изменение поведения трейдеров влияет на спред, волатильность доходности и ликвидность. Алгебраическое представление допускает точные симуляции алгоритмом Гиллеспи и даёт инструмент для оценки последствий дизайна рынка и регуляторных изменений. Дальнейшие расширения — более сложные типы заявок, адаптивные интенсивности событий и мультиактивная торговля — позволяют глубже анализировать микроструктуру и оценивать ключевые драйверы динамики книги.

Ключевые слова: книга лимитных заявок; master equation; непрерывный марковский процесс; высокая частота; рыночная микроструктура. JEL: C58, D43, G12.

1. Введение

Стремление точнее описать сложную динамику книг лимитных заявок породило широкий спектр моделей. Как отмечают Hong и Page (2001), новые математические языки расширяют набор эвристик, доступных для анализа книги. Gould et al. (2013) дают обзор литературы по микроструктуре. Фундаментальный вклад внесли Garman (1976), Roll (1984), Kyle (1985), Admati, Pfleiderer (1988), Biais, Hillion, Spatt (1995), Parlour (1998) и Smith, Farmer, Gillemot, Krishnamurthy et al. (2003).

Модели, которые одновременно включают решения участников и дают нюансированную динамику всех наблюдаемых книги, редки. Заметные исключения — Smith et al. (2003) и Cont, Stoikov, Talreja (2010). Часто модели фокусируются на стратегиях трейдеров и выводят лишь приближённые стохастические характеристики наблюдаемых. Поток заявок и его импакт — центральная тема: Lillo, Farmer, Mantegna (2003); Farmer et al. (2004); Zarinelli et al. (2015); Curato, Lillo (2017); Taranto et al. (2018a,b); Toth et al. (2015); Bonart, Lillo (2018).

Мы предлагаем алгебраический взгляд на LOB: динамика описывается так, чтобы допускать композицию разнородных трейдеров и разных площадок. Работа опирается на алгебраические обозначения Bleher, Bleher, Dimpfl (2021) и Bleher (2021).

Используются нотация Дирака и обобщённые производящие функции — краеугольные конструкции формальных степенных рядов и комбинаторики. Производящие функции компактно кодируют бесконечные ряды и все моменты случайной величины, улавливая и типичное, и атипичное поведение рынка. Нотация Дирака даёт абстрактное и гибкое описание пространства состояний: это не теоретическое украшение, а практический язык манипуляции сложными моделями.

Цель статьи — связать эти конструкции с практикой моделирования LOB. Производящие функции выступают базисными функциями внутри нотации Дирака; выбор базиса влияет на получаемые функционалы и на характеризацию пространства состояний. В разделе 2 суммируются производящие функции. В разделе 3 правила типичной книги переводятся в алгебру операторов рождения и уничтожения. Переформулировка динамики LOB в этой алгебре полезна для симуляции, прогноза и моделирования потока заявок.

2. Предварительные сведения

Изложение этого раздела близко следует Bleher et al. (2021) и Bleher (2021).

2.1. Книга лимитных заявок

Книга — место встречи заявок. Заявка несёт информацию о готовности трейдера принять определённую цену в обмен на выбранное число инструментов. Уровень, на котором две заявки матчатся, — reference price. Биржа в каждый момент хранит все заявки в книге. В непрерывной торговле входящие заявки матчатся сразу с уже стоящими; на аукционе заявки собираются до заранее заданного момента, после чего биржа проводит матчинг.

Положение заявки в книге задаётся тремя компонентами: лимитной ценой, количеством и временем прихода — все три определяет трейдер (с поправкой на латентность). Если нужна немедленность, используются рыночные заявки: их можно мыслить как лимитки с бесконечной (bid) или нулевой (ask) ценой. В непрерывной торговле они матчатся сразу и обычно не остаются в книге: входят на лучший уровень противоположной стороны. Ценовой импакт для инициатора может быть большим.

Большинство заявок рассчитаны на пребывание в книге на заданном уровне (Frey, Sandås, 2009) — это лимитки. Если их уровень лежит за лучшей котировкой противоположной стороны, они (частично) матчатся, не дойдя до своего лимита. Наименьший населённый уровень продажи — best ask, наивысший уровень покупки — best bid; то и другое — best quote.

Есть условные типы (стоп-заявки и т.п.): они входят в книгу, когда reference price пересекает порог, и с этого момента эквивалентны маркету или лимитке. Их можно встроить в каркас как более сложные версии базовых заявок; здесь мы ограничиваемся простыми лимитками и трактуем маркеты как частный случай (нулевая или бесконечная лимитная цена).

2.2. Производящие функции вероятностей

Производящая функция — представление последовательности $(a_k)_{k\ge 0}$ как коэффициентов формального степенного ряда $G(a_k;z)=\sum_{k=0}^\infty a_k z^k$. Пусть $p_k=\mathrm{Prob}(X=k)$, $k\ge 0$. Производящая функция вероятностей (PGF) случайной величины $X$:

Эквивалентно $G_X(z)=\mathbb{E}[z^X]$; это определение прямо переносится на непрерывные величины и тогда называется $z$-преобразованием плотности. PGF представляет смешанное состояние: вероятностно взвешенную линейную комбинацию исходов $k\in\mathbb{Z}$. Эволюция стохастической системы — зависящее от времени смешанное состояние

Многие процессы описываются линейным PDE для $G_X(z,t)$; обзор — Weber, Frey (2017). В этой статье эволюция книги изучается как зависящая от времени PGF в предположении, что динамика следует master equation.

Замечание. PGF связана с другими производящими функциями: $z=\exp(s)$, $s\in\mathbb{C}$, даёт характеристическую функцию $\mathrm{CF}_X(s)=\mathbb{E}[e^{sX}]$; на вещественной прямой — моментную $\mathrm{MGF}_X(t)=\mathbb{E}[e^{tX}]$; логарифм — кумулянтную $\mathrm{CGF}(t)=\ln\mathbb{E}[e^{tX}]$. Сдвиг $G_X(z^*+1)$ даёт производящую функцию факториальных моментов. Обзор связей — Hoyt (1972).

2.3. Нотация Дирака

Смешанные состояния обычны в теоретической физике. Чистые состояния дискретной системы — кет-векторы $\lvert k\rangle$, общее смешанное состояние — линейная комбинация

Нотация особенно удобна, когда состояния возникают из вакуума $\lvert 0\rangle$ последовательным добавлением или снятием «возбуждений». Рождение кодируется оператором $a^{+}\lvert k\rangle=\lvert k+1\rangle$, уничтожение — $\frac{1}{k!}a^{-}\lvert k\rangle=\lvert k-1\rangle$. Свойства $a^{+}$ и $a^{-}$ эквивалентны каноническому коммутатору $[a^{-},a^{+}]:=a^{-}a^{+}-a^{+}a^{-}=1$ вместе с вакуумным условием $a^{-}\lvert 0\rangle=0$:

Нотация Дирака эквивалентна PGF отождествлением чистых состояний $\lvert k\rangle$ с $z^k$:

При этом операторы рождения и уничтожения переходят в умножение и дифференцирование по $z$ (разд. A.1). Описание «возбуждений» хорошо совпадает с книгой: открытые ask- и bid-заявки в иначе пустой книге. Выставление — последовательность операторов рождения. Как показано в разделе 3, типов «возбуждений» много, и PGF становится громоздкой — поэтому заимствуется нотация Дирака.

Замечание. Преимущество производящих функций проявляется, когда ряд сходится к простой аналитической функции. Для $X\sim\mathrm{Pois}(\lambda)$ имеем $G_X(z)=\sum_{k\ge 0}\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}z^k=e^{\lambda(z-1)}$.

3. Алгебраический каркас книги лимитных заявок

Книга систематически организует покупки и продажи по ценовому и временному приоритету. Ниже правила выставления, отмены, price-time приоритета и частичного матчинга типичной книги записываются операторами рождения и уничтожения (Рис. 2). Это даёт алгебраическое описание всех состояний книги и пространства смешанных состояний.

3.1. Правила LOB и операторы заявок

В любой момент состояние книги — набор ask- и bid-заявок, каждая со своим приоритетом исполнения по времени выставления. Чтобы закодировать независимые стороны рынка, удобно изображать bid- и ask-операторы как действующие на книгу с противоположных сторон: слева и справа. Поэтому стандартный вакуум $\lvert 0\rangle$, на который операторы действуют только слева, заменяется символом пустой книги $\lvert 0\rvert$.

Правило 1 (выставление). Трейдеры выставляют лимитки на уровне $k$ объёмом $q$. Входящая ask-заявка — оператор рождения $a^{+}_{k,q}$, действующий на текущее состояние справа; bid — оператор $b^{+}_{k,q}$, действующий слева.

Последовательность выставлений задаёт историю состояний, например

Следующее правило использует коммутатор $[A,B]:=AB-BA$ и символ Кронекера $\delta_{ij}$.

Правило 2 (отмена). Отмены ask и bid представляются операторами уничтожения $a^{-}_{k,q}$ (слева) и $b^{-}_{k,q}$ (справа), удовлетворяющими

Равенства (5) утверждают, что вероятность отмены нулевая, если соответствующей заявки в книге нет. Канонические коммутаторы (6) кодируют, что уничтожение снимает только заявку нужного уровня и объёма.

Поскольку состояния — результат последовательных выставлений и отмен, списки ask- и bid-операторов строго упорядочены по времени. Следующее правило переводит этот список в price-time порядок.

Правило 3 (price-time приоритет). Список операторов, упорядоченных по времени, приводится к price-time порядку коммутаторами

так что уровень цены растёт слева направо, а внутри группы одинаковых уровней сохраняется временной порядок:

Приоритет оператора рождения кодируется расстоянием до $\lvert 0\rvert$: ближе к вакууму — выше приоритет.

Исполнение сделки представляем парой сматченных операторов $b^{+}_{k,q}a^{+}_{s,p}$ — «свёртка Вика» в физической литературе. Используем также функцию Хевисайда $\theta(q)$: $\theta(q)=1$ при $q>0$, $\theta(0)=\tfrac12$, иначе $0$.

Правило 4 (матчинг). Заявки наивысшего приоритета допускают сделку, если bid-цена не ниже ask-цены. Объёмы матчатся насколько возможно; остаток остаётся в книге. Свёртка операторов рождения:

при точном совпадении $q=p$ заявки нулевого размера эквивалентны единичному оператору. Соответствующая идентификация состояний при $k\ge s$:

Подчеркнём: уровень $k$ заявки $a^{+}_{k,q}$ не обязан быть ценой сделки. Цена сделки определяется уровнем «осевшей» заявки, которую встречает входящая. Подробнее о сделках — разд. A.3.

3.2. Walking the book

«Проход книги» — прибывающая рыночная заявка, исполняемая против нескольких заявок противоположной стороны. Алгебра операторов воспроизводит это в слегка расширенном виде. Входящие bid- и ask-операторы действуют с самого левого или правого края (Правило 1). Входящий оператор уничтожения «проходит книгу», двигаясь сквозь более старые операторы рождения, пока не встретит и не отменит подходящий либо не достигнет вакуума (Правило 2). Входящий оператор рождения проходит старые заявки той же стороны, пока не займёт место в price-time очереди (Правило 3). Если он оказывается на вершине книги, он может встретить заявки противоположной стороны и сматчиться (Правило 4), продолжая «проход» уже по той стороне.

3.3. Множество чистых состояний

Когда все операторы полностью прошли книгу, состояние однозначно задаётся price-time упорядоченным набором операторов рождения

где $k_i\le k_{i+1}$. Каждый оператор $(m_i)^{+}_{k_i,q_i}$ задан стороной $m_i\in\{a,b\}=M$, уровнем $k_i\in K\subset\mathbb{R}$ и объёмом $q_i\in Q\subset\mathbb{R}$. Конфигурацию, соответствующую этому кету, называем чистым состоянием. Множество чистых состояний

содержит все возможные конфигурации книги. Уровни, объёмы и число заявок $n$ могут быть сколь угодно велики, поэтому $\mathcal{P}$ счётно бесконечно. На практике вводят отсечки $k_i\le K$, $q_i\le Q$, $n\le N$; усечённое множество конечно, мощности не более $(\lvert M\rvert\times\lvert K\rvert\times\lvert Q\rvert)^N$.

3.4. Пространство смешанных состояний

Смешанное состояние — линейная комбинация $\lvert\Psi\rangle=\sum p_k\lvert\psi_k\rangle$ чистых состояний $\lvert\psi_k\rangle\in\mathcal{P}$, где $p_k\in[0,1]$ — вероятность реализации $\lvert\psi_k\rangle$, с нормировкой $\sum p_k=1$. Удобно рассматривать и ненормированные состояния — элементы вещественного векторного пространства $\mathcal{H}$ с базисом из чистых состояний:

Смешанное состояние — вектор с неотрицательными коэффициентами и $\|\Psi\|_{L^1}=1$; пространство смешанных состояний — замкнутый политоп внутри $\mathcal{H}$. Со стандартным $L^2$-произведением $\mathcal{H}$ становится гильбертовым. Линейные функционалы обозначаются бра-векторами $\langle\Psi\rvert\in\mathcal{H}^*$; двойственный базис $\langle\psi_k\rvert$ задан условием $\langle\psi_k\mid\psi_\ell\rangle=1$ при совпадении состояний и нулём иначе.

4. Стохастическая эволюция книги

Описываем, как начальное состояние $\lvert\psi(t_0)\rangle$ эволюционирует во времени. Изложение близко следует Baez, Biamonte (2018), где подробно изложена общая теория стохастической эволюции смешанных состояний.

4.1. Марковская эволюция

Книга меняется исключительно выставлениями и отменами. Любое будущее состояние возникает из текущего этими элементарными переходами, поэтому эволюция — марковский процесс. В общем следует ожидать марковский процесс высшего порядка: участники максимизируют вероятность исполнения по выгодной цене и опираются на недавнюю историю конфигураций и внешнюю информацию. Позиции и частоты входящих заявок проявляют временны́е зависимости, частично объяснимые гистерезисом индивидуального поведения.

Вместо моделирования решений отдельных трейдеров принимаем эффективное описание: в агрегате группы трейдеров приближаются марковским процессом первого порядка на основе коллективного распределения скоростей перехода. Коллективные интенсивности прихода и отмены оцениваются по данным потока заявок. Они зависят от времени: внутридневные паттерны документированы Biais et al. (1995); даже на круглосуточных биткоин-рынках Eross et al. (2019) находят активность, связанную с открытием и закрытием крупных площадок. Кластеризация сделок во времени интерпретируется как краткосрочный рост интенсивностей у рыночных цен и обычно моделируется ACD (Engle, Russell, 1998; Fernandes, Grammig, 2006).

Внешние новости могут менять интенсивности и на коротких масштабах; в симуляциях это задаётся явными скачками скоростей. На высоковолатильных рынках интервалы между событиями обычно меньше коллективных сдвигов настроения, и квазистационарные интенсивности — хорошее приближение. Здесь мы принимаем индетерминистский взгляд на зависимость интенсивностей от времени и опираемся на оценки по потоку заявок.

4.2. Master equation

Как непрерывный марковский процесс, книга удовлетворяет master equation (van Kampen, 1992; Weber, Frey, 2017)

где гамильтониан $H$ кодирует вероятности перехода между состояниями. Формальное решение — оператор стохастической эволюции $U(t,t_0)=\exp\bigl(\int_{t_0}^{t} H(\tau)\,d\tau\bigr)$:

Для общего $H$ замкнутой формы нет. Если гамильтониан не зависит от времени, $U(t,t_0)=e^{H(t-t_0)}$. По Baez, Biamonte (2018) гамильтониан строится из инфинитезимально стохастических операторов элементарных переходов:

для уровня $k$ и объёма $q$. Операторы числа $N^{a}_{k,q}=a^{+}_{k,q}a^{-}_{k,q}$ и $N^{b}_{k,q}=b^{+}_{k,q}b^{-}_{k,q}$ возвращают число активных заявок данного уровня и объёма (разд. A.2); они нужны, чтобы элементарные переходы были инфинитезимально стохастическими. Гамильтониан книги необходимо имеет вид

где каждый переход взвешен интенсивностью прихода $\alpha$ или отмены $\omega$.

4.3. Эффективный гамильтониан

Относительно лучшей цены противоположной стороны интенсивности прихода и отмены приблизительно постоянны — по крайней мере на малых и средних масштабах. Распределение скоростей по ценам $k$ и размерам $q$ обычно зависит от текущего состояния лишь через несколько макроскопических наблюдаемых (разд. A.2) — например, лучшие цены и спред.

Поскольку расстояние до противоположной стороны и спред зависят от состояния, интенсивности $\alpha_m(k,q)$ и $\omega_m(k,q)$, $m\in M=\{a,b\}$, в (13) — операторы. Действуя на чистое состояние $\lvert\psi_\ell\rangle$, они возвращают распределения скоростей, зависящие от реализованных в этом состоянии $d$ и $\Delta$:

Операторы в (13) устроены так, что действуют на состояние до перехода: скорость $E^{m}_{k,q}$ определяется по текущей книге. Выражения для $\alpha_m$ и $\omega_m$ оцениваются по потоку заявок. Распределение по относительным уровням часто логнормально или степенное (Bouchaud, Mézard, Potters, 2002); размеры входящих заявок сильно варьируют (Gould et al., 2013) и тоже моделируются степенными или логнормальными законами.

Зависимость скоростей от состояния даёт общий нелинейный механизм обратной связи: если ключевая наблюдаемая меняется событием, эффективные интенсивности реагируют мгновенно, и распределение переходов сдвигается относительно предыдущего.

4.4. LOB как композиционная система

Эффективные скорости в (13) фундаментально возникают из решений отдельных трейдеров. Каркас допускает композицию групп и индивидов с различными процессами решений. С систематической точки зрения удобнее группы: Foucault, Kadan, Kandel (2005) делят трейдеров на институциональных и розничных; Foucault, Sraer, Thesmar (2011) — на терпеливых и нетерпеливых.

Эволюцию книги можно описать как результат нескольких групп с различными паттернами заявок. Влияние их вероятностей выставления и отмены задаётся индивидуальными гамильтонианами $H_g$. Полный эффективный гамильтониан $H_{\mathrm{eff}}=\sum H_g$ снова имеет вид (13); отличие в том, что $\alpha_m$ и $\omega_m$ — суммы популяционно-специфичных скоростей.

Нельзя игнорировать кластеризацию и автокорреляцию интенсивностей, индуцированную трейдерами (Gould et al., 2013), и внутридневные паттерны деловой активности (Admati, Pfleiderer, 1988). Выставляя заявку, трейдер учитывает вероятность исполнения за разумное время: есть компромисс между немедленностью и слегка отложенным исполнением (Cho, Nelling, 2000). Вероятность исполнения прямо связана с интенсивностями прихода. Как показывает обзор Gould et al. (2013), трейдеры включают исторические данные в решения — когда, на каком лимите и каким объёмом выставлять, — тем самым индуцируя автокорреляцию интенсивностей.

Разложение гамильтониана явно допускает такие сценарии: модель не исключает автокорреляции интенсивностей. Идея, что прошлые интенсивности влияют на текущие, центральна и в литературе ACD.

Замечание. За пределами модели этой статьи LOB может быть открытым марковским процессом в смысле композиционного каркаса Baez, Pollard (2017), что позволило бы встроить поведение трейдеров ещё явнее.

5. Симуляции

Алгебраическое описание прямо ведёт к симуляции. Система движется приходами и отменами. При заданных интенсивностях эволюция master equation (11) симулируется алгоритмом Gillespie (1977). Для демонстрации — два сценария упрощённой игрушечной модели: двадцать ценовых уровней $K=\{1,\ldots,20\}$ и только единичные объёмы $Q=\{1\}$.

5.1. Алгоритм симуляции

Отправная точка Gillespie (1977) — вероятность, что в интервале $[t_0,t_0+\delta\tau]$ не произойдёт ни одного перехода. Для не зависящего от времени гамильтониана

Здесь $\mathrm{diag}(H)$ — диагональная часть $H$:

$\lambda(\psi_\ell)$ — скорость распада состояния $\lvert\psi_\ell\rangle$: сумма интенсивностей всех возможных событий. Вероятность, что переход из чистого состояния $\lvert\Psi(t_0)\rangle=\lvert\psi_\ell\rangle$ произойдёт ровно в $t_0+\delta\tau$, экспоненциальна:

Алгоритм Гиллеспи итерирует два шага. Сначала генерируется время $\delta\tau$ следующего события из экспоненциального распределения (15) со скоростью $\lambda(\Psi(t_i))$. Затем новое состояние в $t_{i+1}=t_i+\delta\tau$ выбирается жеребьёвкой среди всех возможных переходов: сумма интенсивностей прихода и отмены нормируется на $\lambda(\Psi(t_i))$ и используется как распределение по событиям.

5.2. Параметризация сценариев

Для упрощения предполагаем, что интенсивности прихода $\alpha_m(k)$ не зависят от текущего состояния. Они задаются одним дискретным логнормальным распределением по заранее выбранному носителю относительных уровней. Ранг абсолютного уровня — относительно начала носителя: для bid ранг убывает, $\mathrm{rank}(k_B=12)=1$, $\mathrm{rank}(k_B=11)=2,\ldots$; для ask растёт, $\mathrm{rank}(k_A=9)=1$, $\mathrm{rank}(k_A=10)=2,\ldots$. Bid могут приходить на $k_B\in\{1,\ldots,12\}$, ask — на $k_A\in\{9,\ldots,20\}$.

Следуя Bi, Faloutsos, Korn (2001), дискретное усечённое логнормальное распределение интенсивностей обозначаем DGX (discrete gaussian exponential). Форма DGX задаётся носителем и параметрами $\mu$ и $\sigma$.

Интенсивности отмены $\omega_m(k)$ явно зависят от состояния: фиксируем $\omega=0.1$ на каждую отдельную ask- или bid-заявку; $\omega_m(k)$ на уровне $k$ — сумма индивидуальных интенсивностей активных заявок. Чем больше заявок в книге, тем вероятнее, что следующее событие — отмена. Поскольку интенсивность отмены на уровне растёт с числом заявок, вероятность отмены в конце концов превосходит вероятность нового прихода, и система приближается к стационару, вокруг которого флуктуирует.

Фиксируем постоянную интенсивность событий $\lambda=6$: число событий на единицу времени постоянно. Это достигается нормировкой приходов и отмен (последние растут с объёмом книги) множителем $\lambda/\lambda^*=\lambda/(\sum_k\alpha(k)+\omega_k)$. В среднем ожидаем 6 событий (приходов или отмен) на единицу времени. Распределение того, какое событие произойдёт, целиком определяется относительными весами интенсивностей. Если в книге только две bid-заявки (каждая с $\omega=0.1$), в нашей постановке в пять раз вероятнее приход ещё одной bid и в десять раз вероятнее приход bid или ask, чем отмена одной из двух стоящих.

Сценарий 1: одна группа трейдеров. На каждой стороне одна группа. Интенсивности — DGX с носителем на 12 уровнях, поэтому bid и ask перекрываются на 4 уровнях. Параметры $\mu_1=1$, $\sigma_1=3$ концентрируют приходы на ранге 1 с резким спадом (Рис. 3a).

Сценарий 2: две группы. Вторая группа выставляет на 14 уровнях с $\mu_2=4$, $\sigma_2=1$: перекрытие на 8 уровнях, больше приходов чуть глубже в книге, выше дисперсия по уровням. Эту группу можно мыслить как менее информированную (выше дисперсия) и более терпеливую (выставления глубже). Предполагаем, что 30% приходов идут от второй группы и 70% — от первой. Нормированное распределение — Рис. 3b. Интенсивности на Рис. 3 нормированы к 1 на каждой стороне, поэтому стороны равновероятны.

5.3. Результаты симуляций

Рис. 5 — последние 100 дискретных шагов для обоих сценариев. Рис. 4 — распределения агрегатных наблюдаемых: среднее спреда, доходности, цены сделки, лучшего bid и ask, интенсивности сделок и меры ликвидности XLM (разд. A.2).

Сценарий 1 интерпретируется как рынок с симметричными группами на каждой стороне. Группы могут состоять из трейдеров с разной оценкой и разным терпением. Экономически перекрытие интенсивностей сторон делает оценку инструмента «непрозрачной»: неясно, выгодно ли продавать или покупать на некоторых уровнях. Такая вариация оценки возникает, если выбираются разные подходы к оценке, различен уровень информации или различны предпочтения. Трейдеры, ставящие глубже, могут рассчитывать на иную оценку противоположной стороны в будущем и иметь низкую потребность в немедленности.

В сценарии 2 накладываются интенсивности двух групп. Вторая — с большей вариацией и более широким носителем: скорее неинформированная группа, выбирающая цены более случайно из широкого диапазона. Это близко к группировке Foucault et al. (2011): относительно информированные институционалы и относительно неинформированные розничные.

Сравнение: сдвинутые глубже интенсивности уменьшают число сделок и интенсивность сделок на единицу времени. Спред шире, волатильность доходности выше, ликвидность по XLM хуже.

6. Заключение

Непривычная формулировка LOB как операторной алгебры — языком, обычно применяемым к стохастическим процессам в химии и физике, — полезна для описания динамики книги. Подчёркнута роль интенсивностей прихода и отмены. Описание допускает композиционную постановку: поток заявок разных групп трейдеров можно сделать сколь угодно сложным. Одновременная торговля в нескольких книгах по разным активам встраивается расширением пространства состояний, на которое действует гамильтониан, с введением интенсивностей для других книг. Упрощённый игрушечный пример показывает, как введение разных групп меняет ключевые наблюдаемые.

Формальное алгебраическое описание позволяет точно симулировать книгу алгоритмом Гиллеспи. Такие симуляции полезны для сценариев, приближённой оценки последствий дизайна рынка, регуляторных изменений и других факторов среды, влияющих на интенсивности. Дальнейшая работа может строить более реалистичные постановки: варьирующие размеры заявок, адаптивные интенсивности событий, дисбалансы сторон. По ним можно оценивать латентные переменные и параметры по наблюдаемым данным книги.

Приложение A

A.1. PGF как полиномиальное представление алгебры LOB

Алгебра операторов рождения и уничтожения ask- и bid-заявок хорошо известна в физике. Стандартное представление — полиномы от некоммутирующих формальных переменных $x_{k,q}$ (ask, уровень $k$, объём $q$) и аналогичных $y_{k,q}$ (bid). Операторы $\partial/\partial x_{k,q}$ и $x_{s,p}$ удовлетворяют коммутаторам Правила 2, а константа $1$ даёт вакуум: $[\partial/\partial x_{k,q},\,x_{s,p}]=\delta_{ks}\delta_{qp}$ и $\partial/\partial x_{k,q}\,1=0$.

Отсюда $a^{+}_{k,q}\equiv x_{k,q}$ и $b^{+}_{k,q}=y_{k,q}$ действуют умножением слева и справа; $b^{-}_{k,q}=\partial/\partial y_{k,q}$ — обычное дифференцирование, а $a^{-}_{k,q}=\partial/\partial x_{k,q}$ — «производная справа». Состояние книги отождествляется с производящей функцией

сумма — по всем price-time упорядоченным мономам различных порядков $n$.

A.2. Наблюдаемые

Конфигурация $\lvert\Psi\rangle$ несёт огромный объём информации. Обычно фокус — на выбранных описательных величинах, извлекаемых оператором $O$: значение $O(\Psi)=\langle\Psi\rvert O\lvert\Psi\rangle$. Условный $\nu$-й момент

В сочетании с $U(t,t_0)$ это даёт эволюцию моментов

Ожидание в (A2) условно по начальному состоянию в $t_0$. Аналогично считаются ковариации: $\mathrm{Cov}(O_1,O_2;\Psi(t))=\sum\langle\psi_k\rvert(O_1-\mathbb{E}[O_1])(O_2-\mathbb{E}[O_2])\lvert\Psi(t)\rangle$.

Операторы числа и объёма. Число активных заявок на уровне $k$ объёма $q$:

По ним: полное число на уровне $k$ стороны $m\in M$ есть $N^{m}_k=\sum_q N^{m}_{k,q}$; количество на уровне $Q^{m}_k=\sum_q q N^{m}_{k,q}$ и полное $Q^m=\sum_k Q^{m}_k$; объём $V^{m}_k=k Q^{m}_k$ и $V^m=\sum_k V^{m}_k$.

Сноска. В квантовой механике аналог — правило Борна $\mathbb{E}[O^\nu;\Psi]=\langle\Psi\rvert\hat O^\nu\lvert\Psi\rangle$. Поскольку здесь стохастические вероятности, а не амплитуды, $\langle\Psi\rvert$ заменяется суммой по двойственному базису $\langle\psi_k\rvert\in\mathcal{H}^*$.

Лучший bid, лучший ask и спред. Для состояния $\lvert\psi_k\rangle=b^{+}_{k_1,q_1}\ldots b^{+}_{k_j,q_j}\lvert 0\rvert a^{+}_{k_{j+1},q_{j+1}}\ldots a^{+}_{k_n,q_n}$ операторы лучших котировок действуют как $\beta_b\lvert\psi_k\rangle=k_j\lvert\psi_k\rangle$, $\beta_a\lvert\psi_k\rangle=k_{j+1}\lvert\psi_k\rangle$ (справа — число, не оператор). Спред и mid:

Ликвидность. Harris (2003) определяет ликвидность как «способность быстро торговать большим объёмом дёшево, когда хочешь торговать», с четырьмя измерениями: немедленность, глубина, ширина, устойчивость. Спред часто используют как меру ликвидности. Мы опираемся на exchange liquidity measure (XLM) на основе implementation shortfall (Gomber, Schweickert, 2002): глубина, ширина и немедленность. $XLM=XLM^a+XLM^b$, где в базисных пунктах

XLM зависит от средневзвешенной по объёму цены, реализуемой немедленно на каждой стороне при round-trip заявке объёма $\bar V$ (одновременные рыночные ask и bid суммарного объёма $\bar V$). Иными словами, XLM — издержки round-trip в базисных пунктах.

A.3. Сделки

Подробное обсуждение сделок отложено: строго говоря, оно не нужно, чтобы задать состояния и динамику. Здесь кратко о режимах книги XETRA и о том, как расширить состояния, чтобы записывать информацию о сделках — цены и интенсивности сделок не читаются напрямую из элементарных состояний.

Книга XETRA — непрерывная торговля, дополненная аукционами открытия, внутридневными и закрытия. Вместо $\lvert 0\rvert$ пишем $\lvert T_{k,q;t}\rvert$, чтобы фиксировать последнюю цену $k$, объём $q$ и время $t$ сделки.

Правило 5a (непрерывная торговля). Если входящая заявка получает наивысший приоритет и допускает сделку с партнёром на противоположной стороне, исполнение идёт по цене уже стоявшего партнёра, и фиксируется сделка сматченного объёма. Для прибывающего ask:

для прибывающего bid:

Правило 5b (аукцион). Аукцион состоит из фазы сбора, в которой заявки упорядочиваются по price-time приоритету, но не исполняются. Биржа может показывать индикативную цену. По закрытии фазы цена сделки определяется принципом наибольшего проторгованного объёма; затем заявки наивысшего приоритета исполняются итеративно по этой цене. Сделка записывается по цене аукциона и с суммарным объёмом. Конкретная алгебраическая запись, аналогичная (A6)–(A7), возможна для конкретных ситуаций; общий принцип наибольшего объёма делает универсальную формулу громоздкой и мало проясняющей, поэтому опускается.

Операторы цены, количества, объёма и времени последней сделки: если $\lvert\psi_\ell\rangle=z_1\ldots z_i\lvert T_{k,q;t}\rvert z_{i+1}\ldots z_n$, то $T_K\lvert\psi_\ell\rangle=k\lvert\psi_\ell\rangle$, $T_Q\lvert\psi_\ell\rangle=q\lvert\psi_\ell\rangle$, $T_V\lvert\psi_\ell\rangle=kq\lvert\psi_\ell\rangle$, $T_t\lvert\psi_\ell\rangle=t\lvert\psi_\ell\rangle$. На этой основе — межсделочная длительность $T_{\Delta t}=t_2-t_1$. Она нелокальна во времени, и в текущей постановке не представима оператором; на практике список всех сделок записывается отдельно. Можно изменить фундаментальное состояние так, чтобы оно «помнило» достаточно прошлых сделок — любой марковский процесс порядка $k$ переписывается как процесс первого порядка, если фундаментальными состояниями считать истории из $k$ последовательных состояний.

Литература

1. Admati, A. R. and Pfleiderer, P. (1988). A theory of intradaily patterns: Volume and price variability. Review of Financial Studies, 1(1):3–40.
2. Baez, J. C. and Biamonte, J. D. (2018). Quantum Techniques in Stochastic Mechanics. World Scientific.
3. Baez, J. C. and Pollard, B. S. (2017). A compositional framework for reaction networks. Reviews in Mathematical Physics, 29(09):1750028.
4. Bi, Z., Faloutsos, C. and Korn, F. (2001). The ‘DGX’ distribution for mining massive, skewed data. KDD, 17–26.
5. Biais, B., Hillion, P. and Spatt, C. (1995). An empirical analysis of the limit order book and the order flow in the Paris Bourse. Journal of Finance, 50(5):1655–1689.
6. Bleher, J. (2021). Essays on the Statistics of Financial Markets. PhD thesis, Universität Tübingen.
7. Bleher, J., Bleher, M. and Dimpfl, T. (2021). From orders to prices: A stochastic description of the limit order book to forecast intradaily returns.
8. Bonart, J. and Lillo, F. (2018). A continuous and efficient fundamental price on the discrete order book grid. Physica A, 503:698–713.
9. Bouchaud, J.-P., Mézard, M. and Potters, M. (2002). Statistical properties of stock order books. Quantitative Finance, 2(4):251–256.
10. Cho, J.-W. and Nelling, E. (2000). The probability of limit-order execution. Financial Analysts Journal, 56(5):28–33.
11. Cont, R., Stoikov, S. and Talreja, R. (2010). A stochastic model for order book dynamics. Operations Research, 58(3):549–563.
12. Engle, R. F. and Russell, J. R. (1998). Autoregressive conditional duration. Econometrica, 66(5):1127–1162.
13. Eross, A., McGroarty, F., Urquhart, A. and Wolfe, S. (2019). The intradaily dynamics of bitcoin. Research in International Business and Finance, 49:71–81.
14. Farmer, J. D. et al. (2004). What really causes large price changes? Quantitative Finance, 4(4):383–397.
15. Fernandes, M. and Grammig, J. (2006). A family of autoregressive conditional duration models. Journal of Econometrics, 130(1):1–23.
16. Foucault, T., Kadan, O. and Kandel, E. (2005). Limit order book as a market for liquidity. Review of Financial Studies, 18(4):1171–1217.
17. Foucault, T., Sraer, D. and Thesmar, D. J. (2011). Individual investors and volatility. Journal of Finance, 66(4):1369–1406.
18. Frey, S. and Sandås, P. (2009). The impact of iceberg orders in limit order books. AFA 2009 San Francisco Meetings Paper.
19. Garman, M. B. (1976). Market microstructure. Journal of Financial Economics, 3(3):257–275.
20. Gillespie, D. T. (1977). Exact stochastic simulation of coupled chemical reactions. Journal of Physical Chemistry, 81(25):2340–2361.
21. Gomber, P. and Schweickert, U. (2002). Der Market Impact: Liquiditätsmaß im elektronischen Wertpapierhandel. Die Bank, 7:485–489.
22. Gould, M. D. et al. (2013). Limit order books. Quantitative Finance, 13(11):1709–1742.
23. Harris, L. (2003). Trading and Exchanges. Oxford University Press.
24. Hong, L. and Page, S. E. (2001). Problem solving by heterogeneous agents. Journal of Economic Theory, 97(1):123–163.
25. Hoyt, J. P. (1972). Generating functions in elementary probability theory. The American Statistician, 26(3):45–46.
26. Kyle, A. S. (1985). Continuous auctions and insider trading. Econometrica, 53(6):1315–1335.
27. Lillo, F., Farmer, J. D. and Mantegna, R. N. (2003). Master curve for price-impact function. Nature, 421:129–130.
28. Parlour, C. A. (1998). Price dynamics in limit order markets. Review of Financial Studies, 11(4):789–816.
29. Roll, R. (1984). A simple implicit measure of the effective bid-ask spread. Journal of Finance, 39(4):1127–1139.
30. Smith, E. et al. (2003). Statistical theory of the continuous double auction. Quantitative Finance, 3(6):481–514.
31. Taranto, D. E. et al. (2018a,b). Linear models for the impact of order flow on prices, I–II. Quantitative Finance, 18(6):903–931.
32. Toth, B. et al. (2015). Why is equity order flow so persistent? Journal of Economic Dynamics and Control, 51:218–239.
33. van Kampen, N. G. (1992). Stochastic Processes in Physics and Chemistry. Elsevier.
34. Weber, M. F. and Frey, E. (2017). Master equations and the theory of stochastic path integrals. Reports on Progress in Physics, 80(4):046601.
35. Zarinelli, E. et al. (2015). Beyond the square root: Evidence for logarithmic dependence of market impact. Market Microstructure and Liquidity, 01(02):1550004.

Перевод выполнен с сохранением структуры, формул и данных оригинала. Оригинал: arXiv:2406.04969 · Bleher, Bleher · CC BY-NC-SA 4.0.